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2008年浙江省高中数学竞赛试题(含答案)


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2008 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题 (本大题满分 36 分,每小题 6 分)
1.已知集合 A ? y y ? x 2 ? 1, x ? R , B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则下列正确的是( A. A ? B ? ? y y ? 1? , C. A ? B ? ? y ? 2 ? y ? 1? 2.当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ?
x lg x

?

?

?

?



B. A ? B ? ? y y ? 2 ? D. A ? B ? ? y y ? 2 或 y ? ? 1? ,则下列大小关系正确的是( )

A. f 2 ( x ) ? f ( x 2 ) ? f ( x ) C.
f ( x) ? f ( x ) ? f ( x)
2 2

B. f ( x 2 ) ? f 2 ( x ) ? f ( x ) D. f ( x 2 ) ? f ( x ) ? f 2 ( x ) )

3.设 f ( x ) 在 [0,1] 上有定义,要使函数 f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) 有定义,则 a 的取值范围为(
1 1 1 , ]; 2 2 1 1 1

A. ( ? ? , ? ) ;
2

B. [ ?

C. ( , ?? ) ;
2

D. ( ?? , ? ] ? [ , ?? )
2
??? ? ??? ? ??? ?

2
??? ? ??? ?

4.已知 P 为三角形 ABC 内部任一点(不包括边界) ,且满足 ( P B ? P A )( P B ? P A ? 2 P C ) ? 0 ,则 △ABC 一定为( ) A.直角三角形; B. 等边三角形;

C. 等腰直角三角形;

D. 等腰三角形

5.已知 f ? x ? ? x 2 ? ? a 2 ? b 2 ? 1 ? x ? a 2 ? 2 ab ? b 2 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵坐标的最 大值是( A. 2 ) B. 2 C. 2 2 D. 4

6.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点,动点 P 在圆锥底 面内(包括圆周) 。若 AM⊥MP,则 P 点形成的轨迹的长度为( ) A.
7

B.

7 2

C. 3

D.

3 2

二、填空题 (本题满分 54 分,每小题 9 分)
7. cos( 1 ?
x ? 5x ? 7 ?
2

x ? 5x ? 6) =
2


b a?c?d ? c a?b?d ? d a?b?c

8.设 a , b , c , d 为非负实数,满足
a?b c?d ? b?c a?d ? c?d a?b ? d ?a b?c

a b?c?d

?

,则





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9.设 f ( x ) ?

1 1? 2
lg x

?

1 1? 4
lg x

?

1 1? 8
lg x

,则 f ( x ) ? f ( ) ? _________ 。
x

1

10. 设实系数一元二次方程 x 2 ? ax ? 2 b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根 在区间 (1, 2) 内,则
b?4 a ?1

的取值范围是
x s in ? ? s in ? y


x c o s ? ? sin ? y cos ? ? cos ?

11.已知 ? , ? ? R ,直线

?

s in ? ? c o s ?

? 1与

?

?1

的交点在直线 y ? ? x 上,则 s in ? ? cos ? ? sin ? ? c o s ? ?



12.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时, 顶点 A 正好落在边 BC 上。AD 的长度的最小值为 。

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 ) 得分 评卷人
13.已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0 ) ,其离心率为

4 5

,两准线之间的距离为

25 2



(1)求 a , b 之值; (2)设点 A 坐标为(6, 0),B 为椭圆 C 上的动点,以 A 为直角 顶点,作等腰直角△ABP(字母 A,B,P 按顺时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方 程。

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得分

评卷人

14.求解不等式 x ? a ? x ? 1 ? 1 。
2

得分

评卷人

15.设非负等差数列 ? a n ? 的公差 d ? 0 ,记 S n 为数列 ? a n ? 的前 n 项和, 证明: 1)若 m , n , p ? N * ,且 m ? n ? 2 p ,则
1 Sm ? 1 Sn ? 2 Sp



2)若 a 5 0 3 ?

1 1005

,则 ?

2007

1 Sn

? 2008 。

n ?1

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四、附加题(本大题满分 50 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。选考 B 卷的学生选做本大题,不计入总分。 )
16 . 设 ? 1 , ? 2 ,? , ? 2 0 0 为 2008 个 整 数 , 且 1 ? ? i ? 9 ( i ? 1, 2, ? , 2008 ) 如 果 存 在 某 个 。 8
k ? {1, 2, ? , 2008} ,使得 2008 位数 ? k ? k ? 1 ? ? 2 0 0 8? 1 ? ? k ? 1 被 101 整除,试证明:对一切 i ? {1, 2, ? , 2008} ,2008 位数 ? i? i ?1 ? ? 2008? 1 ? ? i ?1 均能被 101 整除。

17. 将 3k 为正整数) (k 个石子分成五堆。 如果通过每次从其中 3 堆中各取走一个石子, 而最后取完, 则称这样的分法是“和谐的” 。试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明。

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