当前位置:首页 >> 数学 >>

08.三角函数与解三角形


深圳市 2016 年高考数学复习参考题
8、三角函数与解三角形(文科)
编辑:深圳外国语学校 苏永潮,深圳市科学高中
一、选择题: (1) f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 在 x ? 1 处取最大值,则 ( A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 C. f (

x ? 1) 一定是奇函数 D. f ( x ? 1) 一定是偶函数 【试题解析】 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 在 x ? 1 处取得最大值,说明直线 x ? 1 是函数 f ( x) 的对称轴, 那么把它的图象向左移 1 个单位,则所得图象关于 y 轴对称, 即函数 f ( x ? 1) 关于 y 轴对称,是偶函数,选 D. 【选题意图】函数的图象变换(平移)与函数的奇偶性综合题,难度不大 (2) sin 2 cos 3 tan 4 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在 【试题解析】? sin 2 ? 0, cos3 ? 0, tan4 ? 0 )

丁家顺

? sin 2 cos 3 tan 4 ? 0 ,故选 A.
【选题意图】三角函数值,考察学生对于弧度制的理解 (3)函数 f ( x ) ?

sin x 的图象可能是( x2 ? 2



【试题解析】由于 f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 f ( x) 是奇函数,故排除 A、D,
2 当 x ? 0 且与 0 比较接近(如 0 ? x ? 1 )时, sin x ? 0, x ? 2 ? 0 ,

即 f ( x) ?

sin x ? 0 ,这样排除 B, x2 ? 2

故选 C. 【选题意图】函数的图象.利用函数的性质进行排除 (4)函数 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? )(? ? 0) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ? 2 或 2 C. 0 D. ? 2 或 0

?
4

? x) ? f (

?

? x) ,则 f ( ) 等于( 4 4

?



【试题解析】对任意 x 都有 f (

?
4

? x) ? f (

?
4

? x) ,说明 x ?

?
4

是函数 f ( x) 的一条对称轴,

因此 f ( ) 是函数的最大值(或最小值) ,而 f ( x) 的最大值为 2 ,最小值为 ? 2 ,故选 B.

?

4

【选题意图】三角函数的对称轴,最值. (5) 已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,23cos2 A ? cos2 A ? 0 ,a ? 7 ,c ? 6 , 则b ? () A. 10 B. 9 C. 8 D. 5

2 【试题解析】由 23cos2 A ? cos2 A ? 0 ,得 cos A ?

? 1 ? A ? (0, ) ? cos A ? 2 5
49 ? 36 ? b2 ? 12b cos A?b ? 5 .

1 25

【选题意图】 本题主要考查余弦定理及三角恒等变换公式等基础知识, 考查推理论证能力、 运算求解能力. (6) 在 ?ABC 中, 设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 (a 2 ? c 2 ? b2 ) tan B ? 3ac, 则角 B 的值为( A. )

? ? ? 5? ? 2? B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3
a 2 ? c2 ? b2 3 , ? 2ac 2 tan B
3 , 2

【试题解析】由 (a 2 ? c 2 ? b2 ) tan B ? 3ac得,

再由余弦定理得, 2 cos B tan B ? 3 ,即 sin B ? ∴角 B 的值为

? 2? 或 ,故应选 D. 3 3

【选题意图】本题考查利用余弦定理及切化弦,化角求角. (7)在 ?ABC 中, ?ABC ?

?
4

, AB ? 2 , BC ? 3 ,则 sin ?BAC ? (

)

A.

10 B. 10

10 3 10 5 C. D. 5 10 5

【试题解析】由余弦定理得 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos

?
4

? 2 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3?

2 ?5 2

? AC ? 5 ,
由正弦定理,

AC BC BC sin B 3 10 . ? ? sin A ? ? sin B sin A AC 10

【选题意图】本题考查利用利用余弦定理求第三边,再用正弦定理求角. (8)在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2a cos B ,则 cos B 的值 为( ) A.

