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高中数学新人教B版必修1试题精选:第三章 基本初等函数


必修 1 第三章《基本初等函数》试题精选
一、选择题 1.函数 y ? loga (2x ? 5) ? 1 恒过定点 ( B ) A (2.5 , 1) B ( 3, 1 ) C ( 2.5, 0 ) D ( 1, 0 )

b x 2 2.二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y=( ) 的图象只可能是 A a

3.如图所示,函数 y ?| 2 ? 2 | 的图象是
x

( B )

y

y

y

y

2

2

1

O

1 ?1 ?2
(A)

x

1

O

1 ?1 ?2

x

?1 O

1 ?1 ?2

x

?1 O ?1 ?2
(D)

x

(B)

(C)

4.下列函数中值域是 [0,??) 的是( B A. y ?



x 2 ? 3x ? 1
x

B. y ? 1 ? ( )

1 2

x

C. y ? ( )

1 3

1? x

D. y ? x 2 ? x ? 1

5.函数 y ? ?e 的图象 D A.与 y ? e 的图象关于 y 轴对称
x

B.与 y ? e 的图象关于坐标原点对称
x

C.与 y ? e

?x

的图象关于 y 轴对称

D.与 y ? e

?x

的图象关于坐标原点对称

6.已知实数 a, b 满足等式 ( ) ? ( ) , 下列五个关系式
a b

1 2

1 3

①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b 其中不可能 成立的关系式有 B ... A.1 个 B.2 个

④b<a<0 C.3 个

⑤a=b D.4 个

7.函数 f ( x) ? a x?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是 D A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 ) D. 0 ? a ? 1, b ? 0

8.方程 2x ? x ? 2 ? 0 的解所在的区间为( B

A、 (-1,0) B、 (0,1) C、 (1,2) D、 (2,3) 9.a,b,c,d 四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间 x 的函数关系分别是
f1 ? x ? ? x 2 , f 2 ? x ? ? x 2 , f3 ? x ? ? log 2 x , f 4 ? x ? ? 2x 如果运动的时间足够长,则运动在最前面
1

的物体一定是( A、a 10.函数 y ? ? ?

D ) B、b 的图像为 C

C 、c

D、d

?2 x , x ? 0
?x ? ?2 , x ? 0

x 11.设函数 f ( x) ? 2 ? x ? 4 ,则方程 f ( x) ? 0 一定存在根的区间是( B



A、 (0,1)

B、 (1,2)

C、 (2,3) D )

D、 (3,4)

12.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? 1 的图象必经过定点( A、 (1,0)

2 x 13.设集合 A ? y y ? x , x ? R , B ? y y ? 2 , x ? R ,则 A ? B =(

?

B、(1,1)

?

?

C、(1,2)

?

D、(2,1) A )

A、 y y ? 0

?

?

B、 y y ? 0

?

?

C、 ?(2,4), (4,16)?

D、 ?

x (? x) 14.已知 0 ? a ? 1 ,函数 y ? a 与 y ? log a 的图象只可能是( B )

15.在区间[3,5]上有零点的函数有( A) A. f ( x) ? 2 x ln( x ? 2) ? 3 C. f ( x) ? 2x ? 4 B. f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 5 D. f ( x) ? ?

1 ?2 x
C、 (0,9] D、 (??, 27]

16.函数 y ? 3 ? log 3 x 的定义域为( A、 ( ??,9] B、 (0, 27]

B )

17.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(C ) A

y?x
2 2

B

1 y? x
1

C

y ? ?x

3

?1? D y?? ? ?2?

x

18.设 a ? log 1 ? b ? log 1 ? c ? 2 7 ? 则( A )
3 4

A

a?b?c

B

c ?b?a
a

C

c?a?b
B)

D

b?a?c

19.设 a,b, c 均为正数,且 3 A

? 4b ? 6c ,则有(
C

1 1 1 ? ? c a b

B

2 2 1 ? ? c a b

1 1 2 ? ? c a b

D

2 1 2 ? ? c a b

20.函数 y ? lg ?

? 2 ? ?1? 的图像关于( C ) ? 1? x ?
B、 y 轴对称
x x

A、 x 轴对称

C、原点对称

D、直线 y ? x 对称

21.若 x log 2 3 ? 1,则 3 ? 9 的值为 C A.3 B.

5 2

C. 6

D.

1 2

22.函数 f ( x) ? x ln | x | 的图像是 A

A D 23.若函数 f ( x ) ? 1 ? A.0

B

C

m 是奇函数,则 m 的值是 D e ?1 1 B. 2
x

C.1

D .2

?(3a ? 1) x ? 4 a, x ? 1 24.已知 f ( x) ? ? 是 ( ??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 (C ) ? log a x, x ? 1
A
(0,1)

B

1 (0, ) 3

C

1 1 [ , ) 7 3

D

1 [ ,1) 7

25. 已 知 函 数 f ( x) ? 4 ? x2 , g ( x) 是 定 义 在 (??, 0)

( 0, ?? 上 ) 的奇函数,当 x ? 0 时,


g ( x) ? log 2 x,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图象大致为( B

26.下列指数式与对数式互化不正确的一组是: A. e ? 1与 ln1 ? 0
0

B. 8

1 ?( ) 3

1 1 1 ? 与 log8 ( ) ? ? 2 2 3

C. log3 9 ? 2与9 ? 3

1 2

D. log7 7 ? 1与71 ? 7

a 27.设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log2 c .则 A 2
2

?1? ?2?

b

?1? ?2?

c

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b ) D.

D. b ? a ? c

28.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( D A. 3ln x B. 3ln x ? 4

x C. 3e

3e x ? 4

x 29.函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为 ( B )

?

?

A.

? 0, ?? ?

B.

? ?0, ?? ?

