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2.2.4 平面与平面平行的性质 学案(人教A版必修2)


2.2.4 平面与平面平行的性质 【课标要求】 1.了解平面与平面平行的性质定理的推证过程. 2.理解平面与平面平行的性质定理及含义. 3.运用面面平行的性质定理,证明一些空间平行关系的 简单命题. 【核心扫描】 1.运用面面平行的性质定理证明线线平行.(重点) 2.能解决平行综合问题,提高解决平行问题的转化能力.(难点)

新知导学 平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 文字语言 α∥β 符号语言

γ∩α=a??a∥b γ∩β=b? ?

? ?

图形语言

作用 由面面平行?线线平行,是证线线平行的一种方法 温馨提示:面面平行的其他性质 α∥β? ? ??a∥β(可用 (1)两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面,即 ? a?α? 来证明线面平行). (2)夹在两平行平面间的平行线段相等(反过来不成立). α∥β? ? ??α∥γ(用于证面面平 (3)平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性), 即 ? γ∥β ? 行). (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 互动探究 探究点 1 若平面 α∥平面 β,则 α 内的直线与 β 内的直线有什么关系? 提示 平行或异面. 探究点 2 若平面 γ 与三个平行平面 α、β、б 中的两个平面 α、β 相交,则 γ 与 б 相交吗? 三条交线有什么关系. 提示 γ 与 б 也相交,三条交线共面且相互平行.

类型一 利用面面平行证线线平行

【例 1】 如图, 平面四边形 ABCD 的四个顶点 A、 B、 C、 D 均在平行四边形 A′B′C′D′ 所确定的平面 α 外且在平面 α 的同一侧,AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.求证:四边

形 ABCD 是平行四边形. [思路探索] 先证出平面 A′D∥平面 B′C, 用性质定理得出 AD∥BC.同理可得 AB∥CD. 证明 ∵AA′∥BB′∥CC′∥DD′, BB′?平面 AA′D′D, AA′?平面 AA′D′D, ∴BB′∥平面 AA′D′D. ∵四边形 A′B′C′D′是平行四边形, ∴B′C′∥A′D′. ∵B′C′?平面 AA′D′D,A′D′?平面 AA′D′D, ∴B′C′∥平面 AA′D′D. 又∵BB′∩B′C′=B′,BB′?平面 BB′C′C,B′C′?平面 BB′C′C, ∴平面 AA′D′D∥平面 BB′C′C. ∵平面 AA′D′D∩平面 ABCD=AD,平面 BB′C′C∩平面 ABCD=BC, ∴AD∥BC.同理 AB∥DC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. [规律方法] (1)除前面学过的证线线平行的方法,如利用平面图形(平行四边形、三角形 中位线)公理 4、线面平行的性质等,面面平行的性质定理也是证线线平行的常用方法. (2)当出现面面平行条件或已证出面面平行时,要有意识地运用面面平行的性质.

【活学活用 1】 如图所示,已知 E,F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 AA1,CC1 的 中点,求证:四边形 BED1F 是平行四边形. 证明 取 D1D 的中点 G, 连接 EG,GC.

∵E 是 A1A 的中点,G 是 D1D 的中点, ∴EG 綉 AD. 由正方体性质知 AD 綉 BC, ∴EG 綉 BC, ∴四边形 EGCB 是平行四边形, ∴EB 綉 GC. 又∵G,F 分别是 D1D,C1C 的中点,∴D1G 綉 FC, ∴四边形 D1GCF 为平行四边形, ∴D1F 綉 GC, ∴EB 綉 D1F, ∴四边形 BED1F 是平面四边形, 类型二 由面面平行证线面平行

【例 2】 如图,在正方体 A1B1C1D1ABCD 中,E、F 分别在 AB1、BD 上且 B1E=BF, 求证:EF∥平面 BB1C1C. [思路探索] (1)综合相似三角形性质及比例线段得线线平行,利用线面平行判定定理得 线面平行. (2)利用平行线分线段成比例定理,综合线面平行关系,先证出经过 EF 的面与平面 B1C 平行,进而得出线面平行.

