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省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 曲线和方程(含解析)


安徽省宿松县九姑中学 2015 届高考数学百大经典例题 曲线和 方程(含解析)
例 1 如果命题“坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 的点都在曲线 C 上”不正确,那么以下正 确的命题是 (A)曲线 C 上的点的坐标都满足方程 f ?x,y ? ? 0 . (B)坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 的点有些在 C 上,有些不在 C 上. (C)坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 的点都不在 曲线 C 上. (D)一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 . 分析:原命题是错误的,即坐标满足方程 f ?x,y ? ? 0 的点不一定都在曲线 C 上,易知 答案为 D. 典型例题二 例 2 说明过点 P(5 , ? 1) 且平行于 x 轴的直线 l 和方程 y ? 1 所代表的曲线之间的关系. 分析: “曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二 者缺一不可.其中“曲线上的点的坐标都是方程 f ( x , y) ? 0 的解” ,即纯粹性; “以方程的 解为坐标的点都是曲线上的点” ,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲 线是不是所给方程的曲线的准则. 解:如下图所示,过点 P 且平行于 x 轴的直线 l 的方程为 y ? ?1 ,因而在直线 l 上的点 的坐标都满足 y ? 1 ,所以直线 l 上的点都在方程 y ? 1 表示的曲线上.但是以 y ? 1 这个 方程的解为坐标的点不会都在直线 l 上,因此方程 y ? 1 不是直线 l 的方程,直线 l 只是方程

y ? 1 所表示曲线的一部分.

说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不 都在曲线上,即不满足完备性. 典型例题三

1

例3

说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程 y ? x 所表示的直线之间的关系.

分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解:方程 y ? x 所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距 离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程 y ? x ,例如点 (?3 , 3) 到两坐标轴的距离均为 3, 但它不满足方程 y ? x . 因此不能说方程 y ? x 就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程, 到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程 y ? x 所表示的轨迹. 说明:本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ,即满足完备性,而“轨迹上的点的 坐标不都满足方程” ,即不满足纯粹性.只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才 能叫方程的曲线. 典型例题四 例 4 曲线 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个不同的交点,求 k 的取值范 围.有一个交点呢?无交点呢? 分析:直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方 程组分别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理 出的关于 x 的一元二次方程的 判别式 ? 分别满足 ? ? 0 、 ? ? 0 、 ? ? 0 . 解:由 ?

? y ? k ( x ? 2) ? 4,
2 2 ? x ? ( y ? 1) ? 4.
2 2 2

得 (1 ? k ) x ? 2k (3 ? 2k ) x ? (3 ? 2k ) ? 4 ? 0 ∴ ? ? 4k (3 ? 2k ) ? 4(1 ? k )[(3 ? 2k ) ? 4]
2 2 2 2

? ?4(4k 2 ?12k ? 5)
? ?4(2k ? 1)(2k ? 5)
1 5 ? k ? 时,直线与曲线有两个不同的交点. 2 2 1 5 当 ? ? 0 即 (2k ? 1)(2k ? 5) ? 0 ,即 k ? 或 k ? 时,直线与曲线有一个交点. 2 2 1 5 当 ? ? 0 即 (2k ? 1)(2k ? 5) ? 0 ,即 k ? 或 k ? 时,直线与曲线没有公共点. 2 2
∴当 ? ? 0 即 (2k ? 1)(2k ? 5) ? 0 ,即 说明:在判断直线与曲线的交点个数时,由于直线与曲 线的方程组成的方程组解的个 数与由两方程联 立所整理出的关于 x (或 y )的一元方程解的个数相同,所以如果上述一元 方程是二次的, 便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数, 但如果是两个二次曲线相遇, 两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的 个数不一定相 同,所以遇到此类问 题时,不要盲目套用上例方法,一定要做到具体问题具体分析. 典型例题五

2

例 5 若曲线 y ? a x 与 y ? x ? a(a ? 0) 有两个公共点,求实数 a 的取值范围. 分析:将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解” ,从而研究一元二次方 程的解的个数问题.若 将两条曲线的大致形状现出来,也许可能得到一些启发. 解法一:由 ?

?y ? a x ?y ? x ? a

得: y ? a y ? a

∵ y ? 0 ,∴ y 2 ? a 2 ( y ? a) 2 , 即 (a 2 ?1) y 2 ? 2a3 y ? a 4 ? 0 . 要使上述方程有两个相异的非负实根.

