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天津版2016届高三上学期第一次月考 数学文


第一次月考数学文试题【天津版】
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上

9.若某几何体的三视图(单位: cm )如下图所示,此几何体的体积是____________ cm 3 2 2 2 2 2 正视图 4 俯视图 10.设函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, g ( x) ? 3x ? 2, 集合 M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0}, 侧视图

N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为__________________
11.执行下图所示的程序框图,则输出的 S 的值是_____________

12.若 log ( ? log2 4 3a ? 4b)

ab, 则a ? b 的最小值是______________

13.已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC 、 DC 上, BC ? 3BE ,

DC ? ? DF .若 AE ? AF ? 1, ,则 ? 的值为_____________

??? ? ??? ?

2 14.若对任意 x ? R ,不等式 3x ? 2ax ? x ?

3 恒成立,则实数 a 的范围是 4

____

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 13 分) 家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中 A 类服务员 12 名,B 类服务员 x 名 (Ⅰ)若采用分层抽样的方法随机抽取 20 名家政服务员参加技术培训,抽取到 B 类服务员的人数是 16, 求 x 的值 (Ⅱ)某客户来公司聘请 2 名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有 3 名 A 类家政服务 员和 2 名 B 类家政服务员可供选择 ①请列出该客户的所有可能选择的情况 ②求该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? sin( (I)求 f ( x) 的最小正周期 (II)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ? A、 ? B、 ? C 的对边,若 f ( A) ? 4 , b ? 1 , ?ABC 的面积

?
2

? x) ? 2 cos(? ? x) ? cos x ? 2



3 ,求 a 的值 2

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC=2, AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点 (Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值 (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求

PG GC

的值

18. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2 ? (I)求证:数列 ?bn ? 是等差数列 (Ⅱ)设 Sn 是数列 ? bn ? 的前 n 项和,求

1 1 ,数列 ?bn ? 中 bn ? ,其中 n ? N ? an an ? 1

?1 ?3

? ?

1 1 1 ? ? ... ? S1 S2 Sn
3 4

n (Ⅲ)设 Tn 是数列 ?( ) ? bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ?

? 1 ? 3

? ?

19. (本小题满分 14 分)

a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 x f ( x) (Ⅰ)讨论函数 h( x ) ? 的单调性 x
设函数 f ( x) ? (Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围

1 2

20. (本小题满分 14 分) 已知数集 A ? {a1 , a2 ,? ? ?, an } ,其中 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ,且 n ? 3 , 若对 ?i, j ( 1 ? i ? j ? n ) , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A ,则称数集 A 具有性质 P (Ⅰ)分别判断数集 {0,1,3} 与数集 {0,2,4,6} 是否具有性质 P ,说明理由 (Ⅱ)已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a8 ?具有性质 P ,判断数列 a1 , a2 ,?, a8 是否为等差数列,若是等差 数列,请证明;若不是,请说明理由 数学(文科)二月考答案 一、选择题 1. i 是虚数单位,复数 A. 2 【答案】C

2i 的实部为 ( 1? i B. ? 2

) C. 1 D. ? 1

2. 函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? log2 x 的零点所在的一个区间是 ( A. ? , ? 【答案】C 3.下列有关命题的叙述,错误的个数为 ( ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题。 ②“ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件。
2

) D. (1,2)

?1 1? ?8 4?

B. ?

?1 1? , ? ?4 2?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

)

③命题 P: ? x∈R,使得 x +x-1<0,则 ? p : ? x∈R,使得 x +x-1≥0。
2 2

④命题 “若 x ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x=1 或 x=2” 的逆否命题为 “若 x ? 1 或 x ? 2, 则 x 2 ? 3x ? 。 2 ? 0 ”
2

A.1 【答案】B

B.2

C.3

D.4

4.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则( A.若 m ? n , n // ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , n ? ? , n ? ? ,则 m ? ? 【答案】C



B.若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? D.若 m ? n , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? ?

5.定义行列式运算

a1 a2 a3 a4

= a1 a 4 ? a 2 a 3 .将函数 f ( x ) ? ) C. ?

sin 2 x cos 2 x

3 1

的图象向左平移

? 个单位, 6

以下是所得函数图象的一个对称中心是( A. ?

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?2 ?

?? ? ,0? ?3 ?

D. ?

?? ? ,0? ? 12 ?

【答案】B

?1? 6.设 a ? ? ? ? 3?
A. c ? b ? a 【答案】A

log0.5 0.4

?1? ,b ? ? ? ? 3?

log0.4 0.5

,c

? 3ln 2 ,则 a,b,c 的大小关系是(
C. a ? b ? c D. a ? c ? b



B. c ? a ? b

7.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1, Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项的和, 则

2Sn ? 16 (n ? N * ) 的最小值为 ( an ? 3
B.3



A.4 【答案】A

C. 2 3 ? 2

D.

9 2

8.定义一种运算 a ? b ? ?

?a, a ? b ,令 f ?x? ? 4 ? 2x ? x 2 ? x ? t ( t 为常数),且 x ? ?? 3,3? ,则使 ?b, a ? b

?

?

函数 f ?x ? 最大值为 4 的 t 值是( A. ? 2 或 6 【答案】C 二、填空题 B. 4 或 6

) C. ? 2 或 4 D. ? 4 或 4

9.若某几何的三视图(单位: cm )如下图所示,此几何体的体积是_____________ cm 3 2 2 2 2 2 正视图 4 俯视图 【答案】 48 侧视图

10.设函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, g ( x) ? 3x ? 2, 集合 M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0},

N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为__________________
【答案】 (??,1)

11.执行右图所示的程序框图,则输出的 S 的值是_____________

【答案】4 12.若 log ( ? log2 4 3a ? 4b) 【答案】 7 ? 4 3 13.已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC 、 DC 上, BC ? 3BE ,

ab, 则a ? b 的最小值是______________

DC ? ? DF .若 AE ? AF ? 1, ,则 ? 的值为_____________
【答案】2
2 14.若对任意 x ? R ,不等式 3x ? 2ax ? x ?

??? ? ??? ?

3 恒成立,则实数 a 的范围是 4

【答案】 ?1 ? a ? 1 三、解答题 15. 家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中 A 类服务员 12 名,B 类服务 员x名 (Ⅰ)若采用分层抽样的方法随机抽取 20 名家政服务员参加技术培训,抽取到 B 类服务员的人数是 16, 求 x 的值 (Ⅱ)某客户来公司聘请 2 名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有 3 名 A 类家政 服务员和 2 名 B 类家政服务员可供选择 ①请列出该客户的所有可能选择的情况

②求该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率

【答案】 解: (1)20-16=4,



4 x ? 16 ,可得 x =48 12

(2) ①设 3 名 A 类家政服务员的编号为 a,b,c,2 名 B 类家政服务员的编号为 1,2, 则所有可能情况有: (a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)共 10 种选择. ②该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的情况有: (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)共 6 种选择,

? 该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率为 P ?

6 3 ? 10 5

16.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? sin( (I)求 f ( x) 的最小正周期

?
2

? x) ? 2 cos(? ? x) ? cos x ? 2

(II)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ? A、 ? B、 ? C 的对边,若 f ( A) ? 4 , b ? 1 , ?ABC 的面积为

3 ,求 a 的值 2

17. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥面 ABCD, AB=BC=2, AD=CD= 7, PA= 3, ∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点

(Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切 值 (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求

PG GC

的值

18.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2 ? (I)求证:数列 ?bn ? 是等差数列

1 1 ,数列 ?bn ? 中 bn ? ,其中 n ? N ? an an ? 1

(Ⅱ)设 Sn 是数列 ? bn ? 的前 n 项和,求

?1 ?3

? ?

1 1 1 ? ? ... ? S1 S2 Sn
3 4

n (Ⅲ)设 Tn 是数列 ?( ) ? bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ?

?1 ? 3

? ?

【答案】解:(Ⅰ) bn ?1 ?

1

an ?1 ? 1 1 ? 1 an

?

1

?

an 1 , 而 bn ? , an ? 1 an ? 1

∴ bn ?1 ? bn ?

an 1 ? ? 1. n ? N * an ? 1 an ? 1 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列 a1 ? 1

∴ { bn }是首项为 b1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? n ,

1 1 1 n(n ? 1) bn ? n. ? S n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? , 3 3 3 6
于是

1 1 1 6 ), = 6( ? ? n n ?1 Sn n(n ? 1)

故有

1 1 1 1 1 1 1 1 1 6n ? 6(1 ? ? ? ? ? ? ? ) =6 (1 ? )? ? ??? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 S1 S2 Sn
1 3
n

n (Ⅲ)证明:由(Ⅰ)可知 ( ) ? bn ? n ? ( ) ,

1 3

2 n 则 Tn ? 1 ? ? 2 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) .

1 3

1 3

1 3

1 1 1 1 ?1? ∴ Tn ? 1? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? ( )n?1 3 3 3 3 ?3?
2 1 1 1 1 1 1? 1 ? 1 Tn ? ? ( ) 2 ? ( )3 ++ ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ? ?1 ? ( )n ? ? n ? ( )n?1 , 3 3 3 3 3 3 2? 3 ? 3

n



3 1 1n ?1 n 1 3 ? ( ) ? ? ( n)? 4 4 3 2 3 4 a 3 2 19.设函数 f ( x) ? ? x ln x , g ( x) ? x ? x ? 3 x f ( x) (Ⅰ)讨论函数 h( x ) ? 的单调性 x


Tn ?

(Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M

(Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围 【答案】(Ⅰ) h( x) ?

1 2

a 2a 1 x 2 ? 2a , ? ln x , h?( x) ? ? 3 ? ? 2 x x x x3

( x) ? 0 ,函数 h( x)在(0,??)上单调递增 ① a ? 0,h?
② a ? 0 , h? (x) ? 0, x ?

2a ,函数 h( x)的单调递增区间为( 2a ,??)

h? (x) ? 0,0 ? x ?

2a ,函数 h( x)的单调递减区间为(0, 2a )

(Ⅱ)存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ,
2 3 2 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,

2 3

x
g '( x ) g ( x)

0

2 (0, ) 3

2 3

2 ( , 2] 3

2

0 ?3

?
递减

0
极(最)小值 ? 85
27

?
递增

1

2 85 由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27 112 , [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? 27 所以满足条件的最大整数 M ? 4 ;

1 a ? x ln x ? 1 恒成立 2 x 等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立,
(Ⅲ)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 记 h( x) ? x ? x2 ln x ,所以 a ? hmax ( x)

h '(1) ? 0 . 1 记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2ln x , x ? [ ,1) , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 2 1 2 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增, 2
记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2ln x , x ? (1, 2] , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 (1, 2] 上递减,
2

h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,

x ? 1, h( x) 取到极大值也是最大值 h(1) ? 1
所以 a ? 1 另解 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2ln x ,

由于 x ? [ , 2] , m '( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 , 所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减, 当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 , 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增, 在区间 (1, 2] 上递减, 所以 h( x)max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1

1 2

1 2

1 2

1 2

20. 已知数集 A ? {a1 , a2 ,? ? ?, an } , 其中 0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an , 且n ? 3, 若对 ?i, j( 1 ? i ? j ? n ) ,

a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A ,则称数集 A 具有性质 P
(Ⅰ)分别判断数集 {0,1,3} 与数集 {0,2,4,6} 是否具有性质 P ,说明理由 (Ⅱ)已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a8 ?具有性质 P ,判断数列 a1 , a2 ,?, a8 是否为等差数列,若是等差 数列,请证明;若不是,请说明理由 所以该数集具有性质 P . 4分


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