证明 法一 连接 AF 并延长交 BC 于 H,连接 B1H. ∵AD∥BC,∴△AFD∽△HFB, AF DF ∴ = ,又 BD=AB1, FH FB BF=B1E,∴DF=AE, AF AE ∴ = ,∴EF∥B1H.又 B1H?平面 BB1C1C. FH EB1 EF?平面 BB1C1C, ∴EF∥平面 BB1C1C.

法二 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,过 F 作 FM∥AD,交 AB 于点 M,连接 BF BM ME,则 = . FD MA ∵BD=AB1,BF=B1E, B1E BF BM B1E ∴ = ,∴ = ,∴ME∥BB1, EA FD MA EA ∵ME?平面 BB1C1C, BB1?平面 BB1C1C, ∴ME∥平面 BB1C1C. 由 MF∥AD,AD∥BC,知 MF∥BC. 而 MF?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C, ∴MF∥平面 BB1C1C. ∵MF∩ME=M. ∴平面 MEF∥平面 BB1C1C. ∵EF?平面 MEF,∴EF∥平面 BB1C1C. [规律方法] 证线面平行的常用方法: (1)应用线面平行的定义(结合反证法); (2)应用线面平行的判定定理(关键在面内找到平行线); (3)应用面面平行的性质定理(关键作出经过线的平行平面).

【活学活用 2】 如图所示,两条异面直线 BA、DC 与两平行平面 α、β 分别交于 B、A

和 D、C,M、N 分别是 AB、CD 的中点. 求证:MN∥平面 α. 证明 如图,过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E,取 AE 的中点 P, 连接 MP、PN、BE、ED.

∵AE∥CD, ∴AE、CD 确定平面 AEDC. 则平面 AEDC∩α=DE,平面 AEDC∩β=AC, ∵α∥β,∴AC∥DE. 又 P、N 分别为 AE、CD 的中点, ∴PN∥DE.PN?α,DE?α, ∴PN∥α. 又 M、P 分别为 AB、AE 的中点, ∴MP∥BE,且 MP?α,BE?α, ∴MP∥α,∴平面 MPN∥α. 又 MN?平面 MPN,∴MN∥α. 类型三 平行平面截线段问题

【例 3】 如图所示,线段 PQ 分别交两个平行平面 α、β 于 A、B 两点,线段 PD 分别交 α、β 于 C、D 两点,线段 QF 分别交 α、β 于 F、E 两点,若 PA=9,AB=12,BQ=12,△ACF 的面积为 72.求△BDE 的面积. [思路探索] 利用面面平行的性质定理,分别化为同一平面内的比例问题求解. 解 ∵平面 QAF∩α=AF,平面 QAF∩β=BE,又 α∥β, ∴AF∥BE.同理,AC∥BD. ∴∠FAC 与∠EBD 相等或互补, 即 sin∠FAC=sin∠EBD. 由 FA∥BE, 得 BE∶AF=QB∶QA=12∶24=1∶2. 1 ∴BE= AF. 2 由 BD∥AC, 得 AC∶BD=PA∶PB=9∶21=3∶7. 7 ∴BD= AC. 3 又∵△ACF 的面积为 72,

1 即 AF· AC· sin∠FAC=72, 2 1 ∴S△DBE= BE· BD· sin∠EBD 2 11 7 = ·AF·AC· sin∠FAC 22 3 71 7 = ·AF· AC· sin∠FAC= ×72=84. 62 6 ∴△BDE 的面积为 84. [规律方法] (1)三个平行平面截两条直线所截,截得的对应线段成比例. (2)如果被截的两直线不能确定共面需分共面、异面两种情况讨论解决.

