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2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-3:第一章 计数原理 3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》


1.3.2 杨辉三角与二项式 系数的性质

1.了解杨辉三角的简单历史,理解二项式系数的

性质,应用性质解决一些简单问题.
2.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过对 二项式系数表(杨辉三角)的观察猜想、归纳出

二项式系数的性质.

本节课从杨辉三角出发,直观地认识二项 r (r ? 0,1,2,? ? ?, n) . 式性质,构造函数 f (r ) ?C n 利用函数的思想理解二项式系数的对称性、 增减性及最大值,并加以严格的证明,按知识 的逻辑关系来编排内容。 为了实现本节课的教学目标,在教法上采用 “观察、猜想、归纳、论述、证明、合作交流” 的方法。多给学生一点空间、时间, 由学生观察、 探究与交流. 提高归纳猜想能力及表达能力,使学 生获得较全面的发展。让学生通过对低阶杨辉三 角的观察,猜想并归纳出二项式系数的性质。

二项式定理

(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+?+Cnkan-kbk+?+Cnnbn
展形式的第k+1项为

Tk+1= Cnkan-kbk

计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:
n 1 2 3 4 1 1 1 1

(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 1 3 6 1 4 1

5
6

1
1

5
6

10
15

10
20

5
15

1
6 1

对称性

(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
议一议
1)请看系数有没有明显的规律?
2)上下两行有什么关系吗?

3)根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗?

总结提炼1:

a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
1 1 1 1 4 4 3 6 6 10 10 10 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1

例如:2+1=3

4+6=10
0 1 C1 C1
1 0 C21 C 2 C 因为: C 2+ C22 = C22 =

3 0 1 1 2 2 2 3 C3 C C C 3 10 3 C5 = C4 +3C4 =
2 3

1 1 6

5

5
6

1
1

15

20 15

1 2 0 3 4 r C4 r C4 r-1 C 4 C4 C4 + =

cn cn cn+

1

0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 C5

0 2 3 4 5 6 1 当n不大时,可用该表来求二项式系数。 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6

总结提炼2:

Cn ? Cn
m

n? m

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行——— 第2行—— 第3行—第4行—
0 1 C1 C1
0 1 2 C2 C2 C2

1

1 2 1 3 6 4 1 1 1 1

对称
1 1 1 1

1 3 4

0 1 2 3 C3 C3 C3 C3
3 0 1 2 4 C4 C4 C4 C4 C4

0 1 2 3 4 5 C5 C5 C5 C5 C5 第5行-- C 5 0 2 3 4 5 6 1 C6 C6 C6 C6 C6 第6行- C 6 C 6

5 10 10 5 6 15 20 15 6

知识探究3: (a+b)1 (a+b)2
0 C1 C1 1

1 1 1 2 1
1 2 C0 C C 2 2 2
1 C0 C 3 3 2 C3 C3 3

(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n
0 5

1
1
5 5

3 3
4 6 4

1
1 1 1

1 3 4 2 C0 C C C C 4 4 4 4 4

C C C
1 5

2 5

C

3 5

C

4 5

C

1

5 10 10 5

1 1 2 3 4 5 6 C0 C C C C C C 6 6 6 6 6 6 6 n Cn0 Cn1 Cn2 … C r … Cn
n

6 15 20 15 6

当n为偶数如2、4、6时,中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时,中间两项最大

(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6

+

+
+ +

+

+
+

+

+
+

+

+
+

+ +

①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起,每行除1以外的每一个数都等于它肩上 的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1

杨辉三角

《 九 章 算 术 》

杨 辉

《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表

杨辉三角

类似上面的表 , 早在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了,这个表称为杨辉三角.在书中,还说明 了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两 个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算 书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪) 已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世 纪.在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡 (1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧 洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成 就是非常值得中华民族自豪的.

二项式系数的性质

(a ? b) 展开式的二项式 0 1 2 n Cn , Cn , Cn ,?, Cn 系数依次是:
n

从函数角度看,C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) ,

r n

?0,1,2,?, n? 其定义域是:

当 n ? 6 时,其图象是右 图中的7个孤立点.

