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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3【配套备课资源】3.2.2 习题课


习题课

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【学习要求】 1.了解频率与概率的区别,了解概率的意义; 2.了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式; 3.理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法求概率.

试一试·双基题目、基础更牢固

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1.掷一枚硬币,若出现正面记 1 分,出现反面记 2 分,则恰好
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得 3 分的概率为 5 A. 8 1 C. 4

( A ) 1 B. 8 1 D. 2

1 解析 有三种可能:①连续 3 次都掷得正面概率为8; 1 ②第一次掷得正面,第二次掷得反面,其概率为4; 1 ③第一次掷得反面,第二次掷得正面,其概率为4. 1 1 1 5 因而恰好得 3 分的概率为8+4+4=8.

试一试·双基题目、基础更牢固

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2.一年按 365 天计算,两名学生的生日相同的概率为 1 ________. 365
解析
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用有序实数对(x, y)来表示两名学生 A、 的生日 B

情况,其中 x 表示 A 的生日,y 表示 B 的生日,给一年 365 天编号为 1~365,则(x,y)共有如下: (1,1),(1,2),(1,3),?,(1,365),(2,1),(2,2),(2,3),?, (2,365),(3,1), (3,2), (3,3), (3,365)?(365,1), ?, (365,2), (365,3),?,(365,365). 共计 365×365 种情况,

而生日相同的有(1,1),(2,2),(3,3),?,(365,365)共 365 种情况,

365 1 故两名学生生日相同的概率为 =365. 365×365

试一试·双基题目、基础更牢固 习题课 3.从长度分别为 2、 4、 的四条线段中任意取出三条, 3、 5

则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 3 ________. 4 解析 从长度为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条共
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有 4 种不同的取法, 其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种, 3 故所求概率为 P=4. 4.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇 1 1 数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)=2,P(B)=6, 2 则出现奇数点或 2 点的概率为________. 3
解析 因为事件 A 与事件 B 是互斥事件, 所以 P(A∪B) 1 1 2 =P(A)+P(B)=2+6=3.

试一试·双基题目、基础更牢固

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5.一个口袋中装有大小相同的 1 个白球和已经编有不同 号码的 3 个黑球,从中摸出 2 个球,则摸出 1 黑球、 1 1 白球事件的概率是________. 2

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解析 摸出 2 个球,基本事件的总数是 6.
其中“1 个黑球,1 个白球”所含事件的个数是 3,
3 1 故所求事件的概率是 P=6=2.

研一研·题型解法、解题更高效

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题型一 例1
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随机事件的频率与概率

某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒乓

球比赛专用球, 目前有关部门对某批产品进行了抽样检测, 检查结果如下表所示: 抽取球 数n 优等品 数m 优等品 m 频率 n 45 92 194 470 954 1 902 50 100 200 500 1 000 2 000

研一研·题型解法、解题更高效

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(1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率
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是多少?(结果保留到小数点后三位)
解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970,

0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值不同,但 随着抽取球数的增多,频率在常数 0.950 的附近摆动,
所以质量检查为优等品的概率约为 0.950.
小结 随机事件在相同条件下进行大量试验时,呈现规律性, 且频率总是接近于常数 P(A),称 P(A)为事件 A 的概率.

研一研·题型解法、解题更高效 习题课 跟踪训练 1 李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的高等数
学,下表是李老师这门课 3 年来的考试成绩分布: 成绩 90 分以上
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人数 43 182 260 90 62

80 分~89 分 70 分~79 分 60 分~69 分 50 分~59 分

50 分以下 8 经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等 数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留 到小数点后三位).①90 分以上;②60 分~69 分;③60 分 以上.

研一研·题型解法、解题更高效
解 总人数为 43+182+260+90+62+8=645,

习题课

根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考 试成绩在各个段上的频率依次为: 43 90 260 182 645≈0.067, 645≈0.282, 645≈0.403,645≈0.140,
8 62 ≈0.096, 645≈0.012. 645 用已有的信息, 可以估计出王小慧下学期选修李老师的高

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等数学课得分的概率如下:

①将“90 分以上”记为事件 A,则 P(A)≈0.067;
②将“60 分~69 分”记为事件 B,则 P(B)≈0.140; ③将“60 分以上”记为事件 C,则 P(C)=0.067+0.282+

0.403+0.140=0.892.

研一研·题型解法、解题更高效 题型二 互斥事件的概率
例2

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某射击运动员射击一次射中 10 环,9 环,8 环,7 环的

概率分别为 0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次: (1)射中 10 环或 9 环的概率;
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(2)至少射中 7 环的概率; (3)射中环数不超过 7 环的概率.
解 记“射中 10 环”为事件 A, “射中 9 环”为事件 B, “射中 8 环”为事件 C,“射中 7 环”为事件 D. 则事件 A、B、C、D 两两互斥, 且 P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,P(D)=0.16. (1)∵射中 10 环或 9 环为事件 A∪B,
∴由概率加法公式得, P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52.

研一研·题型解法、解题更高效

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(2)∵至少射中 7 环的事件为 A∪B∪C∪D, ∴P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)
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=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87.
(3)记“射中环数不超过 7 环”为事件 E, 则事件 E 的对 立事件为 A∪B∪C.
∵P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) =0.24+0.28+0.19=0.71,

∴P(E)=1-P(A∪B∪C)=1-0.71=0.29.

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小结
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求互斥事件的概率的方法有以下两种:

(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件 的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算. (2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A) =1-P( A ),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”、 “至少”型题目用间接求法更简洁.

