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第1章第4节 条件概率(1) 综合讲练


概率论与数理统计

第 1 章 随机事件及其概率

第4节

条件概率(1) 综合讲练

Ⅰ、全面学习基本内容(见教材、课件) Ⅱ、概括内容提要(见教材、课件) Ⅲ、归纳常见题型(必做题)

题型一 条件概率的计算
? 提示 1、条件概率的数学定义 2、条件概率的计算方法


(1) 在样本空间 S 中,先计算出 P ( AB ) 与 P ( A ) ,再按定义计算 P ( B (2)直接在在简缩样本空间 A 中求事件 B 的概率,就得到 P ( B

A)

A)

3、条件概率的性质
(1)条件概率满足的三条公理 (2)条件概率满足概率的其它性质

【引例】 (P17) , 【补例 1.4.1】~【补例 1.4.11】 【例 1】 (P18) , 【例 2】 (P19) ; 【§1.4 课堂练习 】 ; 【第一章考研真题 4】 , 【第一章考研真题 8】. 【习题 1—4 EX1】 (P22)~【习题 1—4 EX5】 (P23) ;

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概率论与数理统计

第 1 章 随机事件及其概率

第4节

条件概率(1) 综合讲练

题型二 利用乘法公式计算有关事件的概率
? 提示
1、乘法公式 设 A1 , A 2 ,?, A n 是任意有限多个事件,且 P ( A1 A 2 ? A n ?1 ) ? 0 ,则
P ( A1

A 2 ? A n ) ? P ( A1 ) P ( A 2 A1 ) P ( A 3 A1 A 2 )

? P ( A n A1 A 2 ? A n ?1 )
2、使用方法

(4.4)

先利用事件的关系与运算的有关性质, 将所求事件分解成若干个事件的乘 积,再利用乘法公式求其概率
分解 P ( B ) ? P ( A1

A2 ? An )

乘法公式 ? ???

【补例 1.4.12】~【补例 1.4.19】 【例 3】 (P20) , 【例 4】 (第 2 版课件补充) 【例 5】 (教材例 4 P20) , 【例 6】 (第 2 版课件补充) ;

【习题 1—4 EX6】 (P22) , 【习题 1—4 EX10】 (P22) , 【习题 1—4 EX11】 (P23) ; 【总习题一 EX17】 (P29) , 【总习题一 EX20】 (P30) , 【总习题一 EX22】 (P30) .

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第 1 章 随机事件及其概率

第4节

条件概率(1) 综合讲练

题型一 条件概率的计算
? 提示 1、条件概率的数学定义
【定义 1】 (P18)设 A, B 为同一试验中的两个事件,若 P ( A ) ? 0 ,则称

P( B

A ) ? P ( AB ) P( A)

(4.1)

为事件“在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生”的概率,也称 P ( B 概率. 相应地 P ( B ) 称为无条件概率.一般地, P ( B

A ) 为条件

A) ? P(B )

2、条件概率的计算方法
(1) 在样本空间 S 中,先计算出 P ( AB ) 与 P ( A ) ,再按定义计算 P ( B ① 在古典概型中

A)

P(B

? ( AB ) 事件 AB 包括的基本事件(样本点)数 A ) ? P ( AB ) ? ? ( S ) ? 试验中包括的基本事件(样本点)总数 ?( A) 事件 A 包括的基本事件(样本点)数 P( A) ?(S ) 试验中包括的基本事件(样本点)总数

② 在几何概型中

P(B

? ( AB ) 区域 AB 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等) A ) ? P ( AB ) ? ? ( S ) ? 区域 S 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等) ?( A) 区域 A 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等) P( A) ?(S ) 区域 S 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等)

(2)直接在在简缩样本空间 A 中求事件 B 的概率,就得到 P ( B ① 在古典概型中

A)

P( B

A ) ? P ( AB ) ? ? ( AB ) ? 事件 AB 包括的基本事件(样本点)数 P( A) ? ( A) 事件 A 包括的基本事件(样本点)数 A ) ? P ( AB ) ? ? ( AB ) ? 区域 AB 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等) P( A) ? ( A) 区域 A 的几何度量 ( 长度 , 面积 , 体积等)
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② 在几何概型中

P( B

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第 1 章 随机事件及其概率

第4节

条件概率(1) 综合讲练

3、条件概率的性质
(1)条件概率满足的三条公理 公理 1:对任意事件 B ,有 P ( B 公理 2: P ( S

A)?0

(非负性) (规范性)

A ) ?1

公理 3:对任意一组(可数个)两两互不相容事件 A1 , A 2 , ? , A n , ? ,有
P(

i ?1

? Ai A ) ? ?