1 1 2 2 2 2 B. ? C. D. ? 3 3 3 3

【试题解析】 由正弦定理得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3 sin A cos B

?sin(B ? C ) ? 3 sin A cos B ?sin A ? 3 sin A cos B

1 ? sin A ? 0 ? cos B ? . 3
【选题意图】本题考查利用面积公式求角,再用余弦定理求边. (9)在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 c 2 ? (a ? b) 2 ? 6 , C ? ( )

?
3

,则 ?ABC 的面积是

A . 3 B.

9 3 3 3 C. D. 3 3 2 2

【试题解析】∵ c 2 ? (a ? b) 2 ? 6 ,∴ c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 6 ① ∵C ?

?
3

2 2 2 ,∴ c ? a ? b ? 2ab cos

?
3

? a 2 ? b 2 ? ab ②

由①②得 ab ? 6 ∴S ?

1 3 3 . ab sin C ? 2 2
3 , b ? 5 ,则 ?ABC 的面积 4

【选题意图】本题考查利用余弦定理得到边的关系,再求三角形面积. (10)在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 C ? 2 A, cos A ? 为( A. )

15 7 15 7 5 7 5 7 B. C. D. 4 2 4 2
3 1 3 7 cos A ? , cosC ? 2 cos2 A ? 1 ? , sin C ? , tanC ? 3 7 , 4 8 8

【试题解析】

如图,设 AD ? 3x, AB ? 4x, CD ? 5 ? 3x, BD ? 7 x 在直角 ?DBC 中, tan C ? 解之得 BD ? 7 x ?

BD ?3 7 CD

3 7 1 15 7 . ? S ? BD ? AC ? 2 2 4

【选题意图】利用二倍角公式和构造直角三角形求三角形面积. 二、填空题: (1) 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b 以及 x 轴围成图形的面积记为 f ( x) 在 [ a, b] 上的面积. 已知

2 2? * ] 上的面积为. ( n? N ) ,则函数 y ? sin 3x 在 [0, n n 3 2 【试题解析】由已知 y ? sin 3x 图象与线段 OA 围成的面积为 . 3
函数 y ? sin nx 在 [0,

?

] 上的面积为

2? , 3 2 4 4 因此所求面积为 ? 2 ? .故填 . 3 3 3
函数 y ? sin 3x 的周期为 T ?

y

O

A

B

x

【选题意图】新定义问题.三角函数的周期. 创新问题考查学生的阅读理解能力,抽象概括能力,对学生的独立 学习能力和抽象思维能力要求较高。 (2)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成”函数,给出下列函数: ① f1 ( x) ? sin x ? cos x ;② f 2 ( x) ? 2 sin x ? 2 ;③ f3 ( x) ? 2 (sin x ? cos x) ;④ f 4 ( x) ? sin x ;⑤

f 5 ( x) ? 2 cos

x x x (sin ? cos ) ,其中“互为生成”函数的有. (请填写序号) 2 2 2 2 sin( x ?

【试题解析】 f1 ( x) ? sin x ? cos x ?

?

? f 4 ( x) ? sin x ,f 5 ( x) ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1 , 其中①②④都可以由 y ? 2 sin x 平移得到, 4
它们是“互为生成”函数,故填①②④ 【选题意图】函数图象的平移. (3)在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 ?C ? 60?, c ? 3 ,则 【试题解析】由正弦定理

4

) , f 2 ( x) ? 2 sin x ? 2 , f 3 ( x ) ? 2 sin( x ?

