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高中数学 平面向量的数量积


第3讲

平面向量的数量积

知 识 梳 理 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,我们把数量|a||b|· cos θ 叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a· b=|a||b|· cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e=|a|cos θ; (2)非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0; (3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|;特别地,a· a= |a|2;|a|= a· a; a· b (4)cos θ=|a||b|; (5)|a· b|≤|a||b|. 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(λ 为实数); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2. → |= ?x -x ?2+?y -y ?2. (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 A、 B 两点间的距离|AB|=|AB 1 2 1 2 (3)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0.a∥b ?x1y2-x2y1=0. 辨 析 感 悟 1.对平面向量的数量积的认识

(1)两个向量的数量积是一个向量,向量加、减、数乘运算的结果是向量.(×) → (2)(2013· 湖北卷改编)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB → 方向上的投影为-3 2.(×) 在CD 2 (3)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角.(×) 2.对平面向量的数量积的性质、运算律的理解 (4)a· b=0,则 a=0 或 b=0.(×) (5)(a· b)· c=a· (b· c).(×) (6)a· b=a· c(a≠0),则 b=c.(×) [感悟·提升] 三个防范 一是两个向量的数量积是 一个数量,而不是向量,如(1); 二是在向量数量积的几何意义中 ,投影是 一个数量 ,不是向量 .设向量 a,b 的夹角为 θ,当 θ 为锐角时,投影为正值 ;当 θ 为钝角时 ,投影为负值 ;当 θ 为直角时,投影为 0;当 θ=0° 时,b 在 a 的方向上投影为 |b|,当 θ=180° 时,b 在 a 方向上投影为-|b|,如(2);当 θ=0° 时 ,a· b>0,θ=180° ,a· b<0,即 a· b >0 是两个向量 a,b 夹角为锐角的必要而不充分条件 ,如(3); 三是 a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有可能 a⊥b,如(4).

考点一

平面向量数量积的运算

【例 1】 (1)(2013· 茂名二模)若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 b· c=0,则(2a+b)· c =________. (2)(2014· 威海期末考试)已知 a=(1,2),2a-b=(3,1),则 a· b=________.

解析 (1)∵a∥b,∴b=λa. 又 b· c=0,∴a· c=0, ∴(2a+b)· c=2a· c+b· c=0. (2)∵a=(1,2),2a-b=(3,1) ∴b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3). ∴a· b=(1,2)· (-1,3)=-1+2×3=5. 答案 (1)0 (2)5

规律方法 求两个向量的数量积有三种方法 : 利用定义 ; 利用向量的坐标运 算 ;利用数量积的几何意义 .具体应用时可根据已知条件的特征来选择 ,同 时要注意数量积运算律的应用 . 【训练 1】 (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c=30,则 x=________. π (2)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为3,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1· b2=________. 解析 (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30, 即 18+3x=30,解得 x=4.

(2)b1· b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2) =3e2 e2-8e2 1-2e1· 2 π =3-2×1×1×cos 3-8=-6. 答案 (1)4 (2)-6 考点二 向量的夹角与向量的模

【例 2】 (1)(2013· 安徽卷)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹 角的余弦值为________. (2)已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=________. 解析 (1)等式平方得 |a|2=9|b|2 =|a|2+4|b|2+4a· b, 则|a|2=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos θ, 即 0=4|b|2+4· 3|b|2cos θ, 1 得 cos θ=-3. (2) 因为 |2a - b|2 = (2a - b)2 = 4a2 + b2 - 4a· b = 4a2 + b2 = 4 + 4 = 8 , 故 |2a - b| = 2 2. 1 答案 (1)-3 (2)2 2

规律方法 (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式 . (2)|a|= a· a常用来求向量的模.

【训练 2】 (1)(2014· 长沙模拟)已知向量 a, b 夹角为 45° , 且|a|=1, |2a-b|= 10, 则|b|=________. (2)若平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|≤1,且以向量 a,b 为邻边的平行四边形的面 1 积为2,则 a 和 b 的夹角 θ 的取值范围是________. 解析 (1)由 |2a-b|= 10平方得, 4a2-4a· b+b2=10, 即|b|2-4|b|cos 45° +4=10, 亦即|b|2-2 2|b|-6=0, 解得|b|=3 2或|b|=- 2(舍去). 1 (2)依题意有 |a||b|sin θ= , 2 1 即 sin θ=2|b|,由|b|≤1,得 1 2≤sin θ≤1,又 0≤θ≤π, π 5π 故有6≤θ≤ 6 . 答案 (1)3 2 ?π 5π? (2)?6, 6 ? ? ? 考点三 平面向量的垂直问题

【例 3】 已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 β-α(其中 k 为非零实数).

审题路线

证明两向量互相垂直 ,转化为计算这两个向量的数量积问题 ,数

量积为零即得证?由模相等,列等式、化简求 β-α. (1)证明 ∵(a+b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2

=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0, ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2)解 ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),

a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), |ka+b|= k2+2kcos?β-α?+1, |a-kb|= 1-2kcos?β-α?+k2. ∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又 k≠0,∴cos(β-α)=0. π ∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=2. 规律方法 (1)当向量 a 与 b 是坐标形式给出时,若证明 a⊥b,则只需证明 a· b =0?x1x2+y1y2=0. (2)当向量 a,b 是非坐标形式时,要把 a,b 用已知的不共线向量作为基底来 表 示且不共线的向量要知道其模与夹角 ,从而进行运算证明 a· b=0. (3)数量积的运算 a· b=0?a⊥b 中,是对非零向量而言的,若 a=0,虽然有 a· b =0,但不能说 a⊥b. ?1 3? 【训练 3】 已知平面向量 a=( 3,-1),b=? , ?. ?2 2 ? (1)证明:a⊥b;

(2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d, 试求函数关系式 k=f(t). (1)证明 (2)解 1 3 ∵a· b= 3×2-1× 2 =0,∴a⊥b. ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,

∴c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, ∴c· d=-4k+t3-3t=0, t3-3t ∴k=f(t)= 4 (t≠0).

1.计算数量积的三种方法 :定义、坐标运算 、数量积的几何意义 ,要灵 活选用,和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 . 2.求向量模的常用方法 :利用公式 |a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积 的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方 法与技巧.

教你审题 5——数量积的计算问题 【典例】 (2012· 上海卷)在矩形 ABCD 中,设 AB,AD 的长分别为 2,1.若 M,N 分别是边 BC, CD 上的点, 且满足 → | |CN →| |BM →· → 的取值范围是________. = , 则AM AN → → |BC| |CD|

[审题]

一审:抓住题眼“矩形 ABCD”;

二审:合理建立平面直角坐标系 ,转化为代数问题解决 . 解析

如 图 , 以 A 点为 坐 标原 点建 立平 面 直角 坐标 系 , 则各 点 坐标 为 A(0,0) , → | |CN →| |BM = =k(0≤k≤1),则点 M 的坐标为 (2,k), → → |BC| |CD|

B(2,0),C(2,1),D(0,1),设

点 N 的坐标为(2-2k,1), → =(2,k),AN → =(2-2k,1),AM →· → =2(2-2k)+k=4-3k,而 0≤k≤1, 则 AM AN 故 1≤4-3k≤4. 答案 [1,4] [反思感悟] 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时 ,首先要想到 是否能建立平面直角坐标系 ,利用坐标运算题目会容易的多 . 【自主体验】 → =2AM → ,则CM →· →= 在△ABC 中,∠C=90° ,且 CA=CB=3,点 M 满足BM CA ________. 解析 法一

→ → 由BM=2AM可知,A 是线段 MB 的中点,如图所示 . 由题意,AC⊥BC,且 CA=CB=3, →· → =(CA → +AM → )· → ∴CM CA CA → +BA → )· → =(CA CA → +CA → -CB → )· → =(CA CA → -CB → )· → =(2CA CA → 2-CB →· → =2CA CA =2×32=18. 法二

如图建立平面直角坐标系 ,则 C(0,0),B(3,0),A(0,3). → 由题意知:|AB|=3 2, → |=6 2.设 M(x,y), ∴|BM → =2BA → BM

∴(x-3,y)=2(-3,3) 则 x=-3,y=6, 即 M(-3,6). →· → =(-3,6)· ∴CM CA (0,3)=18. 答案 18

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2013· 湛江二模)向量 a=(1,2),b=(0,2),则 a· b=________. 解析 a· b=(1,2)· (0,2)=1×0+2×2=4. 答案 4 → 在AB → 方向 2.(2014· 绍兴质检)在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD=120° ,则AC 上的投影为________.

1 → 在AB → 方向上的投影为 |AC → |cos 60° 解析 如图所示,AC =2×2=1. 答案 1 3.(2013· 山东省实验中学诊断)已知向量 a=( 3,1),b=(0,1),c=(k, 3).若 a+2b 与 c 垂直,则 k=________.