?

?

i ?1

P ( Ai

A)

(可列可加性)

(2)条件概率满足概率的其它性质 只须将无条件概率 P ( B ) 替换为条件概率 P ( B 概率的其它性质

A ) ,即可类比套用无条件

【引例】

【分析】 当拥有关于试验结果的额外信息(附加).比如,已知一个事件 A 已经发生

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第 1 章 随机事件及其概率

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条件概率(1) 综合讲练

时,我们可能要对另一个事件 B 发生的可能性大小(概率)重新作出度量. (1)从这批产品 1200 件中随机地取一件(试验) , 事件“取出的产品为次品” (记为 B )

这批产品 1200 件中, 有 81 件次品
其概率为

P( B )
?

古典定义 事件 B 包括的基本事件(样本点)数 ? 该试验中包括的基本事件(样本点)总数

81 ? 0.0675 ? 6.75 ? 1200

(2)假设已知“取出的产品是由甲厂生产的” (记为事件 A )条件下(额外 信息,先知道) ,事件“取出的产品为次品” (记为 B ) , ? 从由甲厂生产的 500 件产品中随机地取一件(试验) 事件“取出的产品为次品”

甲厂生产的 500 件产品中,有 25 件次品
其概率,记为
P(B

A)

古典定义 该试验中,事件 B 包括的基本事件(样本点)数 ? 该试验中包括的基本事件(样本点)总数

?
?

事件 AB 包括的基本事件(样本点)数 事件 A 包括的基本事件(样本点)数
25 ? 0.05 ? 5 ? 500

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条件概率(1) 综合讲练

-- 添加了额外信息(在事件 A 发生的条件 下) ; -- 试验的样本空间“变小” ,事件 B 发 生的概率“变大(小) ” !

△ 归纳
P(B

A)

古典定义 该试验中,事件 B 包括的基本事件(样本点)数 ? 该试验中包括的基本事件(样本点)总数

?

事件 AB 包括的基本事件(样本点)数 事件 A 包括的基本事件(样本点)数

?

事件 AB 包括的基本事件(样本点)数 该试验中包括的基本事件(样本点)总数 事件 A 包括的基本事件(样本点)数 该试验中包括的基本事件(样本点)总数

古典定义 P ( A B ) ? P( A)

引出

条件概率的数学定义
【定义 1】 (P18)设 A, B 为同一试验中的两个事件,若 P ( A ) ? 0 ,则称

P( B

A ) ? P ( AB ) P( A)

(4.1)

为事件“在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生”的概率,也称 P ( B 概率.

A ) 为条件

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第 1 章 随机事件及其概率

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条件概率(1) 综合讲练

【补例 1.4.1】 (填空题)某校计科系一年级 100 名学生中有男生 80 名,来 自昆明的 20 名学生中有男生 12 名,选修数学建模课的 40 名学生中有男生 32 名,求: (1)碰到男生的情况下,不是昆明学生的概率: (2)碰到昆明学生的情况下,是一名男生的概率: (3)碰到昆明男生的概率: (4)碰到非昆明学生的情况下,是一名女生的概率: (5)碰到选修数学建模课的男生的概率: (6)碰到选修数学建模课的学生的情况下,是一名女生的概率: 【提示】 方法(2)直接在在简缩样本空间 A 中求事件 B 的概率,就得到 P ( B ① 在古典概型中

A)

