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等比数列学案


等比数列
一、 学习目标
1.深刻理解等比数列的定义,会证明一个数列是等比数列. 2.掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式,并会应用两个基本量进行相关计算. 3.掌握等比数列的性质并会灵活应用 ,能解决一些等比数列的综合问题.

二、 学习重点难点
重点:等比数列的通项公式和求和公式 难点:等比数列的性质及应用、等比数列的综合

问题

三、基础知识梳理
1. 如果一个数列从第____项起,每一项与前一项的_____等于同一个_____常数,那么这个数列就叫做等比数 列,这个常数叫做等比数列的______,通常用字母_______表示,定义的表达式为_____________ 2. _______是 a,G,b 成等比数列的充要条件,其中_____叫做 a,b 的等比中项 3、等比数列的通项公式___________ 4、等比数列的前 n 项和公式____________或___________________ 5、对于正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则等比数列中 am , an , a p , aq 的关系为__________________ a1?1-qn? a1-anq 6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,当公比 q≠1 时,Sn= = ;当 q=1 时,Sn=na1. 1-q 1-q 7.等比数列前 n 项和的性质: (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成等比数列.(注意:q≠-1 或 m 为奇数) (2)Sm+n=Sm+qmSn(q 为数列{an}的公比). S偶 (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则 =q. S奇

四、典型例题解析
题型一:等比数列中的基本元素 例 1.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ? 48, a2n?3 ? 192,求公比 q 及 n 的值

变式训练 1.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于 A.9 B.10 C.11 D.12 2.已知等比数列{an},若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an=______ 例 2、在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? a(a ? 0), a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 =_______ 变式训练:1.在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为 2.等比数列 ?an ? 中, S 4 ? 1, S8 ? 3 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? ________ A.16 B.27 C.36 D.81

(

)

(

)

例 2、有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为 16, 第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数

1

变式训练:1.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个成等比数列,积为 8 000,求此四个数.

a2-a1 2.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 的值是________. b2 题型二:等比数列性质的应用 例 1、等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 8 ,求 an 变式训练:1.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7 等于 A.64 B.81 C.128 D.243 2.已知数列{an}成等比数列.若 a3a4a5=8,a2a3a4a5a6=_______. 3.等比数列 ?an ? 中,且 an ? 0 ,若 a5 a7 ? 2a6 a8 ? a7 a9 ? 49 ,则 a6 ? a8 =_____ 4.等比数列{an}同时满足下列三个条件: 32 2 4 ①a1+a6=11 ②a3· a4= ③三个数 a2,a23,a4+ 依次成等差数列,试求数列{an}的通项公式. 9 3 9 ( )

例 2、 (1)在等比数列 ?an ? 中,且 an ? 0 , a3 ? a9 ? 4, a6 ? a10 ? a3 ? a5 ? 41,求 a 4 ? a8 的值 (2)在等比数列 ?an ? 中, a5 , a9 是方程 7 x ? 18x ? 7 ? 0 的两个根,求 a7
2

变式训练: 1.设数列{an}为公比 q>1 的等比数列, 若 a4, a5 是方程 4x2-8x+3=0 的两根, 则 a6+a7=________. 2.在等比数列 ?an ? 中, a7 ? a11 ? 6, a4 ? a14 ? 5 ,则

a20 ? ______ a10

a5 3.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2· a8=6,a4+a6=5,则 等于 a7 a9+a10 1 4.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 等于 2 a7+a8 例 3、已知等比数列 ?an ? 满足 an ? 0, a5 ? a2n?5 ? 2 (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,
2n

log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 =________
变式训练:已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1a2 a3 ? 5, a7 a8 a9 ? 10 ,则 a 4 a5 a6 =_______

2

题型三:等比数列定义的应用 例 1、变式训练:已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, a n ?1 ?

2(n ? 1)an (n ? N ? ) , an ? n

求证:数列 ?

?n ? ? 1? 是等比数列并求数列 ?an ? 的通项公式 ? an ?

例 2、设数列 ?an ? 中 , a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2, bn ? an?1 ? 2an (1) 求证:数列 ?bn ? 为等比数列; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

变式训练:1、设数列 ?an ? 的首项为 1,前项 n 和 Sn 满足: 3tS n ? (2t ? 3)S n ? 3t (t ? 0, n ? 2,3,4,?) (1)求证数列 ?an ? 是等比数列;

2、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 an ?1 ? (1) 数列 ?

n?2 S n ? n ? 1, 2,3,?? .证明: n

? sn ? (2) Sn?1 ? 4an ? 是等比数列; ?n?

3、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ?

1 (a n ? 1) n ? N ? 3

?

?

(1)求 a1 , a 2 ; (2)求证数列 ?an ? 是等比数列

3

题型四:等比数列的前 n 项和 例 1.在等比数列{an}中,a1+an=66,a3an-2=128,Sn=126,求 n 和 q.

变式训练 1.若等比数列{an}中,a1=1,an=-512,前 n 项和为 Sn=-341,则 n 的值是________. 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 3.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于 1 例 2. (1)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的前 5 项和为 an (2)等比数列 ?an ? 中, Sn 为前 n 项和,若 S3 ? S6 ? 2S9 ,求 q 的值 变式训练 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前 3 项和为 21,则 a3+a4+a5 等于 S5 2.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于 S2 S4 3.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 等于 a2 例 3.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 的值为( A.0 B.1 C.-1 D.2 - 变式训练.若{an}是等比数列,且前 n 项和为 Sn=3n 1+t,则 t=________. 例 4、已知等比数列的前 10 项的和为 10,前 20 项的和为 30,求前 30 项的和 变式训练 1.在等比数列中,S30=13S10,S10+S30=140,则 S20 等于 2.在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12= S10 3.记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 等于( ) S5 A.-3 B.5 C.-31 D.33 例 5:一个有穷等比数列的首项为 1,项数为偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求这个数列 的公比 q 和项数 n )

题型五:错位相减法 例 1、求数列 1,3a,5a ,?, ?2n ? 1?a
2 n?1

(a ? 0) 的前项 n 和

变式训练:1.试求数列

1 3 5 2n ? 1 , , , ? , n 的前项 n 和 2 4 8 2

4

例 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 2-4. (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn=an· log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.