解析 由题意知(a+2b)· c=0,即 a· c+2b· c=0. 所以 3k+ 3+2 3=0,解得 k=-3. 答案 -3 4. (2014· 浙江五校联盟)若非零向量 a, b 满足|a|=|b|, 且(2a+b)· b=0, 则向量 a, b 的夹角为________. 解析 由(2a+b)· b=0,得 2a· b+|b|2=0. 1 ∴2|b|2· cos〈a,b〉+|b|2=0,∴cos〈a,b〉=-2, 2π 又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉= 3 . 答案 2π 3

→ =(1,2),B→ 5.(2013· 福建卷改编)在四边形 ABCD 中,AC D =(-4,2),则该四边 形的面积为________. →· → =1×(-4)+2×2=0, 解析 ∵AC BD → ⊥BD →, ∴AC → |· →| |AC |BD 5· 20 ∴S 四边形= = 2 =5. 2 答案 5 6.(2013· 课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b. 若 b· c=0,则 t=________. 解析 b· c=b· [ta+(1-t)b]=ta· b+(1-t)b2 =t|a||b|cos 60° +(1-t)|b|2

t t =2+1-t=1-2. t 由 b· c=0,得 1-2=0,所以 t=2. 答案 2 → =(-3,1),OB → =(-2, 7.(2013· 重庆卷)在 OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA k),则实数 k=________. 解析 → =(-3,1),OB → =(-2,k),所以 AB → =OB → -OA → = ( - 2 , k) 在矩形中 ,OA

→ ⊥OA → ,所以 AB →· → =0,即-3+k-1=0,解 -(-3,1)=(1,k-1),因为AB OA 得 k=4. 答案 4 8.

→, →〉 (2014· 潍坊二模)如图, 在△ABC 中, O 为 BC 中点, 若 AB=1, AC=3, 〈AB AC → |=________. =60° ,则|OA 解析 1 → ,AC → 〉=60° →· → =|AB → |· → |cos 60° 因为〈AB ,所以 AB AC |AC =1×3×2=

3 → +AC →? → =1? → 2 =1 ( AB → + AC → )2 = 1 ( AB → 2 +2 AB →· → + AC → 2) , 即 ?AB ? , 所以 AO , 又 AO AC 2 2? 4 4 ? → 2=1(1+3+9)=13,所以|OA → |= 13. AO 4 4 2 答案 13 2

二、解答题 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).

(1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解 (1)若 a⊥b, 则 a· b=1×(2x+3)+x(-x)=0. 整理得 x2-2x-3=0,故 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0), ∴|a-b|= ?-2?2+02=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4), ∴|a-b|=2 5. 综上,可知|a-b|=2 或 2 5. 10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; → =a,BC → =b,求△ABC 的面积. (3)若AB 解 (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61, ∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a· b-27=61, ∴a· b=-6. a· b -6 1 ∴cos θ=|a||b|= =-2. 4×3 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= 3 . (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13. → 与BC → 的夹角 θ=2π,∴∠ABC=π-2π=π. (3)∵AB 3 3 3 → |=|a|=4,|BC → |=|b|=3, 又|AB

1→ → 1 3 ∴S△ABC=2|AB||BC|sin∠ABC=2×4×3× 2 =3 3. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、填空题 1.(2013· 泰州一模)若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a 的夹角为________. 解析 由 |a+b|=|a-b|,得 a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2,即 a· b=0,所以(a+ b)· a=a2+a· b=|a|2. 故向量 a+b 与 a 的夹角 θ 的余弦值为 ?a+b?· a |a+b||a|

cos θ=

|a|2 1 π =2|a||a|=2.所以 θ=3.

π 答案 3 π 2.已知向量 p 的模为 2,向量 q 的模为 1,p 与 q 的夹角为4,且 a=3p+2q,b =p-q,则以 a,b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________. 解析 由 题 意 可 知 较 小 的 对 角 线 为 |a - b| = |3p + 2q - p + q| = |2p + 3q| = 4p2+12p· q+9q2

?2p+3q?2= = 答案

2 8+12 2× 2 +9= 29. 29

3.(2013· 浙江卷)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,

π |x| e2 的夹角为6,则|b|的最大值等于________. π 3 x2 2 2 2 2 2 解析 因为 e1· e2=cos 6= 2 ,所以 b =x +y +2xye1· e2=x +y + 3xy.所以b2 ? 1 y 3? 1 1 = = ,设 t=x,则 1+t2+ 3t=?t+ ?2+4≥4,所 2 ? ? 3y ?y? x2+y2+ 3xy 1+?x?2+ x ? ? 1 x2 |x| 以 0< ≤4,即b2的最大值为 4,所以|b|的最大值为 2. 1+t2+ 3t 答案 2 二、解答题 4.设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
2 解 由已知得 e1 =4,e2 e2=2×1×cos 60° =1. 2=1,e1· 2 2 ∴(2te1+7e2)· (e1+te2)=2te2 e2+7te2 1+(2t +7)e1· 2=2t +15t+7.

x2

1 欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0,得-7<t<- . 2 ?2t=λ, 设 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),∴? ?7=tλ, 14 ∴2t2=7.∴t=- 2 ,此时 λ=- 14. 14 即 t=- 2 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π. ∴当两向量夹角为钝角时,t 的取值范围是 ? 14? ? 14 1? ?-7,- ?∪?- ?. ,- 2 ? ? 2 2? ?


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