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必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征


(一)众数、中位数、平均数

一 众数、中位数、平均数的概念
众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数.
中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在 最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的 平均数)叫做这组数据的中位数.

平均数: 一组数据的算术平均数,即

1 X ? ( x1

? x2 ? ? ? xn ) n

问题1:众数、中位数、平均数这三个数 一般都会来自于同一个总体或样本,它们 能表明总体或样本的什么性质? 众数:反映的往往是局部较集中的数据信息

中位数:是位置型数,反映处于中间部位的 数据信息
平均数:反映所有数据的平均水平

1、求下列各组数据的众数

(1)、1 ,2,3,3,3,5,5,8,8,8,9,9 众数是:3和8 (2)、1 ,2,3,3,3,5,5,8,8,9,9 众数是:3 2、求下列各组数据的中位数

(1)、1 ,2,3,3,3,4,6,8,8,8,9,9 中位数是:5 (2)1 ,2,3,3,3,4,8,8,8,9,9 中位数是:4

3、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名 运动员的成绩如下表所示:
成绩(米)
人数

1.50 1.60
2 3

1.65
2

1.70
3

1.75
4

1.80
1

1.85
1

1.90
1

分别求这些运动员成绩的众数,中位数与平均数 。 解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多, 即这组数据的众数是1.75. 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排 列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组 数据的中位数是1.70; 这组数据的平均数是 1 x ? (1.50 ? 2 ? 1.60 ? 3 ? ... ? 1.90 ?1) ? 1.69 ? 米 ? 17 答:17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75(米)、1.70(米)、1.69(米)。

二、众数、中位数、平均数与频率 分布直方图的关系

如何在频率分布直方图中估计众数
频率 组距

众数在样本数据的频率分布直方图中, 就是最高矩形的中点的横坐标。

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

O

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

月平均用水量(t)

可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”

频率 组距

如何在频率分布直方图中估计中位数

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

前四个小矩形的 面积和=0.49

后四个小矩形的 面积和=0.26
0.25

0.22

0.15 0.08 0.04 0.5 1 1.5 2 2.5

0.14 0.06 0.04 3 3.5 4 0.02

4.5

2.02

月均用水量/t

分组 [0, 0.5) [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5) [2.5, 3) [3,, 3.5) [3.5, 4) [4,) 4.5]
合计

频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1

在样本中中位数的左右各有50%的样本数, 条形面积各为0.5,所以反映在直方图中位数 左右的面积相等.

0.04 ? 0.08 ? 0.15 ? 0.22 ? 0.49

x ? 0.02
中位数

? 2 ? 0.02 ? 2.02

可将中位数看作整个直方图面积的“中心”

思考讨论以下问题:
1、2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样,你能解释其中原因吗? 答:2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样,这是因为样本数据的 频率分布直方图,只是直观地表明分布的 形状,但是从直方图本身得不出原始的数 据内容,直方图已经损失一些样本信息。 所以由频率分布直方图得到的中位数估计 值往往与样本的实际中位数值不一致.

如何在频率分布直方图中估计平均数

=2.02

平均数的估计值等于频率分 4 8 2 ? x 1?4 ? x 5?12 ? ? ? x 99?100 布直方图中每个小矩形的面 100 100 100 积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和。 0 ? 0.5 0.5 ? 1 4 ? 4.5 ? 0.04 ? 0.08 ? ? ? 0.02 =2.02 2 2 2

1 1 ?( x1 ? ? ? x4 ) ? ( x5 ? ? ? x12 ) ? ? ? ( x99 ? x100 )? x? ( x1 ? x2 ? ? ? x100 ) ? 100 100

可将平均数看作整个直方图面积的“重心”

思考讨论以下问题:
2、样本中位数不受少数极端值的影响,这 在某些情况下是一个优点,但它对极端值 的不敏感有时也会成为缺点。你能举例说 明吗? 答:优点:对极端数据不敏感的方法能够 有效地预防错误数据的影响。
对极端值不敏感有利的例子:例如当样本数据质 量比较差,即存在一些错误数据(如数据录入错 误、测量错误等)时,用抗极端数据强的中位数 表示数据的中心值更准确。

缺点:(1)出现错误的数据也不知道; (2)对极端值不敏感有弊的例子:某人具 有初级计算机专业技术水平,想找一份收 入好的工作。这时如果采用各个公司计算 机专业技术人员收入的中位数作为选择工 作的参考指标就会冒这样的风险:
很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平 人员的收入很低,其原因是中位数对极小的数 据不敏感。这里更好的方法是同时用平均工资

和中位数作为参考指标,选择平均工资较高且 中位数较大的公司就业.

三、 众数、中位数、平均数的简单应用
例1、下表是七位评委给某参赛选手的打分,总分为10分, 你认为如何计算这位选手的最后得分才较为合理?