P( B

A ) ? P ( AB ) ? ? ( AB ) ? 事件 AB 包括的基本事件(样本点)数 P( A) ? ( A) 事件 A 包括的基本事件(样本点)数

【分析及答案】 明确有关数据,见表 1.4-1 及表 1.4-2 表 1.4 - 1 性 人 数 类别 来自昆明 非来自昆明 合计 12 68 80 表 1.4 - 2 性 别 人 数 类别 选修数学建模课 非选修数学建模课 合计 设事件 32 48 80 8 12 20 40 60 100 男生 女生 合计 8 12 20 20 80 100 别 男生 女生 合计

A ={ B ={

碰到男生 } 碰到昆明学生 }

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条件概率(1) 综合讲练

C ={

碰到选修数学建模课的学生 }

于是,所求事件的概率为: (1)碰到男生的情况下,不是昆明学生的概率
P( B

A ) ? ? ( AB ) ? ? ( A)

1 C 68 非昆明、 男生 1 C 80 男生

?

68 80

?

也可类比套用无条件概率的性质
P( B

A ) ? 1? P ( B

A ) ? 1 ? ? ( AB ) ? 1 ? ? ( A)
1

1 C 12 昆明男生 1 C 80 男生

? 1?

12 68 ? 80 80

(2)碰到昆明学生的情况下,是一名男生的概率:

C 12 昆明男生 12 ? ( AB ) P( A B ) ? ? ? 1 20 ? ( B) C 20 昆明学生
(3)碰到昆明男生的概率:

? ( AB ) P ( AB ) ? ? ?(S )

1 C 12 昆明男生 1 C 100 学生

?

12 100

(4)碰到非昆明学生的情况下,是一名女生的概率:
P( A

B

)?

?( A B ) ?(B )

?

1 C 12 非昆明学生、 女生 1 C 80 非昆明学生

?

12 80

(5)碰到选修数学建模课的男生的概率:

? ( AC ) ? P ( AC ) ? ?(S )

1 C 32 选建模课男生 1 C 100 学生

?

32 100

(6)碰到选修数学建模课的学生的情况下,是一名女生的概率:
P( A

C C ) ? ? ( A C ) ? 18 选建模课女生 ? 8 40 ? (C ) C
40 选建模课学生

1

?

也可类比套用无条件概率的性质

P( A

C ) ? 1? P ( A

C 选建模课男生 32 8 C ) ? 1 ? ? ( AC ) ? 1 ? 32 ? 1? ? 1 ? (C ) 40 40 C
40 选建模课学生

1

【补例 1.4.2】将一枚硬币抛两次: (1)已知第一次出现正面,求第二次也出现正面的概率; (2)已知第二次出现反面,求第一次出现正面的概率;
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第 1 章 随机事件及其概率

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条件概率(1) 综合讲练

(3)已知有一次出现正面,求另一次也出现正面的概率. 【解】 设事件

Ai ?{

第 i 次出现正面 }( i ? 1 , 2 )

于是,所求事件的概率为: (1)已知第一次出现正面,求第二次也出现正面的概率
P( A 2

A1 )
第1 步 第 2 步 ??? ???

?

P ( A1

1 1 C1 C1 A 2 ) ? ( A1 A 2 )“算” 正面 正面 ? ? 1 1 1 1 P ( A1 ) ? ( A1 ) C 1 正面 C 1 正面 ? C 1 正面 C 1 反面

?

1 2

??? ??? ??? ??? 第1 步 第 2 步 第1 步 第 2 步 ?? ? ??? ? ?? ? ??? ?
第1 类 第2类


第1 步 第 2 步 ??? ???

P( A 2

A1 ) ?

P ( A1

1 1 C1 A 2 ) ? ( A1 A 2 )“算” C 1 正面 正面 ? ? 1 1 P ( A1 ) ? ( A1 ) C 1 正面 C 2 正面、 反面 第1 步 第2步

?

1 2

??? ?? ? ??? ?

(2)已知第二次出现反面,求第一次出现正面的概率
第1 步 第 2 步 ??? ???

P( A1

A2 ) ?

P ( A1

1 1 C1 A 2 ) ? ( A1 A 2 )“算” C 1 正面 反面 ? ? 1 1 C 2 正面、 C1 P ( A2 ) ? ( A2 ) 反面 反面 第1 步 第2步

?