? ?? ? 4a 6 ? 4a 4 (a 2 ? 1) ? 0 ? ? 2a 3 ?0 则有: ? 2 ? a ?1 ? a4 ?0 ? 2 ? a ?1
又∵ a ? 0 ∴解之得: a ? 1 . ∴所求实数 a 的范围是 (1 , ? ?) . 解法二: y ? a x 的曲线是关于 y 轴对称且顶点在原点的折线,而 y ? x ? a 表示斜率 为 1 且过点 (0 , a) 的直线,由下图可知,当 a ? 1 时,折线的右支与直线不相交.所以两曲 线只有一个交点,当 a ? 1 时,直线与折线的两支都相交,所以两条直线有两个相异的交点.

说明:这类题较好的解法是解法二,即利用数形结合的方法来探求.若题设条件中 “ a ? 0 ”改为 a ? R 呢,请自己探求. 典型例题六 例 6 已知 ?AOB ,其中 A(6 , 0) , O(0 , 0) , B(0 , 3) ,则 角 AOB 平分线的方程是

y ? x (如下图),对吗?

3

分析: 本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度, 关键是理解三角形内角平分线是 一条线段. 解: 不对, 因为 ?AOB 内角平分线是一条线段 OC , 而方程 y ? x 的图形是一条直线. 如 点 P(8 , 8) 坐标适合方程 y ? x ,但点 P 不在 ?AOB 内角 AOB 的平分线上. 综合上述内角 AOB 平分线为: y ? x(0 ? x ? 2) . 说明:判断曲线的方程或方程的曲线,要紧扣 定义,两个条件缺一不可,关键是要搞 清楚曲线的范围. 典型例题七

例 7 判断方程 y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 所表示的曲线. 分析:根据方程的表面形式,很难判断方程的曲线的形状,因此必需先将方程进行等价 变形. 解:由原方程 y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 可得:

?? x ? 1 ( x ? 1), y ? ? x ?1 ,即 y ? ? ? x ? 1 ( x ? 1),
∴方程 y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 的曲线是两条射线,如图所示:

说明: 判断方程 表示的曲线, 在化简变形方程时要注意等价变形. 如方程 x ?1 ?
2 2

y?2

等价于 ( x ?1) ? y ? 2 且 x ? 1 ,即 y ? ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ,原方程的曲线是抛物线一部分. 典型例题八

4

例 8 如图所示,已知 A 、 B 是两个定点,且 AB ? 2 , 动点 M 到定点 A 的距离是 4, 线段 MB 的垂直平分线 l 交线段 MA 于点 P ,求动点 P 的轨迹方程.

分析:本题首先要建立适当直角坐标系,动点 P 满足的条件(等量关系)题设中没有明 显 给 出 , 要 从 题 意 中 分 析 找 出 等 量 关 系 . 连 结 PB , 则 PM ? PB , 由 此

PA ? PB ? PA ? PM ? AM ? 4 ,即动点 P 到两定点 A , B 距离之和为常数.
解:过 A , B 两点的直线为 x 轴, A , B 两点的中点 O 为坐标原点,建立直角坐标系 ∵ AB ? 2 ,∴ A , B 两点坐标分别为 (?1 , 0) , (1 , 0) . 连结 PB .∵ l 垂直平分线段 BM , ∴ PM ? PB ,

PA ? PB ? PA ? PM ? AM ? 4 .
设点 P( x , y) ,由两点距离公式得

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,
化简方程,移项两边平方得(移项)

2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ? x .
两边再平方移项得:

x2 y2 ? ? 1 ,即为所求点 P 轨迹方程. 4 3
说明:通过分析题意利用几何图形的有关性质,找出 P 点与两定点 A , B 距离之和为 常数 4 ,是解本题的关键.方程化简过程也是很重要的,且化简过程也保证了等价性.

典型例题九

例9

4? 点作两条互相垂直的直线 l1 ,l 2 ,若 l1 交 l1 轴于 A ,l 2 交 y 轴于 B ,求 过 P?2,

5

线段 AB 中点 M 的轨迹方程. 解 : 连 接 PM , 设 M ?x,y ? , 则 A?2 x, 0? , y P

B?0, 2 y? .


B

l1 ? l2
M O 图2 A x

?PAB 为直角三角形. ∴ 由直角三角形性质知

1 PM ? AB 2


?x ? 2?2 ? ? y ? 4?2
化简得 M 的轨迹方程为

?

1 4x2 ? 4 y2 2

x ? 2y ?5 ? 0
说明: 本题也可以用 勾股定理求解, 还可以用斜率关系求解, 因此本题可有三种解法. 用 斜率求解的过程要麻烦一些. 典型例题十
2 例 10 求与两定点 A 、 B 满足 PA ? PB ? k ( k 是常数)的动点 P 的轨迹方程. 2 2

分析:按求曲线方程的方法步骤求解. 解法一:如图甲,取两定点 A 和 B 的连线为 x 轴,过 AB 的中点且与 AB 垂直的直线 y 为 轴建立坐标系.

2 2 2 2 设 A(?a , 0) ,B(a , 0) ,P( x , y) ,则: PA ? ( x ? a ) ? y , PB ? ( x ? a ) ? y . 2 2 2 2 2 2 2 据题意, PA ? PB ? k ,有 ( x ? a) ? y ? ( x ? a) ? y ? k 得 4ax ? k . 2 2

2

2

?

? ?

?

由于 k 是常数,且 a ? 0 ,所以 x ? 行于 y 轴的直线.

k2 为动点的轨迹方程,即动点 P 的轨迹是一条平 4a

6

解法二:如图乙,取 A 与 B 两点连线为 x 轴,过 A 点且与 AB 垂直的直线为 y 轴建立 坐标系.

2 2 2 2 设 A(0 , 0) , B(a , 0) , P( x , y) ,则: PA ? x ? y , PB ? ( x ? a ) ? y . 2 据题意, PA ? PB ? k ,有 x 2 ? y 2 ? ( x ? a) 2 ? y 2 ? k 2 , 2 2

2

2

?

? ?

?

得x?

a2 ? k 2 a2 ? k 2 ,即动点 P 的轨迹方程为 x ? ,它是平行于 y 轴的一条直线. 2a 2a

解法三:如图丙建立坐标系,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x , y) ,则

PA ? ( x ? x1 ) 2 ? ( y ? y1 ) 2 , PB ? ( x ? x2 ) 2 ? ( y ? y2 ) 2 .
2 据题意, PA ? PB ? k ,有 2 2

2

2

?(x ? x )
1

2

? ( y ? y1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ( y ? y2 )2 ? k 2 ,

? ?

?

整理后得到点 P 的轨迹方程为:

2( x2 ? x1 ) x ? 2( y2 ? y1 ) y ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? k 2 ? 0 ,它是一条直线.
说明:由上面介绍的三种解法,可以看到对于同一条直线,在不同的坐标系中,方程不 同,适当建立坐标系如解法一、解法二,得到的 方程形式简单、特性明显,一看便知是直 线. 而解法三得到的方程烦琐、 冗长, 若以此为基础研究其他问题, 会引起不必要的麻烦. 因 此,在求曲线方程时,根据具体情况适当选取坐标系十分重要.另外,也要注意到本题所求 的是轨迹的方程,在作解答表述时应强调曲线的 方程,而不是曲线. 典型例题十一 例 11 两直线分别绕着定点 A 和 B ( AB ? 2a )在平面内转动, 且转动时保持相互垂直,

2

2

2

2

7

求两直线的交点 P 的轨迹方程. 分析:建立适当的直角坐标系,利用直角三角形的性质,列出动点所满足的等式. 解:取直线 AB 为 x 轴,取线段 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则:

A(?a , 0) , B(a , 0) , P 属于集合 C ? P PA ? PB ? AB

?

2

2

2

?.

设 P( x , y) ,则 ( x ? a) 2 ? y 2 ? ( x ? a) 2 ? y 2 ? (2a) 2 ,化简得 x 2 ? y 2 ? a 2 . 这就是两直线的交点 P 的轨迹方程. 说明:本题易出现如下解答错误: 取直线 AB 为 x 轴,取线段 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系,则:

A(?a , 0) , B(a , 0) ,交点 P 属于集合 C ? ? P PA ? PB ?? ? P kPA ? kPB ? ?1 ?.
设 P( x , y) ,则 k PA ? 故

y y ( x ? ?a) , k PB ? ( x ? a) , x?a x?a

y y ? ? ?1 ,即 x 2 ? y 2 ? a 2 ( x ? ? a ). x?a x?a 要知道,当 PA ? x 轴且另一直线与 x 轴重合时,仍有两直线互相垂直,此时两直线交 点为 A .同样 PB ? x 轴重合时,且另一直线与 x 轴仍有两直线互相垂直,此时两直线交点
为 B .因而, A(?a , 0) 与 B(a , 0) 应为所求方程的解. 纠正的方法是:当 PA 或 PB 的斜率不存在时,即 x ? ? a 时, A(?a , 0) 和 B(a , 0) 也 在曲线上,故所求的点 P 的轨迹方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . 求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲 线方程,还必须对以方程的解为坐 标的点作考察,既要剔除不适合的部分,也不要遗漏满足条件的部分. 典型例题十二 例 12 如图, Rt ?ABC 的两条直角边长 分别为 a 和 b (a ? b) , A 与 B 两点分别在 x 轴 的正半轴和 y 轴的正半轴上滑动,求直角顶点 C 的轨迹方程.

分析:由已知 ?ACB 是直角, A 和 B 两点在坐标轴上滑动时, ?AOB 也是直角,由 平面几何知识, A 、 C 、 B 、 O 四点共圆,则 有 ?ABC ? ?AOC ,这就是点 C 满足的几 何条件.由此列出顶 点 C 的坐标适合的方程. 解:设点 C 的坐标为 ( x , y ) ,连结 CO ,由 ?ACB ? ?AOB ? 90? ,所以 A 、O 、 B 、

8

C 四点共圆.

a n ?A B C ? 从而 ?AOC ? ?ABC . 由t
注意到方程表示的是过原点、斜率为

b y y b b ,tan ?AOC ? , 有 ? , 即y? x. a x x a a

b 的一条直线,而题目中的 A 与 B 均在两坐标轴 a

b 为常数, 的正半轴上滑 动, 由于 a 、 故 C 点的轨迹不会是一条直线, 而是直线的一部分. 我 们可考察 A 与 B 两点在坐标轴上的极端位置,确定 C 点坐标的范围. 如下图,当点 A 与原点重合时,

S ?ABC ?

1 1 2 ab AB ? x ? a ? b 2 ? x ,所以 x ? . 2 2 a 2 ? b2

如下图,当点 B 与原点重合时, C 点的横坐标 x ? BD .

由射影定理,BC ? BD ? AB , 即 a 2 ? x ? a 2 ? b2 , 有x?
2

a2 a 2 ? b2

. 由已知 a ? b ,

所以

ab a 2 ? b2

?

a2 a 2 ? b2



b ab a2 故 C 点的轨迹方程为: y ? x ( ) . ?x? a a 2 ? b2 a 2 ? b2
说明:求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还必须对以方程的解 为坐标的点作考察,剔除不适合的部分. 典型例题十三

例 13 过点 P(3 , 2) 作两条互相垂直的直线 l1 、 l 2 ,若 l1 交 x 轴于 A , l 2 交 y 轴于 B ,

9

M 在线段 AB 上,且 AM : BM ? 1: 3 ,求 M 点的轨迹方程.
分析:如图,设 M ( x , y ) ,题中几何条件是 l1 ? l2 ,在解析几何 中要表示垂直关系的 代数关系式就是斜率乘积为-1, 所以要求 M 的轨迹方程即 x 、y 之间的关系, 首先要把 l1 、

l 2 的斜率用 x 、 y 表示出来,而表示斜率的关键是用 x 、 y 表示 A 、 B 两点的坐标,由题
可知 M 是 A 、 B 的定比分点,由定比分点坐标公式便可找出 A 、 B 、 M 坐标之间的关系, 进而表示出 A 、 B 两点的坐标,并求出 M 点的轨迹方程.

解:设 M ( x , y ) , A(a , 0) , B(0 , b) ∵ M 在线段 AB 上,且 AM : BM ? 1: 3 . ∴ M 分 AB 所成的比是

1 , 3

a ? ?x ? 1 1? ? 4 ? 3 ? ? ?a ? x 由? ,得 3 , ? 1 b ? ? 3 ?b ? 4 y ?y ? 1 ? 1? ? 3 ?
∴ A( x , 0) 、 B(0 , 4 y) 又∵ P(3 , 2) ,∴ l1 的斜率 k1 ?

4 3

∵ l1 ? l2 ,∴

2 4y ? 2 ? ? ?1 . 4 ? 3 3? x 3

4y ? 2 2 , l 2 的斜率 k 2 ? . 4 ?3 3? x 3

化简得: 4 x ? 8 y ? 13 ? 0 . 说明:本题的上述解题过程并不严密,因为 k1 需在 x ?

9 9 时才能成立,而当 x ? 时, 4 4

10

9 1 A(3 , 0) , l1 的方程为 x ? 3 .所以 l 2 的方程是 y ? 2 .故 B(0 , 2) ,可求得 M ( , ) ,而 4 2 9 1 ( , ) 也满足方程 4 x ? 8 y ? 13 ? 0 .故所求轨迹的方程是 4 x ? 8 y ? 13 ? 0 .这类题在解 4 2
答时应注意考虑完备性和纯粹性. 典型例题十四 例 14 如图, 已知两点 P(?2 , 2) , 设长为 2 的线段 AB Q(0 , 2) 以及一直线 l:y ? x , 在直线 l 上移动.求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程.

分析 1:设 M ( x , y ) ,题中的几何条件是 AB ?

2 ,所以只需用 ( x , y) 表示出 A 、 B

两点的坐标,便可求出曲线的方程,而要表示 A 点坐标可先找出 A 、 M 两点坐标的关系, 显然 P 、 A 、 M 三点共线.这样便可找出 A 、 M 坐标之间的关系,进而表示出 A 的坐标, 同理便可表示出 B 的坐标,问题便可以迎刃而解. 解法一:设 M ( x , y ) 、 A(a , a) 、 B(b , b) (b ? a ) . 由 P 、 A 、 M 三点共线可得: ∴a ?

a?2 y?2 ? (利用 PA 与 MP 斜率相等得到) a?2 x?2

2x ? 2 y . x? y?4
b?2 y?2 ? . b x

由 Q 、 B 、 M 三点共线可 得 ∴b ?

2x . x? y?2

又由 AB ?

2 得 2(a ? b)2 ? 2 .
2x 2x ? 2 y ? ?1. x? y?2 x? y?4
2 2

∴ b ? a ? 1 ,∴

化简和所求轨迹方程为: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 .

11

分析 2:此题也可以先用 P 、 A 、 M 三点共线表示出 A 点坐标,再根据 AB ? 示出 B 点坐标,然后利用 Q 、 B 、 M 三点共线也可求得轨迹方程. 解法二 :设 M ( x , y ) , A(a , a) 由 AB ?

2表

2 且 B 在直线 y ? x 上且 B 在 A 的上方可得: B(a ? 1 , a ? 1)
2x ? 2 y , x? y?4

由解法一知 a ?

∴ B(

3x ? y ? 4 3x ? y ? 4 , ) x? y?4 x? y?4

又由 Q 、 B 、 M 三点共线可得:

3x ? y ? 4 ?2 y?2 x? y?4 ? . 3x ? y ? 4 x x? y?4
化简得所求轨迹方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 解法三:由于 AB ?

2 且 AB 在直线 y ? x 上

所以可设 A(a , a) , B(a ? 1 , a ? 1) . 则直线 AP 的方程为: (a ? 2)( y ? 2) ? (a ? 2)(x ? 2) 直线 BQ 的方程为: (a ? 1)( y ? 2) ? (a ? 1) x

2 ? x ? a ? ?1 ? ? a ( a ? 0) 由上述两式解得 ? ? y ? a ? 2 ?1 ? a ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? a 2 ? 2 ? 4 ? ? a ∴? ?( y ? 1) 2 ? a 2 ? 4 ? 4 ? a2 ?
∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ?8 ,
2 2

即 x ? y ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 .
2 2

12

而当 a ? 0 时,直线 AP 与 BQ 平行,没有交点. ∴所求轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 说明:本题的前两种方法属于直接法 ,相对较繁,而后一种方法,事实 上它涉及到参 数的思想( a 为参数),利用交点求轨迹方程.一般先把交点表示为关于参数的坐标,然后消 去参数,这也反映出运动的观点.

13


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