C. ?1, ?? ?

D. ? ?1, ?? ?

1 30.(该题是错题)函数 f ( x) ? a x ? loga x 在区间 [1, 2] 上的最大值与最小值之和为- ,最大 4 3 值与最小值之积为- ,则 a 等于 8 A.2 1 B. 2 1 C.2 或 2 2 D. 3 ( D ) D、 1 ? a ? a
n 0? n

31、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A、 a ? a ? a
m n m n

B、 a

m

an ? am n

C、 a

? ?

m n

? a m?n

32、已知 f (10 x ) ? x ,则 f (5) ? A、 10
5



D

) D、 lg 5 D )

B、 5

10

C、 lg10 (

33、对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是

① 若 M ? N 则 loga M ? loga N ; ② 若 loga M ? loga N 则 M ? N ; ③ 若

loga M 2 ? loga N 2 则 M ? N ;④若 M ? N 则 loga M 2 ? loga N 2 。
A、①②③④ B、①③ C、②④ D、② 34、设集合 S ? { y | y ? 3x , x ? R}, T ? { y | y ? x2 ?1, x ? R} ,则 S A、 ? B、 T C、 S ( C ) D、 ?3, ?? ?

T是



C



D、有限集

35、函数 y ? 2 ? log2 x( x ≥1) 的值域为 A、 ? 2, ???
0.9

B、 ? ??,2?
0.48

C、 ? 2, ???
?1.5

36、设 y1 ? 4 , y2 ? 8 A、 y3 ? y1 ? y2

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

,则



C

) D、 y1 ? y2 ? y3 ) D、 3 ? a ? 4

B、 y2 ? y1 ? y3

C、 y1 ? y3 ? y2 ( B

37、在 b ? log( a?2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是 A、 a ? 5或a ? 2
2

B、 2 ? a ? 3或3 ? a ? 5
2

C、 2 ? a ? 5 B ) D、3 B
2

38、计算 ? lg 2 ? ? ? lg 5 ? ? 2 lg 2 lg 5 等于 ( A、0 B、1 C、2

39、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是( A、 5a ? 2 40、若 10 A、
2x

) D、 3a ? a ? 1
2

B、 a ? 2

C、 3a ? (1 ? a) ( A ) C、

? 25 ,则 10? x 等于
B、 ?

1 5

1 5

1 50

D、

1 625

41、某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后的价格与原来价格比 较,变化的情况是( A ) 7.84% 7.84% A、减少 B、增加 C、减少 9.5% D、不增不减 42、若函数 f (x) ?l o g
a

(0 x
B、

?a 1 ? )
2 2

在区间 ? a, 2a? 上的最大值 是最小值的3 倍,则 a 的值为 ( A )

A、

2 4

C、

1 4

D、

1 2

43.化简 ? 1 ? 2

? ?

?

1 32

1 1 1 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? 16 8 4 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 ?? ?? ?? ?? ? ,结果是( A ?? ? ?? ?? ??



1 ? ? 1? A、 ?1 ? 2 32 ? 2? ?

?1

1 ? ? ? B、 ?1 ? 2 32 ? ? ?

?1

C、 1 ? 2

?

1 32

D、

1 ? ? 1? 32 1 ? 2 ? ? 2? ?

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? 等于( 44. ? ? ? ? ? ? ? ?
A、 a
16

4

4

C )

B、 a
b

8

C、 a
?b

4

D、 a

2

45.若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a A、 6 B、 ?2

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于( C
C、 ?2 D、2 D



46.函数 f ( x) ? a ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
2

?

?

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ?

2
D )

D、 1 ? a ? 2

47.下列函数式中,满足 f ( x ? 1) ? A、

1 f ( x) 的是( 2
C、 2 B )
x

1 ( x ? 1) 2

B、 x ?
x 2

1 4

D、 2

?x

48.下列 f ( x) ? (1 ? a ) a 是( A、奇函数 B、偶函数

?x

C、非奇非偶函数
2 2
a

D、既奇且偶函数
b

1 1 1 1 3 49.已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3) ? ;(4) a ? b 3 ; a b

?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有( C ? 3? ? 3?
A、1 个 50.函数 y ? A、奇函数 51.函数 y ? A、 ? ??,1?
x

a

b

) C、3 个 D、4 个

B、2 个

2x ? 1 是( A 2x ? 1
B、偶函数

) C、既奇又偶函数 ) D、非奇非偶函数

1 的值域是( D 2 ?1
B、 ? ??,0?

? 0, ???
x

C、 ? ?1, ?? ?

D、 (??, ?1) )

?0, ???

52.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a ? b 的图像必定不经过( A A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限

D、第四象限

53. F ( x) ? ?1 ?

? ?

2 ? ? ? f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f ( x) 不恒等于零,则 f ( x) ( 2 ?1 ?
x

A )

A、是奇函数 B、可能是奇函数,也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数,也不是偶函数 54.一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b % ,则 n 年后这批设备的 价值为( D ) A、 na(1 ? b%) B、 a(1 ? nb%) ) . C、 a[1 ? (b%)n ] D、 a(1 ? b%)n

55.下面结论中,不正确的是( C

A.若 a>1,则 y ? a x 与 y ? loga x 在定义域内均为增函数
x B.函数 y ? 3 与 y ? log3 x 图象关于直线 y ? x 对称

C. y ? loga x 2 与 y ? 2 loga x 表示同一函数 D.若 0 ? a ? 1,0 ? m ? n ? 1 ,则一定有 loga m ? loga n ? 0 56.已知 f ( x) ? ? ( C ) B. ( ? ?,3 ) C. [ ,3)

?(3 ? a) x ? a ( x ? 1) , 是(??,??) 上是增函数,那么实数 a 的取值范围是 log x ( x ? 1 ) a ?
3 2
D. (1,3)

A. (1,+ ? )

57.若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e x ,则有 D (A) f (2) ? f (3) ? g (0) (C) f (2) ? g (0) ? f (3) 58.函数 f ?x ? ? (B) g (0) ? f (3) ? f (2) (D) g (0) ? f (2) ? f (3)

x 1? x2

( A )

(A)在 ?? 1,1? 上单调递增 (C)在 ?? 1,1? 上单调递减

(B)在 ?? 1,0? 上单调递增,在 ?0,1? 上单调递减 (D)在 ?? 1,0? 上单调递减,在 ?0,1? 上单调递增

59.已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 x , 0 ? a ? b ? c , f (a) f (b) f (c) ? 0 ,实数 d 是函数 f ( x)
x

1 3

的一个零点.给出下列四 个判断:① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .其中可能成立的个数为 (C) A.1 60.函数 y= y ? log 2 B.2 C.3 D.4

2? x 的图像 A 2? x

(A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称

(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称

61.已知函数 f ( x ) 满足: x≥4,则 f ( x ) = ( ) ; 当 x<4 时 f ( x ) = f ( x ? 1) , 则 f( 2 ? o lg 3 )
x

1 2

2

= (A)

1 24

(B)

1 12

(C)

1 8

(D)

3 8

x 62.设 f ( x) ? min 2 , x ? 2,10 ? x ( x ? 0) ,则 f(x)的最大值为 C

?

