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《直线与平面垂直的判定(北师大版)》


《直线与平面垂直的判定(北师大版) 》教学设计 学习内容分析 本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 2(北师大版) 》第一章 6.1 节。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。 本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础; 线面垂直的判定定理充分体 现了线线垂直与线面垂直之间的转化, 它既是后面学习面面垂直的基础, 又是连接线线垂直 和面面垂直的纽带。学好这部分内容,对于学生建立空间观念,实现从认识平面图形到认识 立体图形的飞跃,是非常重要的。 二、学习者分析 本节课的学生是高二的学生, 在学习本节课之前, 学生已经学习了掌握了线线垂直的证 明, 并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识, 因此学生对于线面 垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困 难,受线面平行的影响,很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直,由于平面内 看不到直线,要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难;同时,线面垂直判 定定理的发现具有一定的隐蔽性,学生不易想到。

三、教学重点、难点 重点:直线与平面垂直的判定定理。 难点:探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用.

四、教学目标 (1)知识与技能目标: 1.描述直线与平面垂直的定义; 2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题. (2)过程与方法目标: 1.通过对实例、图片的观察,概括定义,正确理解定义,增强观察能力; 2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题” 、 “线面垂直转化为线线垂直” 、 “无限转化为有限”等数学思想. (3)情感态度与价值观目标: 1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳,感受生活中的数学美;

2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究,体验探索的乐趣 五、教学过程 1.复习回顾,引入新课 问题:同学们,我们已经学习了空间中直线与平面的位置关系,有哪些位置关系? 【师生活动】学生集体可能回答:直线在平面内,直线与平面平行,直线与平面相交 【追问】有些位置关系是比较特殊的,一种是线面平行,还有一种呢? 【师生活动】 教师引导学生回答线面垂直这种位置关系是一种特殊的线面位置关系并揭示课 题

2.逐步探索,得出定义 问题:在日常生活中你见到的线面垂直的现象有哪些? 【师生活动】 学生列举生活中的线面垂直现象, 然后教师也展示生活中的一些线面垂直现象, 例如篮球架和地面垂直,旗杆和地面垂直。对于旗杆与地面垂直的现象进行抽象化,让学生 对下列问题进行思考。 思考: (1)阳光下,旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是 多少? (2)随着太阳的移动,影子 BC 的位置也会移动, 而旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么? 【设计意图】 :第(1)与(2)两问是为了让学生发现旗杆 AB 所在直线始终与地面上任意一 条过点 B 的直线垂直,第(3)问是为了进一步让学生发现旗杆 AB 所在直线始终与地面上任 意一条不过点 B 的直线也垂直,那么学生就可以得到直线 AB 与地面内任意一条直线垂直。 在这里, 主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、 归 纳直线与平面垂直这一概念. 【师生活动】 师生一起给出线面垂直的定义: 如果直线 l 与平面内 ? 的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作: l ? ? .直线 l 叫做平面 ? 的垂线,平面 ? 叫做 直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 p 叫做垂足。

3. 创设情境,猜想定理 【师生活动】 教师引导学生认识到由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直 是非常困难的,需要寻找简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直。 【实验】准备一个三角形纸片,三个顶点分别记作 折叠纸片,得到折痕 与桌面接触) , , .如图,过△ 的顶点 、 边

,将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上. (使

【师生活动】教师引导学生分别根据这两个示意图进行实验,并思考:

1. 折痕

与桌面一定垂直吗?

2. 为什么图 2 中折痕不一定与桌面垂直? 对于思考 2 教师引导学生根据定义进行回答。 【设计意图】:从另一个角度理解定义:如果想说明一条直线与平面不垂直,只需要在平面 内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.

【师生活动】教师引导学生操作:将纸片绕直线 AD(点 D 始终在桌面内)转动,使得直线 CD、BD 不在桌面所在平面内。问:直线 AD 现在还垂直于桌面所在平面吗? 【设计意图】:通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内,从而更凸现出直线与平 面垂直判定定理的核心词:平面内两条相交直线。

问题:如果我们把折痕抽象为直线 ,把 BD、CD 抽象为直线 图 3),那么你认为保证直线 与平面 垂直的条件是什么?

,把桌面抽象为平面

(如

问题:如果将图 3 中的两条相交直线 直线 还垂直于平面 吗?

、 的位置改变一下,仍保证

,你认为

【设计意图】:让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内 能否找出两条相交直线和已知直线垂直, 至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点, 这 是无关紧要的。 【师生活动】 教师引导学生根据试验给出直线与平面垂直的判定方法。 引导学生从文字语言、 符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理. 文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 强调:两条相交直线,必须满足,不可忽略. 图形语言:

符号语言:

m ? ?, n ? ?, m ? n ? B ? ??l ?a l ? m, l ? n ?

【教师归纳】 “空间问题转化为平面问题” 、 “线面垂直转化为线线垂直” 、 “无限转化为有限” 等数学思想. 4.运用定理,证明问题 练习:1.如图5,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请列举与平面 ABCD 垂直的直线.并说明这些 直线有怎样的位置关系?

2.如图6,已知

,则

吗?请说明理由.

【师生活动】引导学生分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明,并 用文字语言概括: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平 面. 【教师归纳】:这个问题给出了判断直线和平面垂直的又一个方法,间接判定直线与平面垂 直.这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系. 练习:3 如图7,在三棱锥 V-ABC 中 ,VA=VC,AB=BC,K 是 AC 的中点. 证:AC⊥平面 VKB

思考: (1)在三棱锥 V-ABC 中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC; (2)在⑴中,若 E、F 分别是 AB、BC 的中点,试判断 EF 与平面 VKB 的位置关系; (请学生判定后,追问:EF 与 VB 的位置关系如何?) 5.回顾总结 ,作业布置

【师生活动】教师引导学生从知识和方法两个方面进行总结.

知识方面:线面垂直的定义、线面垂直的判定定理. 方法方面:转化思想.


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