变式训练:设数列{an}满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 ? 2 2n?1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n

题型六:等比数列的综合应用 例 3. 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列, lg a1 ,lg a2 ,lg a4 成等差数列.又 bn ? (1)证明数列 ?bn ? 为等比数列如果数列 ?bn ? 的前 3 项的和等于

1 , n ? 1, 2,3? a2n

7 ,(2)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公差 d 24

1.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求 a2,a3 的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.

2. 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同, 且 a1+2a2+22a3+…+2n 1an=8n 对任意的 n∈N*


都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)问是否存在 k∈N*,使得(bk-ak)∈(0,1)?请说明理由.

5

等比数列练习题
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) a20 1.在等比数列{an}中,a7· a11=6,a4+a14=5,则 =( a10 2 A. 3 3 B. 2 2 3 C. 或 3 2 )

2 3 D.- 或- 3 2 )

2.在等比数列{an}中 a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn 等于( A.2n 1-2


B.3n

C.2n

D.3n-1 )

3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6?S3=1?2,则 S9?S3 等于( A.1?2 B.2?3 C.3?4 D.1?3

4.已知等比数列{an}中,an>0,a10a11=e,则 lna1+lna2+…+lna20 的值为( A.12 B.10 C.8
2 an +1

)

D.e an + (n∈N*),则其前 10 项和是( 2 )

5.若数列{an}满足 a1=5,an+1= A.200 B.150

2an

C.100 D.50 )

2 2 6.在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2n-1(n∈N*),则 a2 1+a2+…+an等于(

A.(2n-1)2

1 B. (2n-1)2 3

1 C.4n-1 D. (4n-1)、 3 ,若

7. 设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn

S6 =3 ,则 S3
8 3

S9 = S6

(A) 2

(B)

7 3

(C)

(D)3 )

8. 在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a6 ? a ? a ? 0? , a15 ? a16 ? b, 则 a25 ? a26 ? (

A

b a

B

b2 a2

C

b2 a

D

b a2

9. 3.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
.

10 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0 , n ? 1 ,? 2 ,, 且 a5 ? an 2?

5

?22n ( n ? 3 , ) 则 当 n ?1 时 ,

l o2 ga 1?
A. n(2n ? 1)

l o2a g? ? ? 3

la o 2 n? g 2 ? 1
2

B. (n ? 1)

C. n

2

D. (n ? 1)

2

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 11.数列{an}中, an ? ?

?2n ?1 (n为正奇数) ?2n ? 1(n为正偶数)

. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9=________.
6

2 12.数列{an}的前 n 项之和为 Sn,Sn=1- an,则 an=________. 3 13.{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn,S2=7,S6=91,则 S4=________. 14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N+),关于数列{an}有下列四个命题: ①若{an}既是等差数列又是等比数列,则 an=an+1(n∈N+) ②若 Sn=an2+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列 ③若 Sn=1-(-1)n,则{an}是等比数列 ④若{an}是等比数列,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N+)也成等比数列. 其中正确的命题是__________.(填上正确命题的序号) 15.等比数列 ?an ? 中, Sn ? 3n ? r, 则 r=_______ 16..若数列 ?xn ? 满足 lg xn?1 ? 1 ? lg xn n ? N

?

?

? ,且 x ? x
1

2

? ? ? x100 ? 100 ,

则 lg ? x101 ? x102 ? ?? x200 ? ? _____________________ 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 3 17.已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,对任意的自然数 n≥2,an 是 3Sn-4 与 2- Sn-1 的等差中项. 2 (1)求{an}的通项公式;(2)求 Sn.

13.已知{an}是首项为 a1,公比 q(q≠1)为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn,且有 5S2=4S4,设 bn =q+Sn.(1)求 q 的值;(2)数列{bn}能否是等比数列?若是,请求出 a1 的值;若不是,请说明理由.

14.设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? (1) 求 ?an ? 的通项; (2)求 Sn

1 10 10 , S 是前 n 项和,且 2 S30 ? ? 2 ? 1? S 20 ? S10 ? 0 2 n

7

等比数列练习题(一)
一、选择题 1.在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
2

2.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2
2

3.在等比数列 ?an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x ? 5x ? 1 ? 0 的两个根,则 a4 ? a7 ? (

)

( A) ?

5 2

( B)

2 2

(C ) ?

1 2

( D)

1 2

4.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9= A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

5.已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4 a5a6 =

6.已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? 2 a7 ? a8
D3? 2 2

C. 3 ? 2 2

7.设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,则 S5 ? (A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2 5 ,则 S5 = 4

8.已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35 B.33 C.31 D.29

9.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 ? () a2
D.

A. 2

B. 4

C.

15 2

17 2


10. 等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5

8

二、填空题 1.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 a5 =__________ 2. 2 ? 3 和 2 ? 3 的等比中项为 3. 已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 a9 ? 2a5 , a2 ? 2 ,则 a1 ? _____
2

4.在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,则 a18 = 5. 设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2,3S 2 ? a3 ? 2 ,则公比 q =_______ 6. 设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则

S5 =______ S2

7.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 s 4 = 8. 等比数列 ?an ? 的公比为正数,已知 a2 ? 1, an?2 ?a n?1 ? 6an ,则 ?an ? 的前 4 项和 S 4 =__________

9


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