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跟踪训练 2

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下表为某班英语及数学成绩, 全班共有学生 50

人,成绩分为 1~5 五个档次.例如表中所示英语成绩为 4 分的学生共 14 人, 数学成绩为 5 分的学生共 6 人. x、 设 y 表示英语成绩和数学成绩.
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y分 人数 x分 5 4 3 2 1 1 1 2 1 0 3 0 1 b 0 1 7 0 6 1 0 5 9 0 1 1 1 3 a 3 5 4 3 2 1

研一研·题型解法、解题更高效

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(1)x=4 的概率是多少?x=4 且 y=3 的概率是多少?x≥3 的概率是多少?在 x≥3 的基础上 y=3 同时成立的概率是 多少?
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(2)x=2 的概率是多少?a+b 的值是多少? 1+0+7+5+1 7 解 (1)P(x=4)= =25; 50 7 P(x=4,y=3)=50; P(x≥3)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5) 2+1+0+9+3 7 1+3+1+0+1 7 = +25+ =10. 50 50 7 当 x≥3 时,有10×50=35(人), ∴在 x≥3 的基础上,y=3 有 8 人. 8 ∴在 x≥3 的基础上 P(y=3)=35.

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1 7 1 (2)P(x=2)=1-P(x=1)-P(x≥3)=1- - = , 10 10 5
1+b+6+0+a 1 又∵P(x=2)= =5, 50

∴a+b=3.

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题型三 例3

古典概型的概率问题

抛掷两枚骰子.求:

(1)点数之和是 4 的倍数的概率; (2)点数之和大于 5 小于 10 的概率.
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从图中看出基本事件与所描点一一对应,有 36 种.

(1)记“点数之和是 4 的倍数”为事件 A, 从图中可以看 出, 事件 A 包含的基本事件共有 9 个: (1,3), (2,2), (3,1), 1 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6),所以 P(A)= . 4

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(2)记“点数之和大于 5 小于 10”为事件 B,从图中可 以看出,事件 B 包含的基本事件共 20 个,
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20 5 所以 P(B)=36=9.
小结 解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古 典概型问题,其判断依据是:(1)试验中所有可能出现的 基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相 等.其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的 基本事件的个数,然后利用古典概型的概率公式求解.

研一研·题型解法、解题更高效
次品.

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跟踪训练 3 盒中有 3 只灯泡,其中 2 只是正品,1 只是 (1)从中取出 1 只,然后放回,再取 1 只,求①连续 2 次 取出的都是正品所包含的基本事件总数;②两次取出的
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一个为正品,一个为次品所包含的基本事件总数; (2)从中一次任取出 2 只,求 2 只都是正品的概率.
解 (1)将灯泡中 2 只正品记为 a1,a2,1 只次品记为 b1, 则第一次取 1 只,第二次取 1 只,基本事件总数为 9 个,





.

①连续 2 次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1 , a1)(a1,a2)(a2,a1)(a2,a2)共 4 个基本事件;

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②两次取出的一个为正品, 一个为次品所包含的基本事
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件为(a1,b1)(a2,b1)(b1,a1)(b1,a2)共 4 个基本事件.
(2)“从中一次任取 2 只”得到的基本事件总数是 3,即 a1a2,a1b1,a2b1,

“2 只都是正品”的基本事件数是 1,
1 所以其概率为 P=3.

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题型四 例4 古典概型概率的综合应用

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为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名

学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如
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下:

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人, 求 至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的概率.

研一研·题型解法、解题更高效 习题课 解 (1)样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%估计

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全校男生人数为 400. (2)由统计图知,样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35(人),样本容量为 70, 35 所以样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率 f=70=0.5. 故由 f 估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率 P=0.5. (3)样本中身高在 180~185 cm 之间的男生有 4 人, 设其编号为 ①②③④, 样本中身高在 185~190 cm 之间的男生有 2 人,设 其编号为⑤⑥. 从上述 6 人中任选 2 人的树状图为:

故从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人的所 有可能结果数为 15, 至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的 9 3 可能结果数为 9, 因此,所求概率 P=15=5.

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跟踪训练 4 某日用品按行业质量标准分成五个等级, 等级 系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X
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1 a

2

3

4 b

5 c

f

0.2 0.45

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下, 将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1, x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1, x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品 被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两 件日用品的等级系数恰好相等的概率.

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解 (1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, 即 a+b+c=0.35. 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件, 3 所以 b=20=0.15. 2 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c=20=0.1.
从而 a=0.35-b-c=0.1,

所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,所有可能的结
果为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3}, {x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2},即基本 事件的总数为 10. 设事件 A 表示“从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件, 其等级系数相等”,

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则 A 包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3}, {y1,y2},共 4 个.
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4 故所求的概率 P(A)=10=0.4.
小结 一些古典概型问题经常涉及统计的简单知识,在

与分层抽样、样本平均数、方差等知识交汇处命制.解 答该类问题的关键是用列举法计算随机事件所包含的 基本事件数.

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1. 概 率 的 一 般 加 法 公 式 P(A∪B) = P(A) + P(B) -
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P(A∩B).公式使用中要注意:(1)公式的作用是求 A∪B 的概率, A∩B=?时, B 互斥, 当 A、 此时 P(A∩B) =0, 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B); (2)要计算 P(A∪B), 需要求 P(A)、P(B),更重要的是把握事件 A∩B,并 求其概率; (3)该公式可以看作一个方程, 知三可求一.

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2.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来,然 后再求出事件 A 中的基本事件,利用公式 P(A)= A包含的基本事件的个数 求出事件 A 的概率.这是一 基本事件的总数
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个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序 做到不重复、不遗漏.
3.事件 A 的概率的计算方法, 关键要分清基本事件总数 n 与事件 A 包含的基本事件数 m.因此必须解决以下 三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第 二,本试验的基本事件数有多少个;第三,事件 A 是什么,它包含的基本事件有多少.回答好这三个方 面的问题,解题才不会出错.


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