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(理数)惠州市2013届高三第一次调研考试


惠州市 2013 届高三第一次调研考试 数学(理科)
(本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案

不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效, 参考公式:如果在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A), 那么 P( AB) ? P( A) P( B | A)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.已知集合 A ? {1,2,3,4} ,集合 B ? {2,4} ,则 A ? B ? ( )

A.{2,4}

B.{1,3}
)

C.{1,2,3,4}

D.?

2.若 p 是真命题, q 是假命题,则(

A. p ∧ q 是真命题

B. p ∨ q 是假命题
)

C .?p 是真命题

D.?q 是真命题

3 ? (2x ? x ) 4 的展开式中 x3 的系数是(
A. 6 B. 12

C. 24

D. 48

4.在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

5.己知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m ? y 2 ? 1 的离心率为( )

x2

A.

30 6

B. 7

C.

30 1或 7 6
1

5 D. 或7 6

6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 ( A.3 ) B.11 C.38 D.123

7.已知 x、 y 的取值如下表所示:若 y 与 x 线性相关,

? 且 y ? 0.95x ? a ,则 a ? (
X y 0 2.2 1 4.3 B. 2.9

) 3 4.8 C. 2.8 4 6.7 D. 2.6

A. 2.2

8. 对实数 a 和 b 定义运算 ? ” a ? b ? ? “ ;

?a, a ? b ? 1 ,设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1), b, a ? b ? 1 ?

x ? R ,若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( )

A ? (?1,1) ? (2,??)

B ? (?2,?1) ? (1,2)

C ? (??,?2) ? (1,2)

D ? [?2,?1]

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.复数 Z ?

(1 ? i ) 2 (i 是虚数单位)则复数 Z 的虚部等于____________ 1?i

10.若向量 a ? (1,1),b ? (?1,2) ,则 a 与 b 夹角余弦值等于___________

?e x , x ? 0 1 11.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f [ f ( )] ? ___________ e ?ln x, x ? 0
12.计算:

?

1

1

1 ? x 2 dx ? ___________

13. 18 世纪的时候,欧拉通过研究,发现凸 多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E 满足 一个等式关系.请你研究你熟悉的一些 几何体(如三棱锥、三棱柱、正方体??) , 归纳出 F、V、E 之间的关系等式: _________________________________ (二)选做题:第 14、 题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 15

2

14. (坐标系与参数方程选做题) 设点 A 的极坐标为 (2 2 , 则直线 l 的极坐标方程为___________

?
4

) ,直线 l 过点 A 且与极轴垂直,

15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC,已知 AD ? 2 3, AC ? 6 ,圆 O 的半 径为 3,则圆心 O 到 AC 的距离为___________

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数, 其图象上相邻的两个最高点之 间的距离为 2π (1)求 f (x) 的解析式; (2)若 ? ? (?

? ?

? 1 5? , ) , f (? ? ) ? ,求 sin( 2? ? ) 的值. 3 2 3 3 3

17.(本小题满分 12 分) 某班从 6 名干部中(其中男生 4 人,女生 2 人)选 3 人参加学校的义务劳动. (1)设所选 3 人中女生人数为 ξ ,求 ξ 的分布列及 Eξ : (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图,己知 AB⊥平面 ACD,DE//AB,△ACD 是正 三角形,AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的中点. (1)求证:AF//平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE: (3)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。

3

19.(本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项均为正数, b1 ? 2 ,且

S2 ? b2 ? 7 , S4 ? b3 ? 2
(1)求 an 与 bn
2 (2)设 cn ? an?1 , Tn ? c1 ? c2 ? c3 ?cn ,求证: Tn ? 2n

a

1 2 n

(n ? N ? )

20.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 积为 4。

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 a b

(1)求椭圆的方程: (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B。已知点 A 的坐标为 (?a,0) ,点 Q (0, y0 ) 在线 段 AB 的垂直平分线上,且 QA?QB ? 4 ,求 y0 的值。

21.(本小题满分 14 分) 已知三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx(a, b, c ? R).
3 2

(1)若函数 f (x) 过点(-1,2)且在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,求函数 f (x) 的解 析式; (2)当 a ? 1 时,若 ? 2 ? f (?1) ? 1 , ? 1 ? f (1) ? 3 ,试求 f ( 2) 的取值范围; (3)对 ?x ? [?1,1] ,都有 | f ?( x) |? 1 ,试求实数 a 的最大值,并求 a 取得最大值时 f (x) 的 表达式.