?

(A)4

(B)5

(C)6
x

(D)7

63.若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f ? x ? 可以 是A A.

f ? x ? ? 4x ?1

B.

f ? x ? ? ( x ?1)2

C.

f ? x ? ? e x ?1

D.

1? ? f ? x ? ? In ? x ? ? 2? ?
x 64.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? A ( a ? 0,且a ? 1 )

A. log2 x

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x ?2

65.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.-1 B. 0

?log2 (1 ? x), x ? 0 , 则( f 2009) 的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D. 2

C

)

C.1

66.设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 B (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

67.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间(D ) (A) (0,1). (B) (1,1.25). (C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)

68.已知 x 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则 B 1? x
(B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0

(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

?log 2 x, x ? 0, ? 69.若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 C 1 ? ? 2

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) 70.已知函数 f ( x) ? ( C ) A. x x ? 1

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1) 的定义域为 M , g ( x) ? ln( 1 ? x) 的定义域为 N ,则 M ? N ?

1 1? x

?

?

B. x x ? 1

?

?

C. x ? 1 ? x ? 1

?

?

D. ?

71.设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图象可能是 D

72. 设 a ? 1 , 函 数 f ( x) ? loga x 在 区 间 [a, 2a] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为 ( A ) B.2 C. 2 2 D.4

1 ,则 a ? 2

A. 2

?x 2 , 73.设 f ? x ? ? ? ? x,
值域是( C )

x ?1 , g ?x ? 是二次函数,若 f ?g ?x ?? 的值域是 ?0,??? ,则 g ?x ? 的 x ?1

A. ?? ?,?1? ? ? 1,???
a

B. ?? ?,?1? ? ?0,???
b

C. ?0,???
c

D. ?1,???

?1? ?1? 74.设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log2 c .则( A ) ?2? ?2? 2 2
A. a ? b ? c 75.函数 f ?x ? ? ? A.4 76.已知函数 f ( x) ? ? A.-2 B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c

? 4x ? 4 , x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数是(B ) 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
B.3 C.2 D.1

? x ? 2( x ? 2) ,则 f (lg 20 ? lg 2) ? A ?? 2( x ? 2)
B. 2 C. 0 D.-1

77.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) , 满足 f ( x) ? ? f (4 ? x) , 且当 x ? [2,4) 时,f ( x) ? log2 ( x ? 1) , 则 f (2010) ? f (2011 )的 值为( C ) A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 2

) 又当 78. 设 函 数 y ? f ( x) 是 奇 函 数 , 并 且 对 任 意 的 x ? R 均 有 f (? x) ? f ( x? 2 ,
9 x ? (0,], f ( x) ? 2x ,则 f ( ? ) 的值 2
是( D )

A.

?

2 2

B. 2
x 2 ? x ?6

C. 3 2

D. ? 2

79.已知集合 A ? {x | ( 1 )

2

? 1}, B ? {x | log4 ( x ? a) ? 1}, 若 A B ? ?, 则实数 a 的取值
B. 1 ≤ a ≤ 2 C. ? D. 1 ? a ≤ 2

范围是( B ) A. 1 ? a ? 2

80.若 lg x ? m , lg y ? n ,则 lg x ? lg( A、

1 m ? 2n ? 2 2

y 2 ) 的值为( D ) 10 1 1 B、 m ? 2 n ? 1 C、 m ? 2 n ? 1 2 2

D、

1 m ? 2n ? 2 2

81.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(月) 的近似函数关系: y ? a t (t≥0,a>0 且 a≠1).有以下叙述 于 ①第 4 个月时,剩留量就会低

1 1 1 1 ; ②每月减少的有害物质量都相等; ③若剩留量为 , , 所经过 5 2 4 8 的时间分别是 t 1 , t 2 , t 3 ,则 t 1 ? t 2 ? t 3 .其中所有正确的叙述是 C
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

y 1
(2, 4 )
9

? ? 82.已知点 ? 3 , 3 ? 在幂函数 y ? f ( x) 的图象上, 则 y ? f ( x) 的表达式 ? 3 9 ? ? ? 是B
A. f ( x ) ? 3 x B. f ( x) ? x 3 C. f ( x) ? x ?2 D. f ( x ) ? ( )

1 2

x

1

2 3 4

83.函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的增函数,若对于 x1 , x2 ? R 都 有 f ( x1 ) ? f ( x2 )≥f (? x1 ) ? f (? x2 ) 成立,则必有( C ) A. x1≥x2 B. x1≤x2 C. x1 ? x2≥0 D. x1 ? x2≤0

t(月)

O

84. 若函数 y ? f ( x) 在区间 [a,b] 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( C ) A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0

85.记函数 y ? 3 ? x 的反函数为 y ? g ( x), 则 g(9)=( A ) A. ? 2 B. 2 ) C. 3
x

D. ? 1
x

下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A. y ? x
? 1 2

y ? log 2 x
B.
3

? 3? y ?? ? ? 2? C.
D ) . C. y ? a

? 2? y ?? ? ? 3? D.
(a ? 0且a ? 1)

下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A. y ?

x2

B. y ?

(a ? 0且a ? 1)
函数 f ( x) ? ln( x ? A. ?1 B. 0

x x

2

loga x

D . y ? loga a x

. x2 ? 1) ,若实数 a , b 满足 f (a) ? f (b ? 1) ? 0 ,则 a ? b ? ( C ) C. 1 D.不确定

二、填空题 1.下列函数在 (0,?? ) 上是减函数的是 ①②③④ ①

(请将所有正确的序号都填上) .

y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ;②

y ? log0.5 x ? 1 ;③

y ? x ?1 ;④

y ? 2? x .

