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上海市2014届高考数学模拟试卷


上海市 2014 届高考数学模拟试卷 1
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料, 所有解答必须写在答题纸上规定位置, 写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效; 2.答卷前,考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题(本大题满分 56 分,共 14 小题,每小题满分 4 分) 得分 评卷人 1.若集合 M ? x x ? 2 ? , N ? x y ? lg ( x ? 1)? ,则 M ? N ?

?

?

2.已知 i 是虚数单位,使 (1 ? i ) 为实数的最小正整数 n 为
n

3.若 对 于 任 意 实 数 x , 不 等 式 | x ? 2 | ? | x ? 1 |? a 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

4.在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则三角形 ABC 的面积 S ?
?

5. 若直线 mx ? 2ny ? 4 ? 0 (m, n ? R) 始终平分圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的周长,则
2 2

mn 的取值范围是_________________
6.设 f ( n) ? k (其中 n ? N ) , k 是 2 的小数点后第 n 位数字, 2 ? 1.4142135623 7 … ,
*

则 f f …f [ f (8)] 的值等于____________

??? ??? ? 8个 ? sin ? ? cos ? 7.已知矩阵 ? ? sin ? ? cos ?

?

?

0? ?? ? ? 为单位向量,且 ? , ? ? ? , ? ? , sin ?? ? ? ? 的值 1? ?2 ?
D E C

4 8.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 π, 半径为 18 cm 的扇形, 3 则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________ 9.在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 , E 是 CD 上一点,

??? ? ???? ??? ? ??? ? 且 AE ? AB ? 1 ,则 AE ? AC 的值为

A

B

第 9 题 图 10. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x ) 的最小正周期为 3 ,且 f (1) ? 1 ,

f ( 2) ?

2m ? 3 ,则 m 的取值范围是_________________ m?1
2

11.若 0 ? 2x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 x ? cos 2 x 成立的 x 的取值范围是 12.已知集合 U ? {1, 2, ?, n} , n ? N? .设集合 A 同时满足下列三个条件: ① A ? U ;②若 x ? A ,则 2x ? A ; ③若 x ? CU A ,则 2 x ? CU A . 当 n ? 7 时,满足条件的集合 A 的个数为______

13.对任意的 x1 ? 0 ? x2 ,若函数 f ( x) ? a x ? x1 ? b x ? x2 的大致图像为如图所示的一条折线(两侧的 射线均平行于 x 轴) ,试写出 a 、 b 应满足的 条件是 14.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? ? 为________________ x1
O

y

x2

x

第 13 题图

? an ? 1, n为奇数, 设 bn ? a2 n ? 2 ? a2 n ,则数列 {bn } 的通项公式 ? ?2an , n为偶数,

二、选择题(本大题满分 20 分,共 4 小题,每小题满分 5 分) 得分 评卷人 15.“ a 2 ? 1 ” 是“方程 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
4 3 2

x2 ? y 2 ? 1 表示椭圆”的 a2

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4 3

16.设 x ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1) ? b1 ( x ? 1) ? b2 ( x ? 1) ? b3 ( x ? 1) ? b4
2
1

定义 f (a1 , a 2 , a3 , a 4 ) ? (b1 , b2 , b3 , b4 ) ,则 f (4,3,2,1, ) 等于 A. (1,2,3,4) B. (0,3,4,0) C. (?1,0,2,?2) D. (0,?3,4,?1)

log b y2 ), 17.互不相等的三个正数 x1 , x 2 , x3 成等比数列, 且 P1( log a x1 , logb y1 ), P2( log a x2 ,

P3 (log a x3 , log b y3 ) 三点共线(其中 a ? 0 , a ? 1 , b ? 0 , b ? 1),则 y1 , y2 , y3
A. 等差数列,但不等比数列; C. 等比数列,也可能成等差数列 B. 等比数列而非等差数列 D. 既不是等比数列,又不是等差数列

18.设函数 f ( x) ? a1 ? sin(x ? ? 1 ) ? a 2 ? sin(x ? ? 2 ) ? ? ? a n ? sin(x ? ? n ) ,其中