【活学活用 3】 如图,已知 α∥β,点 P 是平面 α、β 外的一点(不在 α 与 β 之间),直线 PB,PD 分别与 α,β 相交于点 A,B 和 C,D. (1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4,AB=5,PC=3,求 PD 的长. (1)证明 ∵PB∩PD=P,∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ,则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又 α∥β,∴AC∥BD. (2)解 由(1)得 AC∥BD, PA PC 4 3 15 27 ∴ = ,∴ = ,∴CD= ,∴PD=PC+CD= . AB CD 5 CD 4 4 易错辨析 因忽略被截两线是否共面所致的 错误 AE 【示例】 平面 α∥平面 β,A,C∈α,B,D∈β,点 E,F 分别在线段 AB,CD 上,且 EB CF = .求证:EF∥β. FD

[错解一] ∵α∥β,且平面 ABDC∩α=AC,平面 ABDC∩β=BD,∴AC∥BD, ∴ABDC 是梯形或平行四边形. AE CF 由 = ,得 EF∥BD. EB FD 又 BD?β,EF?β,∴EF∥β. [错解二] 作 AH∥CD 交 β 于点 H,连接 BH、DH,则四边形 AHDC 是平行四边形,作 CF AG FG∥DH 交 AH 于点 G,连接 EG,于是 = . FD GH AE CF AE AG ∵ = ,∴ = ,于是 EG∥BH. EB FD EB GH 又 BH?β,EG?β,∴EG∥β. 又 FG∥DH,DH?β,而 FG?β, ∴FG∥β.又 EG∩FG=G, ∴平面 EFG∥β.而 EF?平面 EFG, ∴EF∥β.

[错因分析] 二种解法都不全面各忽略了另一类情况,都未考虑 AB、CD 是否共面. [正解] (1)当 AB,CD 共面时(如错解一放此). (2)当 AB,CD 异面时(如错解二放此). [防范措施] 关于被两平行平面截两条直线问题,必须根据条件审清两条直线是否共面.

课堂达标 1.已知 a,b 表示直线,α、β 表示平面,下列推理正确的是( ). A.α∩β=a,b?α?a∥b B.α∩β=a,a∥b?b∥α 且 b∥β C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b 解析 由面面平行的性质定理知 D 正确. 答案 D 2.若平面 α∥平面 β,直线 a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( ). A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行 C.存在无数多条直线与 a 平行 D.存在唯一一条直线与 a 平行 解析 设点 B 与 a 确定一平面为 γ,γ∩β=b,∴a∥b. 答案 D 3.(2012· 济南高一检测)过两平行平面 α,β 外的点 P 的两条直线 AB 与 CD,它们分别交 α 于 A,C 两点,交 β 于 B,D 两点,若 PA=6,AC=9,PB=8,则 BD 的长为________. 解析 两条直线 AB 与 CD 相交于 P 点, 所以可以确定一个平面, 此平面与两平行平面 α, PA AC β 的交线 AC∥BD,所以 = ,又 PA=6,AC=9,PB=8,故 BD=12. PB BD 答案 12

4.如图,P 是△ABC 所在平面外一点,平面 α∥平面 ABC,α 分别交线段 PA,PB,PC S△A′B′C′ 于 A′,B′,C′,若 PA′∶AA′=2∶3,则 =________ . S△ABC 解析 由平面 α∥平面 ABC, 得 AB∥A′B′,BC∥B′C′,AC∥A′C′, 由等角定理得∠ABC=∠A′B′C′, ∠BCA=∠B′C′A′,∠CAB=∠C′A′B′, 从而△ABC∽△A′B′C′,△PAB∽△PA′B′, S△A′B′C′ ?A′B′?2 ?PA′?2 4 = ? AB ? =? PA ? =25. S△ABC 4 答案 25

5.如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平面 AB1M∥平面 BC1N,AC∩ 平面 BC1N=N.

求证:N 为 AC 的中点. 证明 ∵平面 AB1M∥平面 BC1N, 平面 ACC1A1∩平面 AB1M=AM, 平面 BC1N∩平面 ACC1A1=C1N, ∴C1N∥AM,又 AC∥A1C1, ∴四边形 ANC1M 为平行四边形, 1 1 ∴AN=C1M= A1C1= AC,∴N 为 AC 的中点. 2 2 课堂小结 1.两个平面平行具有如下的一些性质: (1)如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行; (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行; (3)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它也和另一个平面相交; (4)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等. 2.线线平行?线面平行?面面平行,要注意这里平行关系的互相转化.


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