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广州市2014届高三调研测试数学理试题答案


广州市 2014 届高三年级调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根 据比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答 应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 3 10 4 11 12 13 36 14 1 15

1 3

?? 1,0?

? 3 3? , ?? ? 3 3 ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .………………………………………………………………1 分 所以 cos

A?C ? ?B …………………………………………………………………………2 分 ? cos 2 2
? sin B 3 ? .………………………………………………………………………3 分 2 3
2

所以 cos B ? 1 ? 2sin

B ……………………………………………………………………………5 分 2

1 ? .………………………………………………………………………………………7 分 3 1 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? , 3
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,………………………………………………………………9 分
2 2 2

得 c ? 2c ? 1 ? 0 . ……………………………………………………………………………………11 分
2

解得 c ? 1 .……………………………………………………………………………………………12 分

1

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由茎叶图可知,甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或良的天数 为 5 天. …………………………………………………………………………………………………1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天.…………2 分 (2) X 的取值为 0,1,2,………………………………………………………………………………3 分 因为 P ? X ? 0 ? ?
0 2 C5 C10 3 ? ,………………………………………………………………………5 分 2 C15 7

P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?

1 C1 10 5 C10 ? ,……………………………………………………………………………7 分 2 C15 21 2 0 C5 C10 2 ? .…………………………………………………………………………9 分 2 C15 21

所以 X 的分布列为: 1 0 2 ……………………10 分 3 10 2 P 21 7 21 3 10 2 2 所以数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .…………………………………………………12 分 7 21 21 3

X

18. (本小题满分 14 分) (1)证明 1:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 , 在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC .……………………………………………………2 分 所以 AC ? BC ? AB .
2 2 2 ?

所以 AC ? BC .………………………………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .………………………………………………………………………………4 分
? ? 证明 2:因为 ?ABC ? 60 ,设 ?BAC ? ? 0 ? ? ? 120 ,则 ?ACB ? 120 ? ? .
? ?

?

?

在△ ABC 中,由正弦定理,得

BC AB ? .…………………………………………1 分 sin ? sin ?120? ? ? ?
?

因为 AB ? 2BC ,所以 sin 120 ? ? ? 2sin ? . 整理得 tan ? ?

?

?

3 ? ,所以 ? ? 30 .…………………………………………………………………2 分 3

所以 AC ? BC .………………………………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .………………………………………………………………………………4 分 (2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC ,
2

所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .……………………………………………………6 分 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME , 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?DAM ? 60 ,
?

所以 MD ? MA ? AD .所以△ MAD 是等边三角形,且 ME ? BF .…………………………7 分 E F 取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD .………8 分 因为 MN ? 平面 ABCD , ED ? FC ,所以 ED ? MN . 因为 AD ? ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . ……………9 分 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角. ……………10 分 因为 NE ? 平面 ADE ,所以 MN ? NE .…………………11 分 因为 MN ? N A M D

C B

3 AD , ME ? MD 2 ? DE 2 ? 2 AD ,…………………………………………12 分 2
MN 6 ? .……………………………………………………13 分 ME 4

在 Rt △ MNE 中,sin ?MEN ?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 .………ks5u……………………14 分 4

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .……………………………………………………6 分 所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .………………………7 分 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则 B ? 0,1, 0 ? , F ? 0, 0,1? , A
?

E

z

F

?

3, 0, 0 ,
x A

?

D

C B y

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? , ? , 0 ,E? ? ? 2 ? 2 , ? 2 ,1 ? ?, 2 ? ? ? ? ?
所以 BF ? ? 0, ?1,1? , DA ? ?

??? ?

??? ?

? 3 1 ? ???? ? 2 , 2 ,0? ? , DE ? ? 0, 0,1? .………………………………………9 分 ? ?

??? ? ? ?n ? DA ? 0, ? 3 x ? y ? 0, ? 设平面 ADE 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? 即? 2 2 n ? DE ? 0. ? ? z ? 0. ? ?
3

取 x ? 1 ,得 n ? 1, ? 3, 0 是平面 ADE 的一个法向量.………………………………………11 分 设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为 ? ,

?

?

??? ? ??? ? ? 0, ?1,1?? 1, ? 3, 0 BF ? n 6 则 sin ? ? cos? BF , n? ? ??? .……………………………13 分 ? ? ? 4 2 ?2 BF ?n

?

?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 . ………………………………………………14 分 4

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 an ?1 ?

3an 1 1 2 ? ? .…………………………………………………1 分 ,所以 an ?1 3an 3 2an ? 1

所以

? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? .…………………………………………………………………………3 分 an ?1 3 ? an ?

因为 a1 ?

1 2 3 ,则 ? 1 ? .…………………………………………………………………………4 分 a1 3 5
?1 ? 2 1 ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列.…………………………………………5 分 3 3 ? an ?
n ?1

所以数列 ?

1 2 ?1? ?1 ? ? ? ? (2)由(1)知, an 3 ?3?

?

2 3n ,所以 .……………………………………7 分 a ? n 3n 3n ? 2

假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件, 则有 ?