? i (i ? 1,2,?, n, n ? N * , n ? 2) 为已知实常数, x ? R ,则下列命题中错误的是 ? A .若 f (0) ? f ( ) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 对任意实数 x 恒成立; 2 B .若 f (0) ? 0 ,则函数 f ( x) 为奇函数; ? C .若 f ( ) ? 0 ,则函数 f ( x) 为偶函数; 2 ? D .当 f 2 (0) ? f 2 ( ) ? 0 时,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 2k? (k ? Z ) . 2
三、解答题(本大题满分 74 分,共 5 小题) 19.(本题满分 12 分)第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分. 得分 评卷人 0 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ,且异面 直线 A1 B 与 B1C1 所成的角等于 60 ,设 AA1 ? a .
0

(1)求 a 的值; (2)设 D 是 B1C1 上的任意一点,求 D 到平面 A1 BC 的距离.

A1 B1

C1

A B 得分 评卷人 20.(本题满分 14 分)第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分. 已知函数 f ( x) ? sin

C

x x x cos ? 3 cos2 . 3 3 3

(1)将 f ( x) 写成 A sin(?x ? ? ) +B 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及此
2

时函数 f ( x) 的值域。

得分

评卷人

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 如图倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y ? 8 x 的焦点 F ,且与抛物线交于
2

A ,B 两点.
(1)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (2)若 ? 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P ,证明 FP ? FP cos 2? 为定值, 并求此定值.

y
l

A

y

?


F B
第 21 题图

P

x
m

得分

评卷人

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分 对 于 函 数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) , 如 果 存 在 实 数 a, b 使 得

h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) ,那么称 h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.
(1)下面给出两组函数, h( x ) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? lg

x , f 2 ( x) ? lg10 x, h( x) ? lg x ; 10

第二组: f1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1; (2)设 f1 ( x) ? log 2 x, f 2 ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ?1 ,生成函数 h( x ) .若不等式
2

3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围; 1 ( 3)设 f1 ( x) ? x ( x ? 0), f 2 ( x) ? ( x ? 0) ,取 a ? 0, b ? 0 ,生成函数 h( x) 图像的 x 最低点坐标为 (2, 8) . 若对于任意正实数 x1 , x2 且 x1 ? x2 ? 1 .试问是否存在最大的常数 m , 使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由.
2

得分

评卷人

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. (1)若等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 3 ? 2 ? a ,求实数 a 的值;
n

(2)对于非常数数列 ?an ? 有下面的结论:若数列 ?an ? 为等比数列,则 该数列的前 n 项和为 S n ? Aan ? B (A,B 为常数) .写出它的逆命题并判断真假,请说明 理由. (3) 若数列 ?an ? 为等差数列, 则该数列的前 n 项和为 Sn ? 写出你的结论,并说明理由.

n(a1 ? an ) . 对其逆命题进行研究, 2

参考答案
1 4

(1,2)

4 2 5 3

a ? ?3

15 3 4

?? ?, 1?
2 3

6

1

7

2 ? 2

8

9

2

1 0

?1 ? m ?

2 3

1 1

[0,

?

3 ] ? [ ?,?] 4 4

1 2

16

1 a ? b ? 0, a ? b ? 0 3 1 5 1 8 A D

1 n ?1 bn ? ?5 ? ?2 ? 4 1 6 D 1 7 C

19.(本题满分 12 分)第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分.

? ?A1 BC 就是异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角,
即 ?A1 BC ? 60 ,
0

(1)? BC // B1C1 ,

A1 B1

C1

? ?A1 BC 为等边三角形, ? A1 B ?

又连接 A1C , AB ? AC ,则 A1 B ? A1C 由 AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ? BC ?
0

2,
B

A

2 ? 1 ? a 2 ? 2 ? a ? 1。

C

(2)易知 B1C1 // 平面 A1 BC ,又 D 是 B1C1 上的任意一点, 所以点 D 到平面 A1 BC 的距离等于点 B1 到平面 A1 BC 的距离。 设其为 d ,连接 B1C , 则由三棱锥 B1 ? A1 BC 的体积等于三棱锥 C ? A1 B1 B 的体积,求 d ,

3 3 1 ? ( 2)2 ? , ?A1 BC 的面积 S ? ? , 4 2 2 3 1 1 3 所以 ? S ? AC ? ? S ? ? d ? d ? ,即 D 到平面 A1 BC 的距离等于 。 3 3 3 3

?A1 B1 B 的面积 S ?

