当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学人教版必修一教学案


高中新课标数学教学案?必修 1

第 1 课时 第 2 课时 第 3 课时 第 4 课时 第 5 课时 第 6 课时 第 7 课时 第 8 课时 第 9 课时 第 10 课时 第 11 课时 第 12 课时 第 13 课时 第 14 课时 第 15 课时 第 16 课时 第 17 课时 第 18 课时 第 19 课时 第 20 课时 第 21 课时 第 22 课时 第 23 课时 第 24 课时 第 25 课时 第 26 课时 第 27 课时 第 28 课时 第 29 课时 第 30 课时 第 31 课时 第 32 课时 第 33 课时 第 34 课时 第 35 课时 第 36 课时 第 37 课时

·1·



集合的含义与表示 ................................................................................................. 3 集合间的基本关系 ................................................................................................. 5 集合间的基本运算 ................................................................................................. 7 集合间的基本运算 ................................................................................................. 9 函数的概念 ........................................................................................................... 11 函数的概念 ........................................................................................................... 13 函数的表示法 ....................................................................................................... 15 函数的表示法 ....................................................................................................... 17 单调性与最大(小)值 ....................................................................................... 19 单调性与最大(小)值 ..................................................................................... 21 函数的奇偶性 ..................................................................................................... 23 函数的奇偶性(习题课) ...................................................................................... 25 专题一:一元二次不等式解法 ......................................................................... 27 专题二:函数的值域 ......................................................................................... 29 专题三:集合 ..................................................................................................... 31 专题四:函数的单调性 ..................................................................................... 33 专题五:二次函数 ............................................................................................. 35 指数与指数幂的运算 ......................................................................................... 37 指数与指数幂的运算 ......................................................................................... 39 指数函数 ............................................................................................................. 41 指数函数 ............................................................................................................. 43 指数函数 ............................................................................................................. 45 对数与对数运算 ................................................................................................. 47 对数与对数运算 ................................................................................................. 49 对数与对数运算 ................................................................................................. 51 对数函数及其性质 ............................................................................................. 53 对数函数及其性质 ............................................................................................. 55 对数函数及其性质 ............................................................................................. 57 专题一:指数运算与指数函数 ......................................................................... 58 专题二:对数与对数函数 ................................................................................. 60 幂函数 ................................................................................................................. 63 函数与方程 ......................................................................................................... 65 函数与方程 ......................................................................................................... 67 函数与方程 ......................................................................................................... 69 函数模型及其应用 ............................................................................................. 71 函数模型及其应用 ............................................................................................. 73 函数模型及其应用 ............................................................................................. 75
目 录

高中新课标数学教学案?必修 1

·2·

第 38 课时 第三章小结复习 ................................................................................................. 77





高中新课标数学教学案?必修 1

·3·

第一章
【教学目标】

集合与函数

第1课时 集合的含义与表示
要求学生初步了解集合的含义,体会元素与集合间的关系,掌握集合的表示法,知 道常用数集及其记法.

【重点难点】
重点:集合的含义与表示法. 难点:表示法的恰当选择.

【教学过程】
一、情景设置 实例引入: (1) 1~20 以内的所有素数. (2) 我国从 1991~2003 的 13 年内所发射的所有人造卫星. (3) 金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车. (4) 2004 年 1 月 1 日之前与我国建立外交关系的所有国家. (5) 所有的正方形. (6) 忻州一中 2008 年 8 月 15 日入学的高一全体学生. (7) 方程的 x2+3x-3=0 所有实数解. (8) 到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点 结论:一般地,我们把研究对象统称为元素;把一些元素组成的总体叫做集合,也 简称集. 二、探索研究 问题 1:元素与集合的关系如何描述? 若 a 是集合 A 中的元素,记做_______.若 a 不是集合 A 中的元素,记做_______. 问题 2:1~20 以内的所有素数如何表示?答____________(列举法) 问题 3:你能用列举法表示不等式 x-7<3 的解集吗?答___________(不能) 问题 4:集合元素有什么特征? ①对于集合 A={1,3,5},3、7 是否是 A 中的元素?答___________________ ②{忻州一中年龄较小的学生}是否表示一个集合?答__________________ 由此得集合中的元素具有__________性. ③A={2,2,4}表示是否准确?答__________________ 由此得集合元素具有__________性. ④A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合?答_______ 由此得集合元素具有__________性. 同时得出:如果两个集合的元素是一样的,就称两个集合相等. 问题 5:常用数集如何表示? 自然数集——______;正整数集——____(_____);整数集——_______;
第一章 集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
有理数集——______;实数集——_______. 三、教学精讲 用列举法、描述法表示集合,应注意些什么? 例:试分别用列举法、描述法表示下列集合: ①小于 10 的所有自然数组成的集合;

·4·

②方程 x2=x 的所有实数根组成的集合;

③由 1~20 以内的所有素数组成的集合;

④由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合

四、课堂练习 课本 P5 练习 五、本节小结 集合的概念、表示;集合元素与集合间的关系;常用数集的记法. 注意:(1)描述法表示集合应注意集合的代表元素 (2)只要不引起误解集合的代表元素也可省略

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第2课时 集合间的基本关系
【教学目标】

·5·

让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、 真子集和空集的有关 概念,以及集合的 Venn 图.

【重点难点】
重点:子集、真子集概念及它们的联系与区别;空集概念以及与一般集合间的关系. 难点:空集的概念以及与一般集合间的关系.

【教学过程】
一、情景设置 复习引入 1、元素与集合的关系 2、常用数集 3、集合表示 实例:观察下面实例:你能发现两个集合间的关系吗? 1、A={1,2,3} B={1,2,3,4,5}; 2、设 A 为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B 为这个班全体学生组成的 集合 3、设 C={x|x 是两条边相等的三角形},D={x|x 是等腰三角形} 二、探索研究 1.由实例中的(1),(2) 观察两个集合的关系 子集定义: 记作: 读作: 真子集定义: 记作: 读作: 2.由实例中的(3),发现两个集合的相等关系 集合相等定义: 3.简述 Venn 图: 4.方程 x2+1=0 的所有实数根组成的集合如何表示? 空集的定义: 记作: 规定:空集是 的子集,空集是 的真子集。 5.符号说明: ①从属关系符号(元素与集合之间):_____________ ②包含关系符号(集合与集合之间):______________ 6.①集合A与它本身的关系如何? ②对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么A,C关系如何? 三、教学精讲

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
例 1.写出集合A={a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集? 如果A={a,b,c}呢? 由此你发现什么规律? ? {1,2,3,4,5},则这样的集合 M 有___个. 例 2.已知{1,2}?M≠

·6·

答案:7 例 3.①已知集合A={1,3}B={x|mx-3=0}且 B?A,则 m 的值是多少? 答案:0 或 1 或 3 ②已知集合A={x|-2≤x≤5}B={x|m+1≤x≤2m-1}若 B?A,则求实数 m 的取值范 围是. 答案:{m|m≤3}

四、课堂练习 1.下列各组中的两个集合相等的有( ①P={x|x=2n,n?Z} ②P={x|x=2n-1,n?N+} ③P={x|x2-x=0} A①②③ B①③ 案:B2.课本 P7 练习 五、本节小结 子集、真子集、空集的有关概念.

) Q={x|x=2(n-1),n?Z} Q={x|x=2n+1},n?N+} (-1)n+1 Q={x|x= },n?Z} 2 C②③ D①② 答

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第3课时 集合间的基本运算
【教学目标】

·7·

1.深刻理解交集与并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集,及有关性质. 2.能使用 Venn 图表达集合的交并关系及运算.

【重点难点】
交集与并集的概念、性质及运算

【教学过程】
一、情景设置 问题 1:考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗? ①A={1,3,5,} B={2,4,6} C={1,2,3,4,5,6}; ②A={x|x 是有理数} B={x|x 是无理数}, C={x|x 是实数}; 问题 2:考察下面的问题,你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗? ①A={2,4,6,8,10} B={3,5,8,12}, C={8}; ②A={x|x 是忻州一中 2008 年 9 月在校的女同学} B={x|x 是忻州一中 2008 年 9 月在校的高一年级同学} C={x|x 是忻州一中 2008 年 9 月在校的高一年级女同学} 二、探索研究 1.并集的含义: 记作 Venn 图表示:

;读作

;符号表示

2.交集的含义: 记作 Venn 图表示:

;读作

;符号表示

三、教学精讲 例 1、①A={4,5,6,8}

B={3,5,7,8}求 A∩B,A∪B.

②已知 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∩B,A∪B,并在数轴上表示

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
例 2、忻州一中开运动会, 设 A={x|x 是忻州一中高一年级参加百米赛跑的同学}, B={x|x 是忻州一中高一年级参加跳高比赛的同学} 求 A∩B,A∪B.

·8·

例 3、设平面内直线 l1 上点的集合为 L1,直线 l2 上点的集合为 L2,用集合的运算表 示 l1、l2 的位置关系.

例 4、已知集合 A={1,2},且 A∪B={1,2,3},则满足条件的集合 B 的个数有多少? (其中可变化集合 A 或变化 A∪B 中的元素)

由以上例题,思考下列集合间的关系: (交集并集运算性质) (1)A∩B_____B∩A,A∩B_____A, A∩B_____B,A∩φ=_______,A∩A=______ (2)A∪B_____B∪A,A_____A∪B, B______A∪B,A∪φ=______,A∪A=______ (3)A∩B=A______A ? B ,A∪B=A______B ? A. (4)A=B_____A∩B=A∪B______A ? B 且 B ? A 四、课堂练习 1.课本 P11 练习 1,2,3 题 2.已知 A 为奇数集,B 为偶数集,Z 为整数集,求 A∩B,A∩Z,B∩Z,A∪B,A∪Z,B∪Z 3 . 设 A={x|x2-5x+q=0},B={x|x2-px+15=0},A∩B={3}. 则 P=________,q=________. A∪B=___________(P=8,q=6,A∪B={2,3,5}) 4.A={x|-2≤x≤5},B={x|x≤m},若 A∩B=A,则 m 的范围为__________。(可变化 其中的等号) 五、本节小结 交集、并集的含义,表示及有关运算性质.

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第4课时 集合间的基本运算
【教学目标】
1.了解全集的意义和它的表示. 2.理解补集的概念,能正确运用补集的符号和表示形式.

·9·

【重点难点】
补集的概念及运算

【教学过程】
一、情景设置 问题 1:用列举法表示下列集合: 1 A={x?Z|(x-2)(x+ )(x- 2)=0}; 3 1 B={x?Q|(x-2)(x+ )(x- 2)=0}; 3 1 C={x?R|(x-2)(x+ )(x- 2)=0}; 3 问题 2:A={高一某班的全体女同学} B={高一某班的全体男同学} U={全体同学} 集合 A、B、U 间的关系如何? __________ 二、探索研究 通过问题 1,可以得出在不同范围内研究同一个问题,可能有不同的结果。因此 我们在研究问题时,必须确定研究对象的范围,这是我们这节课要研究的问题之一. 全集的定义: 注:①全集是相对的,即一个集合只要能包含我们所要研究的对象的全体,那 么这个集合就可以看作全集。如问题 1 中的 A、B、C 中的全集可以是 N、Q、R。 ②其它集合都全集的子集。 补集的定义: 记作: ;符号表示 ; Venn 图表示:
U CUA A

三、教学精讲 例 1.已知 U={x|x 是小于 9 的正整数}, A={1,2,3} , B={3,4,5,6},求 CUA,CUB,(CUA)∩(CUB),CU(A∪B),CU(A∩B),(CUA)∪(CUB).