2.构造一个满足下面三个条件的函数实例:①函数在 (??,?1) 上递减;②函数具有奇偶性;③ 函数有最小值; 这样的函数可以为(只写一个) : 3.函数 f ( x) ? . y=x2 等 . (??,?1) ? (0,??)

1 的值域是 e ?1
x

4.设 a ? 0 且 a ? 1 , f ( x) ? ? x 2 ? a x ,对 x ? ( ? 5.关于下列命题:

1 1 1 , ) 均有 f ( x) ? 0 ,则 a ? [ ,1) ? (1,16 ] . 2 2 16

x ①若函数 y ? 2 的定义域是{ x | x ? 0} ,则它的值域是 { y | y ? 1} ;

② 若函数 y ?

1 1 的定义域是 {x | x ? 2} ,则它的值域是 { y | y ? } ; x 2

2 ③若函数 y ? x 的值域是 { y | 0 ? y ? 4},则它的定义域一定是 {x | ?2 ? x ? 2} ;

④若函数 y ? log2 x 的值域是 { y | y ? 3} ,则它的定义域是 {x | 0 ? x ? 8} . ② ③ ______( 注: 其中不正确的命题的序号是_______ ① 把你认为不正确的命题的序号都填 上).

6.设函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x ,则 f (2) ? 7.计算: log8 9 ? log3 2 +lg5 lg20+ ?lg 2? =_________
2

1 2

3 2



5 ________ 3
x0 的 取 值 范 围 是

?2 ? x ? 1, x ? 0 8. 设 函数f ( x) ? ? , ?log2 x, x ? 0
_____ ?? ?,?1? ? ?2,??? ____



f ( x0 ) ? 1, 则

9.化简 log2 (1 ? 2 ? 3) ? log2 (1 ? 2 ? 3) ? 10. log6 ?log4 (log3 81)? 的值为 0 。

3 2

11. 某 企 业 生 产 总 值 的 月 平 均 增 长 率 为 p , 则 年 平 均 增 长 率 为

(1 ? p)12 ?1
12.若 log x



?

2 ? 1 ? ?1 ,则 x ?

?

2 ?1



13.已知函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) ,对于下列命题: ①若 x ? 1 ,则 f ( x) ? 0 ; ③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ; 其中正确的命题的序号是 14.给出下列四种说法: ②若 0 ? x ? 1 ,则 f ( x) ? 0 ; ④ f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) . ①、②、④ (写出所有正确命题的序号) .

⑴ 函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? log a a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同; ⑵ 函数 y ? x3与y ? 3x 的值域相同; ⑶ 函数 y ?

(1 ? 2 x ) 2 1 1 ? x 与y? 均是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x

⑷ 函数 y ? ( x ? 1) 2 与 y ? 2 x ? 1在 (0, ? ?) 上都是增函数。 其中正确说法的序号是 ⑴⑶ 。

?3x , x ? 1, 15.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,
x

log 2 3

.

16.若函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 有两个零点,则实数 a 的取值范围是 17.设函数 f ( x) ? x(e ? ae )( x ? R) 是偶函数,则实数 a=__-1_
x ?x

{a | a ? 1}

.

18.计算:

2lg 2 ? lg3 ? 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg8 2 3


19.已知函数 y ? 4 x ? 4 ? 2 x ? 1(?1 ? x ? 2), 则函数的值域为 20. log2 25? log3 4 ? log5 9 ? ___8_____

三、解答题 1 1.已知函数 f(x)= x . 3+ 3 (1)若 a+b=1,求证:f(a)+f(b)为定值; (2)设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),求 S 的值. 1 1 解:(1)若 a+b=1,则 f(a)+f(b)= a + b ………………2 分 3+ 3 3+ 3 = 3a+3b+2 3 3a+3b+2 3 3 = = 3 ;………………6 分 a b a b + 3(3 +3 )+3 3(3 +3 )+6

3

a+b

(2)S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6) = [f( - 5) + f(6)] + [f( - 4) + f(5)] + [f( - 3) + f(4)] + [f( - 2) + f(3)] + [f( - 1) + f(2)] + [f(0) + f(1)],……………9 分 3 S=6×[f(-5)+f(6)]=6× 3 =2 3,所以 S=2 3. 2.已知函数 f ( x ) ? 1 ? (1)求 a 的值; (2)当 x ? (0,1] 时, t ? f ( x) ? 2x ? 2 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解 : (1) a ? 2
x ( 2x ? 2 ) ( 2 ? x 2 ?1

4 2a ? a
x

( a ? 0且a ? 1) 是定义在 ( ??, ??) 上的奇函数.

(2) t ?

(2x ? 2)(2x ? 1) 2x ? 1

] 成 立 。 设 u ? 2x ? 1 ? (0,1] , 所 以 对 于 x ? ( 0 , 1恒

2 ? 1) 2 ? ? u ? ? 1 在 (0,1] 上递增,所以 ? u ? ? 1? ? 0 , t ? 0 u ? max u ?

x ? [1,4] ?log x 3.已知函数 f ( x) ? ? 2 2 ?( x ? 5) ? 1 x ? (4,7]
⑴ 在给定的直角坐标系内画出 f ( x) 的图象; ⑵ 写出 f ( x) 的单调递增区间(不需要证明) ; ⑶ 写出 f ( x) 的最大值和最小值(不需要证明) .