1 2

?? ? ??? ? ???

(3)已知有一次出现正面,求另一次也出现正面的概率.
P [ A1

A 2 ( A1 ? A 2 ) ]
( A1 A 2 ) ? ( A1 ? A 2 )

?

P [ ( A1

A 2 ) ( A 1 ? A 2 ) ] ( A 1 A 2 ) ( A 1 ? A 2 ) ? A 1 A 2 P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 ? A 2 ) P ( A1 ? A 2 )
第1 步 第 2 步 ??? ???

1 1 C1 C1 A 2 ) “算” 正面 正面 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ( A1 ? A 2 ) C 1 正面 C 1 正面 ? C 1 正面 C 1 反面 ? C 1 C1 反面 正面

? ( A1

??? ??? ??? ??? ??? ??? 第1 步 第 2 步 第1 步 第 2 步 第1 步 第 2 步 ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ?
第1 类 第2类 第3类
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第 1 章 随机事件及其概率

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条件概率(1) 综合讲练

1 1?1 ? 1?1 ? 1?1 ? 1?1 3

?

另解 设事件

A ={ B ={
A ={
P(B

有一次出现正面 }={ 至少有一次出现正面 } 另一次也出现正面 }={ 两次都出现正面 } 两次都出现反面 }

B ? A ? A B ? B P ( B ) 古典定义 A ) ? P ( AB ) ? ? P( A) 1? P ( A )
第1步 第 2 步 ??? ??? 1 1 C1 C1 正面 正面 1 1 C2 C2 面 面

?(B ) ?(S )
1?

?(A ) ?(S )

“算” ?

1?1 1 1 2? 2 第1步 第 2 步 ? ? 4 ? 1 1 C 1 反面 C 1 反面 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 3 ??? ??? 2? 2 4 第1步 第 2 步 ?? ? ??? ? ??
第1 类 1 1 C 2面 C 2 面

1?

??
第1步 第 2 步

【解法②】 ∵ 样本空间 S ? {11,10 , 01, 00 } ( 样本点“ 10 ”表示基本事件“第一次出现正面,且第二次出现反面”,余者 类推 )
10 } 事件 A1 ? {11, 00 } 事件 A 2 ? {10 ,

事件 A1 事件 A1

A2

? {10 }

A 2 ? {11}
10 , 01} A 2 ? {11,

事件 A1 ?

于是,所求事件的概率为:
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第 1 章 随机事件及其概率

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条件概率(1) 综合讲练

(1)已知第一次出现正面,求第二次也出现正面的概率
P( A 2

A1 )

?

P ( A1

A 2 ) ? ( A1 A 2 )“数” 1 ? ? ? 2 P ( A1 ) ? ( A1 )

(2)已知第二次出现反面,求第一次出现正面的概率 “数” 1 P ( A1 A 2 ) ? ( A1 A 2 ) P( A1 A 2 ) ? ? ? ? 2 P ( A2 ) ? ( A2 ) (3)已知有一次出现正面,求另一次也出现正面的概率.
P [ A1

A 2 ( A1 ? A 2 ) ]
( A1 A 2 ) ? ( A1 ? A 2 )

?

P [ ( A1

A 2 ) ( A1 ? A 2 ) ] ( A 1 A 2 ) ( A 1 ? A 2 ) ? A 1 A 2 P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 ? A 2 ) P ( A1 ? A 2 )

?

A 2 ) “数” 1 ? ? 3 ? ( A1 ? A 2 )
正面 -男孩;反面 — 女孩

? ( A1

?

类比套用

【补例 1.4.3】一个家庭中有两个小孩. (1)已知其中有一个是女孩,求另一个也是女孩的概率; (2)已知第一胎是女孩,求第二胎也是女孩的概率. 【提示】类比补例 1.4.2 【解】设事件

A i ={第 i 胎是女孩}( i ? 1 , 2 )
(1)已知其中有一个是女孩,另一个也是女孩的概率为
P ( A1 A 2

A1 ? A 2 ) ?