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
思考:通过解例 1,你能从中得出什么结论?

·10·

例 2.设全集 U={x|x 是三角形},A={x|x 是锐角三角形}, B={x|x 是钝角三角形}, 求 A∩B, CU(A∪B).

例 3.已知全集 U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求: ①CUA,CUB; ②(CUA)∪(CUB),CU(A∩B) ③(CUA)∩(CUB),CU(A∪B) (建议利用数轴解决)

例题选讲.设 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, (CUA)∩B={3,7}, (CUB)∩A={2, 8},(CUA)∩(CUB) ={1,5,6},则集合 A= ,B= (建议利用 Venn 图解决)

四、课堂练习 1.设 U=R,A={x|-1<x≤5 或 x=6} B={x|2≤x<5},则 CUA=______ CUB=____________, CAB=________________. 答案:CUA={x|x≤-1 或 5<x<6 或 x≥5} CUB={x|x<2 或 x≥5} CAB={x|-1<x<2 或 x=5 或 x=6} 2.集合 A={x|-1≤x<2}当 U={x|x≤3}时, CUA=________, 当U={x|-2≤x≤2}时,CUA=_____ 答案:{x|2≤x≤3 或 x<-1} {x|-2≤x<-1 或 x=2} 五、本节小结 全集补集的概念以及性质

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第5课时 函数的概念
【教学目标】

·11·

(1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概 念中的作用; (2)了解构成函数的要素;

【重点难点】
重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数; 难点:符号―y=f(x)‖的含义.

【教学过程】
一、情景设置,引入课题 1、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 2、阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3) “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例: 我国 2003 年 4 月份非典疫情统计: 日 期 2 3 4 5 6 7 8 9 10 新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101 二、探索研究 问题 1:对实例(1) ,你能得出炮弹飞行 1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗?其中 t 的变 化范围是多少? 问题 2:对实例(2) ,你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大?哪些年臭氧空 洞面积大约为 1500 万平方千米?其中 t 的取值范围是什么? 问题 3:对实例(3) ,恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个中的两个变量之间 的关系相似?如何用集合与对应的语言来描述这个关系? 问题 4:分析、归纳以上三个实例,变量之间的关系有什么共同点? 共同特点是 三、教学精讲 1.函数的定义:

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1

·12·

定义域: 值域: 值域与函数定义中集合 B 的关系如何? 注意: ①定义中涉及两个集合和一个对应关系。 ②关键字:集合 A 中的“任一” ;集合 B 中的“有唯一” ,要理解其含义。 ③函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,是一个数,而不是 f 乘 x. ④“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; 例如 A f:x→2x+1 1 2 3 B 3 5 7 9 A g:x→x2 1 0 -1 0 1 B

2.初中学过哪些函数?它们的定义域、值域对应法则分别是什么?

3.区间的概念:(本质是一个集合) ①开区间 ,数轴表示 ②闭区间 ,数轴表示 ③半开半闭区间 ,数轴表示 ④无穷区间以及数轴表示: 注:①“∞”是一个符号,不是一个具体的数。 ②以“+∞”和“-∞”为端点的区间,这一端必须用圆括号。 例 1.已知函数 f(x)=x2+2,求 f(-2),f(-a),f(a+1), f(f(x)). 答案:f(-2)=6 f(-a)=a2+2 f(a+1)=a2+2a+3 f(f(x))=x4+4x2+6 例 2.课本 P17 例 1 四、课堂练习 课本 P19 练习 1、2 五、本节小结 1、从具体实例引入了函数的的概念,定义域,值域。 2、区间的概念及其表示。

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第6课时 函数的概念
【教学目标】
(1)通过判断函数的相等认识的函数的整体性; (2)进一步加深对函数概念的理解; (3)函数定义域的求法.

·13·

【重点难点】
判断函数的相等以及函数定义域的求法.

【教学过程】
一、情景设置 1.①复习函数的概念 设 A、B 是__________,如果按照________________,使对于集合 A 中的______ , 在集合 B 中都有_______________和它对应,那么就称__________为从 A 到 B 的一个 函数(function) .,记作:__________ .其中,x 叫做___ __,x 的取值范围 A 叫 做函数的________(domain);与 x 的值相对应的 y 的值叫做________,函数值的集合 {f(x)|x?A}叫做函数的______(range). ②集合 B 与函数 f:A→B 的值域之间的关系?. ③函数的三要素:_________、__________、_________. x2 2.我们学习了函数的概念,y=x 与 y= 是同一个函数吗? x 3.分别写出函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的定义域和对应关系,并比较异同. 函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的值域相同吗?由此可见,两个函数的定义域和对应关系 分别相同,值域相同吗? 二、探索研究 你能得出两个函数相等的条件吗? 三、教学精讲 例 1.下列函数中哪个与函数 y=x 相等? ①y=( x)2; ②y= x3;
3

③y= x2;

x2 ④y= . x

例 2.判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由. (1)f(x)=(x-1)0;g(x)=1;

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
(2)f(x)= x2-4;g(x)= x-2- x+2; (3)f(x)= x2;g(x)= (x+1)2; (4)f(x)=|x|;g(x)= x2;

·14·

例 3.求下列函数的定义域 1 (1)f(x)= x-|x| (x+1)0 (3)f(x)= |x|-x

1 (2)f(x)= 1 1+ x (4)f(x)= 1-x+ x+3-1

例 4.(1)已知 y=f(x)的定义域[-1,1],求下列函数的定义域 ① y=f(x-3) 1 ②y=f( ) x 答案:①[2,4],② (-∞,-1)∪[1,+∞]

(2)若函数 y=f(2x+3)的定义域是[-4,5],求 y=f(x)以及 y=f(2x-3)的定义域 答案: [-5,13) [-1,8)

四、课堂练习 1、课本 P19 练习 1、2 2、函数 y=f(x)的图象与直线 x=a 的交点个数为___________。(最多 1 个) 五、本节小结 函数相等的判断,函数定义域的求法以及一些简单复合函数的定义域.

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第7课时 函数的表示法
【教学目标】

·15·

掌握函数的三种表示方法,通过函数的各种表示及其相互转化来加强对函数概念的 理解.

【重点难点】
重点:函数的三种表示方法. 难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.

【教学过程】
一、情景设置 我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,两个函数是否相同的判定 方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢? 、 、 。 二、探索研究 1.结合 1.2.1 的三个实例,讨论三种表示方法的定义: 解析法: 图像法: 列表法: 2.某种笔记本的单价是 5 元,买 x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三 种表示法表示函数 y=f(x).

思考:比较三种表示法,它们各自的特点是什么? 解析法的特点: 图像法的特点: 列表法的特点: 三、教学精讲 三种表示法应该注意什么? ①函数图象既可以连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等; ②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围 是函数的定义域;不是所有的函数都能用解析法表示。 ③图像法:根据实际情景来决定是否连线; ④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征。

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1

·16·

例 1.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及 班级平均分表: 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 注意:本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样更便于研究成 绩的变化特点。 例 2.已知 f(x)为二次函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x)的解析式 答案:① f(x)=x2-2x-1

x+1 x2+1 1 例 3.①已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. ②已知 f( )= 2 + ,求 f(x)的解析式 x x x 答案:①f(x)=x2-1(x≥1) ②f(x)=x2-x+1(x≠1)

四、课堂练习 1.已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x-1,求 f(x) 1 答案:f(x)=x- 或 f(x)=-2x+1 3 2.周长为 l,的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆的框架(如图) ,若矩形底边长为 2x, 求此框架围城图形的面积 y 关于的函数表达式,并写出它的定义域.

五、本节小结 函数的三种表示方法.

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第8课时 函数的表示法
【教学目标】

·17·

1.通过具体实例,掌握简单的分段函数,并能简单应用; 2.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射.

【重点难点】
分段函数的表示及其图象,映射概念的理解.

【教学过程】
一、情景设置 (1)画出函数 h(x)=|x|的图象,并比较它与 f(x)=x,g(x)=-x 在解析式上有什么区别? (2)复习初中已经遇到过的对应: ①对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; ②对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应; ③对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; ④某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应; ⑤函数的概念. 我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件―非 空数集‖弱化为―任意两个非空集合‖, 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间 的对应关系,这种的对应就叫映射(mapping) 二、探索研究 (1).由具体实例(1)归纳: ①定义: 称为分段函数. ②分段函数是______函数而不是______函数(一个、几个) ③函数 h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同. 分段函数的定义域是各 段定义域的并集,值域是各段值域的并集. ④生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题如出租车的计费、个人所得税纳税 额等等.请举出几个分段函数的例子. (2).由具体实例(2)归纳: ①映射的概念: 记作―f:A ?B‖ 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述. (2)―都有唯一‖什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。 三、教学精讲 例1.某市―招手即停‖公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里),票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算) .
第一章 集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1

·18·

如果某条线路的总里程 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式, 并画出函数的图象.

注意: ①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义; ②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值的几种不同表达式 并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.

(x≤0) ?x+4 2 例 2.已知 f(x)= ?x -2x (0<x≤4)函数, ?-x+2 (x>4) ①求 f{f[f(5)]}的值. ②画出函数的图象.

例 3.课本 P22 例 7 四、课堂练习 课本 P22 练习 1.2.3.4 五、本节小结 分段函数的表示及其图象,映射概念

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第9课时 单调性与最大(小)值
【教学目标】
1.理解增函数、减函数的概念; 2.掌握利用定义证明和判断函数单调性的方法.

·19·

【重点难点】
1.增函数、减函数的概念 2.利用定义证明和判断函数单调性的方法

【教学过程】
一、情境设置 问题 1:由课本 P27 图 1.3-1,你能说出函数图像有什么特点?

问题 2:作出函数①f(x)=x

②y=x2 的图象

二、探索研究 1.观察图象①函数 f(x)=x 的图像由左至右是上升的; 2.观察图象②函数 y=x2 的图象 3.问题:从上面的观察分析,能得出什么结论?

三、教学精讲 (1)增(减)函数的概念: 设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于 I 内某个区间_______________的值 x1,x2, 当 x1<x2 时,都有________,就说函 数 f(x)在这个区间上是增函数;当 x1<x2 时,都有___________,就说函数 f(x)在这个区间 上是减函数. 如果函数 y=f(x)在某个区间上是_____________,那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具 有________,这一区间叫做 y=f(x)的___________. (2)概念的理解 ①函数的单调性是对于函数______内的某个子区间而言的,且在定义域的不同区间 上,其单调性也不一定一样。 ②函数的单调性反映的是函数在某区间上的函数值的变化趋势,所以在某一点处不 讨论函数的单调性。
第一章 集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1

·20·

③定义中的 x1,x2 有三个特征: a.某区间内_____的两个自变量值 b.有大小 x1<x2 c.同属一个单调区间 ④单调区间的写法:若区间的端点在定义域内,单调区间可写成__________,也可写成 ________,若函数在区间的端点处无定义,单调区间必须写成_________. ⑤若干个单调性相同的单调区间不能进行并集,它们之间用逗号隔开即可。 例 1.课本 P29 例 1

例 2.课本 P29 例 2

k 探究:由例 2 分析,反比例函数 y= (k≠0)的单调性如何? x 1 问:y= 的单调减区间为(-∞,0)∪(0,+∞),这样表示对吗? x 总结归纳证明函数单调性的一般步骤:

例 3.(1)画出已知函数 f(x)=-x2+2x+3 的图像; (2)证明函数 f(x)=-x2+2x+3 在区间上(-∞,1]上是增函数; (3)当函数在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数 m 的取值范围。

四、课堂练习 课本 P32.练习 1、3、4 五、本节小结 1.增函数、减函数的概念及对概念的理解. 2.利用定义证明函数单调性的步骤.