?
4

),

a ? 2 3 cos A =. sin B

a c ? ? 2 ,得 a ? 2 sin A ,代入得 sin A sin C 2 sin A ? 2 3 cos A 4 sin( A ? 60?) ? ? 4. sin B sin B

【选题意图】利用正弦定理化边为角,再结合辅助角公式求解. ( 4 )如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角

?MAN ? 60o , C 点的仰角 ?CAB ? 45o 以及 ?MAC ? 75o ;从 C 点测得 ?MCA ? 60o .已知山高

BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

【试题解析】在直角三角形 ?ABC 中,由条件可得 AC ? 100 2 ,在 ?MAC 中,由正弦定理可得

3 AM AC ,故 AM ? AC ? 100 3 ,在直角 ?MAN 中, ? o o o o sin 60 sin ?180 ? 60 ? 75 ? 2
MN ? AM ? sin 60o ? 150 .
【选题意图】本题主要考查正弦定理的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力和应用意识. 三、解答题: (1)已知 sin ? ? cos? ?[? 2, 2 ] ,且满足 4 sin ? cos ? ? 5 sin ? ? 5 cos ? ? 1 , (I)求 sin ? ? cos ? 的值; (II)求 sin 3 ? ? cos3 ? 的值. 【试题解析】 (I)令 t ? sin ? ? cos? ?[? 2 , 2 ] ,则 2 sin ? cos? ? t 2 ? 1 ∴ 4 sin ? cos ? ? 5 sin ? ? 5 cos ? ? 1 即等价于 2(t 2 ? 1) ? 5t ? 1 , 也即 2t 2 ? 5t ? 3 ? 0 解得: t ? ? 又∵ t ? [? 2 , 2 ] ,故 t ? ? 即 sin ? ? cos ? ? ?
3 3

1 或t ? 3 , 2

1 成立, 2

1 ; 2

(II) sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos? )(1 ? sin ? cos? ) ? t (1 ? 【选题意图】同角三角函数基本关系的运用. (2)已知函数 f ( x) ? sin

t 2 ?1 11 )?? . 2 16

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (II)求函数 f ( x) 在 [

? 3?
4 , 2

] 上的最小值.

【试题解析】 (I) f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 2 2 2

1 1 1 2 ? 1 ? sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? 2 2 2 2 4 2
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 2? .

3? ? 5? , k ? Z ,得 2k? ? ? x ? 2k? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ],k ?Z . 所以函数 f ( x) 单调减区间是 [2k? ? ,2k? ? 4 4 ? 3? ? ? 7? (II)由 ? x ? ,得 ? x ? ? . 4 2 2 4 4
由 2k? ?

?

? x?

?

? 2k? ?

则当 x ?

?
4

?

3? 5? 2 ?1 ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值 ? . 2 4 2

【选题意图】三角函数的周期与单调性,三角函数的最值. . (3)已知函数 f ( x) ? cos x ? (I)当 x ? (0,

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? 1 ? sin x 1 ? cos x

?
2

) 时,化简 f ( x) 的解析式并求 f ( x) 的对称轴和对称中心;
3? ) 时,求函数 f ( x) 的值域. 2

(II)当 x ? (? ,

(1 ? sin x)2 (1 ? cos x)2 【试题解析】 (I) f ( x) ? cos x ? ? sin x ? cos2 x sin 2 x

? cos x ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? , cos x sin x
当 x ? (0,

?

2 ? 1 ? sin x ? 1 ? cos x

) 时, f ( x) ? cos x ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? cos x sin x

? 2 sin( x ?

?
4

)?2,

令x?

?
4

? k? ?

?
2

, k ? Z ,即 x ? k? ?

?
4

,k ?Z ,

即函数的对称轴方程为 x ? k? ? 令x?

?
4

,k ?Z ,

?
4

? k? , k ? Z ,即 x ? k? ?

?
4

,k ?Z ,

即函数的对称中心为 (k? ? (II)当 x ? (? ,

?
4

, 2) , k ? Z ;

3? 1 ? sin x 1 ? cos x ) 时, f ( x) ? cos x ? ? sin x ? 2 ? cos x ? sin x

? ?1 ? sin x ? 1 ? cos x ? ? 2 sin( x ?
此时, x ?

?
4

)?2,

?

5 7 ? ( ? , ? ) ,则 4 4 4

? 2 sin( x ? ) ? [?1, ? ), 4 2
2 sin( x ? ) ? [? 2, ?1) , 4
则值域为 (?1, 2 ? 2] . 【选题意图】1.三角恒等变形;2. y ? A sin(? x ? ? ) 的图象和性质. ( 4 )若函数 f ( x) ? sin ax ? sin ax cosax(a ? 0) 的图象与直线 y ? m(m ? 0) 相切,并且切点的横坐
2

?

标依次成公差为

? 的等差数列. 2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若点 A( x0 , y0 ) 是 y ? f ( x) 图象的对称中心,且 x0 ? [0, 【试题解析】 (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 ax ? sin ax cos ax ?

?
2

] ,求点 A 的坐标.

1 ? cos2ax 1 2 ? 1 ? sin 2ax ? ? sin(2ax ? ) ? 2 2 2 4 2

由题意知, m 为 f ( x) 的最大值,所以 m ? (Ⅱ)由题设知,函数 f ( x) 的周期为 ∴ f ( x) ? ? 令 sin( 4 x ? ∴x?

1? 2 2

? ,∴ a ? 2 2

2 ? 1 sin(4 x ? ) ? . 2 4 2
4 ) ? 0 ,得 4 x ?

?

?
4

? k? (k ? Z ) ,

k? ? ? , 4 16 k? ? ? ? ? ,得 k ? 1 或 k ? 2 , 由0 ? 4 16 2 3? 1 7? 1 , ) 或( , ). 因此点 A 的坐标为 ( 16 2 16 2
【选题意图】1、三角函数的图象与性质;2、三角恒等变换. (5)如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90?, AB ? 3, BC ? 1 , P 为 ?ABC 内一点, ?BPC ? 90? . (I)若 PB ?

1 ,求 PA ; 2
o

(II)若 ?APB ? 150 ,求 tan ?PBA .

【试题解析】 (I)由已知得, ?PBC ? 60 ,∴ ?PBA ? 30 ,
o o

在 ?PBA 中,由余弦定理得 PA2 ? 3 ?

1 1 7 7 . ? 2 ? 3 ? cos30o ? ,? PA ? 4 2 4 2

(II)设 ?PBA ? ? ,由已知得, PB ? sin ? , 在 ?PBA 中,由正弦定理得,

3 sin ? ? , o sin150 sin ? 30o ? ? ?

化简得 3 cos ? ? 4sin ? ,

tan ? ?

3 3 . ,? tan ?PBA ? 4 4

【选题意图】 (1)利用余弦定理求边; (2)利用正弦定理求三角函数值. (6)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin 2 B ? 2sin A sin C . (I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90o ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积. 【试题解析】 (I)由题设及正弦定理可得 b 2 ? 2ac , 又 a ? b ,可得 cos B ? (II)由(I)知 b 2 ? 2ac .
2 2 2 因为 B ? 90o ,由勾股定理得 b ? a ? c .

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 4

2 2 故 a ? c ? 2ac ,得 a ? c ? 2 .

所以 ?ABC 的面积为 1. 【选题意图】本题主要考查正余弦定理及面积公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力. (7)在 △ ABC 中, cos B ? ? (I)求 sin A 的值;

5 4 , cos C ? . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2 5 12 【试题解析】 (I)由 cos B ? ? ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 65 33 1 33 (II)由 S△ ABC ? 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 AB ? sin B 20 ? AB , 故 AB ? AC ? 65 ,又 AC ? sin C 13 13 20 AB 2 ? 65 , AB ? . 故 2 13 AB ? sin A 11 ? . 所以 BC ? sin C 2
(II)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? 【选题意图】 (1)利用同角三角函数关系公式及两角和的公式求解; (2)利用面积公式和正弦定理求解. (8)已知在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c , a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (I)求 A ; (II)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 b, c

【试题解析】 (1)由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理得

sin A cos C ? 3sin Asin C ? sin B ? sin C ? 0 ,
因为 B ? ? ? A ? C ,所以 3 sin Asin C ? cos Asin C ? sin C ? 0 , 由于 sin C ? 0 ,所以 sin ? A ? (II) ?ABC 的面积 s ?

? ?

??

? 1 ? ? ,又 0 ? A ? ? ,故 A ? 3 . 6? 2

1 bc ? sin A ? 3 ,故 bc ? 4 . 2
2 2

而 a2 ? c2 ? b2 ? 2cb cos A, 故 c ? b ? 8 解得 b ? c ? 2 . 【选题意图】 (1)利用正弦定理边化角求角; (2)利用面积公式和余弦定理求边. (9) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 已知 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C . (I)求 A 的大小; (II)求 sin B ? sin C 的最大值. 【试题解析】 (I)依题意,由正弦定理有 2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c , 整理得 b2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc , 所以由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ? ?? , 2bc 2

又 0 ? A ? ? ,所以 A ?

2? . 3

(II)由(I)可知 C ? ? ? A ? B ?

? ?B, 3

所以 sin B ? sin C ? sin B ? sin(

? 1 3 ? ? B) ? sin B ? cos B ? sin( B ? ) , 3 2 2 3
3 ? 2? , 3

又0 ? B ?

?
3

,所以

?
3

? B?

?

当B?

? ? ? ? ,即 B ? 时, sin B ? sin C 取得最大值1 . 3 2 6

【选题意图】 (1)利用正弦定理角化边,再利用余弦定理求角; (2)利用化一角结合有界性求最值.


相关文章:
08.三角函数与解三角形
08.三角函数与解三角形_数学_高中教育_教育专区。高考专题复习三角函数 深圳市 2016 年高考数学复习参考题 8、三角函数与解三角形(文科)编辑:深圳外国语学校 苏...
三角函数与解三角形
三角函数与解三角形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三艺考生 ...文档贡献者 熄火封诸侯 贡献于2012-04-08 专题推荐 2014教师资格材料分析辅...
2008-2014辽宁高考数学三角函数和解三角形(含答案)
2008-2014辽宁高考数学三角函数和解三角形(含答案)_数学_高中教育_教育专区。2008...文档贡献者 soilfa 贡献于2014-08-09 专题推荐 2014年高考语文新课标I卷......
三角函数与解三角形
三角函数与解三角形_数学_高中教育_教育专区。三角函数和解三角形经典例题及答案...? ? (0, ) 5.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 08) 】设 2 , ? ? ? (0...
三角函数与解三角形
三角函数与解三角形_数学_高中教育_教育专区。三角函数与解三角形 1.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 f (...
教师版—三角函数与解三角形
教师版—三角函数与解三角形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考第二轮专题...(A)7 2 10 (B) 7 2 10 (C) - 2 10 (D) 2 10 2.(08 新课标理...
(学生)三角函数与解三角形
(学生)三角函数与解三角形_数学_高中教育_教育专区。5 ,且 ? 为第四象限角...文档贡献者 lyhpbrpha 贡献于2015-08-14 专题推荐 2014下半年教师资格......
08-12福建高考数学三角函数及解三角形
08-12福建高考数学三角函数解三角形_数学_高中教育_教育专区。三角函数解三角形(2008 理 9)函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得...
专题三角函数与解三角形_理(含解析)
专题三角函数与解三角形_理(含解析)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题:三角函数与解三角形 1.已知 sin 2? ? A. ? 1 3 1 ? 2 ,则 cos (? ? ...
更多相关标签:
三角函数与解三角形 | 三角函数 解三角形 | 三角函数和解三角形 | 解三角形 | 高二数学解三角形视频 | 解三角形公式 | 解三角形练习题 | 解三角形 高考题 |