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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第四节 直线、平面平行的判定与性质课件 理 新人教A版


第四

节直线、平面平行的判定与性质

1.直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 判 平面外一条直线与 这个平 定 面内 的一条直线平行,则 定 该直线与此平面平行(线线 理 平行?线面平行) 性 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面 质 交线 与此平面的 与该直线 定 平行(简记为“线面平行? 理 线线平行”)

图形语言

符号语言 ∵ l∥ a , a?α ,

l?α ,∴ l∥α
∵ l∥ α , l?β , α∩β=b ∴ l∥ b



2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 一个平面内的两条 相交直线 与另一个 判定 平面平行,则这两 定理 个平面平行(简记为 “线面平行?面面 平行”) 如果两个平行平面 性质 同时和第三个平面 定理 相交,那么它们的 交线 平行

图形语言

符号语言 ∵ a∥β , b∥β , a∩b=P , a?α , b?α , ∴ α∥ β ∵ α∥ β , α∩γ=a , β∩γ=b , ∴a∥b

1.直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条 件.

2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.
3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认 为这两个平面平行,实质上也可以相交.

[试一试]

1.下列说法中正确的是

(

)

①一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数 条直线平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面 内的任何直线无公共点;③过直线外一点,有且仅有一个平 面和已知直线平行;④如果直线l和平面α平行,那么过平面 α内一点和直线l平行的直线在α内.

A.①②③④ C.②④

B.①②③ D.①②④

解析:由线面平行的性质定理知①④正确;由直线与平面平行的 定义知②正确;③错误,因为经过一点可作一直线与已知直线平 行,而经过这条直线可作无数个平面.

答案:D

2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出 下列四个命题: ①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α; ②若m∥l,且m∥α,则l∥α; ③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n; ④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m. 其中正确命题的个数是 ( )

A.1 C.3

B. 2 D.4

解析:易知①正确;②错误,l 与 α 的具体关系不能确定;③错 误,以墙角为例即可说明;④正确,可以以三棱柱为例说明.故 选B .

1.转化与化归思想——平行问题中的转化关系

2.判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行, 因此掌握线面平行的判 定方法是必要的,判定线面平行的两种方法:
(1)利用线面平行的判定定理;

(2)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面 内的任一直线平行于另一平面.

[练一练] 1.a、b、c 为三条不重合的直线,α、β、γ 为三个不重合的平面,
现给出四个命题 α∥c? α∥γ? ? ? ??α∥β ② ??α∥β ① β∥c ? β∥γ ? ? ? α∥c? a∥γ ? ? ? ? ??α∥a ③ ?a∥α ④ a∥ c ? α∥γ? ? ? 其中正确的命题是 A.①②③ B.①④ C.② D.①③④ ( )

解析:②正确.①错在 α 与 β 可能相交.③④错在 a 可能在 α 内.

答案:C

2.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点, 点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件______ 时,有MN∥平面B1BDD1.
解析:由平面HNF∥平面B1BDD1知, 当M点满足在线段FH上有MN∥平面 B1BDD1.

答案:M∈线段FH

1.有互不相同的直线m,n,l和平面α,β,给出下列四个命题: ①若m?α,l∩α=A,A?m,则l与m不共面; ②若m,l是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α; ③若m,n是相交直线,m?α,m∥β,n?α,n∥β,则α∥β; ④若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m. 其中真命题有 A.4个 C.2个 B.3个 D.1个 ( )

解析:由异面直线的判定定理,易知①是真命题;由线面平行 的性质知,存在直线 l′?α,m′?α,使得 l∥l′,m∥m′, ∵m,l 是异面直线,∴l′与 m′是相交直线,又 n⊥l,n⊥m, ∴n⊥l′,n⊥m′,故 n⊥α,②是真命题;由线面平行的性质 和判定知③是真命题;满足条件 l∥α,m∥β,α∥β 的直线 m, l 或相交或平行或异面,故④是假命题,于是选 B .

2.(2013· 济宁模拟)过三棱柱ABC A1B1C1的任意两条棱的中点 作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
解析:过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故 符合题意的直线共6条.
答案:6

[类题通法] 解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意事项
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件, 如线面平行的判定 定理中条件线在面外易忽视.
(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.

[典例]

(2013· 新课标Ⅱ)如图,直三棱

柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的 中点.

(1)证明:BC1∥平面 A1CD;
(2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求 三棱锥 CA1DE 的体积.

提示:见中点,想中位线,连AC1交A1C于点F,得中位 线 [. 解] (1)证明:连接AC 交A C于点F,则F为AC 中点.
1 1 1

又D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面 A1CD.

提示:解答本题关键是找三棱锥的高,可证明CD是该 三棱锥底面A1DE上的高.
(2)因为 ABC?A 1B 1C1 是直三棱柱, 所以 AA 1⊥CD.由已知 AC =CB ,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB .又 AA 1∩AB =A ,于是 CD⊥平面 ABB 1A 1. 由 AA 1=AC=CB =2,AB =2 2得 ∠ACB =90°,CD= 2,A 1D= 6,DE = 3,A 1E =3, 故 A 1D2+DE 2=A 1E 2,即 DE ⊥ A 1D. 1 1 所以 V C?A 1DE = × × 6× 3× 2=1. 3 2

在本例条件下,线段BC1上是否存在一点M使得 DM∥平面A1ACC1?
解:存在.当M为BC1的中点时成立. 证明如下:连接DM,在△ABC1中, D,M分别为AB,BC1的中点 1 ∵DM綊 AC1,又DM?平面A1ACC1 2 AC1?平面A1ACC1,∴DM∥平面A1ACC1.