4. 函 数 f ( x ) ? 2 x 和 g ( x) ? x 3 的 部 分 图 象 的示 意 图 如 下 图所 示 。 设两 函 数 的 图 象交 于 点

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 。
(1)请指出示意图中曲线 C1 、 C2 分别对应哪一个函数? (2)若 x1 ? ?a, a ? 1?, x2 ? ?b, b ? 1?,且 a, b ? 指出 a 、 b 的值,并说明理由; (3)结合函数图象示意图,请把 f (6)、g (6)、f (2009 )、g (2009 ) 四个数按从小到大的顺序排列。 解: (1) C1 : g ( x ) ? x 3 ; C2 : f ( x ) ? 2 x (2)记 h( x) ?

?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12?,

f ( x) ? g ( x) ,由 h(1) ? 1, h(2) ? ?4 ,由 h(1) ? h(2) ? 0
同 理 : h(9) ? ?217 , h(10) ? 24 ,

得 x1 ? ? 1,2?,? a ? 1

h(9) ? h(10) ? 0 , 得

x2 ??9,10?,?b ? 9
(3) f (6) ? g (6) ? g (2007 ) ? f (2007 ) 5.***已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x ) 的全体: 存在非零常数 T , 使得对任意 x ? R , 有 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立。 (1)函数 f ( x) ? x 是否属于 M ?说明理由;
x ( 2 ) 若 函 数 f ( x) ? a ( a>0 且 a ≠ 1 ) 的 图 像 与 函 数 y ? x 的 图 像 有 公 共 点 , 求 证

f ( x) ? a x ? M .
(3)设 f ( x) ? M ,且 T ? 2 ,已知当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? ln x ,求当 ?3 ? x ? ?2 时,

f ( x) 的解析式。
(4)若函数 f(x)=sink x∈M,求实数 k 的取值范围.

[解](1)对于非零常数 T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因为对任意 x∈R,x+T =Tx 不能恒成 立, 所以 f(x)=x ? M . (2)因为函数 f(x)=ax (a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象有公共点,
? ?y ? ax 所以方程组: ? 有解,消去 y 得 ax=x, ? ?y ? x

显然 x=0 不是方程的 ax=x 解,所以存在非零常数 T,使 aT=T.于是对于 f(x)= ax ,有 f(x+T)=ax+T = aT·ax=T·ax =T f(x) ,故 f(x)=ax∈M. (3)∵ ?3 ? x ? ?2 ∴ 1? x ? 4 ? 2 ∴ f ( x ? 4) ? x ? 4 ? ln( x ? 4) ∴ f ( x) ?

∴ f ( x ? 4) ? f [( x ? 2) ? 2] ? 2 f ( x ? 2) ? 4 f ( x) ∴当 ?3 ? x ? ?2 时, f ( x ) 的解析式是 f ( x) ? (4)当 k=0 时,f (x)=0,显然 f (x)=0∈M.

1 [ x ? 4 ? ln( x ? 4)] 4

1 [ x ? 4 ? ln( x ? 4)] 4

当 k≠0 时,因为 f (x)=sinkx∈M,所以存在非零常数 T, 对任意 x∈R,有 f (x+T)= T f (x)成立,即 sin(kx+kT)= T sinkx. 因为 k≠0 时,且 x∈R,所以 kx∈R,kx+kT∈R, 于是 sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1],故要使 sin(kx+kT) = Tsinkx 成立, 只有 T=±1. 当 T=1 时,sin(kx+k)= sinkx 成立,则 k=2m?,m∈Z. 当 T=-1 时,sin(kx-k)= -sinkx 成立,即 sin(kx-k+?) = sinkx 成立, 则-k+? =2m?,m∈Z,即 k= -(2m-1) ?,m∈Z.综合得,实数 k 的取值范围是{k | k= m?,m∈Z }. 6.已知集合 M 石满足下列性质的函数 f(x)的全体,在定义域(0,+∞)内存在 X0,使 f(X0+1)<=f(X0)f(1)成立 (1)请给出一个 X0 的值,使函数 f(x)=1/x∈M (2)函数 f(x)=x^2-2x-3 是否是集合 M 中的元素?若是,请求出所有 X0 组成的集合;若不 是,请说明理由 (3)设函数 f(x)=a/(x^2+1)∈,求实数 a 的取值范围 (1),x0=1.(2)(0,4(1+√6)/5).(3)a<0 或 a≥2. 7. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x) 的全体:若存在非零常数 k ,在定义域内等式 f(kx)=k/2 +f(x)恒成立。 (1) 判断一次函数 f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合 M; (2) 证明 f(x)=log2 x 属于 M,并找到一个常数 k。

解:由题意, (1)不属于。理由是: 假设存在符合条件的非零常数 k,则对任意 x∈R,等式 g(kx)=k/2+g (x)成立。 g(kx)=a(kx)+b, g(kx)=k/2+g(x)=ax+b+k/2,所以有 a(kx)+b=ax+b+k/2。 因为 x∈R,所以取 x=0,则 b=b+k/2, 解得 k=0,与题设矛盾,所以不存在符合条件的非零 常数 k, 所以一次函数 g(x)=ax+b(a≠0)不属于集合 M。 问题(2) 1)首先,由于 h(x)与 y=x 有交点,故方程 x=a^x 总有非负解。 2)其次,由于 h(kx)=log(k)+log(x)(以 a 为底)=log(k)+h(x),至此,问题等价于证明方程 k=a^(k/2) =(sqrt(a))^k(关于 k 的方程)有非负解。由于 1),易知 k=a^(k/2)关于 k 总有非负解(只需注意 a>a^(1/2),利用对数曲线的几何性质即知) ,所以 h(x)属于函数类 M. 8. 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 任 意 x, y ? R 满 足 下 列 关 系 式 :

f ( x ? y) ? xf ( y) ? yf ( x) ,且 f (2) ? 2 .
( Ⅰ ) 求 f (0), f (1) 的 值 ; ( Ⅱ ) 证 明 : f ( x) 为 奇 函 数 ;( Ⅲ ) 证 明 :

