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上海市闵行区2013届高三一模数学答案(理)


上海市闵行区 2013 届高三一模数学试题(理科) 参考答案与评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解 答中的评分标准进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、 第 1 题至第 14 题) 1. ? 2 i ; ( 2. ? 1,1) ; 3. ; 4. 2 ; 5. ; ( 2 3 ? 2 6. 2 0 ; 或a ? 5 , ; 7. ? 12.
2 3
1 3

, ;

8. 5 ; 13. 1 5 , ; 15.A;

9. , ;
5

2

10.

2 4



11. a ? 2

, ;

14. ( ? 4 , ? 2 ) , . 16.B; 17.A; 18.D.

二、 (第 15 题至第 18 题) 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. [解] (1) f ( x ) ?
2 s in x s in x ? c o s x

3 (s in x ? c o s x ) ? s in 2 x ? cos x

3 c o s 2 x ? 2 s in ( 2 x ?

?
3

) ?3 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? (2) y ? f ( x ?
?
?
2 ) ? 2 s in [ 2 ( x ?

???????3 分
?
3 ] ? 2 s in ( 2 x ? 2? 3 ) ?????????2 分
2? 3

?
2

)?

∵ x ? [ 0, ] ,∴ ?
2

2? 3

? 2x ?

2? 3

?

?
3

, ? 1 ? s in ( 2 x ?

)?

3 2

????? 2 分

∴ y ? [ ? 2, 3 ] . 另解: y ? f ( x ?
?
?
2 ) ? 2 s in [ 2 ( x ?

???????2 分
?
2 )?

?
3

] ? 2 s in ( 2 x ?

?
3

? ? ) ? ? 2 s in ( 2 x ?

?
3

) ?2 分

∵ x ? [ 0, ] ,∴
2

?
3

? 2x ?

?
3

?

4? 3

,?

3 2

? s in ( 2 x ?

?
3

) ? 1 ????????2 分

∴ ? 2 ? ? 2 s in ( 2 x ?

?
3

)?

3 ,即 y ? [ ? 2 , 3 ] .

??????????2 分

20. [解](理) (1)由于学生的注意力指数不低于 80,即 y ? 8 0 当 0 ? x ? 8 时,由 2 x ? 6 8 ? 8 0 得 6 ? x ? 8 ; 当 8 ? x ? 4 0 时,由 ?
?

????2 分
6 ;????2 分

1 8

( x ? 32 x ? 480) ? 80 得8 ? x ? 16 ? 4
2

所以 x ? ? 6 ,1 6 ? 4 6 ? , 1 6 ? 4 6 ? 6 ? 1 0 ? 4 6 ? 2 0
?

故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 2 0 分钟.

?????3 分

(2)设教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题,由于 1 0 ? 4 6 ? 2 4 所以 t ? ? 0 , 6 ? ??????????????????????2 分

要学生的注意力指数最低值达到最大,只需 f ( t ) ? f ( t ? 2 4 ) 即 2t ? 68 ? ?
1 8 [( t ? 2 4 ) ? 3 2 ( t ? 2 4 ) ? 4 8 0 ] ???????????2 分
2

解得 t ? 8 6 ? 1 6 ? 4

???????????????2 分

所以,教师上课后从第 4 分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到最 大. ???????????????????????????1 分

21. [解](理) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,
|m | 2

则有

?

3 ,得 m ? ?

6

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右 侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ?
6

?????????????2 分
OA ? OQ
2 2

(2)因为 ? A O Q 为直角三角形,所以 | A Q | ?
x1 4
2

?

x1 ? y 1 ? 3
2 2



?

y1 3

2

? 1 得 | A Q |?

1 2

x1

?????????????????2 分

| A F |?

( x 1 ? 1) ? y 1
2

2



x1 4

2

?

y1 3

2

? 1 得 | A F |? 2 ?

1 2

x 1 ?????2 分

所以 | A F | ? | A Q | ? 2 ,同理可得 | B F | ? | B Q | ? 2

?????2 分

所以 | A F | ? | A Q | ? | B F | ? | B Q | ?????????????????1 分 22. [解](理) (1)令
1? x 1? x ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 , D ? ? ? 1,1 ? ?????2 分

?1? x ? 对任意 x ? D , f ( ? x ) ? lo g a ? lo g a ? ? 1? x ?1? x ?

1? x

?1

?1? x ? ? ? lo g a ? ? ? ? f (x) ?1? x ?

所以函数 f ( x ) 是奇函数. ?????????????????????2 分
1? x ?1? x ? ? lo g a ? ? ? lo g a 1 ? 0 1? x ?1? x ?

另证:对任意 x ? D , f ( ? x ) ? f ( x ) ? lo g a

所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)由
1? x 1? x ? ?1 ? 2 x ?1

?????????????2 分
1? x 1? x

知,函数 g ( x ) ?

在 ? ? 1,1 ? 上单调递减,

因为 0 ? a ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 上是增函数 ?????????2 分 又因为 x ? ( t , a ) 时, f ( x ) 的值域是 ? ? ? ,1 ? ,所以 ( t , a ) ? ( ? 1,1) 且 g (x) ?
1? x 1? x

在 ( t , a ) 的值域是 ( a , ? ? ) ,
1? a 1? a ? a 且 t ? ? 1 (结合 g ( x ) 图像易得 t ? ? 1 )?????2 分
2 ? 1(? 2 ? 1 舍去) .

