当前位置:首页 >> 数学 >>

2015届高考数学一轮总复习 4-6正弦定理和余弦定理


2015 届高考数学一轮总复习 4-6 正弦定理和余弦定理
基础巩固强化 一、选择题 1.(文)已知△ABC 中,a= 2、b= 3、B=60° ,那么角 A 等于( A.135° C.45° [答案] C a b [解析] 由正弦定理得, = , sinA sinB asinB 2sin60° 2 sinA= = = , b 2 3 又∵a<b,∴A<B,

故 A=45° ,选 C. π (理)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c, 已知 A= , a= 3, b=1, 则 c 等于( 3 A.1 C. 3-1 [答案] B [解析] 解法 1:由正弦定理 a b 3 1 = 得, = , sinA sinB π sinB sin 3 B.2 D. 3 ) B.90° D.30° )

1 ∴sinB= ,故 B=30° 或 150° . 2 由 a>b 得 A>B,∴B=30° . 故 C=90° ,由勾股定理得 c=2,选 B. π 解法 2:由余弦定理知,3=c2+1-2ccos , 3 即 c2-c-2=0,∴c=2 或-1(舍去). 2.(文)(2014· 莲塘一中质检)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a=1,c= 4 2,B=45° ,则 sinC 等于( 4 A. 41 4 C. 25 [答案] B [解析] 依题意得 b= a2+c2-2accosB=5, 又 c b csinB 4 2sin45° 4 = ,所以 sinC= = = ,选 B. sinC sinB b 5 5 ) 4 B. 5 4 41 D. 41

(理)在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且 sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,
1

则角 C 等于( π A. 6 5π C. 6 [答案] B

) π B. 3 2π D. 3

[解析] 由正弦定理得 a2-c2=(a-b)· b=ab-b2, a2+b2-c2 1 由余弦定理得 cosC= = , 2ab 2 π ∵0<C<π,∴C= . 3 3.(文)(2013· 浙江调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 sin2B+sin2C-sin2A +sinBsinC=0,则 tanA 的值是( A. 3 3 ) B.- 3 3

C. 3 [答案] D

D.- 3

b2+c2-a2 -bc [解析] 依题意及正弦定理可得, b +c -a =-bc, 则由余弦定理得 cosA= = = 2bc 2bc
2 2 2

1 2π 2π - ,又 0<A<π,所以 A= ,tanA=tan =- 3,选 D. 2 3 3 (理)(2013· 浙江宁波十校联考)在△ABC 中,a2tanB=b2tanA,则角 A 与角 B 的关系是( A.A=B C.A=B 或 A+B=90° [答案] C [解析] 由已知条件 a2tanB=b2tanA?sin2A=sin2B,因为 A,B 为三角形内角,所以有 2A=2B 或 2A+2B=180° ,即 A=B 或 A+B=90° .学生容易错选 D,即 A=B 且 A+B=90° . c 4. (2013· 合肥二检)△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若 <cosA, 则△ABC 为( b A.钝角三角形 C.锐角三角形 [答案] A sinC [解析] 依题意得 <cosA,sinC<sinBcosA,所以 sin(A+B)<sinBcosA,即 sinBcosA+cosBsinA sinB -sinBcosA<0,所以 cosBsinA<0.又 sinA>0,于是有 cosB<0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形,选 A. 5.(文)(2013· 浙江五校第二次联考)若△ABC 的内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,且 a=1,∠ B=45° ,S△ABC=2,则 b=( A.5
2

)

B.A+B=90° D.A=B 且 A+B=90°

)

B.直角三角形 D.等边三角形

) B.25

C. 41 [答案] A

D.5 2

1 [解析] 解法 1:由 S△ABC= acsin45° =2?c=4 2, 2 再由余弦定理可得 b=5. 解法 2:作三角形 ABC 中 AB 边上的高 CD, 在 Rt△BDC 中求得高 CD= 2 ,结合面积求得 2

