河北省衡水中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题

2014~2015 学年度下学期高一年级期末考试 理科数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1、与直线 y ?

1 x ? 3 平行且过点 (0, ?1) 的直线方程为（ 2
B． x ? 2 y ? 2 ? 0

） D． 2 x ? y ? 1 ? 0 ）

A． 2 x ? y ? 1 ? 0

C． x ? 2 y ? 2 ? 0

2、若点 (1, ?1) 在圆 x2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 外，则 m 的取值范围是（ A． m ? 0 B． m ?

1 2

C． 0 ? m ?

1 2

D． 0 ? m ?

1 2
）

3、点 P 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上， O 为原点，则 OP 的最小值为（ A．2 B． 6 C． 10 D． 2 2

4、圆 x2 ? y 2 ? 2 x ?1 ? 0 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是（ A． ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2
2 2

）

B． ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2
2 2

C． ( x ? 3) ? ( y ? 4) ?
2 2

1 2

D． ( x ? 3) ? ( y ? 4) ?
2 2

1 2
2 2

5、点 M (a, b) 在圆 x ? y ? 1内，则直线 ax ? by ? 1与圆 x ? y ? 1的位置关系是（
2 2

）

A．相交
2

B．相切
2

C．相离
2

D．不确定
2

6、两圆 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4 与 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9 的公切线有（ A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
?

）

7 、在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中侧棱垂直于底面， ?ACB ? 90 , ?BAC ? 30 , BC ? 1 ，且三棱柱
?

ABC ? A1B1C1 的体积为 3，则三棱柱 ABC ? A1B1C1 的为接球的表面积为（
A． 16? B． 2 3 C． ? D． 32?
2 2

）

8、点 P 是直线 3x ? y ? 10 ? 0 上的动点，PA、PB 与圆 x ? y ? 4 分别相切于 A、B 两点，则四边 形 PAOB 面积的最小值为（ ）

A． 6

B．2

C． 2 6

D．4 ）

2 9、直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且只有一个交点，则 b 的取值范围是（

A．b ? 2

?1 ? b ? 1 或 b ? ? 2 B．

?1 ? b ? 1 或 b ? ? 2 C．
）

?1 ? b ? 1 D．

10、某几何体的三视图如图所示，它的体积为（

A． 81?

B． 12?

C． 45?

D． 57?
?

11、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是 ? DAB ? 60 且边长为 a 的菱形，侧面 PAD 是等边三角 形，且平面 PAD ? 底面 ABD，G 为 AD 的中点，则点 G 到平面 PAB 的距离为（ A． ） B． 5a
2

15 a 10

C．
2

5 a 5

D． 15a ）

12、若直线 l : ax ? by ? 0 与圆 C : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 相交，则直线 l 的倾斜角不等于（ A．

? 6

B．

? 3

C．

? 4

D．

5? 6

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。. 13、过点 (?2, 6) 作圆 x ? ( y ? 2) ? 4 的两条切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 的方程为
2 2

14、曲线 C1 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1，曲线 C2 : y ?

一条直径，P 是曲线 C2 山任一点，则 PE ? PF 的最小值为

??? ? ??? ?

1 2 x ，EF 是曲线 C1 的任意 2

2 2 2 (? 2 )2 ? 15、 已知 x, y ? (0, 2) ， 则 x ?y ? x ? y

(x? 2 ) 2? y 2?

2 (x ?2 )? ( y ?2 )

2

的最小

值为 16、 球 O 为边长为 4 的正方体 ABCD ? A P 为球 O 的球面上动点， M 为 B1C1 中点， 1B 1C1D 1 的内切球，

DP ? BM ，则点 P 的轨迹周长为

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 （本小题满分 12 分） 已知直线 l 经过点 P(?2,5) ，且斜率为 ? （1）求直线 l 的方程； （2）求与直线 l 切于点 (2, 2) ，圆心在直线 x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程。

3 4

18、 （本小题满分 12 分） 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 （1）若直线 l1 过定点 A(1, 0) ，且与圆 C 相切，求 l1 的方程； （2）若圆 D 的半径为 3，圆心在直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程；

19、 （本小题满分 12 分） 如图，在 ?ABC 中， BD 为 AC 边上的高， BD ? 1, BC ? AD ? 2 ，沿 BD 将 ?ABD 翻折，使得

?ADC ? 30? ，得到几何体 B ? ACD 。
（1）求证： AC ? BD ； （2）求 AB 与平面 BCD 所成角的正切值； （3）求二面角 D ? AB ? C 的余弦值。

20、 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ? ABCD 中， PA ? 平面 ABCD，PA=AB=AD=2，四边形 ABCD 满足 AB ? AD ，

BC // AD 且 BC=4，点 M 为 PC 的中点，点 E 为 BC 边上的动点，且
（1）求证：平面 ADM ? 平面 PBC； （2）是否存在实数 ? ，使得二面角 P ? DE ? B 的余弦值为 不存在，说明理由。

BE ?? EC

2 ？若存在，试求出实数 ? 的值；若 3

21、 （本小题满分 12 分） 如图，某城市有一条公路正西方 AO 通过市中心 O 后转向北偏东 ? 角方向的 OB，位于该市的某大

O M 学 M 与市中心 O 的距离 OM ? 3 13km ， 且 ?A

??， 现要修筑一条铁路 L， L 在 OA 上设一站 A，

在 OB 上设一站 B， 铁路在 AB 部分为直线段， 且经过大学 M， 其中 tan ? ? 2, cos ? ? （1）求大学 M 在站 A 的距离 AM； （2）求铁路 AB 段的长 AB。

3 , AO ? 15km 13

22、 （本小题满分 12 分） 已知圆心在第二象限内，半径为 2 5 的圆 O1 与 x 轴交于 (?5, 0) 和 (3, 0) 两点。 （1）求圆 O1 的方程； （2）求圆 O1 的过点 A(1, 6) 的切线方程； （3）已知点 N (9, 2) 在（2）中的切线上，过点 A 作 O1 N 的垂线，垂足为 M，点 H 为线段 AM 上异于 两个端点的动点，以点 H 为中点的弦与圆交于点 B、C，过 B、C 两点分别作圆的切线，两切线交于 点 P，求直线 PO1 的斜率与直线 PN 的斜率值积。