故 g (a ) ?
2

a ? a ? 1 ? a 解得 a ?

所以 a ?

2 ? 1,t ? ?1

?????????????2 分

(3)假设存在 x 3 ? ( ? 1, 1) 使得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) 即 lo g a
1 ? x1 1 ? x1 ? lo g a 1 ? x2 1 ? x2 ? lo g a 1 ? x3 1 ? x3

lo g a (

1 ? x3 1 ? x3 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x 2 ? ) ? lo g a ? ? ? , 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x3 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x3 x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

解得 x 3 ?



????? ????????3 分

? x1 ? x 2 ? ? ( ? 1, 1), 即 证 : 下证: x 3 ? ? ? ?1. 1 ? x1 x 2 ? 1 ? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? x ? x2 ? ( x 1 ? x 2 ) ? (1 ? x 1 x 2 ) 证明: ? 1 ? ?1 ? 2 (1 ? x 1 x 2 ) ? 1 ? x1 x 2 ?
2
2 2

2

2

2

?

x1 ? x 2 ? 1 ? x1 x 2
2 2 2

2

(1 ? x 1 x 2 )
2

2

? ?

(1 ? x 1 )(1 ? x 2 )
2 2

(1 ? x 1 x 2 )

2

1 ? x 1, x 2 ? ( ? 1, 1) ,∴ 1 ? x 1 ? 0 , ? x 2 ? 0 , (1 ? x 1 x 2 ) ? 0



(1 ? x 1 )(1 ? x 2 )
2 2

(1 ? x 1 x 2 )

2

? x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 0 ,即 ? ? ? 1 ? 0 ,∴ ? ? ?1 ? 1 ? x1 x 2 ? ? 1 ? x1 x 2 ?
? ( ? 1, 1) ,使得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )

2

2

所以存在 x 3 ?

x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

?????3 分

? x ? x2 ? 2 2 2 2 另证:要证明 ? 1 ? ? 1 ,即证 ( x 1 ? x 2 ) ? (1 ? x 1 x 2 ) ,也即 (1 ? x 1 ) (1 ? x 2 ) ? 0 . ? 1 ? x1 x 2 ?

2

? x 1 , x 2 ? ( ? 1, 1) ,∴ 1 ? x 1 ? 0 , 1 ? x 2 ? 0 , ∴ (1 ? x 1 ) (1 ? x 2 ) ? 0 ,
2 2 2 2

? x ? x2 ? ∴? 1 ? ?1. ? 1 ? x1 x 2 ?

2

所以存在 x 3 ?

x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

? ( ? 1, 1) ,使得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )

?????3 分

2 2 23. [解](理) (1)∵ 4 S n ? a n ? 2 a n ? 1 ,∴当 n ? 2 时, 4 S n ? 1 ? a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 1 . 2 2 两式相减得 4 a n ? a n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 2 a n ? 1 ,

∴ ( a n ? a n ?1 ) ( a n ? a n ?1 ? 2 ) ? 0 ∵ a n ? 0 ,∴ a n ? a n ? 1 ? 2 ,
2 又 4 S 1 ? a 1 ? 2 a 1 ? 1 ,∴ a 1 ? 1

??????????2 分

∴ { a n } 是以 a 1 ? 1 为首项, d ? 2 为公差的等差数列. ?????????1 分 ∴an ? 2n ? 1 (2)由(1)知 S n ?
2

???????????????1 分
(1 ? 2 n ? 1) n 2
2 2

?n ,
2

∴ Sm ? m , k ? k , p ? p S S 于是
1 Sm
( ? m ? p 2 m p k
2

??????????2 分
? 2 k
2

?

1 Sp
2

?

2 Sk

?

1 m
2

?

1 p
2

2

2

?

k ( p ? m ) ? 2m p
2 2 2 2

2

m p k

2

2

2

) ( p ? m ) ? 2m p
2 2 2 2 2


2

??????????2 分

?

m p ? 2 pm ? 2m p m p k
2 2 2

?0



1 Sm

?

1 S
p

?

2 Sk

??????????2 分 ??????????1 分
n ( n ? 1) 2 d ? n ( a1 ? a n ) 2
[

(3 )结论成立,证明如下:

设等差 数列 { a n } 的首项为 a 1 ,公差为 d ,则 S n ? n a 1 ? 于是 S m ? S p ? 2 S k ? m a 1 ?
2 2

m ( m ? 1) 2

d ? p a1 ?
2

p ( p ? 1) 2

d ? [ 2 k a 1 ? k ( k ? 1) d ]

? ( m ? p ) a1 ?

m ? p ?m ? p 2

d ? ( 2 k a1 ? k d ? k d ) (m ? p ) 4
2

?????????2 分

将 m ? p ? 2 k 代入得, S m ? S p ? 2 S k ? ∴Sm ? S p ? 2Sk 又SmS p ?
m p ( a1 ? a m )( a1 ? a p ) 4

d ?0,

??????????2 分
? m p [ a1 ? ( a m ? a p ) a1 ? a m a p ]
2

4

( ?

m ? p 2
2 2

) [ a1 ? 2 a1 a k ? (
2 2

am ? a p 2
2

) ]

2

4
? k ( a1 ? 2 a1a k ? a k )
2

?

k ( a1 ? a k ) 4

2

4

? Sk

2

??????????2 分 ??????????1 分



1 Sm

?

1 Sp

?

Sm ? S p SmS p

?

2Sk Sk
2

?

2 Sk




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