f (2n ) f (2n ?1 ) ? n ?1 ? 1 (n ? N ? ) . n 2 2
解: (Ⅰ)令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? 0 ? f (0) ? 0 ? f (0) ,? f (0) ? 0 令 x ? y ? 1 ,得 f (1) ? 1? f (1) ? 1? f (1) ,? f (1) ? 0 (Ⅱ) 令 x ? y ? ?1, 得 f1 ) ( (? 1 )? ( 1 )?f (? 1 ?? (1 ) ) ? f? ,

f (1) ? 0 ? f (?1) ? 0

?? 1 )x ? ] ? (? 1f) x (? ?) x f? ( f 1() ? x) ? ? f ( x) ,? ? f ( ? x) ? f [ (
又 f ( x ) 的定义域为 R ,? f ( x) 为奇函数; (Ⅲ) f (2n ) ? f [2 ? 2( n?1) ] ? 2 ? f (2( n?1) ) ? 2( n?1) ? f (2) ,又 f (2) ? 2
n ) ? ?2f ? f(2 ( n ?1)

, (2 ? ) n 2 ?

f (2n ) f (2n ?1 ) ? n ?1 ? 1 2n 2

2 x 9.***设函数 f ( x) ? ? x ? bx ? c , g ( x) ? 2 ,且 f ( x ) 的图像与 g ( x) 的图像的两个交点坐

标为 ( ?1, ) 和 (1, 2) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;

1 2

(Ⅱ)定义 F ( x) ? ?

? f ( x) ( f ( x) ? g ( x)) ,做出 F ( x) 的图像(不需要求出 F ( x) 的解析式) ; ? g ( x) ( f ( x) ? g ( x))

(Ⅲ)利用 F ( x) 的图像回答: k 为何值时,方程 F ( x) ? k 无解,有一解,有两解,有三解? (写出结果即可). 解: (Ⅰ) 点 ( ?1, ) 和 (1, 2) 在函数 f ( x ) 的图像上,

1 2

y
3

0

1 1 ? ? ? f (?1) ? ??1 ? b ? c ? ?? 2 ,即 ? 2 ? ? ? f (1) ? 2 ? ?1 ? b ? c ? 2
3 9 ? f ( x) ? ? x 2 ? x ? 4 4
(Ⅱ)图像如图所示:

? b? ? ? 解之得 ? ?c ? ? ?

3 4 9 4
-3

2 1

-2

-1

O -1 -2

1

2

3

3 153 3 9 3 153 x ? ? ?( x ? ) 2 ? ?抛物线顶点 A ( , ) 8 64 4 4 8 64 1 又 f ( x ) 的图像与 g ( x) 的图像的两个交点坐标为 B ( ?1, ) 和 C (1, 2) ; 2 153 时,方程 F ( x) ? k 有一解; ?当 k ? 0 时,方程 F ( x) ? k 无解;当 0 ? k ? 2或k ? 64 153 153 当 k ? 2或 k ? 时,方程 F ( x) ? k 有两解;当 2 ? k ? 时,方程 F ( x) ? k 有三解; 64 64
(Ⅲ)

f ( x) ? ? x 2 ?

10.计算: 原

? 5 log9 4 ? log3


32 log5 3 ? 1 ? ?5 ?? ? 9 ? 64 ?

?

2 3

? ?5 log3 2 ? log3 25 ? log3 32 ? 3 ? 643 ? ?5 log3 2 ? 5 log3 2 ? 2 log3 3 ? 3 ? 16 ? ?2 ? 3 ? 16 ? ?21
f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立.

?

?

2

11. 已 知 集 合 M 是 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f ( x ) 的 全 体 : 在 定 义 域 内 存 .在 . x0 , 使 得
1 x

(1) 函数 f ( x ) ?

是否属于集合 M ?说明理由; (2) 设函数 f ( x) ? 2x ? x2 , 证明:f ( x ) ? M

12.若函数 f ?x ? 满足下列条件: 在定义域内存在 x 0 , 使得 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? 成立, 则称 函数 f ?x ? 具有性质 M ;反之,若 x0 不存在,则称函数 f ?x ? 不具有性质 M 。 (1)证明:函数 f ?x ? ? 2 具有性质 M ,并求出对应的 x0 的值;
x

(2)已知函数 h? x ? ? lg

a 具有性质 M ,求 a 的取值范围 x ?1
2
x0 ?1

(1)证明: f ( x) ? 2x 代入 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? 得: 2 即: 2
x0

? 2 x0 ? 2 , ………2 分

? 2 ,解得 x0=1. ………………………………………………………………5 分

所以函数 f ( x) ? 2x 具有性质 M.………………………………………………………6 分 ( 2 ) 解 : h ( x ) 的 定 义 域 为 R , 且 可 得 a > 0 .

因为 h(x)具有性质 M,所以存在 x0,使 h ? x0 ?1? ? h ? x0 ? ? h ?1? , 代入得: lg

a a a ? lg 2 ? lg .化为 2( x02 ? 1) ? a( x0 ? 1)2 ? a , 2 ( x0 ? 1) ? 1 x0 ? 1 2
得 :





(a ? 2) x02 ? 2ax0 ? 2a ? 2 ? 0









①若 a=2,得 x0 ? ?

1 .…………………………………………………………………8 分 2

②若 a≠2,得△≥0,即 a2?6a+4≤0, 解得:a ?[3 ? 5,3 ? 5] , 所以:a ?[3 ? 5,2) ? (2,3 ? 5] . (若未去掉 a=2,扣 1 分)………………………14 分 综上可得 a ?[3 ? 5,3 ? 5] .……………………………………………………………16 分
1 1 4x ,且 f ( x) 的图象过点 ( , ) , x 2 2 4 ?a (1)求 f ( x) 表达式,

14.设 f ( x) ?

(2)计算 f ( x) ? f (1 ? x) ,
? 1 ? (3)试求 f ? ?? ? 2011 ? ? 2 ? f? ?? ? 2011 ? ? 3 ? ? 2009 ? f? ? ? ??? ? f ? ?? 2011 ? ? ? 2011 ? ? 2010 ? f? ? 的值, ? 2011 ?