? [ ( A1 A 2 ) ( A1 ? A 2 ) ] ? ( A1 ? A 2 )

?

? ( A1 A 2 ) ? ( A1 ? A 2 )

1 “算” C1 C1 1 女孩 1 女孩 ? ? 1 1 1 1 1 1 C 1 女孩 C 1 女孩 ? C 1 女孩 C 1 男孩 ? C 1 男孩 C 1 女孩 3

?

注意

? A1 A 2 ? ( A1? A 2 ) ( A1 A 2 ) ( A1 ? A 2 ) ? A1 A 2
? 另解
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第 1 章 随机事件及其概率

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条件概率(1) 综合讲练

约定:该试验的基本事件 “第一胎是女孩,第二胎是女孩”-“第一胎是女孩,第二胎是男孩”-“第一胎是男孩,第二胎是女孩”-“第一胎是南孩,第二胎是男孩”-故, 该试验的样本空间为

对应样本点 00; 对应样本点 01; 对应样本点 10; 对应样本点 11 列举法

S ={00,01,10,11}
于是,可用集合表示下列事件

A1 ={00,01} A 2 ={00,10} A1 A 2 ={00}

共 2 个样本点 共 2 个样本点 共 1 个样本点 共 3 个样本点

A1 ? A 2 ={00,01,10}
P ( A1 A 2

故,已知其中有一个是女孩,另一个也是女孩的概率为

A1 ? A 2 ) ?

? [ ( A1 A 2 ) ( A1 ? A 2 ) ] ? ( A1 ? A 2 )

?

? ( A1 A 2 ) “数” 1 ? ? 3 ? ( A1 ? A 2 )

(2)已知第一胎是女孩,第二胎也是女孩的概率为 1 “算” C1 C1 ? ( A1 A 2 ) 1 女孩 1 女孩 ? P ( A 2 A1 ) ? ? 1 1 2 ? ( A1 ) C 1 女孩 C 2 孩 ? 另解 约定:该试验的基本事件 “第一胎是女孩,第二胎是女孩”-“第一胎是女孩,第二胎是男孩”-“第一胎是男孩,第二胎是女孩”-“第一胎是南孩,第二胎是男孩”-故, 该试验的样本空间为

对应样本点 00; 对应样本点 01; 对应样本点 10; 对应样本点 11 列举法

S ={00,01,10,11}
于是,可用集合表示下列事件

A1 ={00,01} A1 A 2 ={00}
P ( A2

共 2 个样本点 共 1 个样本点

故,已知第一胎是女孩,第二胎也是女孩的概率为

A1 ) ?

“数” 1 ? ( A1 A 2 ) ? ? 2 ? ( A1 )

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第 1 章 随机事件及其概率

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条件概率(1) 综合讲练

b 个白球.先后两次从袋中各取一球 【补例 1.4.4】 一袋中装有 a 个黑球, (不 放回). (1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率; (2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的仍是黑球的概率; (3)已知取出的两个球中有一个是黑球,求另一个也是黑球的概率. 【提示】类比补例 1.4.2 【解】设事件

A i ={第 i 次取出的是黑球}( i ? 1 , 2 )
(1)已知第一次取出的是黑球,第二次取出的仍是黑球的概率为 1 1 “算”C a Ca ? ( A1 A 2 ) a ? ( a ? 1) 黑球 ? 1 黑球 P ( A 2 A1 ) ? ? ? ? ( A1 ) a ? ( a ? b ? 1) C1 C1
a 黑球 a ? b ?1球

?

a ?1 a ? b ?1

(2)已知第二次取出的是黑球,第一次取出的仍是黑球的概率为 1 1 “算”C a Ca ? ( A 2 A1 ) a ? ( a ? 1) 黑球 ? 1 黑球 P ( A1 A 2 ) ? ? ? 1 1 ? ( A2 ) ( a ? b ? 1) ? a C C
a ? b ?1球 a 黑球

?

a ?1 a ? b ?1

(3)已知取出的两个球中有一个是黑球,另一个也是黑球的概率为
P ( A1 A 2
?