评委 1号 打分 9.6

2号 9.3

3号 9.3

4号 9.6

5号 6号 9.9 9.3

7号 9.4

提问:1、电视里评委是怎样给选手打分的? 2、为什么这么做?直接取中位数和众数的值不好么?
特征数 众数 中位数 平均数 去掉一个最高分和 去掉两个最高分 最低分后的平均分 和最低分后的平 均分

特征值

9. 3

9. 4

9.49

9.42

9.44

例2 某工厂人员及工资构成如下: 人员 周工资 人数 合计 经理 管理人员 高级技工 工人 2200 250 220 200 1 6 5 10 2200 1500 1100 学徒 合计 100 1 23 6900

2000 100

(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂的工资水 平吗?为什么?

分析:众数为200,中位数为220,平均数为300。
因平均数为300,由表格中所列出的数据可见,只有 经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平 均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。

(二)

一.实例引入 情境一;
甲.乙两名射击队员,在进行的十次射击中成绩分别是: 甲: 10; 9; 8; 10; 8; 8; 10; 10; 9.5; 7.5

乙: 9; 9; 8,5; 9; 9; 9.5; 9.5; 8.5; 8.5; 9.5

试问二人谁发挥的水平较稳定?
分析:甲的平均成绩是9环.乙的平均成绩也是9环.

情境二:
某农场种植了甲、乙两种玉米苗,从中各抽取 了10株,分别测得它们的株高如下:(单位cm)
甲: 31
乙: 53

32
16

35 37 33 30 32 31 30 29
54 13 66 16 13 11 16 62

哪种玉米苗长得高? 问: 哪种玉米苗长得齐?

x甲 =32

x乙 =32

怎 么 办 呢 ?

甲: 31 乙: 53 甲

32 16

35 54

37 13

33 66

30 16

32 13

31 11

30 16

29 62

29 32

37


11 32 66

甲 乙

37(最大值) 66(最大值)

29(最小值) 11(最小值)

8 55

极 差

极差: 一组数据的最大值与最小值的差
极差越大,数据越分散,越不稳定 极差越小,数据越集中,越稳定

极差体现了数据的离散程度

为了对两人射击水平的稳定程度,玉米生长的 高度差异以及钢筋质量优劣做个合理的评价,这 里我们引入了一个新的概念,方差和标准差.

设一组样本数据 x1,x2,…,xn ,其平均数为

x ,则

1 s ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n
2

它的算术平方根 称s2为这个样本的方差,

1 2 2 2 s? [( x1 ? x ) ? ( x2 ? x ) ? ? ? ( xn ? x ) ] n
称为这个样本的标准差,分别称为样本方差、样本标准差

? 样本中各数据与样本平均数的差的平方

和的平均数叫做样本方差;样本方差的 算术平方根叫做样本标准差。样本方差 和样本标准差都是衡量一个样本波动大 小的量,样本方差或样本标准差越大, 样本数据的波动就越大。

例1.计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的 方差和标准差。(标准差结果精确到0.1)

解:x ? 90 ? 1 (?1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 0 ? 2 ? 3) ? 90
8

.

所以这组数据的方差为5.5,标准差为2.3 . 见课本76-77页

练习:若甲、乙两队比赛情况如下,下列说法哪些 说法是不正确的:
平均失球数 甲 1. 5 平均失球个数的标准差 1. 1



2. 1

0. 4

1、平均来说,甲的技术比乙的技术好; 2、乙比甲技术更稳定; 3、甲队有时表现差,有时表现好; 4、乙队很少不失球。

全对

例2:甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下(单位:t/hm2 ),试根据这组数据估计哪一种水稻品种
的产量比较稳定.
品种 甲 乙 第一年 9. 8 9. 4 第二年 9. 9 10.3 第三年 10.1 10.8 第四年 10 9. 7 第五年 10.2 9. 8

1 解: x甲 ? (9.8 ? 9.9 ? 10 .1 ? 10 ? 10 .2) ? 10
s
2 甲

? [(9.8 ? 10) 2 ? (9.9 ? 10) 2 ? (10.1 ? 10) 2 ? (10 ? 10) 2 ? (10.2 ? 10) 2 ] ? 5 ? 0.02

5

x乙
2

s乙 ? [(9.4 ? 10) 2 ? (10.3 ? 10) 2 ? (10.8 ? 10) 2 ? (9.7 ? 10) 2 ? (9.8 ? 10) 2 ] ? 5 ? 0.24

1 ? (9.4 ? 10 .3 ? 10 .8 ? 9.7 ? 9.8) ? 10 5

因为x甲小于x乙,所以甲水稻的产量比 较稳定。

三.当堂反馈
1、在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分 数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和 方差分别为_________________;

9.5,0.016

思考一下:

a3 2、已知数据 a1 , a2 , 的方差为 2,则求数据 的方差。

2a1 , 2a2 , 2a3

方差的运算性质: 如果数据
2

方差为 s ,则

x1 , x2 , ???, xn 的平均数为 x
2



(1)新数据 x1 ? b, x2 ? b, ???, xn ? b 的平均数为

x ? b,方差仍为

s



(3)新数据 ax1 ? b, ax2

(2)新数据 ax1 , ax2 , ???, axn的平均数为 ax , 方差为 a 2 s 2 .

? b, ???, axn ? b

的平均数为 ax ? b,方差为a 2 s 2 .


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