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第10 课时 单调性与最大(小)值
【教学目标】

·21·

(1)通过实例,使学生体会、理解到函数的最大(小)值及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;

【重点难点】
重点:函数的最大(小)值及其几何意义. 难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值。

【教学过程】
一、情境设置 问题:画出下列函数的图像,指出图像的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什 么特征? ①f(x)=-x+3 ②f(x)=-x+3,x∈[-1,2] 2 ③f(x)=x +2x+1 ④f(x)=x2+2x+1,x∈[-2,2]

二、探索研究 由以上分析,你能得出函数 y=f(x)最大(小)值的含义吗? 三、教学精讲 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 思考: 仿照函数最大值的定义, 给出函数 y=f(x)的最小值 (Minimum Value) 的定义.

注意: ①函数最大(小)值首先应该是一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ②函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) . ③函数最大(小)值不一定是唯一的,有的函数可能有多个。 ④函数最大(小)值反映的是函数的整体性质,即在整个定义域的最值。 思考 1:函数 y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么? 思考 2:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?
第一章 集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
例 1.课本 P30 例 3

·22·

2 例 2.已知函数 f(x)= (x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值. x-1

1 例 3.已知函数 f(x)=x+ ,(x>0), x (1)证明当 0<x<1 时,函数 f(x)是减函数;当 x≥1 时,函数 f(x)是增函数; (2)求函数的最小值.

由例题分析归纳: (1)利用函数单调性的求函数的最大(小)值的方法: ①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. ②利用图象求函数的最大(小)值. (2)①如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); ②如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); 四、课堂练习 1.课本 P32.练习 5 1 2.函数 y= 有没有最大(小)值? x

3.求函数 y=x2-4x+6 在 x?(1,5]上的最值。2,11 五、本节小结 函数的最大(小)值的定义及简单应用。

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第11 课时 函数的奇偶性
【教学目标】
(1)理解函数的奇偶性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)学会判断函数的奇偶性.

·23·

【重点难点】
重点:函数的奇偶性及其几何意义. 难点:判断函数的奇偶性的方法。

【教学过程】
一、情境设置 问题:观察下列函数的图象,思考并讨论以下问题: (1)这两个函数图象有什么共同的特征吗? (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的? y y

-1 0 1

x

-1 0 1

x

二、探索研究 问题①:结合以上两个函数的图像特征,如何利用函数的解析式来描述偶函数的定 义? 问题②:偶函数的图像有什么特征? 问题③:函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗? 问题④:偶函数的定义域有什么特征? 1 问题⑤:观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 的图像,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的 x 定义和性质? 三、教学精讲 奇(偶)函数性质: ①图像对称性 ②整体性 ③定义域对称性

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
例 1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4; 1 (4)f(x)= 2; x (2)f(x)=x5; x3-x2 (5)f(x)= x-1 1 (3)f(x)=x+ ; x (6)f(x)= x2-4+ 4-x2;

·24·

归纳:判断函数的奇偶性的方法:

例 2.在下列图形中,只画出了函数图象的一半,请你画出它的另一半,并说出画法 依据。 y=x
-1

y=x

-3

y=x2+1

y=-x4

1 1 例 3.若 f(x)的定义域关于原点对称,试判断函数 F(x)= [ f(x)+ f(-x)]及 G(x)= [ f(x)2 2 f(-x)]的奇偶性。 (这个例题说明了什么?)

四、课堂练习 课本 P36 练习 1、2 五、本节小结 函数的奇偶性及判断函数的奇偶性的方法。

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第12 课时 函数的奇偶性(习题课)
【教学目标】
(1)熟练掌握函数奇偶性的。 (2)函数的奇偶性综合应用

·25·

【重点难点】
函数的奇偶性综合应用

【教学过程】
一、复习引入 ①奇偶性的定义: ②奇偶性的判定方法: 二、探索研究 问题①:已知 f(x)是偶函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2-2x+1 则如何求 f(x)的解析式? 问题②:已知 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(x)在(-∞,0)上是增函数还是 减函数? 三、教学精讲 例 1、已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x∈R 时,f(x)的表达式? 答案:x≤0 时,f(x)= x|x+2|;

?x(1-x)(x<0) 例 2、判断函数 f(x)=? 的奇偶性;答案:奇函数 ?x(1+x)(x>0)

例 3、判断函数 f(x)=

1+x2+x-1 的奇偶性. 答案:奇函数 1+x2+x+1

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
31 答案:[1, ] 27

·26·

例 4、已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求 f(x)的值域.

例 5、 已知函数 f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+5, 其中 a,b,c,d,为常数, 若 f(-7)=-7,求 f(7)的值; 答案:17

例 6、已知 y=f(x)是奇函数,且 y=f(x)在[a,b](a>0)上是单调递增的,f(x)在[-b,-a]上的 单调性如何?并证明你的结论。

四、本节小结:函数奇偶性的判断及其应用。

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第13 课时 专题一:一元二次不等式解法
【教学目标】
1.掌握常系数的一元二次不等式的解法; 2.理解―三个二次‖的关系; 3.理解一元二次方程根与系数的关系。

·27·

【重点难点】
一元二次不等式的解法

【教学过程】
1.一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0) 与 ax2+bx+c<0(a<0)的解集如下表: △=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次 ax2+bx+c=0(a>0) 的根 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 有两相等实根 b x1=x2=2a △>0 △=0 △<0

有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

没有实根

2.一元二次方程根与系数的关系
比较方程 x2+5x+6=0 与 x2-7x+6=0 的解,你会发现什么? 根与系数的关系(韦达定理)

【例题方法】
例 1.解下列不等式 (1)x2<3x+4 答案:-1<x<4 2 3 3 (3) -x2+2x- ≤0;答案:x≤1- 或 x≥1+ 3 3 3 (2)3>2x- x2 答案:R

(4)x2-|x|-6<0;答案: -3<x<3

(5)3x2+5≤3x;答案:?

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
1 答案: {x|x< 或 x>1} 3

·28·

例 2:已知不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是{x|1<x<3},求不等式的 cx2+bx+a<0 解集

【课堂练习】
1 1.求不等式 4x2-4x+1>0 的解集.答案:{x|x≠ } 2 2.解不等式-x2+2x-3>0;答案:?

【课堂小结】
解常系数的一元二次不等式的解法: ①化为标准式(二次项系数大于零) ②判断―△‖的符号 ③结合二次函数的图象得出一元二次不等式的解法

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第14 课时 专题二:函数的值域
【教学目标】
初步掌握简单函数值域的求法.

·29·

【重点难点】
简单函数值域的求法.

【教学过程】
一、探索研究 三类基本函数的定义域、值域: (1)一次函数 f(x)=ax+b(a≠0)的定义域是_____,值域是_____ k (2)反比例函数 f(x)= (k≠0)的定义域是___________,值域是_____. x (3)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是_____,当 a>0 时,值域是________. 当 a<0 时,值域是__________. 二、教学精讲 例 1.求下列函数的值域: (1)①y= x+2 ②y=|x|-1 答案:①[2.+∞);②[-1,+∞)

求值域方法技巧小结: 法 1:观察法,单调性法 (2)①已知函数 y=x2-4x+6,在下列条件下分别求值域: (10)x?{-1,0,1,3,4} (20)x?R (30)x?(1,5] 答案:①{3,6,11} ②[2,+∞)③[2,11]

错误!链接无效。法 2:与二次函数有关的值域,可用配方法.应用配方法求值域时要

注意定义域. ②y= -x2+x+2 3 答案:[0, ] 2

(3)y=3x- 2x-1

4 答案:[ ,+∞) 3

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
法 3:换元法: ①形如 y=ax+b? cx+d的形式,可用换元法. ②令 t= cx+d,转化为二次函数再求值域. ③使用换元法要注意换元后变量的范围. 2x+1 (4)①y= x-3 x2-1 ②y= 2 x +1 答案:①y≠2;②[-1,1)

·30·

法 4:分离常数法: ax+b af(x)+b ①形如 y= (c≠0)与 y= (c≠0)的值域可用此法. cx+d cf(x)+d af(x)+b ②对于 y= (c≠0)的函数,f(x)的范围已知,可用分离常数法,也可用反解法. cf(x)+d 三、课堂练习 求下列函数的值域 5 1.y= 2 2x -4x+3 答案:1.(0,5] 2.y=2x- x-1 15 2.[ ,+∞) 8 |x|-2 3.y= |x|+2 3.[-1,1)

四、本节小结 常见函数值域的求法:①__________②_________③_________ ④________ **[选练]: 34 77 1.已知 f(x)?[ , ],求证 y=f(x)+ 1-2f(x)的值域.答案:[ , ] 89 98 ax+b 2.已知函数 f(x)= 2 的值域为[-1,4],求实数 a、b 的值.答案:a=?3,b=4 x +1

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第15 课时 专题三:集合
【教学目标】
复习巩固集合的有关概念及其运算。

·31·

【教学过程】
知识网络: 元素与 集合间 的关系

集合中元素特征

集合的表示方法

集 合
集合的运算

集合间的关系 算 1.解答集合问题要注意以下四点: ①要注意空集 .对集合问题的研究要分空集和非空集合,要考虑所研究的集合能否为 .. 空集。 例 1.已知 A={x|x2-(p+2)x+1=0},B={正实数},若 A∩B=?,求 p 的取值范围. 答案:p>-4

②要注意检验互异性 .根据集合间的关系求得集合中字母的值 ,要代入检验是否满足 ... 互异性. 例 2.若 A={1,3,x},B={x2,1},且 A∪B=={1,3,x},则这样的 x 的不同取值有____个 答案:3 个

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1

·32·

③要注意端点处的等号 .根据集合间的关系建立不等式时,要注意端点处等号能否取 ...... 到,对于端点处取的等号的值要特别带入原集合检验是否满足题意. 2x-1 例 3.设集合 A={x||x-a|≤2},B={x| ≤1},若 A∩B,则实数 a 的取值范围是 x+2 A.0<a<1 答案:C B.0≤a<1 C.0<a≤1 D.0≤a≤1

④要注意图示法 的应用.解答集合关系较复杂的问题,要利用韦恩图示法。 ... 例 4. 已 知 集 合 U={ 不 大 于 20 的 质 数 },M,P 是 U 的 两 个 子 集 , 且 满 足 M∩(CUP)={3,5},(CUM)∩P={7,19},(CUM)∩(CUP)={2,17},求集合 M,P. 答案:M={3,5,11,13} N={7,11,13,19}

2.集合中常用结论与公式总结: ? A. ①A?A;??A;若 A≠?,则?≠ ②A?B?A∩B=A?A∪B=B. ③A∪B=?? A=?且 B=?. ④含有个 n 元素的集合 A 的子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1 ⑤A∪B=U 且 A∩B=??A=CUB ⑥CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB) CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) ⑦card(A∪B)=card(A)+card(B)+card(A∩B) n 例 5.①设集合 A={x∈Z|2≤|2-3x|<8}的子集个数为 m,非空真子集的个数为 n,则 m =__________.

②集合 A={x∈R||a-1|x2-3x+2=0,a∈R} 中至多有一个元素 , 则实数 a 的取值范围是 __________________. 7 答案:① 8 17 1 ②a=1 或 a≥ 或 a≤8 8

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第16 课时 专题四:函数的单调性
【教学目标】
1.理解单调性的定义. 2.掌握求常见函数单调区间的方法. 3.掌握函数单调性的一些简单应用.

·33·

【重点难点】
1、求常见函数单调区间的方法. 2、函数单调性的一些简单应用.

【教学过程】
1、常用结论: ①若 f(x)在区间 I 上是增函数(减函数),则 k>0 时,kf(x)在 I 上是___________; k<0 时,kf(x)在 I 上是__________; ②f(x)在 A 上为增函数(减函数),g(x)在 B 上为增函数(减函数),f(x)+g(x)在 A∩B 上___; f(x)在 A 上为增函数,g(x)在 B 上为减函数,f(x)-g(x)在 A∩B 上__________; f(x)在 A 上为减函数,g(x)在 B 上为增函数,f(x)-g(x)在 A∩B 上_________ ; 1 ③f(x)>0 且在区间 I 上是增函数(减函数),则 在 I 上为_____________; f(x) f(x)在 I 上为_____________. 2、复合函数的单调性. (1)举例:①y= x2-1是由________和_______复合而成. 1 ②y= 2 是由________和_______复合而成. x -2x-3 (2)(选讲)复合函数的定义:如果 y 是 u 的函数 y=f(u),u?Q,u 又是 x 的函数 u=g(x)(x?M),把 y=f[g(x)]叫做 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,其中 g(x)叫做内函数,f(u)叫做外 函数. (3)(选讲)复合函数单调性的判定方法: 复合函数 y=f[g(x)]的单调性可有内、外函数的单调性得出,具体如下表: u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增

即: 若 u=g(x)与 y=f(u)的增减性相同,则 y=f[g(x)]为_________. 若 u=g(x)与 y=f(u)的增减性相反,则 y=f[g(x)]为_________. 该法则简单概括为______________. 3、函数单调性的判定方法:

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1

·34·

(1)图像法:先作出函数图像,利用图像直观判断函数的单调性; (2)直接法:对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写 出它们的单调区间。 (3)利用常用结论判定。 1 例 1.(1)判断函数 f(x)=x2- 在(0,+∞)上的单调性并用定义证明,并求当 x?[1,3]时, x 求函数 f(x)的最大值与最小值. 26 答案:增函数 最大值为 ,最小值 0 3 1 ②判断函数 y= - x在(0,+∞)上的单调性,并求 x?[1,4]的值域. x 7 答案:减函数 值域[- ,0] 4 例 2.①求函数 y= -x2-2x+3的单调区间。答案:增 [-3,1],减[-1,1] ②若 y=f(x)在定义于 R 上是减函数,求函数 y=f(|x+2|)单调区间. 答案:增 (-∞,-2],减[-2,+∞) 例 3.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),且 f(1-a)+f(1-a2)<0。若 f(x)是(-1,1) 上的减函数,求实数 a 的取值范围。答案: (0,1)

【课堂练习】
1.求函数 y= x+2- 1-x的值域. 答案:[- 3, 3] 2.求下列函数的单调区间. 1 ①y= ②y= x2-4x-5 答案:①(-1,0]减 1-x2

[0,1)增 ②(-∞,-1]减 [5,+∞)增.

【课堂小结】
1.复杂的函数转化为简单的函数,利用结论判断单调性. 2.复合函数单调性的判断方法.

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1
第17 课时 专题五:二次函数
【教学目标】
二次函数的单调性、最值、对称性

·35·

【重点难点】
二次函数的单调性、最值、对称性的应用

【教学过程】
(1)二次函数的三种形式: 一般式:_________________________ 顶点式:_________________________ 零点式:_________________________ (2)二次函数的单调性取决于___________、_________________. (3)若二次函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)?_____________,则 f(x)的对称轴为___ (4)二次函数的最值: 对于 y=ax2+bx+c(a≠0) b ①x?R,若 a>0,当 x=- 时,ymin= 2a b 若 a<0,当 x=- 时,ymax= 2a 4ac-b2 ; 4a 4ac-b2 . 4a

.

②二次函数在指定区间上的最值的求法: 求二次函数 f(x)=ax2+bx+c x∈[m,n]上的最大.最小值时(要注意结合图象) b b b 当 a>0 求最小值和 a<0 求最大值分三种情况求,即- <m, m≤- ≤n,- >n 2a 2a 2a 1 例1、①二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5,在( ,1)上是增函数,则 f(2)的范围是_________ 2 答案:[7,+∞) ②f(x)=x2+2(a-1)x+2 在(-∞,4]上是减函数,则 a 的范围是______答案:a≤-3 ③如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意 x 有 f(2+x)=f(2-x), 则 f(1),f(2),f(4)的大小关系是 ___________答案:f(4)>f(1)>f(2)

例2、 已知函数 f(x)满足 f(x)=f(4-x)(x?R),当 x>2 时,f(x)为增函数,设 a=f(1),b=f(4),c=f(-2), 比较 a,b,c 的大小. 答案:(a<b<c)

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1

·36·

3 例 3、已知函数 f(x)= -x2+(2a-1)x-3 在区间[- ,2]上的最大值为 1,求实数 a 的值. 2

【课堂练习】
1. 函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x?(-2,+∞)时增函数,当 x?(-∞,-2)时减函数,则 f(1)=_______ 答案:13

2.讨论函数 y=x2-2ax+3 在[-2,2]上的单调性. 答案:当 a<-2 时 增; 当 a>-2 时 减 ; 当-2≤a≤2 时[-2,a] 减 、[a,2] 增

【课堂小结】
1.二次函数的单调性取决于开口方向与对称轴的位置. 2.利用单调性可将函数值不等式转化为自变量不等式,从而解函数不等式. 3.抽象函数的单调性要结合条件利用赋值法.

【教学后记】

第一章

集合与函数

高中新课标数学教学案?必修 1

·37·

第二章基本初等函数(Ⅰ)
第18 课时 指数与指数幂的运算
【教学目标】
理解根式的概念

【重点难点】
根式的概念

【教学过程】
一、情景设置 课题引入:以课本 P48 页问题 1、问题 2 引入。 讨论: ①什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个, 立方根呢? ②如 x =a,x =a, x =a,根据上面的结论我们又能得到什么呢? ③根据上面的结论我们能得到一般性的结论? ④可否用一个式子表达呢? 二、探索研究 1.整数指数幂的运算法则 ① ② ③ 2.n 次方根的定义: 说明:①n 次方根的定义是 和 的推广。 ②在实数范围内,正数的奇次方根是一个 ,负数的奇次方根是一 个 . 零的奇次方根是 .设 a∈R,n 是大于 1 的奇数,则 a 的 n 次方根记作 . ③在实数范围内, 正数的偶次方根有 个, 它们互为 , 零的偶次方根是 , 负数的偶次方根 .设 a≥0,n 是大于 1 的偶数,则 a 的 n 次方根是 . 三、教学精讲 ①式子 a 叫做 ②( a ) = 当 n 为奇数时,
n n n
4 5 6

,n 叫做 ; a =
n

,a 叫做



n

.当 n 为偶数时, a =

n

n

=? ?

?

例 1、求下列各式的值

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1

3

·38·

(-8)3

② (-10)2

③ (3-?)4

4

④ (a-b)2 (a>b)

例 2、计算: 5-2 6+ 5+2 6 四、课堂练习 1.下列运算正确的是( (A)(-a2)3=(-a3)2 (C)(-a2)3=(-a)6

) (B)(-a2)3=-a2 3 (D)(-a2)3=(-1)3a2×3=-a6


2.若 a=(2+ 3)?1,b=(2- 3)?1,则(a+1)?2?( b+1)?2 的值是( ) 3.下列有四个命题 ①正数的偶次方根是一个正数;②正数的奇次方根是一个正数; ③负数的偶次方根是一个负数;④负数的奇次方根是一个负数. 其中正确命题的个数是( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 * 4.a∈R,n∈N ,下列四个运算恒成立的是( ) (A) ( a ) =a
n

n

(B) ( |a| ) =|a|

n

n

(C)( a ) =|a|

n

n

(D)

n

a =|a| 4 5

n

5.已知 3a=2,3b=5,则 32a?b=____________

答案:DDCB

五、本节小结 * ①如果 xn=a,那么 x 叫做 ,其中 n>1,且 n∈N .当 n 是奇数时,正数的 n 次方根 ,负数的 n 次方根是 .a 的 n 次方根用符号 表示. 式子 a 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. ②当 n 是偶数时,正数的 n 次方根 用符号 表示,负的 n 次方根用符号
n n

.此时,正数 a 的正的 n 次方根 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根

可以合并成± a (a>0) .由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0, 记作 0=0. ③( a ) =
n n

n

; 当 n 为奇数时, a =

n

n

.当 n 为偶数时, a =? ?

n

n

?

【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第19 课时 指数与指数幂的运算
【教学目标】
1.理解分数指数幂的含义 2.掌握有理指数幂的运算性质 3.会对根式、分数指数幂进行互化 4.了解无理指数幂的意义

·39·

【重点难点】
分数指数幂的概念和分数指数的运算性质

【教学过程】
一、情景设置 课题引入:以课本 P48 页问题 2 引入。 观察 a10=
5 5

(a2)5=a2=a 5 ; a6= (a3)2=a3=a2 ; a15=

10

6

3

3

(a5)3=a5=a 3 总结规律 的形式.

15

当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成 二、探索研究
5

a2= =a5 ; a7= =a4 (a>0) 的形

2

4

7

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以写成 式. 三、教学精讲 1.分数指数幂的含义 (1)(a n )n=am,由 n 次方根的定义,即a n 可以看成 am 的
m m m



规定正数的正分数指数幂a n 的意义是
m

(a>0,m,n∈N*,且 n>1).负分数指数幂 (a>0,m,n∈N*,且 n>1).在这样的

的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定a n =

规定下,根式与分数指数幂表示相同的量,只是形式不同而已. 0 的正分数指数幂等于 ,0 0 的负分数指数幂 . (2)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从 推广到 . 2.整数指数幂的运算性质,对有理指数幂也同样适用,即对于任意有理数 r,s,均有 下面的运算性质: ① ② ③ 3.我们将指数的取值范围从整数推广到了有理数,那么,当指数是无理数时,如

5 2,又如何理解呢?

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
例 1.求值:83,1002 1 2

·40·

1- 16 ,( ) 3, ( )4 81

3 4

例 2.用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0): ① a· a
3 4

② a a a

③a3· a2

3

例 3.求下列各式的值:
4



81?

2

93

②2 3? 1.5? 12

3

6



a2 a? a
3 2

(a>0)

答案:3 3 ; 6; 四、课堂练习 1.课本 P59 习题 4 2.计算下列各式 7 10 ①(2 )0.5+0.1-2+(2 )9 27

6

6

a5

2 3

37 -3?0+ 48



3

a2 a-3÷

9

3

a-7 a13

3

五、本节小结
m m ①分数指数幂a n 不可理解为 个 a 相乘,它是根式的一种新的写法. n

②一般进行指数幂运算时,化根式为分数指数,化小数为分数进行运算.对于计算 结果,如果没有特殊要求,分数指数幂和根式的形式都可以.但结果不能同时含有 根号和分数指数,也不能同时含有分母和负指数.

【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第20 课时 指数函数
【教学目标】
1.掌握指数函数的概念 2.初步掌握指数函数的图象和性质

·41·

【重点难点】
指数函数的概念、图象和性质

【教学过程】
一、情景设置 1。一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么 以时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 2。某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依 此类推,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到细胞个数 y 与 x 的个数的关系式是什么? 二、探索研究 问题 1: x x ①你能说出函数 y=0.84 与函数 y=2 的共同特征吗? ②你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? ③为什么指数函数的概念中明确规定 a>0,a≠1? ④为什么指数函数的定义域是实数集? ⑤如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数?请你说出它的步 骤。 问题 2: 你能类比前面讨论函数性质时的思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法 吗? 三、教学精讲 1.指数函数的概念 ①指数函数定义: ②需注意的几个问题: 规定底数 a>0 且 a≠1 的理由: ; ③像 y=2?3x, y=2x, y=3
1



x+2

, y=3x+1 等函数是指数函数吗?

__________

2.指数函数的图象和性质 画出函数的图象,结合图象研究函数的性质??定义域、值域、特殊点、单调性、 最大(小)值、奇偶性. ①在同一坐标系中画出下列函数的图象: y=2x 1 y=( )x 2
第二章 基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1

·42·

1 ②从画出的图象中你能发现函数 y=2x 的图象和函数 y=( )x 的图象有什么关系?可否 2 1 利用 y=2x 的图象画出 y=( )x 的图象? 2 1 观察 y=2x 和 y=( )x 的图象,可以得出指数函数 y=ax 在底数 a>1 及 0<a<1 2 这两种情况下的图象和性质 a>1 图 象 (1)定义域: (2)值域: 性 质 (3)过点( , ) (4)单调性 例 1.已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图像经过(3,?),求 f(0),f(1),f(-3) 例 2.比较下列各题中两个值的大小. (1)1.72.5, 1.73 (2)0.8-0.1,0.8-0.2 0<a<1

(3) 1.70.3,0.93.1

问题:你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小? 四、课堂练习 1.某放射性元素的半衰期是 100 年, 质量为 a 的该物质经 x 年后剩留量 y=



2.下列四个命题中,真命题是(
A.y=2x+1 与 y=(2)2都是指数函数 C. 对任意的 x∈R, 都有 3x>2x
x

) B.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的最小值是 0

1 D. 函数 y=ax 与 y=( )x 的图象关于 y 轴对称(a>0,a≠1) a ④am>an(a>1) ,f(-?)= .

3.比较下列不等式中 m、n 的大小 ①2m<2n ②0.2m>0.2n ③ am<a (0<a<1) 4.指数函数 y=f(x)的图象经过点(?,e),则 f(0)= ,f(1)= 五、本节小结 指数函数的定义、图像、性质

【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第21 课时 指数函数
【教学目标】
1.掌握指数函数的图象和性质 2.指数函数性质的简单应用

·43·

【重点难点】
指数函数的图象和性质

【教学过程】
一、情景设置 在同一坐标系中画出下列函数的图象: 1 1 y=2x;y=( )x;y=3x;y=( )x;y=5x 2 3 复习:根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质 图象特征 函数性质 a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+ a0=1 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看,图象 自左向右看,图象 增函数 减函数 逐渐上升 逐渐下降 在第一象限内的图 在第一象限内的图 x>0,ax>1 x>0, ax<1 象纵坐标都大于 1 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 在第二象限内的图 x<0,ax<1 x<0,ax>1 象纵坐标都小于 1 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 图象上升趋势是越 函数值开始增长较 函数值开始减小极 来越陡 来越缓 慢,到了某一值后 快,到了某一值后 增长速度极快; 减小速度较慢; 二、探索研究 1.从画出的图象(y=2x、y=3x 和 y=5x)中,你能发现函数的图象与其底数之间有什 么样的规律? 1 1 1 同理(y= x、, y= x 和 y= x)图象之间有什么样的规律? 2 3 5

三、教学精讲 例 1.比较下列各题中两个值的大小.

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
1 1 (1)y= ( )0.4 与 y= ( )0.4 2 3 (2)y= (3.1)?
2

·44·
2

与 y=(3.2)?

例 2.如图 2—6,是指数函数 ①y=ax,②y=bx, ③y=cx,④y=dx 的图象,那么 a,b,c,d 与 1 的大小 关系是( B ) (A)a<b<1<c<d (B)b<a<1<d<c (C)1<a<b<c<d (D)a<b<1<d<c 例 3.求下列函数的定义域和值域:
1

①②

③④

(1) y=2x-4

2 1 (2) y=( )2x-x 2

1 2 例 4.求函数 y=( )x ?2x+2的值域和单调区间. 3 答案:增区间为(-∞,1],减区间为[1,+∞);值域为(0, 1 ] 3

四、课堂练习 1.课本 P58 练习
2 1 2.求函数 f(x)=3-2x+x 的单调区间和值域.减(-∞,1],增[1,+∞) ,值域[ ,+∞) 3

五、本节小结 指数函数的图象和性质、指数函数性质的简单应用

【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第22 课时 指数函数
【教学目标】
了解函数图象的对称和平移、熟练应用指数函数性质

·45·

【重点难点】
函数图象的对称和平移、指数函数性质的应用

【教学过程】
一、情景设置 问题 1.点(a,b)关于 x 轴、y 轴、原点(0,0)的对称点分别是什么? 问题 2.若设 f(x)=2x,则 f(-x)= ,由指数函数 y=2x 与 y=2-x 的图象关于 对称。

问题 3.①函数 y=2x+1 的图象可以由 y=2x 的图象进行怎样的变换得到? ②函数 y=2x-2 的图象可以由 y=2x 的图象进行怎样的变换得到? ③函数 y=2x+1 的图象可由 y=2x 的图象进行怎样的变换得到? 二、探索研究 1.由问题 2 可知,函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 对称;函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于 对称;函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于 对称; 2.由问题 3 的①、②可知,通过它们图象间的关系可知函数 y=f(x+a)的图象可以 由函数 y=f(x)的图象平移 个单位得到,a>0 时,向 (左,右)平移,a<0 时,向 (左,右)平移. 3.由问题 3 的③可知 y=f(x)+a 的图象可由 y=f(x) 向 (上,下)平移,a<0 时,向 (上,下)平移。 三、教学精讲 得到,a>0 时,

1 x 1 x 例 1.①为了得到函数 y=3×( ) 的图象,由函数 y=( ) 的图象经过怎样的变换? 3 3 1 x 1 -x ②函数 y=( ) 与 y=-( ) 的图象关于________对称 3 3 1 ③要得到函数 y=8·2-x+1 的图象,只需将函数 y=( )x 的图象( 2 A.向右平移 3 个单位,再向下平移 1 个单位 B.向左平移 3 个单位,再向下平移 1 个单位 C.向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位 D.向左平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位 C )

④.若 0<a<1,b<-1.则函数 y=ax+b 的图象不经过( A )
(A)第一象限 (B)第二象限
第二章

(C)第三象限
基本初等函数(Ⅰ)

(D)第四象限

高中新课标数学教学案?必修 1
例 2.设 a 是实数,f(x)=a 2 (x∈R) 2x+1 ①试证明对于任意 a,f(x)为增函数; ②试确定 a 的值,使 f(x)为奇函数。a=1

·46·

例 3.已知 f(x)=a2x ?3x+1,?(x)=ax +2x?5(a>0,a?1),确定 x 的范围使 f(x)>?(x). 答案:当 0<a<1 时,使 f(x)>?(x)成立的 x 范围是 2<x<3; 当 a>1 时,使 f(x)>?(x)成立的 x 范围是 x>3 或 x<2

2

2

四、课堂练习 1.若函数 y=ax+m-1(a>0 且 a≠1)的图象在第一、三、四象限内,则( B ) A.a>1 B.a>1,m<0 C.0<a<1,m>0 D.0<a<1 3x+1 -2x 2.设 y1=a ,y2=a 其中 a>0,且 a≠1.确定 x 为何值时,有: (1)y1= y2 (2)y1>y2 五、本节小结

【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第23 课时 对数与对数运算
【教学目标】
1.理解对数的概念. 2.能正确进行指数式与对数式的互化。

·47·

【重点难点】
指数式与对数式的关系

【教学过程】
一、情景设置 问题: 截止到 1999 年底, 我国人口约 13 亿。 如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%, 那么经过多少年以后人口数可达到 18 亿,20 亿,30 亿? 二、探索研究 ① 18 20 30 =1.01x, =1.01x, =1.01x,在这几个式子中 x 分别等于多少? 13 13 13

②你能否给出一个一般性的结论? 三、教学精讲 1.对数的定义: ①如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,即__________,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 (Logarithm).记作____________.其中 a 叫做_____________,N 叫做___________. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当 a>0,a≠1 时,ax=N ? x= logaN ②对数与指数幂的关系 ③说明:10 零和负数没有对数,但对数可以是任意实数. a ab=N logaN=b b N 指数式 对数式 20 对数式中各字母的范围:a>0 且 a≠1;N>0;b∈R. 2.对数的性质(对数恒等式): ①loga1=________ ②logaa=_______ ③a 3.对数的两种常见形式: ①常用对数:__________________ ②自然对数_____________________ 例 1.把下列指数式写成对数式: ①3x=81 ②10x=25 ③2-6= 1 64 1 ④( )m=5.73 3
logaN

运算 由 a,b 求 N(幂) 由 a,N,求 b(指数)

=___

④logaab=________ _____. .

例 2.把下列对数式写成指数式:
第二章 基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
①log 1 8=-3
2

·48·

②lg2=0.3010

③ln10=2.303

④log2128=7

例 3.①求下列各式中 x 的值: 2 2 log64x=- ;logx8=6;lg 100=x;-ln e =x;log2(log5x)=1;log3(lg x)=0. 3

四、课堂练习

1.把下列指数式写成对数式:
①3n=27 1 1 ②( )x= 2 16 ③5 2 =
?1

1 5

1 ④10-2= 100

2.把下列对数式写成指数式: ①log87=x ②lg0.01=-2 ③log 1 16=-4
2

④ln5=y

3.求下列式中的 x 的值: ①x=log 27 ⑥5
log5 100

1 9

3 1-2x ②log4x=- ③logx8=-3 ④log3 =1⑤log ( 2 9

2 ?1)

(3+2 2)=x

-1=x

五、本节小结 对数的定义、指数式与对数式的关系

【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第24 课时 对数与对数运算
【教学目标】
对数的运算性质

·49·

【重点难点】
准确应用对数的运算性质及对数恒等式.

【教学过程】
一、情景设置 问题: ①我们知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运 算性质,得出相应的对数运算性质吗? m n m n m+n ②如我们知道 a =M, a =N, a ?a = a ,那 m+n 如何表示,能用对数式运算吗? ③在上述②的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗? 二、探索研究 m n m n m+n (1)推导:①设 a =M, a =N,由于 a ?a = a ,由对数的定义得到: log a M=m, log a N=n, log a (M?N)=log a M+log a N 仿照上述过程,由 a ÷a = a 和(am)n=amn 得出对数其他运算性质
m n m-n

② ③ 得出对数的运算性质:如果 a>0,a≠1,M>0,N>0, 那么 ①log a (M?N)=log a M+log a N ②log a M n =log a M –log a N ③log a M =nlog a M N ③

(2)你能否用最简练的语言描述上述运算性质? ① ② (3) 上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗? 三、教学精讲 例 1.用 log a x,log a y, log a z 表示下列各式: x2 y 3 z 3 ③log a

①log a

xy z

②log a

x yz
2

④log a (x

4 z3 ) y2

例 2.求下列各式的值:
第二章 基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
①2log510+log50.25 1 32 4 ②log2(47 ? 25) ③ lg - lg 8+lg 245 2 49 3

·50·

四、课堂练习

1.求下列各式的值:
①5
2 log5 10 ?1

②2log 3 2-log 3

32 2 log 3 +log 3 8 -5 5 9

2.求解下列各题: ①若 lgm=b-lgn,则 m 用 n,b 表示为____________.

②已知 log 2 9=a,log 2 5=b.用 a,b 表示 log 2 75.

五、本节小结 熟练掌握对数的运算性质及初步应用 【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第25 课时 对数与对数运算
【教学目标】
1.对数的运算性质进一步应用 2.换底公式的应用

·51·

【重点难点】
换底公式的应用

【教学过程】
一、情景设置 1.复习对数的运算性质以及公式应用需要注意的问题。 2.引入:利用常用对数表、自然对数表能求出任意正数的常用对数或自然对数,如何求 其它底的对数呢? 二、探索研究 你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗? logcb log a b = (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0) logca 三、教学精讲 推导过程:

1 推论:①log a b= logba

②log a n b =log a b

n

③log am b =

n

n log b m a

例 1.①log89? log2732 的值。 (可以换以 10 为底,以 2 为底,以 3 为底)

②已知 log23=a, log37=b,用 a,b 表示 log4256。

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
例 2.计算: 2 ①lg25+ lg8+lg5?lg20+lg22 3

·52·

②(log2125+log425+ log85)?(log1258+log254+log52).

例 3.课本 P66 例 5 例 6

四、课堂练习 1.log49343= . 2.在 b=log(a-2)3 中,实数 a 的取值范围是 3.已知 log189=a, 18b=5,,用 a,b 表示 log3645。 4.已知方程 lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2?lg3 =0 有两个不等的实数根 x1、x2,求 x1?x2 的值.

五、本节小结 换底公式及推论的应用、对数的运算性质进一步应用 【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第26 课时 对数函数及其性质
【教学目标】
1.掌握对数函数的定义、图象和性质. 2.会求简单对数函数(对数型函数)的定义域

·53·

【重点难点】
对数函数的定义、图象和性质.

【教学过程】
一、情景设置 问题:我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数,这个函数可用指数函数_____________表示.现在研究相反的问题, 如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到 1 万个,10 万个,??细胞?那么分裂 次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数,根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形 式就是_______________. 二、探索研究 1.对数函数的定义:形如 y=logax(a>0,a≠1)的函数叫做对数函数.定义域是________. 思考:①为什么规定底数 a>0,a≠1? ②如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数?请你说出步骤 2.学习指数函数时,对其性质研究了哪些内容,采取怎样的方法? 画出函数的图象,结合图象研究函数的性质??定义域、值域、特殊点、单调性、最 大(小)值、奇偶性. 三.教学精讲 对数函数的图象和性质 ①在同一坐标系中画出下列函数的图象: y=log2x y=log1x
2

②从画出的图象中你能发现函数 y=log2x 的图象和函数 y=log1x 的图象有什么关系?可否
2

利用 y=log2x 的图象画出 y=log1x 的图象?说明画法的理由。
2

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
2

·54·

观察 y=log2x 和 y=log1x 的图象,可以得出对数函数 y=ax 在底数 a>1 及 0<a<1 这两种情况下的图象和性质: y=logax(a>1) y=logax(0<a<1)

图 象
①定义域:________②值域:_______③恒过定点_______即当 x=1,y=0

性 质

在(0,+∞)上是__________函数.

在(0,+∞)上是__________函数.

?_____0(x>1) logax?_____0(x=1) ?_____0(0<x<1)

?_____0(x>1) logax?_____0(x=1) ?_____0(0<x<1)

例 1.求下列函数的定义域 (1)y=logax2 (2) y=loga(4-x)

例 2.比较下列各组数的大小: (1)log23.4, log28.5; (3)loga5.1, loga5.9(a>0,且 a≠1)

(2)log0.31.8, log0.32.7 3 (4) log43, log34, log4 ( ) 3 4

四.课堂练习 1 比较下列各组数的大小:(1)loga?,logae(a>0,且 a≠1);(2)log2 ,log2(a2+a+1)(a∈R). 2

五、本节小结 对数函数的定义,图象和性质以及简单的对数函数(对数型函数)的定义域 【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第27 课时 对数函数及其性质
【教学目标】
1.进一步理解对数函数的图象和性质; 2.熟练应用对数函数的图象和性质,解决一些综合问题。

·55·

【重点难点】
教学重点:对数函数的图象和性质. 教学难点:对数函数的性质的综合运用.

【教学过程】
一、情景设置 1.画出函数 y ? log2 x, y ? log5 x, y ? lg x 的图象。 回答下列问题. (1)函数 y ? loga x 与 y ? log1 x
a

(a ? 0, 且 a ? 0) 有什么关系?图象之间又有什么特殊的关系?

( 2 ) 以 y ? log2 x, y ? log5 x, y ? lg x 的 图 象 为 基 础 , 在 同 一 坐 标 系 中 画 出

y ? log1 x, y ? log1 x, y ? log 1 x 的图象.
2 5 10

(3)已知函数 y ? loga1 x, y ? loga2 x, y ? loga3 x, y ? loga4 x 的图象,则底数之间的关系:_______________________________. y=loga1x y=loga2x y=loga3x 2.根据对数函数的图象和性质填空. y=loga4x

(1)已知函数 y ? log2 x ,则当 x ? 0 时, y ?
第二章

;当 x ? 1 时, y ?



基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
当 0 ? x ? 1 时, y ? ;当 x ? 4 时, y ? . (2)已知函数 y ? log1 x , 则当 0 ? x ? 1 时, y ?
3

·56·

; 当 x ? 1 时,y ?



当 x ? 5 时, y ?

;当 0 ? x ? 2 时, y ?

;当 y ? 2 时,

x?



二、教学精讲 例 1.溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过 PH 刻画的。 PH 的计算公式为 PH=-lg[H], 其中[H]表示溶液中氢离子 的浓度,单位是摩尔/升。 (1)根据对数函数性质及上述 PH 的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度 之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H]=10 摩尔/升,计算纯净水的 PH。

例 2.函数 y ? loga x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值.

例 3.求函数 y=loga(-x2+8x-7)的定义域,值域及单调区间.

四.课堂练习 (1)求函数 y= log 1 (6+x-2x2)的单调增区间。 (2)求函数 y ? log3 ( x 2 ? 6x ? 10) 的最小
2

值. 五、本节小结 【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第28 课时 对数函数及其性质
【教学目标】
1.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数 2.熟练应用对数函数的图象和性质,解决一些综合问题。

·57·

【重点难点】
对数函数的性质的综合运用,反函数的意义

【教学过程】
一、情景设置 问题:用列表描点法在同一个直角坐标系中画出 y=log2x 与 y=2x 与 x=log2y 的函数图像。

二、探索研究 ①通过图像探索在指数函数 y=2x 中,x 为自变量,y 为因变量,如果把 y 当成自变量, x 当成因变量,那么 x 是 y 的函数吗? ②如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由。 ③探索 y=2x 与 x=log2y 的图像间的关系。 ④探索 y=2x 与 y=log2x 的图像间的关系。 ⑤结合①与④推测函数 y=ax 与函数 y=logax 的关系。 三、教学精讲 共同讨论以上问题: ①指数函数 y=2x 在 R 上是单调 (增/减函数) 。过 y 轴的正半轴上任意一点作 x 轴 的平行线,与 y=2x 的图像有且只有一个交点,即对任意的 y 都有 的 x 相对应,可 以把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数。 ②由指数式与对数式关系,由 y=2x 解得 。 x ③在同一个直角坐标系中,y=2 与 x=log2y 的图像完全重合。 ④通过观察图像可知,y=2x 与 y=log2x 的图像关于 ⑤通过①与④类比,归纳知道,y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数是 ,且 他们的图像关于 对称。 由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图像关于直 线 y=x 对称

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
例 1.求下列函数的反函数: ①y=2x+3 ②y= log1 x
3

·58·

1 x ③y=( ) 3

④y=0.2 +1

x

例 2.若 y=log2(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,则求 a 的取值范围。

1 例 3.已知函数 f(x)=log2[ax2+(a-1)x+ ] 4 (1)若定义域为 R,求实数 a 的取值范围;(2)若值域为 R,求实数 a 的取值范围.

例 4.试求:(1)满足不等式 2(log2x)2+9log0.5x+9≤0 的 x 的范围; x x (2)当 x 在(1)中求得的范围内变动时,函数 f(x)= log2 ? log2 的最大值和最小值。 2 4

第29 课时 专题一:指数运算与指数函数
第二章 基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
【教学目标】
1.熟练应用指数运算. 2.进一步的理解和掌握指数函数的图象与性质.

·59·

【重点难点】
指数函数的图象与性质.

【教学过程】
一.知识点回顾: 1.①根式的定义: ②0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 2.有理数指数幂运算性质: ① ② ③ ⑴logaMN=_________; 3.指数的图象与性质: 要求在同一坐标系下作出 1 1 y=2x、y=3x、y=( )x、y=( ) x 的图象,并根据图象给出指数函数的性质. 2 3 ①定义域: ②值域: ③性质: ④不同底数的指数函数图像在同一坐标系下的位置关系: ⑵logaM=__________; N ⑶logaMn=_______.

二、例题精讲 例 1.比较 5, 3, 2的大小
5 3

例 2.已知a2+ a- 2=3,求下列各式的值: ①a+a
-1

1

1

②a +a

2

-2



a2- aa2+ a1

3

3 2 1 2

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
a3x+a?3x 例 3.已知 a2x= 2+1,计算 x ?x 的值。 a +a

·60·

例 4.求函数 y=4 +2 +1 的值域. (提示:令 t=2 )

x

x+1

x

例 5.利用函数 f(x)=2x 的图像,作出下列各函数的图像: (1)f(x-1) (2)f(|x|) (3)f(x)-1 (4)-f(x)

(5)|f(x)-1|

2 例 6.(1)已知 f(x)= x +m 是奇函数,求常数 m 的值; 3 -1 (2)画出函数 y=|3x-1|的图像,并利用图像回答: k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解?

第30 课时 专题二:对数与对数函数
【教学目的】
1.熟练应用常用对数值及运算. 2.进一步的理解和掌握对数函数的图象与性质.
第二章 基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
【重点难点】
对数函数的图象与性质.

·61·

【教学过程】
一、知识复习 1.三个对数恒等式: ⑴loga1=_____; ⑵logaa=______; (3) a loga N ? ________. 2.对数三个性质: ⑴logaMN=_________; 3.对数的图象与性质: 要求在同一坐标系下作出 y=log2x、y=log3x、y=log1x
2

⑵logaM=__________; N

⑶logaMn=_______.

y=log1x 的图象,并根据图
3

象给出对数函数的性质. 二、例题精讲 例 1.(1)(lg2)2+lg4·lg50+(lg50)2=___________.

x (1)若 lg(x?y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,求 的值. y

例 2.若 loga2<logb2<0,则( A.0<a<b<1 C.a>b>1

) B.0<b<a<1 D.b>a>1

3+x 例 3.已知函数 f(x)=loga (a>0,a≠1) 3?x (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)解不等式 f(x)≥loga(2x).

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1

·62·

x x 例 4.已知 x?[ 2,8],求函数 f(x)=log2 ?log2 的最大值与最小值. 2 4

【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1
第31 课时 幂函数
【教学目标】

·63·

1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,了解幂函数图象的变化情 况和性质; 2.了解几个常见的幂函数的性质,了解幂函数和指数函数的本质区别; 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力.

【重点难点】
重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 难点:画幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难.

【教学过程】
一、 情景设置 1.①如果正方体的边长为 a,则正方体的体积 V 随 a 变化的函数关系是_______. ②如果正方形的面积为 S,则正方形的边长 a 随 S 变化的函数关系是_______.
1

a=S2 ③如果某人 ts 内骑车行进了 1km,那么他骑车的速度 v 随 t 变化的函数关系是 _______. 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型, ① 你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗? ② 它们是否都为指数函数? 2.你能画出函数 y=x,y=x2,y=x2,y=x?1,y=x3 的图象吗?
1

3.通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定 没有?哪个象限可能有?这时可通过什么途径来判断? 4.通过对以上五个函数图象的观察,你能得出它们的性质吗?
1

(2) y=x,y=x3,y=x?1 是奇函数,y=x2 是偶函数,y=x2是非奇非偶函数; (3)在区间(0,+∞)上,y=x,y=x2, ,y=x3,y=x2都是增函数,y=x?1 是减函数; (4)在第一象限内,y=x?1 向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近; (5)在第一象限内,y=x2, ,y=x3 向下凸,y=x2向上凸. 二、教学精讲 例 1.判断下列函数哪些是幂函数? ①y=0.2x;②y=2x2;③y=x2+x;④y=?x3;⑤y=x?3
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1 1

高中新课标数学教学案?必修 1
例 2.已知 y=(m2)xm ?1+2n?3 是幂函数,求 m,n 的值.
2

·64·

1

? ?m=?3 ?m2+2m?2=1 得?m ?1≠0 解得? 3 为例 3. 求下列幂函数的定义域, 指出其奇偶性、 单调性, ?2n?3=0 ?n=2 ?
并画它们的大致图象. ①y=x3;②y=x?2;③y= x
1

2

?

1 2

例 4.比较下列各组数的大小: ①3
? 5 2

和 3 .1
? 5 2

?

5 2

;②4.1 , 3.8
? 5 2
3

2 5

?

2 3

,(-1.9)
? 2 3
2

3 5

:① 3

> 3 .1

;②(-1.9)5< 3.8

<4.15三、探索研究

四、课堂练习 1 1 1. 若幂函数 y=f(x)的图象过点(9, ),则 f(25)的值是______. 3 5 2. 作出函数 y= x 3. 比较大小 ① 1 .1 , 0 . 9
2 ① 1 .1 < 0 . 9 ? 1 ? 1 2
? 1 2 ? 1 2
? 2 3

的图象,根据图象讨论这个函数有哪些性质.

② 0.16

?

3 4

, 0 .5

?

3 2

3

, 6.258

3 3 3 ? ? 2 4 0 . 5 0 . 16 ②6.258< <

【教学后记】

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

高中新课标数学教学案?必修 1

·65·

第三章
【教学目标】

函数的应用

第32 课时 函数与方程
结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的 零点与方程根的联系。

【重点难点】
①根据二次函数图象与轴的交点的个数判断一元二次方程根的个数; ②函数零点的概念; ③函数的零点与方程根的联系。

【教学过程】
一、情景设置 1.如何判断方程 x2?2x?3=0 根的,个数并求其根? 2.任给一个方程 f(x)=0(不一定是一元二次方程) ,又如何判断其根的个数? 3.什么是函数的零点? 4.函数的零点与方程的根之间有什么关系? 5.怎样判断函数是否有零点? 二、教学精讲 例 1.①已知函数 f(x)=mx2+mx+1 没有零点,求实数 m 的范围。

②已知函数 f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m?1 有两个零点,求实数 m 的范围。

例 2.求函数 f(x)=Inx+2x?6 的零点的个数。

例 3.已知函数 f(x)=|x2?2x?3|?a 分别满足下列条件,求实数 a 的取值范围。 ①函数有两个零点; ②函数有三个零点; ③函数有四个零点。

三、探索研究

第三章

函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
四、课堂练习 ①判断函数 y=|x?1|?2 零点的个数. 1 ②证明函数 f(x)=x+ ?3 在(0,+∞)上恰有两个零点。 x

·66·

1 1 1 1 提示:f( )= ,f(1)=?1,f(3)= ,∴f( )f(1)<0,f(1)f(3)<0, 3 3 3 3 1 ∴函数 f(x)=x+ ?3 在(0,+∞)上有两个零点. x 1 以下只要用单调性定义证明 f(x)=x+ ?3 在(0,1),(1,+∞)上五、本节小结 x

【教学后记】

第三章

函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
第33 课时 函数与方程
【教学目标】

·67·

进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识,总结求方程的根与函数的零点的方 法,探寻其中的规律。

【重点难点】
较复杂的函数零点个数的研究。

【教学过程】
一、情景设置 二、教学精讲 例 1.已知函数 f(x)=x3?3x+4, ①证明函数 y=f(x)在(1,+∞)上为增函数; ②证明方程 f(x)=0 没有大于 1 的根。 例 2.若关于 x 的方程 3x2?5x+a=0 的一根在(?2,0)内,另一个根在(1,3)内,求 a 的取 值范围。 f(?2)>0 ? ? f(0)<0 :画出 f(x)= 3x2?5x+a 的图像,由题意得不等式组:? ?12<a<0. f(1)<0 ? ?f(3)>0 另解: 画出 f(x)= 3x2?5x 和 f(x)=?a 的图象使它们的交点一个在(?2,0)内, 另一个根在 (1,3)内,由图像得?12<a<0. x?2 例 3.已知函数 f(x)=3x+ , x+1 ①判断函数零点的个数; ②找出零点所在区间. x?2 略解:①分别作出 y=3x 与 y= 的图象,观察知,两图象有且只有一个交点. x+1 ②零点所在区间(0,1)

例 4.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有三个零点,分别是 0、1、2,如图, 求证:b<0。 y b f(x)=? x(x?1)(x?2),当 x<0 时, 3
第三章 函数的应用

2 1 ?1 o ?1 x 1 2

高中新课标数学教学案?必修 1
f(x)<0 所以 b<0 方法二:∵f(0)=f(1)=f(2)=0,∴f(x)=ax(x?1)(x?2). 当 x>2 时,f(x)>0 所以 a>0. 比较同次项 系数得 b=?3a,∴b<0.

·68·

三、探索研究 四、课堂练习 ①函数 y=ax2?2bx 的一个零点为 1,求函数 y=bx2?ax 的零点.

②若函数 f(x)=2mx+4 在[?2,1]上存在零点,则实数 m 的取值范围是( 5 A.[? ,4] 2 B.(?∞,?2]∪[1,+∞)

) .

C.[?1,2] D.(?2,1) 2 ③若方程 ax +3x+4a=0 的根都小于 1,求实数 a 的取值范围。 3 讨论 a=0,a≠0.方法一根的分布;方法二韦达定理。0≤a≤ . 4

1 1 1 1 提示:f( )= ,f(1)=?1,f(3)= ,∴f( )f(1)<0,f(1)f(3)<0, 3 3 3 3 1 ∴函数 f(x)=x+ ?3 在(0,+∞)上有两个零点. x 1 以下只要用单调性定义证明 f(x)=x+ ?3 在(0,1),(1,+∞)上分别单调即五、本节小 x 结

【教学后记】

第三章

函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
第34 课时 函数与方程
【教学目标】

·69·

①让学生学会用二分法求方程的近似解,知道二分法是科学的数学方法。 ②了解用二分法求方程的近似解特点,学会用计算器或计算机求方程的近似解,初 步了解算法思想。

【重点难点】
用二分法求方程的近似解。

【教学过程】
一、情景设置 ①有 12 个小球,质量均匀,只有一个球是比别的球重,你用天平称几次可以找出这 个球,要求次数越少越好。 ②我们通过前面知道,函数 f(x)=Inx+2x?6 在区间(2,3)内有零点,进一步的问题是, 如何找出这个零点的近似解。 ③什么叫二分法?见课本 ④用二分法求函数零点的近似值的步骤是什么?见课本 二、教学精讲 例 1.见课本 90 页例 2 例 2.借助计算机或计算器用二分法求方程 Inx+x?3=0 的近似值(精确到 0.1)

注:两种精确度的把握: 1. 方程的近似解的精确度为ε ,指所得到的满足|a?b|<ε 的解值区间(a,b)内所有值 都可作为方程的近似值,这样的近似值有无穷多个; 2. 方程的近似解精确到ε , 是指所得到的解值区间(a,b)的 a 和 b 精确到ε 的值都相 同,且该值就是方程的惟一的近似值,但注意该值有可能不在该区间内. 三、探索研究 四、课堂练习 ①见课本 92 页习题第 4 题。

②求函数 f(x)=3x+

x? 2 在区间(0,1)内的零点(精确到 0.1). x+1
第三章 函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
(x)=3x+ x?2 在区间(0,1)内的零点是 0.3。 x+1

·70·

【教学后记】

第三章

函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
第35 课时 函数模型及其应用
【教学目标】

·71·

①借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数 的增长差异。 ②恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些 实际问题。

【重点难点】
重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、 指数爆炸与对数增长的不同。 难点:应用函数模型解决一些实际问题。

【教学过程】
一、情景设置 ①一张纸的厚度大约为 0.01cm,一块砖的厚度大约为 10cm,请同学们计算将一张 纸对折 n 次的厚度和 n 块砖的厚度,列出函数关系式,并计算 n=20 时它们的厚度。你的 直觉与结果一致吗?

②在同一坐标系中作出 y=log2x,y=2x,y= x2 的图象。

③请在图象上分别标出使不等式 log2x<2x< x2 和 log2x< x2<2x 成立的自变量的取值范 围。

④由以上问题你能得出怎样结论?

⑤你能得出更一般的结论吗? 二、教学精讲 例 1.见课本 104 页练习第 1 题。 例 2.见课本 97 页例 2。
第三章 函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1

·72·

三、探索研究 四、课堂练习 (1)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示,假设其关系为 指数函数,并给出下列说法: ①此指数函数的底数为 2; ②在第 5 个月时,野生水葫芦的面积就会超过 30cm2; ③野生水葫芦从 4cm2 蔓延到 12cm2 只需 1.5 个月; ④设野生水葫芦蔓延到 2m2、3m2、6m2 所需的时间分别为 t1、t2、t3,则有 t1+t2=t3; ⑤野生水葫芦在第 1 期到第 3 个月之间蔓延的平均速度等于在第 2 到第 4 个月之间 蔓延的平均速度。 y 面积/m2 哪些说法是正确的? 16 解:①说法正确。∵关系为指数函数 ∴可设 y=ax(a>0,a≠1).∴a1=2∴a=2 8 ②说法正确∵25=32>30 4 ③∵4=2x,x=2; 12=2x,x=log212≈3.6 3.6?2>1.5 2 时间/月 1 ∴说法不正确 o x 1 2 3 4 ④∵t1=1,t2=log23,t3=log26∴说法正确 ⑤∵指数函数增加速度越来越快 ∴说法不正确

(2)某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么它会在下一轮 病毒发作时传播一次病毒,并感 染其它 20 台计算机.现有 10 台计算机被第一轮病毒感染,问被 第 5 轮病毒 感染的计算机有多少台?

第三章

函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
第36 课时 函数模型及其应用
【教学目标】

·73·

①培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力,即根据实际问题进行信息综合 列出函数解析式。 ②会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论,并根据数学结论解决 实际问题。

【重点难点】
根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型,并根据数学模 型解决实际问题。

【教学过程】
一、情景设置 二、教学精讲 例 1.①我市有甲乙两家乒乓球队俱乐部,两家设备和服务都好,但收费方式不同,甲 家每张球台每小时 5 元;乙家接月计算,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张 球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. 设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展 活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x).

②A、B 两城相距 100km,在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核电站给 A、B 两 城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得少于 10km,已知供电费与供电距离的 平方和供电量之积成正比,比例系数 λ=0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城为 10 亿 度/月,把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域.

③分析以上实例属于哪种函数模型.