(1) a ? 2, f ( x) ?

4x 4x ? 2

(2)1

(3)1005

15.已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x) 其中 (a ? 0 且a ? 1 ) . (1)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3)求使 f ( x) ? g ( x) ? 0 成立的 x 的集合. (1)解: f ( x) ? g( x) ? log a ( x ?1) ?log a(1 ? x) 若要上式有意义,



?x ?1 ? 0 ? ?1 ? x ? 0

即 ?1 ? x ? 1

所以所求定义域为 x ?1 ? x ? 1

?

?

(2)解:设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 则 F (? x) ? f (? x) ? g (? x) ? log a (? x ? 1) ? log(1 ? x)

? ??loga ( x ? 1) ? loga (1? x)? ? ?F ( x)
( 3 ) 解 :

所以 f ( x) ? g ( x) 是奇函数 即

f ( x ) ? g ( x) ? 0

loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x) ? 0

,

log a ( x ?1) ? log a(1 ? x)
?x ?1 ? 0 ? 当 o ? a ? 1 时 ,上述不等式等价于 ?1 ? x ? 0 ?x ?1 ? 1? x ?
解得: ?1 ? x ? 0

?x ?1 ? 0 ? 当 a ? 1 时 ,原不等式等价于 ?1 ? x ? 0 解得: 0 ? x ? 1 ?x ?1 ? 1? x ?
综上所述, 当 0 ? a ? 1 时 ,原不等式的解集为 {x 的解集为 {x 0 ? x ? 1}
x 16.是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a ? 1 .其中 a ? 0 且 a ? 1 .

?1 ? x ? 0} ;当 a ? 1 时 , 原不等式

(1)求 f (2) ? f (?2) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)解关于 x 的不等式 ? 1 ? f ( x ? 1) ? 4 ,结果用集合或区间表示. 解: (1)因 f ( x) 是奇函数,所以有 f (?2) ? ? f (2) ,所以 f (2) ? f (?2) =0. (2)当 x ? 0 时, ? x ? 0 由

?
数 有

f (? x) ? a ? x ? 1


f ( x)







f ( ? x ) ? ? f ( x)



?

? f ( x) ? a ? x ? 1

?

f ( x) ? ?a ? x ? 1

( x ? 0)
? a x ?1 x ? 0 f ( x) ? ? ? x ?? a ? 1 x ? 0

? 所求的解析式为
(3)不等式等价于

x ?1 ? 0 x ?1 ? 0 ? ? 或? ? ? x ?1 ? 1 ? 4 ?? 1 ? a x ?1 ? 1 ? 4 ?? 1 ? ?a

即?

? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 0 或? ? x ?1 ? 2 ?0 ? a x?1 ? 5 ?? 3 ? a

当 a ? 1 时,有 ?

?

x ?1

? x ? 1 ? loga 2

或?

?

x ?1

? x ? 1 ? loga 5

,注意此时 loga 2 ? 0, loga 5 ? 0 ,

可得此时不等式的解集为 (1 ? loga 2,1 ? loga 5) . 同理可得,当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为 R . (或由此时函数的值域为 (?1,1) 得) 综上所述,当 a ? 1 时,不等式的解集为 (1 ? loga 2,1 ? loga 5) ;当 0 ? a ? 1 时,不等式的解 集为 R . 17.****已知 f ( x) ? a x ? a? x (a ? 0且a ? 1) (Ⅰ)证明函数 f ( x )是奇函数; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性,并加以证明; (Ⅲ)当 x ??1, 2? 时函数 f (x )的最大值为 解: (1)∵x∈R,定义域关于原点对称 数 f ( x )是奇函数 ( Ⅱ ) 证 明 : 设

3 ,求此时 a 的值. 2
?x

由 f (? x) ? a

? a x ? ?(a x ? a? x ) ? ? f ( x) ∴函

x1 ? x2
1 2 2





x x x f ( x1) ? f ( x2 ) = a x1 ? a ? x1 ? (a 2 ? a ? x2 ) ? (a 1 ? a 2 ) ? (

1 1 1 x x x ? x ) ? ( a ? a ) ? (1 ? x1 ? x2 ) a a a
1

( 1 )当 a ? 1 时,由 x1 ? x2 得 a

x1

? a x2 ,又 a x1 ? x2 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;
此时 f ( x ) 是 R 上的增函数 (2)当 0 ? a ? 1 时,由 x1 ? x2 得 a
x1

? a x2 ,又 a x1 ? x2 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;
此时 f ( x ) 是 R 上的减函数 (Ⅲ)当 x ??1, 2? 时,由(Ⅱ)知当 a ? 1 时, f ( x) max ? f (2) ? a ?
2

1 3 ? a2 2

解得 a ?

2;

当 0 ? a ? 1 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 符,舍去 故a ?

1 3 ? a 2

解得 a ? ?

1 或 a ? 2 ,与 0 ? a ? 1 不 2

2。

18.已知函数 f ( x ) 定义在 ? ?1,1? 上,对于任意的 x, y ? (?1,1) ,有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; (1)验证函数 f ( x) ? ln

x? y ), 1 ? xy

1? x 是否满足这些条件; 1? x

(2)你发现这样的函数 f ( x ) 还具有什么样的性质?将它写出来,并加以证明;

1 1 2 2 1? x ? 0 可得 ?1 ? x ? 1 ,即其定义域为 ? ?1,1? 解:(1)由 1? x
(3)若 f ( ? ) ? 1 ,试解方程 f ( x ) ? ? 又

f ( x) ? f ( y) ? ln

1? x 1? y 1? x 1? y ? ln ? ln( ? ) 1? x 1? y 1? x 1? y

x? y 1 ? x ? y ? xy 1 ? xy ? ln ? ln x? y 1 ? x ? y ? xy 1? 1 ? xy 1?