二项式系数的性质 ①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由公式 m n ?m Cn ? Cn 得到.

n r? 图象的对称轴: 2

二项式系数的性质 ②增减性与最大值
n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? k ? 1) 由于: C ? k ? (k ? 1)! k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? k
k n

n ? k ?1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定 k
k n

k ?1 n

二项式系数的性质 ②增减性与最大值 由:n ? k ? 1 ? 1 ? k ? n ? 1
k 2
n ?1 可知,当 k ? 时, 2

二项式系数前半部分是逐渐增大的,由 对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且 中间项取得最大值。

二项式系数的性质

②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式

系数 C 取得最大值;
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C
C
n ?1 2 n
n ?1 2 n

n 2 n

相等,且同时取得最大值。

二项式系数的性质
③各二项式系数的和 在二项式定理中,令 a ? b ? 1,则:

C ? C ? C ? ?? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n
n

n

(a ? b) 的展开式的各二项式系 这就是说, n 2 数的和等于:

同时由于C0 n ? 1,上式还可以写成:

C ? C ? C ? ? ? C ? 2 ?1
1 n 2 n 3 n n n n

这是组合总数公式.

例1.证明在(a+b)n展开式中,奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? ? ? C a b ? ? ? ?C b
n 0 n n r n 1 n ?1 n n?r r n n n

在二项式定理中,令

a ? 1, b ? ?1 ,则:
特值法
3 n

?1 ? 1?
0 n

n

1 ? Cn0 ? Cn ? Cn2 ? Cn3 ? ? ? ? ? (?1) n Cnn

0 ? (C ? C ? ? ? ?) ? (C ? C ? ? ? ?)
0 n 2 n 1 n

C ? C ? C ? ??? ? C ? C ? C ? ???
2 n 4 n 1 n 3 n 5 n

练习

1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( C )
(A)第6项 (B)第7项 (C)第8项 (D)第9项

2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有20个 灯泡,只要有一个灯泡坏了,整串灯泡就不亮, 则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种 数为 ( D )
(A)20 (B)219 (C)220 (D)220 - 1

n m 3.若C19 与C n 同时有最大值,则 m ? 4或5

例2

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a6 x ? a7 x
7 2 6

7

求: (1)a0
解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x)
7

(1)令x ? 0
即f (0) ? (1 ? 2 ? 0) ? 1,
7

展开式右边即为a0

?a0 ? f (0) ? 1

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a6 x ? a7 x (2)a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7
7 2 6

例2

7

解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x) (2)令x ? 1 7 f (1) ? (1 ? 2 ? 1) ? ?1 ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 a1 ? a2 ? ... ? a7
7

? (a0 ? a1 ? ? ? a7 ) ? a0 ? f (1) ? f (0) ? ?1 ? 1 ? ?2

例2

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a6 x ? a7 x
7 2 6

7

(3)a1 ? a3 ? a5 ? a7

解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x)

7

(3) ? f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7

f (?1) ? a0 ? a 1 ?a2 ? a3 ? ?? a7
?2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? f (1) ? f (?1)

小结:求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值,然后解方程组整体求解

练习:
4. 已知(1 ? 2 x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 则a1 ? a2 ? ? ? a7 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a0 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ?