? ? m ? t ? 2 s, ……………………………………………………………………9 分 2 a ? 1 ? a ? 1 a ? 1 . ? ? ? ?? ? ? m t ? s

3n 2 由 an ? n 与 ? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? , 3 ?2
? 3s ? ? 3m ? ? 3t ? ? 1? ? ? m ? 1? ? t ? 1? .……………………………………………………10 分 得? s ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?
即3
m ?t
2

? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32s ? 4 ? 3s .……………………………………………………………11 分
m t s

因为 m ? t ? 2s ,所以 3 ? 3 ? 2 ? 3 .……………………………………………………………12 分 因为 3 ? 3 ? 2 3
m t m ?t

? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立,

这与 m , s , t 互不相等矛盾.……………………………………………………………………13 分 所以不存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件.……………………………………………14 分 20. (本小题满分 14 分)
4

解: (1)因为 f ? x ? ?
2

1 3 x ? ax , g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 , 3

所以 f ? ? x ? ? x ? a ,g ? ? x ? ? 2bx .…………………………………………………………………1 分 因为曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同切线, 所以 f ?1? ? g ?1? ,且 f ??1? ? g ??1? 。

1 ? a ? b ? 2b ? 1 ,且 1 ? a ? 2b , ………………………………………………………………2 分 3 1 1 解得 a ? , b ? .……………………………………………………………………………………3 分 3 3 1 1? a 2 (2)当 a ? 1 ? 2b 时, h ? x ? ? x3 ? x ? ax ? a ? a ? 0 ? , 3 2
即 所以 h? ? x ? ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? .…………………………………………………4 分
2

令 h? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 . 当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ?

?? ?,?1?
?


?1
0 极大值

?? 1, a ?
?


a
0 极小值

?a,?? ?
?


h? x ?

所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1, a ? .………………5 分 故 h ? x ? 在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减.………………………………6 分

?h ? ?2 ? ? 0, ? 从而函数 h ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当 ? h ? ?1? ? 0, ………………………7 分 ? ?h ? 0 ? ? 0.
? 8 ?? 3 ? 2 ?1 ? a ? ? 2a ? a ? 0, ? 1 ? 1 1? a ? a ? a ? 0, 即 ?? ? 解得 0 ? a ? . 2 3 ? 3 ??a ? 0. ? ?
所以实数 a 的取值范围是 ? 0,

? ?

1? ……………………………………………………………………8 分 ?. 3?
1 3 x ? x ?1. 3
5

(3)当 a ? 1 , b ? 0 时, h ? x ? ?

所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1,1? .

5 5 , h ?1? ? ? ,所以 h ? ?2 ? ? h ?1? .……………………………………………9 分 3 3 ①当 t ? 3 ? 1 ,即 t ? ?2 时,………………………………………………………………………10 分 1 3 ? ……………………………………………………………………11 分 ?h ? x ?? ? min ? h ? t ? ? 3 t ? t ? 1 . ②当 ?2 ? t ? 1 时, 5 ? ……………………………………………………………………………12 分 ?h ? x ?? ? min ? h ?1? ? ? 3 .
由于 h ? ?2 ? ? ? ③当 t ? 1 时, h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,

1 3 ? ……………………………………………………………………13 分 ?h ? x ?? ? min ? h ? t ? ? 3 t ? t ? 1 .
综上可知,函数 h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值为

? ?h ? x ?? ? min

?1 3 t ? t ? 1, ? ?3 ?? ?? 5 , ? ? 3

t ? ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ? , t ? ? ?2,1? .
……………………………………………14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

所以双曲线的渐近线方程为 y ? ? 因为两渐近线的夹角为 60 且
?

b x .……………………………………………………………1 分 a

b ? 1 ,所以 ?POF ? 30? . a

所以

3 b ? tan 30? ? .……………………………………………………………………………2 分 3 a
3b .
2 2 2

所以 a ?

l1

y

P A

因为 c ? 2 ,所以 a ? b ? 2 , 所以 a ? 3 , b ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 l2

O l B

F

x

x2 ? y 2 ? 1.…………………………………………………………………4 分 3

(2)因为 l ? l1 ,所以直线 l 与的方程为 y ? 因为直线 l 2 的方程为 y ?

a ( x ? c) ,其中 c ? a 2 ? b 2 .………………………5 分 b

b x, a
6

联立直线 l 与 l 2 的方程解得点 P ?

? a 2 ab ? , ? .………………………………………………………6 分 ? c c ?



??? ? ??? ? | FA | ? ? ,则 FA ? ? AP .………………………………………………………………………7 分 | AP |

因为点 F ? c, 0 ? ,设点 A ? x0 , y0 ? , 则有 ? x0 ? c, y0 ? ? ? ?

? a2 ? ab ? x0 , ? y0 ? . c ? c ?

解得 x0 ?

? ab c2 ? ?a2 , y0 ? .………………………………………………………………8 分 c ?1 ? ? ? c ?1 ? ? ?
x2 y 2 ? ? 1上, a 2 b2
2

因为点 A ? x0 , y0 ? 在椭圆

?c 所以
?

? ? ab ? ? 2 2 2 2 2 2 a c ?1 ? ? ? b c ?1 ? ? ?
2

? ?a2 ?

2

? 1.

2 2 即 c ? ?a

?

2

? ? 2 a 4 ? ?1 ? ? ? a 2 c 2 .ks5u
2

等式两边同除以 a 得 (e ? ? ) ? ? ? e (1 ? ? ) , e ? (0,1). ……………………………………10 分
4
2 2 2 2 2

所以 ? ?
2

e2 ? e4 2 ? ? ? ? ? 2 ? e2 ? ? ? 3 ………………………………………………………11 分 2 2?e 2 ? e2 ? ?
2 ?2 ? e ?? 2 ? e
2 2

? ?2
2

? 3 ? 3? 2 2 ?

?

2 ? 1 .……………………………………12 分

?

2

所以当 2 ? e ? 故

2 ,即 e ? 2 ? 2 时, ? 取得最大值 2 ? 1 .…………………………13 分 2 ? e2

| FA | 的最大值为 2 ? 1 .………………………………………………………………………14 分 | AP |

7


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