x? y ? f( ) 1 ? xy
又当 x ? 0 时, 1 ? x ? 1 ? x ? 0, ? (2)发现这样的函数是奇函数

1? x 1? x ? 1 ? ln ?0 1? x 1? x

故 f ( x) ? ln

1? x 满足这些条件 1? x

f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0

? f (? x) ? f ( x) ? f (0) ? 0 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 在 ? ?1,1? 上是奇函数
又发现这样的函数是减函数

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) 1 ? xy
当 ?1 ? x ? y ? 1 时,

x? y x? y ? 0 ,由条件知 f ( ) ? 0 ,即 f ( x) ? f ( y) ? 0? f ( x) 在 1 ? xy 1 ? xy

? ?1,1? 上是减函数


1 1 f (? ) ? 1? f ( ) ? ?1 原 方 程 2 2 2x 1 2 f ( x) ? ?1 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( )? f( ), 2 1? x 2 2x 1 ? ? x2 ? 4x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? 3 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是减函数 ? 1 ? x2 2
3 )







x ? (?1,1) ? x ? 2 ? 3

故原方程的解为 x ? 2 ? 3

19.集合 A 是由适合以下性质的函数 f(x)组成的,对于任意的 x≥0,f(x)∈ ?? 2,4? 且 f(x)在(0,+∞) 上是增函数. (1)试判断 f1(x)=

1 x ? 2 及 f2(x)=4﹣6( )x (x≥0)是否在集合 A 中,若不在集合 A 中, 2

试说明理由; (2)对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f(x),证明不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)对于任意 x≥0 总成立. (1)?当x ? 49时 f1 (49) ? 5 ? ?? 2,4? ? f1 ( x) 不在集合 A 中 又? f 2 ( x) 的值域 ?? 2,4? ,? f 2 ( x) ? ?? 2,4? 当 x ? 0 时 f 2 ( x) 为增函数

? f 2 ( x) 在集合 A 中.
(2)? f 2 ( x) ? f 2 ( x ? 2) ? 2 f 2 ( x ? 1) ? 4 ? 6( ) ? 4 ? 6( )
x

1 2

1 2

x?2

1 ? ? ? 2?4 ? 6( ) x ?1 ? 2 ? ?

1 1 1 ? 1 ? ? 6?2( ) x ?1 ? ( ) x ? ( ) x ? 2 ? ? ?6( ) x ? 2 ? 0( x ? 0) 2 2 2 ? 2 ?

? f 2 ( x) 对任意 x ? 0 ,不等式 f 2 ( x) ? f 2 ( x ? 2) ? 2 f 2 ( x ? 1) 总成立.
20.已知函数 f ( x) ?

2x ?1 。 2x ?1

(1)判断 f ( x) 的奇偶性,并加以证明; (2)判断 f ( x) 的单调性,并加以证明; (3)求 f ( x) 的值域;(4)解不等式 f ( x) ?

7 。 9

解:⑴ f ( x) 为奇函数。因为 f ( x) 的定义域为 R,对 ?x ? R ∵ f (? x) ?

2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1 ? ? ? ? ? f ( x) ,∴ f ( x) 为奇函数。 2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1
x1

⑵ f ( x) 是 ?? ?,??? 上 的 增 函 数 。 ∵ 对 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? , 2

? 2 x2 ? 0 ,

f ( x) ?

2x ?1 2 ? 1? x x 2 ?1 2 ?1
2 2 2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ) ? ( 1 ? ) ? ? ? ? 0 ;∴ 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ?1 )(2 x2 ? 1)

又 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (1 ?

f ( x) 是 ?? ?,??? 上的增函数。

⑶∵ f ( x) ? ⑷∵ f (3) ?

2x ?1 2 ? 1? x ,又 f ( x) 是 ?? ?,??? 上的增函数,∴ f ( x) ? (?1,1) 。 x 2 ?1 2 ?1

7 7 ;又∵ f ( x) ? 即为 f ( x) ? f (3) ;又 f ( x) 是 ?? ?,??? 上的增函数; 9 9 7 ∴不等式 f ( x) ? 的解集为 ?x x ? 3? 9
21.计算与化简 (1) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
2 1 1 ? 5 1 a 3 b ?2 (?3a 2 b ?1 ) ? (4a 3 b ?3 ) 2 (结果用根式表示) 6

(2)

? ? ? ? 2? ? 3 ?3 解: (1)原式= 2 ? 3 ? ? ? ?12 6 ? 2 ? 3 2 3 6 ? 2 3 6 ? 6 ………………………7 分 ?2?
1 1 3 ? ? 5 1 a 3 b ?2 ? (?3a 2 b ?1 ) ? (2a 3 b 2 ) …………………………………10 分 6

1 2

1

1

1 1 1

1

1

(2) 原式=

1 1 3 3 ? ? ?2 ?1? ? 5 1 5 ?1 5 ab 3 2 3 2 2 2 b ?? a b =? a ………………………14 分 ?? 4 4 4ab 2

2x ? 1 , 2x ? 1 (1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性;
22.已知函数 f ( x ) ? (2)求证: f ? x ? 在 R 上为增函数; (3)求证:方程 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间 ?1,3? .

2x ? 1 2 ?1? x , x 2 ?1 2 ?1 2 2 2 2 所以 f (? x) ? f ( x) ? (1 ? ? x ) ? (1 ? x ) ? 2 ? ( x ? ?x ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 2 ? 2x 2(2 x ? 1) ?2?( x ? )?2? x ?2?2?0. 2 ? 1 2x ? 1 2 ?1 即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数.
证明: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 R,且 f ( x) ? (2) 设x1、 x2 ? R , x1 ? x 2 有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 所以,函数 f ? x ? 在 R 上是增函数. (3)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ln x ?

2 ? 2x1 ? 2x2 ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 , ? ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2x1 ? 1)(2x2 ? 1)

x1 ? x2 , 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2x2 ? 1 ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? .

2x ? 1 ? ln x , 2x ? 1 21 ? 1 1 23 ? 1 7 ? ln1 ? ? 0 , g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? ? ln 3 ? 0 , 因为 g ?1? ? 1 2 ?1 3 2 ?1 9 所以,方程 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间(1,3)上.


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