20.(本题满分 14 分)第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分. (1) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin(2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 即对称中心的横坐标为 ? k?z 2
由 sin( (2)由已知 b2=ac, cos x ?

k?z

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

1 ? ? 2 x ? 5? ? cos x ? 1, 0? x? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? 2x ? 3 ?| ? |?| ? | ? sin ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? ) ? 1 ? 3 2 9 2 3 3 3 3 3 2 ?
即 f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ?

3 3 ? ] ,所以, x ? (0, ] , f ( x) 值域为 ( 3 ,1 ? ] 2 2 3

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. (1)设抛物线的标准方程为 y ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4 .
2

因此焦点 F ?

?p ? , 0 ? 的坐标为 (2, 0) , ?2 ?

y
l C

A

p . 2 从而所求准线的方程为 x ? ?2 . (2)解法一:如图作 AC ? l , BD ? l , 垂足分别为 C,D ,则由抛物线的定义知
又准线方程的一般式为 x ? ?

y

E

?


FA ? AC , FB ? BD .
记 A,B 的横坐标分别为 x A , xB ,

F B
第 21 题图

P

x
m

D

p p p 则 FA ? AC ? xA ? ? FA cos ? ? ? 2 2 2 4 ? FA cos ? ? 4 ,解得 FA ? . 1 ? cos ? 4 类似地有 FB ? 4 ? FB cos ? ,解得 FB ? . 1 ? cos ?
记直线 m 与 AB 的交点为 E ,则 FE ? FA ? AE ? FA ?

FA ? FB 2

?

1 ( FA ? FB ) 2

1? 4 4 ? 4 cos ? ? ? ? . ?? 2 ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? sin 2 ?
所以 FP ?

FE cos ?

?

4 . sin 2 ?

故 FP ? FP cos 2? ?

4 4 · 2sin 2 ? (1 ? cos 2 ? ) ? ?8. sin 2 ? sin 2 ?

解 法 二 : 设 A( x A,y A ) , B ( xB,yB ) , 直 线 AB 的 斜 率 为 k ? tan ? , 则 直 线 方 程 为

y ? k ( x ? 2) .
将此式代入 y ? 8 x 得 k x ? 4(k ? 2) x ? 4k ? 0 ,故 xA ? xB ?
2 2 2 2 2

4(k 2 ? 2) . k2

记直线 m 与 AB 的交点为 E ( xE,yE ) ,则 xE ?

xA ? xB 2( k 2 ?2) 4 , yE ? k ( xE ? 2) ? , ? 2 2 k k

故直线 m 的方程为 y ?

4 1? 2k 2 ? 4 ? ?? ?x? ?, k k? k2 ?

令 y ? 0 ,得点 P 的横坐标 x p ?

2k 2 ? 4 4(k 2 ? 1) 4 ? 4 ,故 . FP ? x ? x ? ? P E 2 2 k k sin 2 ?

4 4?2sin 2 ? 从而 FP ? FP cos 2? ? (1 ? cos 2? ) ? ? 8 为定值. sin 2 ? sin 2 ?
22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分

1 1 a ?b?1 x ? b lg10 x ? lg x ? a?b?0 ? a ? , b ? 2 2 10 所以 h( x ) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数
(1)① a lg

?
2

② 设 a( x ? x) ? b( x ? x ? 1) ? x ? x ? 1 ,即 (a ? b) x ? (a ? b) x ? b ? x ? x ? 1 ,
2 2 2 2

?a ? b ? 1 ? 则 ?a ? b ? ?1 ,该方程组无解.所以 h( x ) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. ?b ? 1 ?
(2) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x
2

若不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,
2

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 ,
即 t ? ?3h ( x) ? 2h( x) ? ?3log 2 x ? 2log 2 x
2 2

设 s ? log 2 x ,则 s ?[1, 2] , y ? ?3log 2 x ? 2log 2 x ? ?3s ? 2s ,
2 2

ymax ? ?5 ,故, t ? ?5 .