4

参考答案
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 7 D 8 B

1. 【解析】由交集的定义选 A. 2. 【解析】或( ? )一真必真,且( ? )一假必假,非( ? )真假相反,故选 D
r r 3. 【解析】Tr ?1 ? C4 (2 x) 4?r ( x 2 ) r ? 24?r C4 x 1 1 4?r ? r 2 r ? 24?r C4 x 1 4? r 2

, 4? 令

1 r ?3? r ? 2, 2

2 x 3 的系数为 2 4?2 C4 ? 24 ,故选 C.

4.【解析】在△ABC 中,若 a ? 2b cos C ,则 sin A ? 2 sin B cos C 即

sin(B ? C ) ? 2 sin B cos C ,? sin(B ? C ) ? 0 ? B ? C ,故选 C.
5.解析】 4, 成等比, m ? 36 ?m ? ?6 ,当 m ? ?6 时圆锥曲线为椭圆 【 因 m,9 则
2

x2 ? y2 ? 1 6

x2 30 2 ? 1 ,其离心率为 7 ,故选 C m ? ?6 时圆锥曲线为双曲线 y ? 其离心率为 6 ,当 6
6. 【解析】第一步: a ? 1 ? 2 ? 3 ? 10 ,第二步: a ? 3 ? 2 ? 11 ? 10 ,输出 11.故选 B
2 2

7. 【解析】 x ? 2, y ? 4.5 ,线性回归直线过样本中心点

(2,4.5) ? 4.5 ? 0.95 ? 2 ? a ? a ? 2.6 ,故选 D.
8. 【解析】由题设 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2, ? 1 ? x ? 2, ? x ? 1, x ? ?1或x ? 2

画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为

A(2,1), B(2,2),C (?1,?1), D(?1,?2),

从图

象中可以看出,直线 y ? c 穿过点 B,点 A 之间时,直线 y ? c 与图象有且只有两个公 共点,同时,直线 y ? c 穿过点 C,点 D 时,直线 y ? c 与图象有且只有两个公共点,

5

所以实数 c 的取值范围是 (?2,?1] ? (1,2] 故选 B 二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14 -15 题是选做题,考生只能选 做一题.

9.

1

10.

10 10

11.

1 e

12.

? 2

13. V ? F ? E ? 2

14. ? cos? ? 2

15. 5

9. 【解析】

(1 ? i) 2 2i(1 ? i) ? ? ?1 ? i ,虚部为 1. 1?i 2

10.【解析】 cos ? a, b ??

a ?b a |b|

?

10 10

11. 【解析】因函数 f ( x ) ? ?

?e x , x ? 0, 1 1 1 ?1 所有 f [ f ( )] ? f [ln ] ? f (?1) ? e ? e e e ?ln x, x ? 0,
2 2

12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆: x ? y ? 1( y ? 0) 的面积。 13.【解析】 V ? F ? E ? 2 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π ,

? 2

?T ? 2? ,则 ? ?

2? ? 1 ,? f ( x) ? sin(x ? ? ) T

???2 分

? f (x) 是偶函数,? ? ? k? ?
则 f ( x) ? cos x (2)由已知得 cos( ? ? 则 sin(? ?

?

2

(k ? Z ) ,又 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?
2
???5 分

?
3

)?

? 5? ? ? 1 ) ,? ? ? (? , ) ,? ? ? ? (0, 3 3 2 3 6
???8 分

?
3

)?

2 2 3

6

? sin( 2? ?

5? 2? ? ? 4 2 ) ? ? sin( 2? ? ) ? ?2 sin(? ? ) cos(? ? ) ? ? 9 3 3 3 3

???12 分

17.(本小题满分 12 分) 解:(1)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得:
3 1 2 2 1 C4 1 C4 C2 1 C4 C2 3 ? P(? ? 0) ? 3 ? ; P(? ? 1) ? ? ; P(? ? 2) ? 3 3 C6 C6 5 5 C6 5

??3 分

∴ ξ 的分布列为

1 3 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 5 5 5
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C,则 P(C ) ? ∴所求概率为 P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ?
3 C4 4 1 ? ? 3 C6 20 5

??5 分

1 4 ? 5 5
1 C4 1 ? 3 C6 5

???8 分

(3)记“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,

P( A) ?

C52 10 1 ? ? 3 C6 20 2

P( BA) ?

???10 分

P( BA) 2 C1 4 2 P( B | A) ? 4 ? ? ) P( B | A) ? ? (或直接得 C52 10 5 P( A) 5
18.(本小题满分 14 分) 解:(1)解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,∴FP//DE,且 FP ? 又 AB//DE,且 AB ?

???12 分

1 DE . 2

1 DE , ∴AB//FP,且 AB=FP, 2
????2 分

∴ABPF 为平行四边形,∴AF//BP。 又∵AF ? 平面 BCE, BP ? 平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE。 (2)∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD. ∵AB⊥平面 ACD, DE//AB,

????4 分

7

∴DE⊥平面 ACD,又 AF ? 平面 ACD, ∴DE⊥AF。又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE。 ?????6 分

又 BP//AF,∴BP⊥平面 CDE。又∵BP ? 平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE。 ????8 分

(3)法一、由(2),以 F 为坐标原点, FA,FD,FP 所在的直线分别为 x,y,z 轴(如图) , 建立空间直角坐标系 F-xyz.设 AC=2, 则 C(0,?1,0), B(? 3,0,1), E, (0,1,2), 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BCE 的法向量, 则 n ? CB ? 0, n ? CE ? 0 .即 ? ????9 分

?? 3 x ? y ? z ? 0, ?2 y ? 2 z ? 0

,令 z ? 1 .则 n ? (0,?1,1) ??11 分

显然: m ? (0,0,1) 为平面 ACD 的法向量。 设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为 ? 则 cos? ?

| m?n | 1 2 ? ? ,?? ? 45? 2 | m | ? ln | 2
0

即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45 .????14 分 法二、延长 EB、DA,设 EB、DA 交于一点 O,连结 CO. 则面 EBC∩面 DAC=CO. 由 AB 是△EDO 的中位线,则 DO=2AD. 在△OCD 中?OD ? 2 AD ? 2 AC, ?ODC ? 60 OC⊥CD,又 OC⊥DE. ∴OC⊥面 ECD,而 CE ? 面 ECD. ∴OC⊥CE,∴∠ECD 为所求二面角的平面角,???12 分 在 Rt△EDCK 中? ED ? CD,? ?ECD ? 45
0

0

0

即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45 .????14 分 19.(本小题满分 14 分)

8

解:(1)设等差数列 {an } 的公差为 d,等比数列 {bn } 的公比为 q, 由题知: S2 ? b2 ? 7 , S4 ? b3 ? 2 ,? d ? 2q ? 5 , 3d ? q 2 ? 1 ? 0 解直得,q=2 或 q=-8(舍去) ,d=1; ???5 分 ???7 分

? an ? 1 ? (n ? 1) ? n , bn ? 2n ;
2 (2)证明:? cn ? an?1 ,? cn ? 2n

a

1 3 5 2n ? 1 2n ? 1 , Tn ? ? ? ? 2n 2 4 6 2n

法一、下面用数学归纳法证明 Tn ? (1)当 n=1 时, T1 ?

1 2 n

对一切正整数成立.

1 2 ?1 ? 1 ? 命题成立. ???8 分 2 2 ?1

(2)假设当 n=k 时命题成立? Tk ?

1 2 k

则当 n=k+1 时:? Tk ?1 ? Tk .

1 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 ? ? 2(k ? 1) 2 k 2(k ? 1) 2 k ? 1 2 k k ? 1

?

1 1 4k 2 ? 4k ? 1 这就是说当 n=k+1 时命题成立。???12 分 ? 2 4k ? 4k 2 k ?1 2 k ?1
???14 分

综上所述原命题成立. 法二、?

n ?1 n ? n ? 2 n ?1 1 1 3 3 5 5 2n ? 1 2n ? 1 ?Tn2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 24 4 6 6 2n 2n 1 1 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 4 5 6 2n ? 1 2n 4n

? Tn ?

1 2 n

???14 分

. 法三、设数列 { An } , An ? nTn ,则 An?1 ? n ? 1Tn?1

???9 分

2n ? 1 A (2n ? 1) n ? 1 ? ? ? n?1 ? An 2?n ? 1? n 2 n ?1 n

4n 2 ? 4n ? 1 4n 2 ? 4n

?1

???12 分

9

∴数列 { An } 单调递增,于是 An ? An ?1 ? ? ? A1 ,而 A1 ?

1 2
???14 分

? Tn ?

