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讲义一:立体几何


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高二数学 A

讲义一:立体几何
一、知识梳理 1、三视图 投影规则: (主俯)长对正、 (主左)高平齐、 (俯左)宽相等 即: 主视图和俯视图的长要相等, 主视图和左视图的高要相等, 左视图和俯视图的宽要相等. 2、直观图 (1)用斜二测画法画直观图时应注意:与 x 轴、z 轴平行的线段其长度不变,与 y 轴平行的线 段其长度变为原来的一半. (2)用斜二测画法画得一个平面图形的直观图图形的面积 S ' 与其原图形的面积 S 之间的关系

2 S. 4 3、柱、锥、台、球的概念 4、空间几何体的表面积和体积 (1)柱、锥、台的侧面积公式:
是 S' ?

S直棱柱侧 ? ch, S圆柱侧 ? cl ? 2? rl



S正棱锥侧 ? 1 ch?, S圆锥侧 ? 1 cl ? ? rl 2 2

S正棱台侧 ? 1 (c ? c?)h?, S圆台侧 ? 1 (c ? c?)l ? ? (r ? r ?)l 2 2
球表面积公式: S球面 ? 4? R2 (2)柱、锥、台、球的体积公式:

1 1 4 V柱体 ? Sh ; V锥体 ? Sh; V台体 = h(S ? SS ? ? S ?); V球 ? ? R3 3 3 3 二、基础自测 1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

)

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

1

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2.下列命题中,不正确的是______. ①棱长都相等的长方体是正方体 ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 ③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 ④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

3.下面命题正确的有________个. ①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱 ②过圆锥侧面上一点有无数条母线 ③三棱锥的每个面都可以作为底面 ④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形

2

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4.以下四个命题中,正确命题的个数是________. ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面.

5.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1, 3,2,则其外接球的表面积为 ________.

三、例题剖析 例 1. 如图(1),一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰 块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器倒置,水面也恰好过点 P(图(2))

有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点 P D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是:______(写出所有真命题的代号).

3

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例 2.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为



例 3.一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1, 2,3 ,则此球的表面 积为 .

例 4.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是

______.

4

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例 5.已知球 O 的面上四点 A、B、C、D, DA ? 平面ABC , AB ? BC , DA=AB=BC= 3 , 则球 O 的体积等于 .

例 6.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6?



例 7.四面体 S-ABC 中,SA=BC=2,SB=AC=3,SC=AB=4,求此四面体的体积.

5

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例 8.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为 2,求该三角形的斜边长.

四、课后作业 1. 在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2 ,?DAB=60 ,E 为 AB 的中点,将 ?ADE 与 ?BEC 分
0

布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( A.



4 3 ? 27

B.

6 ? 2

C.

6 ? 8

D.

6 ? 24

2.对于四面体 ABCD,有以下 5 个命题: ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 其中正确的是( ) A.①④⑤ B. ①②⑤ C. ②④⑤ D. ②④ 3.下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中正确的是( ) A.①④⑤ B. ①②⑤ C. ①④ D. ②④ 4.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60° ,则该截面的 面积是( ) A. 2? B. ? C. 3? D.

? 2

5.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动 2 点 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是( ) 2

6

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A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值

6.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点.若截面△BC1D 是面积为 6 的直角三 角形,则此三棱柱的体积为( ) A.6 3 B.8 3 C.4 3 D.9 3

7.如图所示,长方体的长、宽、高分别为 4 cm,3 cm,5 cm,一只蚂蚁从 A 到 C1 点沿着表面爬行的最短距离是( )

A. 3 10

B. 4 5

C.

74

D .

72

7


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