-2 -1094 1093

例3:在(3x -2y)20的展开式中,求系数最大的项;

解:设系数绝对值最大的项是第r+1项.则

C ?3
r 20 r 20

20 ? r 20 ? r

?2 ? C
r r

r ?1 20 r ?1 20

?3 ?3

19 ? r 21? r

?2 ?2

r ?1 r ?1

C ?3


?2 ? C

3(r+1)>2(20-r) 得 7 2 ? r ? 8 2 5 5 2(21-r)>3r

所以当r=8时,系数绝对值最大的项为

T9 ? C ? 3 ? 2 ? x y
8 20 12 8 12

8

杨辉三角的其它规律

1、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点 第0 行 1 第1 行 1 1 第2 行 1 2 1 第3 行 1 3 3 1 k-1行(k是正整数) 杨辉三角的第 2 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6 行 1 6 15 20 15 6 1 的各个数字都是 质数的积) 第7 行 1 7 21奇数 35 ( 35 21 7 1

…… ……… 2 r r ?1 1 … C C Cn ?1 第n-1行 1 Cn ?1 n ?1 n ?1 … r 2 1 … … Cn 第n行1 Cn Cn …… … …

n?2 Cn ?1

1
n ?1 n

C

1

2、杨辉三角中若第P行除去1外,P整除其余的所 有数,则行数P是 质 数 ( 素 数 ) 第0 行 1 第1 行 1 1 第2 行 1 2 1 第3 行 1 3 3 1 第4 行 1 4 6 4 1 第5 行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第n-1行 1

C
1 n

1 n ?1

C
2 n

2 n ?1

……r ?……… r 1 … Cn ?1 Cn ?1 … …… … …
r Cn

C

n?2 n ?1

1 1

第n行1 C

C





Cnn ?1

思考1 0 2 1 2 2 2 n 2 n ( C ) ? ( C ) ? ( C ) ? ? ? ( C ) ? C 求证: n n n n 2n .
略证:由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,两边展开后比 较xn的系数得:

C C ?C C
0 n n n 1 n

n ?1 n n n

?C C
2 n 0 n

n? 2 n

??

?C

n ?1 n

C ?C C ?C
1 n
n? m n

n 2n

再由 C ? C
m n


2 2 n n 2 n n 2n

(C ) ? (C ) ? (C ) ? ? ? (C ) ? C .
0 2 n 1 2 n

0 1 2 n 思考2求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? ? n ?1? Cn ? ? n ? 2? ? 2n?1

0 1 2 n ? 2 C ? 2 C ? 3 C ? ? ? n ? 1 C ? ? n? 证明:∵ ? n n n ?

? C ? 2C ? 3C ? ? ? ? n ? 1? C ?
0 n 1 n 2 n n n 0 n

? n ? 1? C

? nC ? ? 2 ? C
1 n

n ?1 n

?C

n n

? ? n ? 2? ? (C ? C ? C ??? C )
0 n 1 n 2 n n n

? ? n ? 2? ? 2
0 n 1 n 2 n

n
n n n

? C ? 2C ? 3C ? ? ? ? n ? 1? C ? ? n ? 2 ? ? 2

倒序相加法

思考1: 试证明在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证:C
0 n

? C ? ? ? C ? C ?? ? 2
2 n 1 n 3 n

n? 1

0 n 1 n?1 n n 证明:在展开式 Cn a ? Cna b ? ? ? Cn b 中

令a=1,b=-1得
0 1 2 3 n (1 ? 1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1)n Cn
0 2 1 3 即0 ? ? C n ? Cn ? ?? ? ? C n ? Cn ? ??

0 2 1 3 ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ???

启示:在二项式定理中,对a,b赋予一些特定的值, 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法.

思考2 求证: (C ) ? (C ) ? (C ) ? ? ? (C ) ? C .
0 2 n 1 2 n 2 2 n n 2 n n 2n

略证:由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,两边展开后

比较xn的系数得:
0 n 1 n ?1 2 n? 2 Cn Cn ? Cn Cn ? Cn Cn ? ?

?C
m n

n ?1 n

C ?C C ?C
1 n n n 0 n
n? m n

n 2n

再由C ? C
0 2 n


2 2 n n 2 n n 2n

(C ) ? (C ) ? (C ) ? ? ? (C ) ? C .
1 2 n

1.当n?10时常用杨辉三角处理二项式系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的

对称性、增减性和最大值;
3.常用赋值法解决二项式系数问题.

课后作业

课本第43页 A组 8题

B组第2题

敬请指导


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