第三章

函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
答案: ①f(x)=5x(15≤x≤40) 15≤x≤30 ?90 g(x)=? ?2x+90 30<x≤40 5 ②y=5x2+ (100?x)2(10≤x≤90) 2 ③分别属于一次函数模型,二次函数模型,分段函数模型。 例 2.课本例 6

·74·

例 3.课本习题 3.2A 组 6 题.

三、探索研究 四、课堂练习 1. 课本 106 页练习第 2 题 2. 东方旅社有 100 张普通客床,若每床每夜收租费 10 元时,客床可以全部租出; 若每床每夜收费提高 2 元,便减少 10 张客床租出;若再提高 2 元,便再减少 10 张客床租出.依此情况变化下去,为了投资少而获租金最多,每床每夜应提高租 金多少元? 题意有: 5 y=(10+2x)(100?10x)=?20(x? )2+1125. 2 ∵x∈N,x=2 或 3 时,ymax=1120 当 x=2 时,需租出床 80 张;当 x=3 时,需租出床 70 张,∴x=3 时的投资小于 x=2 时的投资.

小结:函数应用题的解法
(1) 阅读、审题:要做到简缩问题,删掉次要语句,深入理解关键字句,同时,最好 用表格或图形处理数据,便于寻找数量关系; (2) 建模:将问题简单化、符号化,尽量借鉴标准形式,建立数学关系式; (3) 合理求解纯数学问题; (4) 解释并回答数学问题.

【教学后记】

第三章

函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
第37 课时 函数模型及其应用
【教学目标】
函数模型及其进一步的应用

·75·

【重点难点】
恰当选择数学模型解决实际问题

【教学过程】
一、情景设置 二、教学精讲 例 1.课本习题 3.2A 组第 4 题 例 2.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产一台,需 要增加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的 x2 收入函数为 R(x)=5x? (0≤x≤5)(单位:万元),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2 (1) 把利润表示为年产量的函数; (2) 年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3) 年产量是多少时,工厂才不亏本? 解:(1)利润

??0.5+4.75x?x 0≤x≤5 2 y=R(x)?C(x)(固定成本+可变成本)=? ?12?0.25x x>5

2

x2 1 1 (2)若 0≤x≤5,则 y=?0.5+4.75x? =? (x?4.75)2+ ?4.752?0.5, 2 2 2 ∴当 x=5 时,y 有最大值 10.75; 若 x>5,则 y=12?0.25x 是减函数,∴当 x=6 时,y 有最大值 10.50. 综上可得,年产量为 500 台时,工厂所得利润最大. x2 (4) 当 0≤x≤5 时,由 y≥0,即?0.5+4.75x? ≥0,解得 0<x≤5,x∈Z; 2 当 x>5 时,y≥0,即 12?0.25x≥0,解得 5<x≤48. 综上可得,当年产量 x 满足 1≤x≤48,x∈Z 时,工厂不亏本. 例 3.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量使用,据检测,服药后每 毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间近似值满足如图所示曲线. y (微克) (1) 写出服药后 y 与 t 之间的函数关系; 6 (2) 据测定,每毫升血液中的含药量不少于 4 微克时 治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药时间为 7:00,第二次应在什么时间服药效果最佳? 解:由题意得,当 0≤t<0.5 时,y=6; 8 t (小时) o 0.5 当 0.5≤t≤8 时,函数图象是直线,则可设 y=kx+b(k≠0).

第三章

函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
?6=0.5k+b 由图象得? ,解得 ?0=8k+b

·76·

?k=?5 4 32 ? 32 ,即此时 y=?5t+ 5 . ?b= 5

4

0≤t<0.5 ?6 4 32 综上所得,y 与 t 之间的函数关系为 y=? . ??5t+ 5 0.5≤t≤8 4 32 (2)设在第一次服药 t1 小时后第二次服药,则? t1+ =4,解得 t1=3,即第二次服药应 5 5 在 10:00. 三、探索研究 四、课堂练习 1. 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品, 经过市场调查发现, 如果月初出售, 可获利 15%,并可用本和利再投资其它商品,到月末又可获利 10%;如果月末出售,可 获利 30%,但要付出仓储费用 700 元,请根据商场情况,如何购销获利较多? 解:设商场投资 x 元,在月初出售,到月末可获 y1 元,在月末出售,可获利 y2 元,则 y1=15%+10%(x+15%x)=0.265x,y2=0.3x?700. 当 x>20000 时,y2>y1;当 x=20000 时,y2y1;当 x<20000 时,y2<y1. ∴当投资小于 20000 时,月初出售;当投资等于 20000 时,月初、月末出售均可; 当投资大于 20000 时,月末出售. 2.光线通过一块玻璃,其强度要损失 10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线 原来的强度为 k,通过 x 块玻璃后强度为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; 1 (2) 通过 多少块玻璃后,光线减弱到原来的 以下?(lg3≈0.4771) 3 解:(1)y=0.9xk(x∈N*) k 1 1 (2)由题意:0.9xk< ,∴0.9x< ,两边取对数,xlg0.9 <lg .∵lg0.9 <0, 3 3 3 1 3 lg3 1 ∴x> = ≈10.4,∴xmin=11.∴通过 11 块玻璃后光线强度减弱到原来的 以下 lg0.9 1?2lg3 3 lg

小结:建立数学模型的要领可概括为: (1) 收集数据,画图提出假设; (2) 依据图表,理顺数量关系; (3) 抓住关键,建立函数模型; (4) 精确计算,求解数学问题; (5) 回到实际,检验问题结果. 【教学后记】
第三章 函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1
第38 课时 第三章小结复习
【知识建构】
定义 函数的零点 求法 函数与方程 函数的应用 函数模型及其应用 函数模型的应用举例 几种不同增长的函数模型 解方程 f(x)=0 方程 f(x)=0 的根叫函数 f(x)的零点 二分法

·77·

每次一分为二逐步逼近的方法 y=logax(a>1) y=x (n>0) y=ax(a>1) y=kx(k>0)
n

越来越慢

较快 爆炸式 稳定

【教学目标】

实际问题的函数刻划 用函数的观点看实际问题 的 用函数模型解决问题 认定函数关系 ,通过研究函数性质解决问题 函数建模案例 用数学思想方法、知识解决实际问题的过程 的观点看实际问题的

1. 理解方程的根与函数零点的关系,会用二分法求函数零点; 2. 巩固常见函数模型的应用.

【教学过程】
一、情景设置 二、教学精讲 例2. 已知 m∈R,设 P:x1 和 x2 是方程 x2?ax?2=0 的两个根,不等式|m?5|≤|x1?x2|对 4 任意实数 a∈[1,2]恒成立;Q:函数 f(x)=3x2+2mx+m+ 有两个不同的零点,求使 P 和 Q 3 同时成立的实数 m 的取值范围. 解:由题意知 x1+x2=a,x1x2=?2,∴| x1?x2|= (x1+x2)2?4 x1x2= a2+8. 当 a∈[1,2]时, a2+8的最小值为 3,∴只需|m?5|≤3,即 2≤m≤8. 4 4 由已知得 Q 中, f(x)=3x2+2mx+m+ 的判别式△=4m2?12(m+ )>0, ∴m<?1 或 m>4. 3 3
?2≤m≤8 综上,要使 P 和 Q 同时成立,只需? ,解得 m∈(4,8] ?m<?1或m>4

x? 2 例3. 已知函数 f(x)=3x+ . x+1 (1) 判断函数零点的个数; (2) 找出零点所在区间. x? 2 x?2 解:(1)在同一坐标系中分别画出 g(x)=3x,h(x)= 的图象,由图象知,f(x)=3x+ 只 x+1 x+1 有一个零点. (3) 因为 f(0)=?1,f(1)=2.5,∴零点 x∈(0,1). 例4. 设函数 f(x)=x3+3x?5,其图象在(?∞,+∞)上是连续不断的.
第三章 函数的应用

高中新课标数学教学案?必修 1

·78·

(1) 求值:f(0)=____,f(1)=____,f(2)=____,f(3)=____,所以 f(x)在区间_______内存 在零点 x0; (2) 用二分法求方程 f(x)=0 的近似解(精确度 0.1).

例5. 某自来水厂的有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池又向 居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为 120 6t吨,其中 0≤t≤24. (2) 从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最小水量是多少? 若蓄水池中的水量少于 80 吨时,就全出现供水紧张现象,请问,在一天 24 小时内,有 几小时出现供水紧张现象?: 设供水 t 小时, 水池中存水 y 吨, 则 y=400+60t?120 6t =60( t? 6)2+40(0≤t≤24),当 t=6 时,ymax=40 吨,故从供水开始到第 6 小时, 蓄水池中的存水量最少,?最小存水为 40 吨.

?60( t? 6)2+40<80 8 32 32 8 依条件知? ,解得 <t< , ? =8, 3 3 3 3 ? 0≤t≤24

故一天 24 小时内有 8 小时出现供水紧张. 三、探索研究 四、课堂练习 1. 若函数 f(x)满足 f(3?x)=f(3+x),且函数 f(x)有 6 个零点,求所有零点的和.

2.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(a,b)(b?a=0.1)上有唯一零点,如果用“二分 法” 求这个零点(精确度 0.0001), 的近似值, 那么将区间(a,b)等分的次数至少是_______.

【教学后记】

第三章

函数的应用


相关文章:
新人教版高中数学必修1教案全套
人教版高中数学必修1教案全套_数学_高中教育_教育专区。1.1.1 集合的含义与表示 教学目的: 要求学生初步理解集合的概念, 理解元素与集合间的关系, 掌握集合的...
人教A版高中数学必修1全套教案
人教A版高中数学必修1全套教案_高一数学_数学_高中教育...(宣 2 布课题) 六、新课教学 (一) 集合与集合...你对三种方 案分别表现出的回报资金的增长差异有...
高中数学人教版必修1全套教案
高中数学人教版必修1全套教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版必修1全套教案 第一章 集合与函数 §1.1.1 集合的含义与表示一. 教学目标: l....
人教版高中数学必修一教案1
人教版高中数学必修一教案1_高一数学_数学_高中教育...(宣第 2 页共 54 页 布课题) 六、新课教学 (...你对三种方 案分别表现出的回报资金的增长差异有...
人教版高一必修1数学教案:精品全套
人教版高一必修1数学教案:精品全套_数学_高中教育_教育专区。人教版高中数学必修 1 精品教案(整套) 课题:集合的含义与表示(1) 课型:新授课 教学目标: (1) ...
新课标人教版高中数学必修1学案全套
新课标人教版高中数学必修1学案全套_数学_高中教育_教育专区。第一章 第一部分 集 合 1 、1、1 集合的含义 走进预习 【预习】教材第 3-5 页 1、查阅大...
新课标人教版高中数学必修1优秀教案全套
新课标人教版高中数学必修1优秀教案全套_高一数学_数学_高中教育_教育专区。新课标...答案:{6}. (设计者:张新军) 设计方案(二) 教学过程 导入新课 思路 1.在...
人教版高中数学必修1第一章教案
人教版数学必修一习题 52页 免费 高中数学必修一集合...​必​修​1​第​一​章​教​案...教学总结精品范文 小学五年级英语教学工作总结 大学教师...
人教版高中数学必修1子集教案
人教版高中数学必修1子集教案_数学_高中教育_教育专区。一 集 合(§1.2.1 子集、全集、补集) 教学时间 : 第一课时 课题: §1.2.1 子集 教学目标: 1....
人教版2017年秋高中数学必修1教学案全册
人教版2017年秋高中数学必修1教学案全册_数学_高中教育_教育专区。人教版2017年秋高中数学必修1教学案全册 【人教版】2017 年秋高中数学必修 1 教学案 第一章 ...
更多相关标签: