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2015年江苏高考南通密卷2(南通市数学学科基地命题)


2015 年高考模拟试卷(2)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.已知集合 A ? {1, k ? 1} , B ? {2,3} ,且 A B ? {2},则实数 k 的值为 2.设 (1 ? 2i )2 ? a ? bi (a, b ? R),其中 i 是虚数单位

,则 ab ?
2

s ? 0, n ? 1

16. (本小题满分 14 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 A1 ACC1 是边长为 2 的菱形, ?A1 AC ? 60 .在面 ABC 中, A1 AB ? 2 3 , BC ? 4 , M 为 BC 的中点,过 A , B , M 三点的平面交 AC 于点 N .
1 1





( 1)求证: N 为 AC 中点; ( 2)求证:平面 A1 B1MN ? 平面 A1 ACC1 .

B1

C1

3.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? ax( a ? R) ,且 f (2) ? 6 , 则a? . 4.右图是某算法流程图,则程序运行后输出的结果是 . 5.设点 P , A , B , C 是球 O 表面上的四个点, PA , PB , PC 两两互相垂 cm 2 . 直,且 PA ? PB ? PC ? 1cm ,则球的表面积为 6 .已知 ? ? {(x , y ) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ? 上 随机投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为 . 7.将参加夏令营的 500 名学生编号为: 001, 002, ,500 ,采用系统抽样的方法抽取一个容量

A B M

N C

第 4 题图

第 16 题 17. (本小题满分 14 分) 图 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为 10cm 的圆形包装纸包装.要求如下:正三 棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折,其边缘恰好达到三棱锥的顶

为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003 ,这 500 名学生分住在三个营区,从 001 到 200 在第一营区,从 201 到 355 在第二营区,从 356 到 500 在第三营区,则第三个营区被抽中的人数为 .

点,如图所示.设正三棱锥的底面边长为 xcm ,体积为 Vcm3 . (1)求 V 关于 x 的函数关系式; (2)在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中, V 的最大值是多少?并求此时 x 的值.

8. ?ABC 中,“角 A, B, C 成等差数列”是“ sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B ”成立的的 条件. (填“充分不必要 ”、“必要不充分 ”、“充要”、“既不充分也不必要 ”之一) x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的一条 a b 渐近线分为弧长为 1 : 2 的两部分,则双曲线的离心率为 . 2 ? 2 ? 10.已知 cos4 ? ? sin 4 ? ? ,? ? (0, ) ,则 cos(2? ? ) ? . 3 2 3 11.已知正数 a1 , a2 , a3 , a4 依次成等比数列,且公比 q ? 1 .将此数列删去一个数后得到的数列 (按 原来的顺序 )是等差数列,则公比 q 的取值集合是 . 12. 如图,梯形 ABCD 中, AB / / CD , AB ? 6 , AD ? DC ? 2 , D C uuu r uuu r uuu r uuu r 若 AC ? BD ? ?12 ,则 AD ? BC ? . 13.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a , b, c 成等比数列,则 sin B 的取值范围是 . sin A A 第 12 题 14.设函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (3x ) ,且当 x ? [1, 3)时, 图 f ( x) ? ln x .若在区间 [1,9) 内,存在 3 个不同的实数 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ? ? ? t ,则实数 t 的取值范围为 x1 , x2 , x3 ,使得 . x1 x2 x3 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, C ? A ?

(第 17 题图 ) 图

B

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过 .......

18. (本小题满分 16 分) 2 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,并且椭圆经过点 (1,1) ,过原点 O 的直线 l 2 a b 与椭圆 C 交于 A、 B 两点,椭圆上一点 M 满足 MA ? MB . (1)求椭圆 C 的方程; 1 1 2 (2)证明: 为定值; ? ? 2 2 OA OB OM 2 (3)是否存在定圆,使得直线 l 绕原点 O 转动时, AM 恒与该定圆相切,若存在,求出该定圆的方程, 若不存在,说明理由. y

B

?
2

, sin A ?

3 . 3

O

x

(1)求 sin C 的值; (2)若 BC ? 6 ,求 ?ABC 的面积.