1 2 n

20.(本小题满分 14 分)

(1)解:由 e ?

c 3 2 2 2 ,得 3a 2 ? 4c 2 , 再由 c ? a ? b , 得 a ? 2b ? 2 a

???2 分

由题意可知,

?a ? 2b 1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 解方程组 ? 得 a ? 2, b ? 1 ???5 分 2 ?ab ? 2
???6 分

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆的方程为 4

(2)解:由(1)可知 A(-2,0) 。设 B 点的坐标为 ( x1 , y1 ) ,直线 l 的斜率为 k,则直 线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ???7 分

? y ? k ( x ? 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 由方程组消去 y 并整理, ? y2 ?1 ?4 ?
得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0
2 2 2 2

???-8 分

由 ? 2 x1 ?

2 ? 8k 2 16k 2 ? 4 4k ,得 x1 ? 2 ,从而 y1 ? 2 1? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k

???9 分

8k 2 2k , ) 以下分两种情况: 设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (? 1? 4k 2 1 ? 4k 2
(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0)。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

QA ? (?2,? y 0 ) , QB ? (2,? y 0 ) ,由 QA?QB ? 4 ,得 y0 ? ?2 2 ???11 分
②当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? ? 令 x ? 0 ,解得 y 0 ?

2k ?1 8k 2 ? (x ? ) 1? 4k 2 k 1 ? 4k 2

? 6k ,由 QA ? (?2,? y0 ),QB ? ( x1 , y1 ? y0 ) 1 ? 4k 2

10

QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0 ) ?
?

? 2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 ? 4k 2

14 2 14 4 16k 4 ? 15k 2 ? 1 ? 4 整理得 7k 2 ? 2 ,故 k ? ? 7 ,所以 y0 ? ? 5 ???13 分 2 2 (1 ? 4k )

?

?

综上 y0 ? ?2 2 或 y 0 ? ? 21.(本小题满分 14 分)

2 14 5

???14 分

解:(1)∵函数 f (x) 过点 (?1,2) ,? f (?1) ? ?a ? b ? c ? 2,



又 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,函数 f (x) 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0,

?a ? b ? c ? ?2 ? f (1) ? ?2 ,? ? ?? ?3a ? 2b ? c ? 0, ? f ?(1) ? 0
由①和②解得 a ? 1 , b ? 0 , c ? ?3 ,故 f ( x) ? x 3 ? 3x (2)法一 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 1 可得: c ?



???4 分

? f (1) ? 1 ? b ? c, f (?1) ? ?1 ? b ? c
???6 分 ???7 分

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ?1 ,b ? 2 2

f (2) ? 8 ? 4b ? 2c ? 3 f (1) ? f (?1) ? 6 ? ?2 ? f (?1) ? 1,?1 ? f (1) ? 3. ?1 ? f (2) ? 16
法二、 f (1) ? 1 ? b ? c, f (?1) ? ?1 ? b ? c ,又 ? 2 ? f (?1) ? 1,?1 ? f (1) ? 3

???9 分

? ?2 ? b ? c ? 2,?1 ? b ? c ? 2. (★)
作出(★)不等式表示的平面区域如图: 目标函数: f (2) ? 4b ? 2c ? 8 ???7 分

如图示当直线 z ? 4b ? 2c 过点 A(2,0)时,

11

f (2) ? 4b ? 2c ? 8 取最大值 16.
当直线 z ? 4b ? 2c 过点

3 1 B(? ,? ) 时, 2 2

f (2) ? 4b ? 2c ? 8 取最小值 1.
综上所得:?1 ? f (2) ? 16 ???9 分 (3)? f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c

? f ?(0) ? c ? 则 ? f ?( ?1) ? 3a ? 2b ? c ,可得 ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?
6a ? f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) ???10 分 | ∵当 ? 1 ? x ? 1 时, | f ?( x) |? 1 ,? f ?(?1) |? 1 , | f ?(0) |? 1, | f ?(1) |? 1, ?6 | a |?| f ?(?1) ? f ?(1) ? 2 f ?(0) | ?| f ?(?1) | ? | f ?(1) | ?2 | f ?(0) |? 4 ???12 分
?a ? 2 2 ,故 a 的最大值为 3 3

?| f ?(0) |?| c |? 1 2 ? 当 a ? 时, ?| f ?( ?1) |?| 2 ? 2b ? c |? 1 ,解得 b ? 0, c ? ?1, 3 ?| f ?(1) |? {2 ? 2b ? c |? 1 ?

? a 取得最大值时 f ( x) ?

2 3 x ?x 3

????14 分

12


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