[类题通法]

证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与 已知直线平行的直线;

(2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的 性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;
(3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可.

[针对训练]
(2014· 长春三校调研)如图, 已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯 形,AB∥CD,∠DAB=90° ,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD= 1 DC= AB=1,M 是 PB 的中点. 2
(1)求证:AM=CM; (2)若 N 是 PC 的中点,求证:DN∥平面 AMC.

1 证明:(1)∵在直角梯形ABCD中,AD=DC= AB=1, 2 ∴AC= 2,BC= 2, ∴BC⊥AC,又PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD, ∴BC⊥PA,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC. 1 在Rt△PAB中,M为PB的中点,则AM= PB, 2 1 在Rt△PBC中,M为PB的中点,则CM= PB,∴AM=CM. 2

1 1 (2)如图,连接DB交AC于点F,∵DC綊 AB,∴DF= FB. 2 2

取PM的中点G,连接DG,FM,则DG∥FM, 又DG?平面AMC,FM?平面AMC,∴DG∥平面AMC. 连接GN,则GN∥MC,GN?平面AMC,MC?平面AMC. ∴GN∥平面AMC,又GN∩DG=G,∴平面DNG∥平面 AMC,又DN?平面DNG,∴DN∥平面AMC.

[典例]

(2013· 陕西高考)如图,四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底

面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1 = 2.

(1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1;

思考:证明面面平行有哪些方法?
(2)求三棱柱 ABDA1B1D1 的体积.

思考:求棱柱体积有哪些方法?

[解 ]

(1)证明:由题设知,BB1綊DD1,∴四边形BB1D1D

是平行四边形,∴BD∥B1D1. 又BD 平面CD1B1,∴BD∥平面CD1B1. ∵A1D1綊B1C1綊BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,

∴A1B∥D1C. 又A1B 平面CD1B1,∴A1B∥平面CD1B1. 又∵BD∩A1B=B,∴平面A1BD∥平面CD1B1.

(2)∵A1O⊥平面ABCD, ∴A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高. 1 又∵AO= AC=1,AA1= 2, 2
2 ∴A1O= AA1 -OA2=1.

1 又∵S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴VABDA1B1D1=S△ABD×A1O=1.

[类题通法]

判断面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理;

(2)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ?α∥γ); (3)利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β?α∥β).

[针对训练]
如图,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面是正方形,E,F, G 分别是棱 B1B,D1D,DA 的中点.求证:

(1)平面 AD1E∥平面 BGF;

(2)D1E⊥AC.

证明:(1)∵E,F分别是B1B和D1D的中点, ∴D1F綊BE.

∴四边形BED1F是平行四边形,∴D1E∥BF; 又∵D1E?平面BGF,BF?平面BGF, ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线,∴FG∥AD1;

又AD1?平面BGF,FG?平面BGF, ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E=D1,∴平面AD1E∥平面BGF. (2)连接BD,B1D1,∵底面是正方形,∴AC⊥BD. ∵D1D⊥AC,D1D∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1B1. ∵D1E?平面BDD1B1,∴D1E⊥AC.

[ 课堂练通考点] 1.已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:
①若a∥b,b?α,则a∥α; ②若a∥b,a∥α,则b∥α; ③若a∥α,b∥α,则a∥b. 其中真命题的个数是 A.0 C.2 B. 1 D.3 ( )

解析:对于①,若 a∥b,b? α,则应有 a∥α 或 a? α,所以 ①不正确;对于②,若 a∥b,a∥α,则应有 b∥α 或 b? α, 因此②不正确;对于③,若 a∥α,b∥α,则应有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面,因此③是假命题.综上,在空间中, 以上三个命题都是假命题.

答案:A

2.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点, M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP 的图形的序号是 ( )

A.①③ C.①④

B.②③ D.②④

解析:对于图形①,平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行, 即可得到 AB∥平面 MNP;对于图形④,AB∥PN,即可得 到 AB∥平面 MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都 无法证明线面平行,故选 C .

3.(2014· 济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a?α,a∥β

)

C.存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析:若 α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,则 a∥α,a∥β,故排
除 A.若 α∩β=l,a?α,a∥l,则 a∥β,故排除 B.若 α∩β =l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除 C. 故选D .

4.如图所示,在四面体 ABCD 中,M,N 分别是 △ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面 中与 MN 平行的是________.

解析:连接AM并延长,交CD于E,连接BN,并延长交CD 于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的 EM EN 1 中点E,由 MA = NB = ,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC 2 且MN∥平面ABD
答案:平面ABC、平面ABD

5.如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB, AC,A1B1,A1C1 的中点,求证:

(1)B,C,H,G 四点共面;

(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明:(1)∵GH是△A1B1C1的中位线, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC. ∴B,C,H,G四点共面.

(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC. ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB,∴四边形A1EBG是平行四边形.

∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.


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