A
第 18 题图

1

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且满足 a1 ? a2 ? a3 ? 9 , b1b2b3 ? 27 . (1)若 a4 ? b3 , b4 ? b3 ? m . ①当 m ? 18 时,求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; ②若数列 {bn } 是唯一的,求 m 的值; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 均为正整数,且成等比数列,求数列 {an } 的公差 d 的最大值.

C. (选修4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,圆 C 是以点 C (2, ? ) 为圆心, 2 为半径的圆. 6 (1)求圆 C 的极坐标方程; 5? (2)求圆 C 被直线 l : ? ? ? 所截得的弦长. 12

?

D. (选修4-5:不等式选讲) 设正数 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求
1 ? 1 ? 1 的最小值. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? e x (a ? R) 有且仅有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a 满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 ?如存在,求 f ( x) 的极大值;如不存在,请说明理由.
2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分 . 22. (本小题满分 10 分) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? AC , AB ? 2 , AC ? 4 , AA1 ? 3 . D 是 BC 的中点 . (1)求直线 DB1 与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值; (2)求二面角 B1 ? A1 D ? C1 的大小的余弦值 .
B1 A1 C1

A

C
D

B

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21. [选做题 ]本题包括 A、 B、 C、 D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域 ................. 内作答 . ... A. (选修4-1:几何证明选讲) 如图,AD 是∠ BAC 的平分线,圆 O 过点 A 且与边 BC 相切于点 D ,与边 AB、AC 分别交于点 E、F, 求证:EF∥BC.
E B · O A

23.(本小题满分 10 分) 设 n ? N * 且 n ? 4 ,集合 M ? ?1, 2,3, (1)求集合 A1 , A2 ,
n

, n? 的所有 3 个元素的子集记为 A1 , A2 ,
3 C2015

, AC3 .
n

, AC3 中所有元素之和 S ;
3 , Cn ) 中最小元素与最大元素之和,求

(2)记 mi 为 Ai (i ? 1, 2,
F C

?m
C
i ?1 3 2015

i

的值.

B. (选修4-2:矩阵与变换) ?1 0? ?? 4 3? B?? 已知 ? ? ? ,求矩阵 B . ?1 2? ?4 ? 1 ?

D

2

2015 年高考模拟试卷(2) 参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题 1. 3 ; 2. ?12 ; 3. 5 ; 4. 27 ; 5. 3? ; 6. 成 等

BC sin C BC AB (2)由正弦定理得 ,所以 AB ? ? ? sin A sin A sin C

6? 3 3

6 3 ?2 3.

因为在 ?ABC 中, C ? A ?

?

?

3 sin( A ? B) ? 3 cos A cos B ? sin A cos B









?

B?

?

2 ; 7. 14 ; 8.充分不必要; 【解析】条件“角 A, B, C 9
结 论 “

2 因为在 ?ABC 中, B ? ? ? ( A ? C ) ,

,所以 C 为钝角,且 cos C ? ? 1 ? sin 2 C ? ? 1 ? (

6 2 3 . ) ?? 3 3



sin C ? ( 3 cos A ? sin A)cos B

” 或

?

cos A sin B ? 3 cos A cos B

?

cos A ? 0

或 B ? .所以条件是结论的充分不必要条件. 2 3 15 ? 2 2 3 9. ; 10. ? ; 6 3 ? ? ?1 ? 5 1 ? 5 ? ? 11. ? 【解析】若删去 a 2 ,则 a1 , a3 , a 4 成等差数列, ? 2a3 ? a1 ? a4 , , ?; 2 2 ? ? ? ? 即 2a1q2 ? a1 ? a1q3 , ? q ? 1 (舍去)或 q ?
? 2a2 ? a1 ? a4 , 数列, 即 2aq a 1 aq ?1 1 ?
?1 ? 5 或 . 2 1? 5 1? 5 或q? (舍去);若删去 a3 ,则 a1 , a2 , a 4 成等差 2 2 ?1 ? 5 ?1 ? 5 1? 5 3 ? q ? 1(舍去) , 或q? 或q? (舍去) ?q? 2 2 2

sin B ? 3 cos B ? A ?

?

?

3 3 6 6 1 ? ? ( ) ? ? ? . 3 3 3 3 3 1 1 1 所以 ?ABC 的面积为 S?ABC ? AB ? BC ? sin B ? ? 2 3 ? 6 ? ? 2 . 2 2 3 16. (1)由题意,平面 ABC / / 平面 A1 B1C1 ,平面 A1 B1M 与平面 ABC 交于直线 MN , C ? cosA sin C? 所以 sin B ? sin(A ? C ) ? sinA cos

与平面 A1 B1C1 交于直线 A1 B1 ,所以 MN / / A1 B1 . CN CM 因为 AB / / A1 B1 ,所以 MN / / AB ,所以 . ? AN BM CN 因为 M 为 AB 的中点,所以 ? 1 ,所以 N 为 AC 中点. AN (2)因为四边形 A1 ACC1 是边长为 2 的菱形, ?A1 AC ? 60 . 在三角形 A1 AN 中, AN ? 1 , A1 A ? 2 ,由余弦定理得 A1 N ? 3 , 故 A1 A2 ? AN 2 ? A1 N 2 ,从而可得 ?A1 NA ? 90 ,即 A1 N ? AC . 在三角形 ABC 中, AB ? 2 3 , AC ? 2 , BC ? 4 , 则 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ,从而可得 ?BAC ? 90 ,即 AB ? AC . 又 MN / / AB ,则 AC ? MN . MN ? 面 A1 B1MN , A1 N ? 面 A1 B1MN , 因为 MN A 1N ? N, 所以 AC ? 平面 A1B1MN . 又 AC ? 平面 A1 ACC1 ,所以平面 A1 B1MN ? 平面 A1 ACC1 . 17. 正三棱锥展开如图所示. 当按照底边包装时体积最大. 设正三棱锥侧面的高为 h0 ,高为 h . 由题意得
3 3 x ? h0 ? 10 ,解得 h0 ? 10 ? x. 6 6
D' D C

12. 0 ; 【解析】

AD ? DC ? CB ? BA ? 0 , ? AD ? BC ? AB ? CD ,
2 2

?( AD ? DC) ? (BC ? CD) ? AD ? BC ? CD ? ( AD ? BC) ? CD ? AD ? BC ? CD ? ( AB ? CD) ? CD ,
AC ? BD ? ?12 , AB / / CD , AB ? 6 , AD ? DC ? 2 , ? AD ? BC ? 0 . 5 ?1 5 ?1 b2 b2 b , ); 13. ( 【解析】由条件得 b 2 ? ac ,不妨设 a ? b ? c ,则 c ? ? a ? b ,即 2 ? ? 1 ? 0 ;同理 2 2 a a a 5 ?1 b 5 ?1 5 ? 1 sin B b sin B ? ? 1 .而 , ). 得当 a ? b ? c 时, 的取值范围是 ( ? ,? 2 a 2 2 sin A a sin A ln 3 1 x x x 14. ( 【解析】 f ( x) ? f (3x) ,? f ( x) ? f ( ) ,当 x ? [3,9) 时, ?[1, 3) ,? f ( x) ? ln ,在直角坐 , ). 9 3e 3 3 3 f ( x) 标系内作出函数 f ( x) 的图象, 而 表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率. 图象上的点 (9, ln 3) x ln 3 x 1 与与原点的连线的斜率为 ;当过原点的直线与曲线 f ( x) ? ln , x ?[3,9) 相切时,斜率为 (利用导 9 3 3e ln 3 1 数解决) . ? 由图可知,满足题意得实数 t 的取值范围为 ( , ). 9 3e

O A B

则 h ? h02 ?

x2 3 2 x2 10 3 ? (10 ? x) ? ? 100 ? x, 12 6 12 3

D''

x ? (0,10 3) .
1 1 3 2 10 3 3 2 10 3 x ? 100 ? x? x 100 ? x. 所以,正三棱锥体积 V ? Sh ? ? 3 3 4 3 12 3

二、解答题 15. (1)因为在 ?ABC 中, C ? A ? 所以 sin C ? sin(A ?

?
2

,所以 A 为锐角,且 cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

3 2 6 ) ? . 3 3

?
2

)? cosA ?

6 ; 3

设 y ?V2 ?

x4 10 3 100 x 4 10 x5 (100 ? x) ? ? , 48 3 48 48 3
100 x3 50 x 4 ? ,令 y ? ? 0 ,得 x ? 8 3 , 12 48 3

求导得 y ? ?

3

当 x ? (0,8 3) 时, y ? ? 0 , ? 函数 y 在 (0,8 3) 上单调递增, 当 x ? (8 3,10 3) 时, y ? ? 0 , ? 函数 y 在 (8 3,10 3) 上单调递减, 所以,当 x ? 8 3cm 时, y 取得极大值也是最大值. 此时 y ? 15360 ,所以 Vmax ? 32 15cm3 . 答:当底面边长为 8 3cm 时,正三棱锥的最大体积为 32 15cm3 .

由数列 {bn } 是等比数列及 b1b2b3 ? 27 ,得 b2 ? 3 . 设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ,

9 ? ?3 ? 2d ? 3q, ?d ? 3, ?d ? ? , 若 m ? 18 ,则有 ? 2 ,解得 ? 或 ? 2 . ?q ? 3 ?3q ? 3q ? 18 ? q ? ? 2 ?
9 ? ? ?an ? 3n ? 3, ? an ? ? n ? 12, 2 所以, {an } 和 {bn } 的通项公式为 ? 或? n ?1 ? ?b ? 3(?2) n ? 2 ?bn ? 3 ? n

? b2 2 , ? 1? 2 ? ? a 2 解得 a2 ? 3, b2 ? 3 , 18. (1)由题设: ? 2 ? 1 ? 1 ? 1, 2 2 ? b ? a

② 由题设 b4 ? b3 ? m ,得 3q2 ? 3q ? m ,即 3q2 ? 3q ? m ? 0 ( *) . 因为数列 {bn } 是唯一的,所以 若 q ? 0 ,则 m ? 0 ,检验知,当 m ? 0 时, q ? 1 或 0 (舍去) ,满足题意;

? 椭圆 C 的方程为

x2 2 y 2 ? ? 1; 3 3

(2)①直线 l 的斜率不存在或为 0 时,

1 1 2 2 2 2 4 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2; 2 2 2 OA OB OM a b 3 3 ②直线 l 的斜率存在且不为 0 时,设直线 l 的方程为 y ? kx(k ? 0) , 1 则 MA ? MB , ? 直线 OM 的方程为 y ? ? x , k ? y ? kx 3 由? 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 3 , ? xA2 ? xB 2 ? , 2 1 ? 2k 2 ?x ? 2 y ? 3
同理 ? xM 2 ?

3 1 若 q ? 0 ,则 (?3)2 ? 12m ? 0 ,解得 m ? ? ,代入( *)式,解得 q ? , 4 2
又 b2 ? 3 ,所以 {bn } 是唯一的等比数列,符合题意. (2)依题意, 36 ? (a1 ? b1 )(a3 ? b3 ) ,
3 设 {bn } 公比为 q ,则有 36 ? (3 ? d ? )(3 ? d ? 3q ) , ( **) q

3 所以, m ? 0 或 ? . 4

3k 2 , k2 ? 2 1 1 1 2 ? 2? ? ? 2 2 OA OB OM (1 ? k 2 ) ?

3 3 (1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2(1 ? 2k 2 ) 2( k 2 ? 2) ? ? 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) ? 2,

?

1

? (1 ?

2 1 3k 2 )? 2 2 k k ?2

记m ? 3?d ?

3 , n ? 3 ? d ? 3q ,则 mn ? 36 . q

将( **)中的 q 消去,整理得 d 2 ? ( m ? n) d ? 3( m ? n) ? 36 ? 0,
d 的大根为

1 1 2 ? ? ? 2 为定值; 2 2 OA OB OM 2 (3)由( 2)得: ?
①直线 l 的斜率不存在或为 0 时,

n ? m ? (m ? n)2 ? 12(m ? n) ? 144 n ? m ? (m ? n ? 6)2 ? 36 ? 2 2

1 1 1 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ?1 ; 2 2 OA OM a b 3 3

而 m, n ? N ? ,所以 ( m, n) 的可能取值为:
(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9, 4),(12,3),(18, 2),(36,1) .

②直线 l 的斜率存在且不为 0 时, 1 1 1 1 1 ? 2k 2 k2 ? 2 ? ? ? ? ? ?1 1 3k 2 OA2 OM 2 (1 ? k 2 ) ? 3 3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) (1 ? ) ? 1 ? 2k 2 k2 k2 ? 2

所以,当 m ? 1, n ? 36时, d 的最大值为 20.(1) f ?( x) ? 2ax ? e x . 显然 a ? 0 , x1 , x2 是直线 y ? ? 由 g ?( x) ?

35 ? 5 37 . 2

? 原点 O 到直线 AM 的距离 d ? ? 直线 AM 与圆 x ? y ? 1 相切,
2 2

OA ? OM OA ? OM
2 2

?

1 ?1, 1 1 ? OA2 OM 2

1 x 与曲线 y ? g ( x) ? x 两交点的横坐标. 2a e

即存在定圆 x ? y ? 1,使得直线 l 绕原点 O 转动时, AM 恒与该定圆相切.
2 2

19. (1)①由数列 {an } 是等差数列及 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ,得 a2 ? 3 ,
4

1? x ? 0 ,得 x ? 1 .列表: ex

x

(??,1)

1

(1, ??)

g ?( x)

?


0

?

从而 ?CDF ? ? EFD . 于是 EF / / BC .

g ( x)

g ( x)max ?

1 e


b ? ?a b ? ?1 0 ? ?a B. 设 B ? ? , 则? B?? ? ? ?, ?c d ? ?1 2? ? a ? 2c b ? 2d ?
?a ? ?4, ?a ? ?4, ?b ? 3, ?b ? 3, ? ?4 3 ? ? 解得? 故B ? ? 故? ? ?. ? 4 ? 2? ?a ? 2c ? 4, ?c ? 4, ? ? ?b ? 2d ? ?1, ?d ? ?2.

此外注意到: 当 x ? 0 时, g ( x ) ? 0 ;

1 1 当 x ? [0,1] 及 x ? (1, ??) 时, g ( x) 的取值范围分别为 [0, ] 和 (0, ) . e e 1 1 e e 于是题设等价于 0 ? ? ? < ? a ? ? ,故实数 a 的取值范围为 (??, ? ) . 2a e 2 2
(2)存在实数 a 满足题设.证明如下: 由 (1)知, 0 ? x1 ? 1 ? x2 , f ?( x1 ) ? 2ax1 ? e x1 ? 0 , 故 f ( x1 ) = ax12 + e x1 ? e x1 ?
2 2 x1 x1 e x1 1 x1 e ? e 3 x1 ,故 ? e ? e3 ? 0 . 2 x1 2

? 绕极点按顺时针方向旋转 C. (1)圆 C 是将圆 ? ? 4 cos

6 5? ? (2)将 ? ? ? 代入圆 C 的极坐标方程 ? ? 4cos(? ? ) ,得 ? ? 2 2 , 12 6 5? 所以,圆 C 被直线 l : ? ? ? 所截得的弦长为 2 2 . 12
D. 因为 a , b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,
b ? 2)? (3 c ? 2)? 9 所以 (3a ? 2) ? (3 .

? ? ? 4cos(? ? ) .

? 而得到的圆,所以圆 C 的极坐标方程是 6

2 ex 1 ex ( x ? 1) 1 x 记 R ( x) ? ? e x ? e 3 (0 ? x ? 1) ,则 R?( x) ? ? e ? 0, x 2 x2 2

于是, R( x) 在 (0,1) 上单调递减.

于是由均值不等式可知

2 2 又 R( ) ? 0 ,故 R( x) 有唯一的零点 x ? . 3 3
从而,满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 的 x1 ?
2

? 3a1? 2 ? 3b1? 2 ? 3c1? 2 ??(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)?
? 33 1 ? 33 (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2) ? 9 , (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2)

e x1 3 2 2 ? ? e3 . .所以, a ? ? 2 x1 4 3

当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,上式等号成立. 3 从而 故
1 ? 1 ? 1 ?1. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

3 2 3 2 此时 f ( x ) ? ? e 3 x 2 ? e x , f ?( x) ? ? e 3 x ? e x , 4 2

2 又 f ?(0) ? 0 , f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 ,而 x1 ? ? (0,1) , 3 2 3 2 2 故当 a ? ? e 3 时, f ( x)极大 ? f ( x1 ) ? e 3 . 4 3

1 ? 1 ? 1 的最小值为 1 .此时 a ? b ? c ? 1 . 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 3 22. 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ,

? 分别以 AB 、 AC 、 AA1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,
则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0, 4,0), A1 (0,0,3), B1 (2,0,3), C1 (0, 4,3) ,
A · O

第Ⅱ卷(附加题,共 40分)
21.A. 如图,连结 DF . 因为 BC 与圆相切, 所以 ?CDF ? ? DAF . 因为 ?EFD 与 ?EAD 为弧 DE 所对的圆周角, 所以 ?EFD ? ?EAD. 又因为 AD 是 ?BAC 的平分线, 所以 ?EAD ? ?DAF.
5 B D C E F

D 是 BC 的中点, ? D(1, 2,0) ,

(1) AC 1 1 ? (0,4,0), A 1 D ? (1,2, ?3) ,

?n ? A C ? 0 ? 设平面 A1C1 D 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? 1 1 1 , ? ?n1 ? A1 D ? 0

? x1 ? 3 ?4 y1 ? 0 ? 即? ,取 ? y1 ? 0 , x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? 1 1 1 ?z ? 1 ? 1

?

?m
i ?1 3 Cn

3 Cn

3 C2015

i

? n ?1. ?

?m
C
i ?1 3 2015

i

? 2015 ? 1 ? 2016 .

? 平面 A1C1 D 的法向量 n1 ? (3,0,1) ,
而 DB1 ? (1, ?2,3) ,

? cos ? n1 , DB1 ??

n1 ? DB1 n1 ? DB1

?

3 35 , 35
3 35 ; 35

? 直线 DB1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值为
(2) A1 B1 ? (2,0,0) , DB1 ? (1, ?2,3)

?n ? A B ? 0 ? 设平面 B1 A1 D 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? 2 1 1 , ? ?n2 ? DB1 ? 0
? x2 ? 0 ?2 x2 ? 0 ? 即? ,取 ? y2 ? 3 , x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? 2 2 2 ?z ? 2 ? 2

? 平面 B1 A1 D 的法向量 n2 ? (0,3, 2) ,
? cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 n1 ? n2 ? 130 , 65
130 . 65

? 二面角 B1 ? A1 D ? C1 的大小的余弦值

23 . ( 1 )因为含元素 1 的子集有 Cn2?1 个,同理含 2,3, 4, , n 的子集也各有 Cn2?1 个,于是所求元素之和为 1 2 2 (1 ? 2 ? 3 ? ? n) ? Cn (n ? 2n)(n2 ? 1) ; ?1 ? 4 (2)集合 M ? ?1, 2, 3, ,n? 的所有 3 个元素的子集中: 以 1 为最小元素的子集有 Cn2?1 个,以 n 为最大元素的子集有 Cn2?1 个;
2 2 n ? 1 为最大元素的子集有 Cn 以 2 为最小元素的子集有 Cn ? 2 个,以 ? 2 个; 2 2 以 n ? 2 为最小元素的子集有 C2 个,以 3 为最大元素的子集有 C2 个.

? ? mi ? m1 ? m2 ?
i ?1

3 Cn

? mC3
n

? (n ? 1)(C

2 n ?1

?C

2 n?2

?

2 ? C2 )
2 3 ? C3 ? C3 )

2 2 ? (n ? 1)(Cn ?1 ? Cn ? 2 ?

2 2 ? (n ? 1)(Cn ?1 ? Cn ? 2 ?

2 3 ? C4 ? C4 )

?

3 ? (n ? 1)Cn ,

6


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