7 2 AB=4 2,AD= ,从而 b= AD2+CD2=5. 2 (理)(2013· 呼和浩特第一次统考)在△ABC 中,如果 sinA= 3sinC,B=30° ,角 B 所对的边长 b =2,则△ABC 的面积为( A.4 [答案] C [解析] 据正弦定理将角化边得 a= 3c,再由余弦定理得 c2+( 3c)2-2 3c2cos30° =4,解得 c 1 =2,故 S△ABC= ×2×2 3×sin30° = 3. 2 6.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30° , △ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 [答案] C [解析] 1 1 acsinB= ,∴ac=2, 2 2 ) B.3+ 3 D.2+ 3 B.1 ) C. 3 D.2

又 2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, 3+ 3 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= . 3 二、填空题 7.(2014· 弋阳一中月考)在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶点 B 在 sinA+sinC x2 y2 椭圆 + =1 上,则 的值为________. 4 3 sinB [答案] 2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA 由正弦定理得 = =2. sinB AC 8.(2014· 江西四校联考)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 c=3,C π = ,a=2b,则 b 的值为________. 3
3

[答案]

3

π [解析] 依题意及余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,即 9=(2b)2+b2-2×2b×bcos ,解得 b2 3 =3,∴b= 3. 2 6 9.(文)(2012· 石家庄质检)在△ABC 中,∠A=60° ,BC=2,AC= ,则∠B=________. 3 [答案] 45° [解析] 利用正弦定理可知: BC AC = , sinA sinB

2 6 3 2 2 即 = ,∴sinB= , sin60° sinB 2 2 6 ∵2> ,∴BC>AC,∴∠A>∠B,∴∠B=45° . 3 (理)(2012· 北京西城区期末)在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 b= 5,B π = ,tanC=2,则 c=________. 4 [答案] 2 2 sin2C+cos2C=1 ? ? 4 2 5 b c sinC ??sin2C=5?sinC= 5 .由正弦定理, 得 = , ∴c= ×b sinC sin B sin C sinB tanC=2? =2? cosC ?

[解析] =2 2.

三、解答题 10. (文)(2012· 浙江文, 18)在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且 bsinA= 3acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a、c 的值. a b [解析] (1)由 bsinA= 3acosB 及 = 得, sinA sinB sinB= 3cosB, π 所以 tanB= 3,因为 0<B<π,所以 B= . 3 a c (2)由 sinC=2sinA 及 = 得,c=2a.① sinA sinC 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得, 9=a2+c2-ac.② 由①、②得 a= 3,c=2 3. [点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识,同时考查运算求解能力. cosA-3cosC (理)(2013· 浙江省名校联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosB

4

3c-a = . b (1)求 sinC 的值; sinA

(2)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围. [解析] (1)由正弦定理,设 a b c = = =k, sinA sinB sinC

3c-a 3ksinC-ksinA 3sinC-sinA 则 = = , b ksinB sinB cosA-3cosC 3sinC-sinA 所以 = , cosB sinB 即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C). sinC 又 A+B+C=π,所以 sinC=3sinA,因此 =3. sinA (2)由 sinC =3 得 c=3a. sinA

?a+c>b ? 由题意知? 2 2 2 ,又 b=10, ? ?a +c <b

5 所以 <a< 10. 2 能力拓展提升 一、选择题 π 11.(文)(2013· 东北三省四市二联)若满足条件 AB= 3,C= 的三角形 ABC 有两个,则边长 BC 3 的取值范围是( A.(1, 2) C.( 3,2) [答案] C [解析] 解法一:若满足条件的三角形有两个,则 BC=2sinA, 所以 3<BC<2,故选 C. π 解法二:由条件知,BCsin < 3<BC,∴ 3<BC<2. 3 (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2,b=2 2,且三角形有两解,则 角 A 的取值范围是( π 0, ? A.? ? 4? ) π π? B.? ?4,2? 3 BC AB =sinC<sinA<1,又因为 = =2,故 2 sinA sinC ) B.( 2, 3) D.( 2,2)

5

π 3π? C.? ?4, 4 ? [答案] A [解析] 由条件知 bsinA<a,即 2 2sinA<2, ∴sinA< 2 , 2

π π? D.? ?4,3?

π ∵a<b,∴A<B,∴A 为锐角,∴0<A< . 4 12.(文)(2013· 浙江金丽衢十二校二联)在△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的 边,且 b2+c2=a2+ 3bc,则 2sinBcosC-sin(B-C)的值为( A. C. 3 3 2 2 B. 3 2 )

1 D. 2

[答案] D b2+c2-a2 3bc 3 π 5π [解析] 利用余弦定理, 得 cosA= = = , 又 A∈(0, π), 所以 A= , B+C= , 2bc 2bc 2 6 6 所以 2sinBcosC-sin(B-C)=sinBcosC+cosBsinC 1 =sin(B+C)= . 2 (理)(2013· 浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b2+ c2-a2= 3bc 且 b= 3a,则△ABC 不可能 是( ... A.等腰三角形 C.直角三角形 [答案] D b2+c2-a2 3 π b sinB [解析] 由 cosA= = , 可得 A= , 又由 b= 3a 可得 = =2sinB= 3, 可得 sinB 2bc 2 6 a sinA = 3 π 2π π 2π π ,得 B= 或 B= ,若 B= ,则△ABC 为直角三角形;若 B= ,C= =A,则△ABC 为钝 2 3 3 3 3 6 ) B.钝角三角形 D.锐角三角形

角三角形且为等腰三角形,由此可知△ABC 不可能为锐角三角形,故应选 D. → → → 3 21 B. 4 D.3 21 → ) 13.(2014· 大城一中月考)在△ABC 中,AC· AB=|AC-AB|=3,则△ABC 面积的最大值为( A. 21 C. 21 2

[答案] B → → → → [解析] 设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,∵AC· AB=|AC-AB|=3,∴bccosA=a=3.又

6

b2+c2-a2 9 3cosA 2 21 1 cosA= ≥1- =1- ,∴cosA≥ ,∴0<sinA≤ ,∴△ABC 的面积 S= bcsinA= 2bc 2bc 2 5 5 2 3 3 21 3 21 3 21 tanA≤ × = ,故△ABC 面积的最大值为 . 2 2 2 4 4 二、填空题 14.(文)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2, 则∠A 的大小为________. [答案] π 6

π [解析] ∵sinB+cosB= 2sin(B+ )= 2, 4 π ∴sin(B+ )=1, 4 π ∵0<B<π,∴B= , 4 b a asinB ∵ = ,∴sinA= = sinB sinA b π ∵a<b,∴A<B,∴A= . 6 → → A 2 5 (理)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 cos = ,AB· AC=3,则 2 5 △ABC 的面积为________. [答案] 2 → → 3 4 2 [解析] 依题意得 cosA=2cos -1= ,∴sinA= 1-cos A= ,∵AB· AC=AB· AC· cosA=3,∴ 2 5 5
2A



2 2 1 = , 2 2

1 AB· AC=5,∴△ABC 的面积 S= AB· AC· sinA=2. 2 a b 15.在△ABC 中,C=60° ,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,则 + =________. b+c c+a [答案] 1 [解析] ∵C=60° ,∴a2+b2-c2=ab, ∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), ∴ a b + =1. b+c a+c

三、解答题 16.(文)已知 A、B、 C 分别为△ABC 的三边 a、b、 c 所对的角, 向量 m=(sinA,sinB),n=(cosB, cosA),且 m· n=sin2C. (1)求角 C 的大小;

7

→ →



(2)若 sinA、sinC、sinB 成等差数列,且CA· (AB-AC)=18,求边 c 的长. [解析] (1)m· n=sinA· cosB+sinB· cosA=sin(A+B). 在△ABC 中,由于 sin(A+B)=sinC. ∴m· n=sinC. 又∵m· n=sin2C, ∴sin2C=sinC,∴2sinCcosC=sinC. 1 π 又 sinC≠0,所以 cosC= .而 0<C<π,因此 C= . 2 3 (2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列得, 2sinC=sinA+sinB, 由正弦定理得,2c=a+b. → → → → → ∵CA· (AB-AC)=18,∴CA· CB=18. 1 即 abcosC=18,由(1)知,cosC= ,所以 ab=36. 2 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-3ab. ∴c2=4c2-3×36,∴c2=36.∴c=6. → → 3 (理)(2013· 江西省七校联考)已知在△ABC 中,C=2A,cosA= ,且 2BA· CB=-27. 4 (1)求 cosB 的值; (2)求 AC 的长度. 1 [解析] (1)∵C=2A,∴cosC=cos2A=2cos2A-1= , 8 3 7 7 ∴sinC= ,sinA= . 8 4 ∴cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC = 7 3 7 3 1 9 × - × = . 4 8 4 8 16 AB BC 3 = ,∴AB= BC. sinC sinA 2

(2)∵

9 ∵2BA· CB=-27,cosB= , 16 → → ∴|BA||CB|=24, ∴BC2=16,AB=6, ∴AC= BC2+AB2-2BC· AB· cosB

→ →

8



9 16+36-2×4×6× =5. 16

考纲要求 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 补充说明 1.求解三角形中的三角函数问题的技巧 解三角形问题的两重性:①作为三角形问题,它必须要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦 定理及其有关三角形的性质,及时进行边角转化,有利于发现解题的思路:②它毕竟是三角变换, 只是角的范围受到了限制,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的,注意“三统一”(即“统一 角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口. 2.在解斜三角形的问题中,有时所给问题在一个多边形中,需将多边形分割成三角形,有时在 同一个图形中有几个三角形,解题时要先分析条件,将已知和待求量归结到一个可解的三角形中, 如果不能归到同一个三角形中,则应看待求量需要在哪个三角形中解决,这个三角形中的哪个量与 已知条件所在的三角形共用,先解可解的三角形求出这个量或建立方程求解. 备选习题 1.(2013· 杭州第二次质检)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积 15 3 为 ,b+c=8,A=120° ,则 a=( 4 A.7 C.5 [答案] A 1 1 3 3 15 3 [解析] 由已知条件可得 S△ABC= bcsinA= bc× = bc= ,得 bc=15,又由 b+c=8 2 2 2 4 4 可得 a= b2+c2-2bccosA= ?b+c?2-2bc+bc= 64-15=7,故应选 A. b-c-a 2.(2013· 沈阳二中四模)在△ABC 中,A=120° ,b=1,面积为 3,则 =( sinB-sinC-sinA 2 39 A. 3 C.2 7 [答案] C 1 1 [解析] ∵S= bcsinA= csin120° = 3,∴c=4, 2 2 ∴a= b2+c2-2bccosA= 1 17+8× = 21, 2 B. 39 3 ) ) B.3 3 D.3

D.4 7

9

b-c-a a 21 ∴ = = =2 7,故应选 C. sinB-sinC-sinA sinA 3 2 5 4 3.在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,则 cosC=________. 13 5 33 [答案] - 65 4 [解析] 由 cosB= 得, 5 3 5 sinB= > =sinA, 5 13 12 ∴b>a,即 B>A,∴A 为锐角,∴cosA= , 13 ∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 5 3 12 4 33 = × - × =- . 13 5 13 5 65 4.(2012· 天津文,16)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 a=2,c= 2, cosA=- 2 . 4

(1)求 sinC 和 b 的值; π (2)求 cos(2A+ )的值. 3 [分析] (1)由 cosA=- 2 及 0<A<π,sin2A+cos2A=1 可求 sinA,再由正弦定理求 sinC,由余弦 4

定理 a2=b2+c2-2bccosA, 可求 b 的值. (2)由(1)知道 sinA, cosA, 用正弦、 余弦二倍角公式求 sin2A, π cos2A,展开 cos(2A+ )代入即可. 3 [解析] (1)在△ABC 中, 由 cosA=- 2 14 ,可得 sinA= . 4 4

a c 7 又由 = 及 a=2,c= 2,可得 sinC= . sinA sinC 4 由 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+b-2=0, 因为 b>0,故解得 b=1. 所以 sinC= 7 ,b=1. 4 2 14 ,sinA= 得, 4 4

(2)由 cosA=-

3 cos2A=2cos2A-1=- , 4 sin2A=2sinAcosA=- 7 . 4
10

π π π 所以,cos(2A+ )=cos2Acos -sin2Asin 3 3 3 -3+ 21 = . 8 5.(2012· 新课标全国文)已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、B、C 的对边,c= 3asinC- ccosA. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b、c. [分析] (1)已知 c= 3asinC-ccosA,求角 A,注意到等式中的三项都含有 c 或 sinC,故可用正 弦定理化边为角,约去 sinC(sinC≠0)得到角 A 的关系式,再结合 0<A<π,求出角 A. (2)可结合角 A 的值, 选择合适的△ABC 的面积公式, 建立关于 b、 c 的方程组, 解得 b、 c 的值. 已 1 知 a 和 S△ABC 及角 A,可选择面积公式 S△ABC= bcsinA,再结合余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,建立 2 b 与 c 的方程组解之. [解析] (1)由 c= 3asinC-ccosA 及正弦定理得, 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. π 1 由于 sinC≠0,所以 sin(A- )= . 6 2 π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsinA= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. [点评] 本题考查解三角形的有关知识, 该类问题在已知条件中如果涉及到边角关系时, 经常考 虑边角互化,另外还要注意三角形面积公式的合理选择.

11


相关文章:
2015高考数学(人教a版)一轮作业:4-6正弦定理和余弦定理
2015高考数学(人教a版)一轮作业:4-6正弦定理和余弦定理_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2015高考数学(人教a版)一轮作业:4-6正弦定理和...
2015届高三数学第一轮复习《正弦定理和余弦定理》讲义
2015届高三数学一轮复习正弦定理和余弦定理》讲义_数学_高中教育_教育专区。...(3)在△ABC 中,若 a=50,b=25 6,A=45° ,则 B=___ (4)在△ABC ...
【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:4-6正弦定理和余弦定理
【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:4-6正弦定理和余弦定理_高中教育_教育专区。【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:4-6正弦定理和余弦定理时间...
2015届高考人教A版数学(理)总复习配套题库:第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理 Word版含解析]
2015届高考人教A版数学(理)总复习配套题库:第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2015届高考人教A版数学(理)总复习配套题库:第...
2015届高三数学第一轮复习《正弦定理和余弦定理》
2015届高三数学一轮复习正弦定理和余弦定理》_数学_高中教育_教育专区。2015 届高三数学一轮复习 正弦定理和余弦定理 自主梳理 1.正弦定理:___=___=__...
《2016南方新高考》理科数学高考大一轮总复习同步训练 4-6正弦定理与余弦定理
《2016南方新高考》理科数学高考大一轮总复习同步训练 4-6正弦定理与余弦定理_高中教育_教育专区。第 6 讲 正弦定理与余弦定理 A 级训练 (完成时间:15 分钟) ...
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-6正弦定理和余弦定理 新人教A版
【走向高考】(2013春季发行)高三数学一轮总复习 4-6正弦定理和余弦定理 新人教A版 隐藏>> 4-6 正弦定理和余弦定理基础巩固强化 1.(2011·重庆理)若△ABC ...
《备战2014数学高考》2014_高三数学(人教A版)总复习同步练习4-6正弦定理和余弦定理
《备战2014数学高考》2014_高三数学(人教A版)总复习同步练习4-6正弦定理和余弦定理 隐藏>> [键入文字] 2014 年高三数学一轮复习(新课标) 4-6 正弦定理和余弦...
2014年高考数学二轮复习巩固练习:4-6正弦定理和余弦定理
2014年高考数学二轮复习巩固练习:4-6正弦定理和余弦定理_高考_高中教育_教育专区...2011届高考数学二轮复习... 44页 免费 2015届高考数学一轮复习... 暂无评价 ...
更多相关标签: