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1.5 函数y=Asin(wx+φ)的图象(二)


1.5 函数 y ? Asin(?x ? ?) 的图象(二)

1.能用“五点法”作出函数y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0)的

简图.(重点)
2.熟悉函数y=Asin(ωx+ ?)与y=sinx图象间的关系,知道 y=Asin(ωx+ ? )的图象可由正弦曲线y=sinx怎样变化得到. (重点、难点) 3.了解函数y=Asin(ωx+ ? )(A>0, ?>0)的振幅、周期、频 率、相位、初相的概念.

上节课,我们探索了 ? 对y=sin(x+ ? ),x∈R的图象以 及ω(ω>0)对y=sin(ωx+ ? )的图象的影响.我们首先来 回顾一下.

y 1
o

y ? sin( x ?

?
3

)

yy??sinsinsinxx yy??sinsinx x yy?sinsinxx yy??xsin y?sinxx y?sin ?x

? ?? ?
2

3

? 6

? 2 ? 2 3

? 7?

3? 5? 6 2 3

2?

x

-1

规律一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看作 是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当

φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.

思考:函数y ? f (x)与y ? f (x ? b)的图像有何关系?

y
3 2 1 0 ? ? ? ?
6

2? 3
? 3
7? 12

?

?
3

12 6

5? 6

7? 6

-1

-2
-3

y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3

?

5? 3

x

规律二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
一 般 地 , 函 数 y=sin(ωx+φ) 的 图 象 , 可 以 看 作 是 把 y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的.

探索A( A ? 0)对y ? A sin(?x ? ? )的图象的影响.

? ? 作函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 及 y ? sin( 2 x ? ) 的图象. 3 3
让我们快速画出它们的图象吧!

1.列表: x
-

?
6

?
12
? 2

?
3
?

7? 12
3? 2

5? 6
2?

2x ?

?
3
?

0

sin( 2 x ? ) 3 3 sin( 2 x ? ) 3

0 0

1 3

0 0

-1 -3

0 0

?

2. 描点、作图: y 3 2 1 O ?1 ?2 -3 ?
y ? sin( 2 x ? ) 3

?

2?

3?

x
y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

?

可以看出,y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象可以看作是把 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 3倍(横坐标不变)而得到的.
结论:函数y=Asin(ωx+φ )的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ ) 上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变 )而得到的,从而函数y=Asin(ωx+φ )的 值域是 ? -A,A ? ,最大值是A,最小值是 -A.

?

参数φ, ω, A 对图象的影响
φ:沿x轴平移|φ|个单位,
口诀:“左加” “右减”

ω: 横坐标伸长或缩短为原来的1/ω A:纵坐标伸长或缩短为原来的A倍

总结函数 y = 3sin(2 x + 分析 :

?
3

)的简图得到的方式.

因为T=?,所以用“五点法”先作长度为一个周期
的闭区间上的简图.

y 3

y=3sin(2x+

? 3

)

根据周期性将作出的简图 左右扩展
?
o

?
6

?
12

?
3

7? 12

5? 6

x

-3

还可以通过平移伸缩变换得到. (1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 (2)横坐标缩短到原来的 2 倍

?

y=sin(x+

?
3

) 的图象

y=sin(2x+

?
3

)的图象

纵坐标不变

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

y=3sin(2x+

?
3

)的图象

方法1:先平移后伸缩演示 y ? y=3sin(2x+ )③ 3 3 2 1 o
?

y=sinx ?
?
3
5? 6

5? 3

2? x

?
3

?

?
6

-1
-2

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )②
3

-3

一般规律先平移后伸缩 函数 y=sinx
(1)向左(? >0)或向右(? <0) 平移| ? |个单位长度

y=sin(x+?) 的图象

(2)横坐标缩短(?>1)或伸长(0<?<1)到

y=sin(?x+?)的图象

原来的 倍(纵坐标不变)

1

?

(3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍(横坐标不变)

y=Asin(?x+?)的图象

还有其他变换方式吗?

函数 y=sinx

1 (1)横坐标缩短到原来的 2 倍

纵坐标不变
?

y=sin2x的图象

(2)向左平移 6

y=sin(2x+

?
3

)的图象

(3)横坐标不变

y=3sin(2x+

?
3

)的图象

纵坐标伸长到原来的3倍

方法2:先伸缩后平移演示 y ? y=3sin(2x+ )③ 3 3
2
1

y=sinx ?
?
3
5? 6

o
?

?
3

?

?
6

5? 3

2?

x

-1

y=sin2x① y=sin(2x+

-2 -3

?
3

)②

先伸缩后平移一般规律
函数 y=sinx
(1)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到 原来的 1 倍,纵坐标不变

y=sin ? x 的图象

?

(2)向左(? >0)或向右(? <0)

? 平移| |个单位长度 ?
(3)横坐标不变,纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍

y=sin(? x+ ? ) 的图象

y=Asin(?x+ ? )的图象

y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象两种变换关系图
作y=sinx(长度为2?的某闭区间)

沿x轴平移 |φ|个单位 y=sin(x+φ) y=sinωx

y=sin(ωx+φ) 纵坐标 变为A倍

?作 横 沿x轴平移 沿 y个单位 ?y y 沿 横 x= y纵 =x =y坐 坐 轴 标 =s s= 坐 标 平轴 s变
? ?

作y=Asin(ωx+φ)的图象,先做一个周 期闭区间上的图象再扩充到R上

i标 i平 A 变 移 nn i为 n 移 为 xs1 nω (i 1变 |( / (为 xx /n 长个 φA ωω + 度单 ω |x( φ 倍 为位 ω 个 + ) 2x 单 φ ?+

? 解 : (画法一)先把正弦曲线上所有点向右平移 个单位长 6 ? 度, 得到y ? sin(x ? )的图象; 再把后者所有点的横坐标伸 6 1 ? 长到原来的3倍(纵坐标不变), 得到y ? sin( x ? )的图象; 3 6 再把所得图象上所有的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标 1 ? 不变)而得到函数y ? 2sin( x ? )的图象. 3 6

1 ? 例1. 画出函数 y ? 2 sin( x ? )的简图. 3 6

y
3 2 y=sin(x1

?
6

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
)①
1 ? y ? sin( x ? )② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

?
2

?
y=sinx

13? 2

6

x

-2 -3

1 ? (画法二)利用“五点法”画函数y ? 2sin( x ? )在一个周 3 6 2? 期(T ? 1 ? 6?)内的图象.
3

? 3? 当X取0, , ?, ,2?时, 可求得相对应的x和y的值, 得到“五点” , 2 2 . 再描点作图. 然 后 将 简 图 再 "描 点 作" 图 得 到 的y 值和x . , 五 点 ,

1 π π 令X= x- ,则x=3(X+ ). 3 6 6

(1)列表 :
X

0
? 2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2
y

x y

2?

5?

0

2

0

?2

0

(2)描点 :

2 O -2

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( , 0) 2 2 2
(3)连线 :

?
2

2?

7? 2

5?

13? 2

x

函数y=Asin(ωx+ ? ),A>0,ω>0,x∈[0,+∞)的物理

意义.
物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期

和频率等都与这个解析式中的常数有关.

A就表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离,通
常把它叫做这个简谐运动的振幅.
2? 往复振动一次所需要的时间 T ? ,它叫做简谐运动的周期. ?
1 单位时间内往复振动的次数f= ,它叫做简谐运动的频率. T

ωx+ ? 叫做相位, ? 叫做初相(即当x=0时的相).

例2.下图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:

(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?
(2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示完成了一次往复 运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式. y/cm 2 A 0.4 E

0.8

1.2

O

B

D
C

F

x/s

解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2cm; 周期0.8s;频率为 5 Hz.
4

(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次 往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完 成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为

5? 那么,A ? 2;由 ? 0.8得? ? ;由图象知初相? ? 0. ? 2 于是所求函数表达式是 5? y ? 2 sin x, x ? [0,??) . 2

2?

y ? A sin( ?x ? ? ), x ? [0,??)

例3.若简谐运动f(x)=2sin(

?
3

x+ ? )(| ? |< ? )的图象过

2 点(0,1),则该简谐运动的最小正周期和初相 ? 分别是

A.T=6, ? = ?

C.T=6π, ? = ?
6

6

B.T=6, ? = ? 3 ? D.T=6π, ? = 3

( A )

2 1 ? 1.函数y ? sin( x ? )的周期,振幅分别是( A ) 3 2 4
A.4?, C.?, 2 3 2 3 B.4 ?, ? D. ?, ? 2 3 2 3

? 2.(2012 ? 泰安高一检测)为了得到函数y ? 3sin( x ? )的图象, 5 ? 只需把函数y ? 3sin( x ? )上所有点( C ) 5
A.向右平行移动 个单位长度 5 B.向左平行移动 个单位长度 5 2? C.向右平行移动 个单位长度 5 2? D.向左平行移动 个单位长度 5

?

?

? 3.(2012 ? 聊城模拟)把函数y ? cos 2 x的图象向右平移 个单位, 4 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为( D )

A.y ? cos2x ? C.y ? 1 ? sin(2x ? ) 4

B.y ? 2 cos 2 x D.y ? (sin x ? cos x) 2 .

4.(2012·济南模拟)函数y=Asin(ωx+ ? )(A、ω、 ? 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图 所示,则ω=________. 3

1.“五点法”作图时,一般是令ωx+ ? 取0,? ,π, 3? ,
2
2

2π,算出相应的x的值,再列表,描点作图. 2.函数图象变换主要是平移与伸缩变换,要注意平移与 伸缩的多少与方向. 3.给出y=Asin(ωx+ ? )的图象,求它的解析式,常从寻 找“五点法”中的第一个点来求 ? 的值.

不登高山,不知天之高也;不临深谷,不 知地之厚也;不闻先王之遗言,不知学问 之大也。 ——荀况


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