(3)由题意,得 h( x) ? ax ?

b b ( x ? 0) ,则 h( x) ? ax ? ? 2 ab x x

b ? ?a ? 2 8 ? 2a ? ? 8 2 ,解得 ? ,所以 h( x) ? 2 x ? ( x ? 0) ? x ?b ? 8 ? 2 ab ? 8 ?
假设存在最大的常数 m ,使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立. 于是设 u ? h( x1 )h( x2 ) ? 4( x1 ? =

4 4 64 x x )( x2 ? ) ? 4 x1 x2 ? ? 16( 1 ? 2 ) x1 x2 x1 x2 x2 x1

4 x1 x2 ?

2 x 2 ? x2 ( x ? x ) 2 ? 2 x1 x2 64 64 80 ? 16 ? 1 ? 4 x1 x2 ? ? 16 ? 1 2 ? 4 x1 x2 ? ? 32 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

令 t ? x1 x2 ,则 t ? x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 1 1 ) ? ,即 t ? (0, ] 2 4 4 80 1 设 u ? 4t ? ? 32 在 t ? (0, ] 上单调递减, 4 t 1 u ? u ( ) ? 289 ,故存在最大的常数 m ? 289 4

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. (1) a1 ? 6 ? a ,
n n ?1 n ?1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 = 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2

因为数列 {a n } 为等比数列,所以 a1 满足 a n 的表达式,即 6 ? a ? 3 ? 2 ,
0

a ? ?3
(2)逆命题:数列 {a n } 是非常数数列,若其前 n 项和 S n = Aan ? B ( A, B 为常数) ,则该 数列是等比数列 判断:是假命题。 理由一:直接举反例,当 A ? 0, B ? 0 时,数列 {a n } 为: B,0,0,0?? 故其前 n 项和满足 S n = Aan ? B ( A, B 为常数) ,但不是等比数列 理由二:用推理。 n ? 1时, a1 ? Aa1 ? B , (1 ? A)a1 ? B

B ; 1? A n ? 2 时, a n ? Aan ? Aan ?1 , ( A ? 1)a n ? Aan ?1 。

A ? 1时, B ? 0, a1 ? R ;

A ? 1时, a1 ?

A ? 1时, an?1 ? 0, (n ? 2) 与数列 {a n } 是非常数数列矛盾; a A ,当 A ? 1且 A ? 0 时,数列 {a n } 是等比数列, A ? 1时, n ? a n ?1 A ? 1 当 A ? 0 时,因为 B ? 0 ,所以数列 {a n } 是首项为非零实数,第二项起均为零
的数列,不是等比数列

(3)逆命题:若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ?

n(a1 ? a n ) ,则该数列是等差数列。 2

为真命题。 证明一: 2S n ? na1 ? nan ①, 2S n ?1 ? (n ? 1)a1 ? (n ? 1)a n ?1 ② 当 n ? 2 时, 2S n ?1 ? (n ? 1)a1 ? (n ? 1)a n?1 ③ ②-① 得:(n ? 1)a n ?1 ? nan ? a1 ④;①-③ 得:(n ? 1)a n ?1 ? (n ? 2)a n ? a1 ⑤ 由(④+⑤) /(n ? 1) ,得到: a n ?1 ? a n ?1 ? 2a n 即:当 n ? 2 时, a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ,数列 {a n } 是等差数列。 (说明,以上一个等式得 1 分) 证明二: n ? 3 时,由 2(a1 ? a 2 ? a3 ) ? 3a1 ? 3a3 ? 2a2 ? a1 ? a3 ,命题成立

k (a1 ? a k ) 时,数列 {a n } 是等差数列, 2 当 n ? k ? 1时, 2( S k ? a k ?1 ) ? (k ? 1)( a1 ? a k ?1 ) ,设 a k ? a1 ? (k ? 1)d
假设 n ? k , (k ? 3) , S k ? 则 (k ? 1)a k ?1 ? (k ? 1)( a1 ? kd)

a k ?1 ? a1 ? kd ,即当 n ? k ? 1时,命题成立
由数学归纳法可知,逆命题成立。


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