A1 ? A 2 )
?

? [ ( A1 A 2 ) ( A1 ? A 2 ) ] ? ( A1 ? A 2 )

? ( A1 A 2 ) ? ( A1 ? A 2 )

1 1 “算” Ca Ca 黑球 ? 1 黑球 ? 1 1 1 1 1 1 C a 黑球 C a ? 1 黑球 ? C a 黑球 C b ?C b Ca 白球 白球 黑球

?

a ? ( a ? 1) a ?1 ? a ? ( a ? 1) ? a ? b ? b ? a a ? 2 b ? 1

?

注意

? A1 A 2 ? ( A1? A 2 ) ( A1 A 2 ) ( A1 ? A 2 ) ? A1 A 2
【补例 1.4.5】掷两枚均匀的骰子,已知它们出现的点数各不相同,求其中 有一个点数为 4 的概率. 【解】设事件

A ={它们出现的点数各不相同}
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条件概率(1) 综合讲练

B ={其中有一个点数为 4}
所以,当它们出现的点数各不相同时,其中有一个点数为 4 的概率为
第一枚 ??? 第二枚 ??? ? 第一枚 ? 第二枚 1 1 1 1 “算”C 1四点 C 5 点 ? C 5 点 C 1 ? ( AB ) 1 ? 5 ? 5 ? 1 10 四点 A) ? ? ? ? 1 1 ? ( A) 6?5 30 C 6点 C 5点 ? ? 第一枚 第二枚

P(B

?

1 3 另解 约定:该试验的基本事件 ?

“第一枚骰子出现 i 点,第一枚骰子出现 j 点” -对应样本点 ( i , j ) ( i , j ? 1, 2 , ? , 6)

故, 该试验的样本空间为

S ? {( i , j )

i , j ? 1, 2 , ? , 6}

描述法

? {(1, 1) , (1, 2) , ? , (1, 6) , ( 2 , 1) , ( 2 , 2) , ? , ( 2 , 6) , ?, ( 6 , 1) , ( 6 , 2) , ? , ( 6 , 6) , }
于是,可用集合表示下列事件

列举法

A ? {( i , j )

i ? j , i , j ? 1, 2 , ? , 6}

? {(1 , 2 ) , (1 , 3) , ? , (1 , 6 ) , ( 2 , 1) , ( 2 , 3) , ? , ( 2 , 6 ) , ?, ( 6 , 1) , ( 6 , 2 ) , ? , ( 6 , 5)}

共 30 个样本点

AB ? {( 4 ,1) , ( 4 , 2), ( 4 , 3) , ( 4 , 5) , ( 4 , 6) ,
(1, 4) , ( 2 , 4) , (3 , 4) , (5 , 4) , ( 6 , 4)}

共 10 个样本点

所以,当它们出现的点数各不相同时,其中有一个点数为 4 的概率为
P(B

A ) ? ? ( AB ) ? ( A) A)

“数” 10 1 ? ? 30 3

?

解法 3
P(B

定义 P ( AB) ? P( A)

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条件概率(1) 综合讲练

先求出

P( A)

古典定义 ? ( A ) 事件 A 包括的基本事件(样本点)数 ? ? ? ( ? ) 该试验中包括的基本事件(样本点)总数

第一枚 ? 第二枚 ? 1 1 1 1 “算” C 6 C5 C6 C5 点 点 ? ? 1 1 1 1 C6 C6 C6 C6 点 点 ? ? 第一枚 第二枚
古典定义 ? ( AB ) 事件 AB 包括的基本事件(样本点)数 ? ? P ( AB) ? (?) 该试验中包括的基本事件(样本点)总数

第一枚 ??? 第二枚 ??? ? 第一枚 ? 第二枚 1 1 1 1 1 1 1 1 “算”C 1四点 C 5 点 ? C 5 点 C 1 C1 C5 ?C 5 C1 四点 ? ? 1 1 1 1 C6 C6 C6 C6 点 点 ? ? 第一枚 第二枚

所以,当它们出现的点数各不相同时,其中有一个点数为 4 的概率为
1 1 1 1 C1 C5 ?C 5 C1

P(B

定义 古典定义 A ) ? P ( AB) ? P( A)

1 1 C6 C6 1 1 C6 C5 1 1 C6 C6

?

1 1 1 1 C1 C 5 ?C 5 C1 1 1 C6 C5

?

1 ? 5 ? 5 ? 1 10 1 ? ? 6?5 30 3

【补例 1.4.6】某牌号的电视机使用到 3 万小时的概率为 0.6 ,使用到 5 万 小时的概率为 0.24 .一台电视机已使用到 3 万小时,求这台电视机能使用到 5 万 小时的概率. 【解】 设事件

A ={
B ={
P(B

这台电视机使用到 3 万小时 } 这台电视机使用到 5 万小时 }
B ? A ? A B ? B P ( B ) 0.24 ? 0.4 ? ? P ( A ) 0.6
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于是,所求事件的概率为:

A ) ? P ( AB ) P( A)

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条件概率(1) 综合讲练

?

类比

A ={
B ={
P(B

乌龟活到 80 年 } 乌龟活到 100 年 }

A ) ? P ( AB ) P( A)

B ? A ? AB ? B P(B ) ? ? ??? P( A)

【补例 1.4.7】 ( 单项选择题 ) 假设事件 A 、B 满足 P ( B ①

A ) ? 1, 则 【



A? S
?



A? B



A? B

④ P ( AB ) ? 0

【分析与答案】 ∵ P( B A ) ?1
P( AB ) ?1 P( A )
? P( AB ) ? P( A )

∴ P ( AB ) ? P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( A B ) ? 0 故,④ 成立 显然,① 、② 、③ 均不成立 -① 不成立:反例 –- 设 A ? S ,且 P( B ) ? 0 ,则
P( AB ) ? P( B ) ? 0

?

P( AB ) ? 0 ? 1 ,矛盾! P( A )

② 不成立:反例 –- 设 A ? B ,且 P ( A ) ? P ( B ) ,则
P( A ) ? P ( B )
?
? B ? A ? AB ? B

?

P( AB )

?

P( AB ) ?1 P( A )

P ( B A ) ? 1 ,矛盾!

③ 不成立:∵ P ( B A ) ? 1
?

?

P( AB ) ?1 P( A )

? P( AB ) ? P( A )

AB ? A

?

A? B

【补例 1.4.8】已知: P ( A ) ? 0 ,求证: P ( B A ) ? 1 ? P ( B A ) 【证明】

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概率论与数理统计

第 1 章 随机事件及其概率

第4节

条件概率(1) 综合讲练

∵ P( ? A ) ? 1
事件运算律

公理

?B ? B ? ?

?

P[ ( B ? B) A ] ? 1
? BA 与 BA 互斥

条件概率

?

P[ ( B ? B ) A ] ?1 P( A )

?

P ( BA ? BA ) ?1 P( A )

?

P ( BA ) ?P ( BA ) ?1 P( A )

?

P ( BA ) P ( BA ) ? ?1 P( A ) P( A )

?

P( B A ) ? P( B A ) ?1

∴ P( B A ) ?1? P( B A ) ? 推广 若 B 1 、 B 2 、? 、 B n 构成一个完备事件组,且 P ( A ) ? 0 ,则
P ( B1 A ) ? P ( B 2 A ) ? ? ? P ( B n A ) ? 1

【补例 1.4.9】已知: P ( A ) ? 0 ,求证: P ( B A ) ? 1 ? 【证明】 用逆推法 ∵ P( B A ) ?1?
条件概率

P( B ) P(A)

P( B ) P ( A)

?

P( A )P( B A ) ? P( A ) ? P( B )

?

P( A )

P( AB ) ? P( A ) ? P( B ) P( A )
?

? P( AB ) ? P( A ) ?[1? P( B ) ]

? P( A ) ? P( B ) ? P( AB ) ?1

广义加法公式

P( A ? B ) ?1

( 由公理知,上式显然成立 ) ∴ P( B A ) ?1?

P( B ) P(A)

【补例 1.4.10】已知 A 是任意事件, P ( A ) ? 0 ,证明: (1)如果 B ? A ,则 P ( B

A ) ? 1;

(2)如果 B 1 , B 2 满足 B 1 B 2 ? ? ,则
P ( B1 ? B 2

A) ? P ( B1 A) ? P ( B 2 A)
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第 1 章 随机事件及其概率

第4节

条件概率(1) 综合讲练

【证明】 (1) P ( B
定义 P ( AB) ? B ? A) ? P( A)

A ? AB ? A P ( A) ?1 ? P( A)

(2)由事件的运算定义及性质,知

所以
P ( B1 ? B 2

A)

定义 P [ ( B 1 ? B 2 ) A ] 分配律 P [ B 1 A ? B 2 ? ? P( A) P( A)

A]

B 1 B 2 ? ? ?( B 1 A ) ( B 2 A )? ? P ( B A ) ? P ( B A ) 1 2 ? P( A)
? P ( AB 1 ) P( A) ? P ( AB 2 ) 定义 ? P ( B1 P( A)

A) ? P ( B 2 A)

※【补例 1.4.11】两人约好于某一天早晨 8 时到 9 时之间在某地会面,并 约定先到者等候另一人 30 分钟方可离开,已知两人会上了面,求先到者等候另 一人超过 20 分钟的概率. 【提示】 这是一个在几何概型中,求条件概率的问题 【解】 设事件
A ? { 两人会上了面 } B ? { 先到者等候另一人超过 20 分钟 }

先用集合表示该试验的样本空间 ? 及事件 A 、 B 、 A B ,得

? ? { ( x , y ) 0 ? x ? 60 , 且 0 ? y ? 60 }
A ?{( x , y ) y ? x ? 30 }

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第 1 章 随机事件及其概率

第4节

条件概率(1) 综合讲练

B ? { ( x , y ) 20 ? y ? x ? 60 } A B ? { ( x , y ) 20 ? y ? x ? 30 }

( 样本点 ( x , y ) -- 对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为 x 、 y ” , x 、
y 的单位: 8 时 ? 分 )

如图 1-7 所示.

图 1-7 ( 2 维空间中的区域 ) 于是,所求事件的概率为:

P( B A )
1
? 2

条件概率

?

P ( A B) 几何定义 ? ( A B ) 区域 A B 的面积 ? ? 区域 A 的面积 P( A ) ? ( A)
1 2 1 2 (40 2 ? 30 2 )
?

(40 2 ? 30 2 ) ? (60 ? 30 ) ?
2 2

40 2 ? 30 2 60 ? 30
2 2

1 2

?

700 2700

?

7 27

? 0.259259259 ? 0.2593

(60 ? 30 )
2 2

【例 1】 (P18)

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第 1 章 随机事件及其概率

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条件概率(1) 综合讲练

【提示】类比补例 1.4.2 【辨析】 记 A i 为事件“ 第 i 次取到的是黑球 ” ( i ? 1 , 2 ) (1) 已知第一次取出的是黑球, 第二次取出的仍是黑球的概率
第1 步 第2步 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

P( A 2

A1 ) ?

P ( A1

1 1 C2 A 2 ) ? ( A1 A 2 )“算” C 3 3? 2 2 黑球 黑球 ? ? ? ? 1 1 P ( A1 ) ? ( A1 ) C 3 黑球 C 9 余下球 3 ? 9 9

? ? ? ? ?? ? ?? ?
第1 步 第2步

(2) 已知第二次取出的是黑球, 第一次取出的也是黑球的概率.
P( A1

A2 )
在第 2 次取到一个黑球的前提下 第1步 第2步

?? ?? ?

? ? ? ? ? ? 2?3 9?3

?

P ( A1

A 2 ) ? ( A1 A 2 )“算” ? ? P ( A2 ) ? ( A2 )

1 C2 余下黑球 1 C 9 余下球

1 C3 黑球 1 C3 黑球

? ? ?? ?

? ? ? ? ?

第1步 第2步 在第 2 次取到一个黑球的前提下

?

2 9

?

另解
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