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2016吕梁职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 吕梁职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? a ? 0},且 1 ? A ,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??,1? B. ?1, ?

? ? C. ?0, ??? D. (??,1) ) )

2.若函数 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ? x2 ( x ? 0) ,则 f (4) 等于( A. 2 B. ?2 C. ?4 D. 16

3.在等差数列 {an } 中, a3 ? a5 ? 2a10 ? 4 ,则此数列的前 13 项的和等于( A.13 B.26 C.8 D.16 )



4.不等式 log2 |1 ? x |? 0 的解集为( A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 2且x ? 1} 5.函数 y ?

B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} )

1 ? x 的图象只可能是( x

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6.已知正三棱锥中,一条侧棱与底面所成的角为 60 ? ,则一个侧面与底面所成的角为 ( ) B.120? C. arctan

A. 30 ?

3 2
2

D. arctan 2 3 )

7.在 x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 的展开式中,含 x 项的系数是是( A. 11 B. ?11 C. 6 D. 0

8.某市有 6 名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教,每人只能去一个 镇,则恰好其中一镇去 4 名,另两镇各一名的概率为( A. )

20 81

B.

10 81

C.

5 243

D.

10 243

9.过圆 x2 ? y 2 ? 1 上一点 P 作切线与 x 轴, y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点,则 | AB | 的最小值为( A. 2 ) C. 2 D. 3

B. 3

10.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? a ,若 f ( x ? 1) 是奇函数,则曲线 y ? f ( x) 在点 (0, a ) 处的切线方程是( A. x ? 0 ) C. y ? 2 D. y ? 4

B. x ? 2

2 11.设动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? 2sin (

?
4

? x) 和 g ( x) ? 3 cos 2x 的图象分别交于
) D. 3

M 、 N 两点,则 | MN | 的最大值为(
A. 2 12.双曲线 C1 : B. 3 C. 2

x2 y 2 ? ? 1 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F1 、 F2 ,抛物线 C2 a 2 b2 的准线为 l ,焦点为 F2 , C1 与 C2 的一个交点为 P ,线段 PF2 的中点为 M , O 是 | OF1 | | OM | ? ?( ) 坐标原点,则 | PF1 | | PF2 |
B. 1 C. ?

A. ?1

1 2

D.

1 2

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第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
2 13.若方程 x ? 2 x ? m ? 0 的一个根大于 2 且小于 3,则 m 的取值范围是.

O 的表面上,则 A , A1 14.若棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的八个顶点都在球
两点之间的球面距离为. 15.某工厂的库房有 A、B、C、D 四类产品,它们的数量依次成等成数列,共计 3000 件。现采用分层抽样方法从中抽取 150 件进行质量检测,其中 B、D 两类产品抽 取的总数为 100 件,则原库房中 A 类产品有件. 16.给出以下四个命题: ①曲线 y ? 2x2 的焦点坐标是 ( , 0) ; ②函数 y ?

1 2

x ?1 3 1 的图象的对称中心是 ( , ) ; 2x ? 3 2 2

③函数 y ? 3x ? 3? x ( x ? 0) 的最小值为 2; ④函数 y ? tan(2 x ?

?
6

) 的定义域是 {x ? R | x ?

k? ? ? , k ? Z} . 2 6

则正确命题的序号是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 某学校为了了解学生课外阅读情况, 随机调查了 50 名学生,得到他们在 某一天各自课外阅读所用时间量的数 据,结果如右图(条形图)所示.

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(Ⅰ)求这 50 名学生该天平均每人的课 外阅读时间是多少小时? (Ⅱ)从这 50 名学生中任选 2 名,求他们 该天阅读时间量互不相同的概率.

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? 2 , AC ? 2 AB ? 3 ? 1. (Ⅰ)求 AB ? AC ; (11)设 BP ? (1 ? ? ) BA ? ? BC(? ? 0) ,当 ?ABP 的面积为

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

3 ?1 时,求 ? 的值. 4

19.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 120 ? , PA ? 2 ,

PB ? PC ? PD , E 是 PB 的中点.
(Ⅰ)证明: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? B 的大小.

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20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? a . 3

(I)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)对任意的 x ?[a,3a](a ? 0) , f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 2 , a2 ? 8 , an?2 ? 4an?1 ? 4an (n ? N * ) . (Ⅰ)证明:数列 {an?1 ? 2an } 是等比数列; (Ⅱ) 求数列 {an } 的通项公式。

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22.(本小题满分 12 分) 已知两点 M 和 N 分别在直线 y ? mx 和 y ? ? mx (m ? 0) 上运动,且 | MN |? 2 ,动 点 P 满足: 2OP ? OM ? ON ( O 为坐标原点),点 P 的轨迹记为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论曲线 C 的类型; (Ⅱ)过点 (0,1) 作直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A 、 B ,若对于任意 m ? 1 ,都有

??? ?

???? ? ????

?AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.A 7. A 2. B 8. B 3. A 9. A 4. C 10. C 5.A 11.D 6.D 12.C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 8 ? m ? 15 14. 15. 200

3 1 arc cos 2 3

16.②,④

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本题 10 分) 解:(Ⅰ)该天平均每人的课外阅读时间为

0.5 ? 20 ? 1?10 ? 1.5 ?15 ? 2 ? 5 ? 1.05 (小时) 50
答:这一天平均每人的课外阅读时间为 1.05 小时.………………………4 分 (Ⅱ) 记这 2 名学生该天阅读时间量互不相同为事件 A .

P( A) ?

2 2 2 C20 ? C15 ? C10 ? C52 2 ? ,……………………………7 分 2 C50 7

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

2 5 ? .…………………………………9 分 7 7 5 .…………………10 分 7

答: 这 2 名学生该天阅读时间量互不相同的概率为 18.(本题 12 分) 解: (Ⅰ) 由余弦定理知:

cos A ?

2 ? ( 3 ? 1)2 ? 4 2 ? , ……………………………3 分 2 2 2( 3 ? 1)

??? ? ???? ??? ? ???? ? 2 ? 3 ? 1. ……………6 分 ,? AB ? AC ? AB ? AC cos A ? 2( 3 ? 1) ? 4 2 ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)? BP ? (1 ? ? ) BA ? ? BC,
则A?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BP ? BA ? ? (BC ? BA), ??? ? ??? ? ? AP ? ? AC(? ? 0) ,即 A、P、C 共线. ………………………8 分
S? ABP ? 1 1 2 3 ?1 AB ? AP sin A ? ( 3 ? 1) ? AP ? ? . ……………10 分 2 2 2 4

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? AP ?
2 , 又? AC ? 2 , 2

1 ? ? ? . …………………………………12 分 2
19.(本题 12 分) (Ⅰ)取 BC 的中点 M ,连结 PM , AM .

? 四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 1200 ,
则 BC ? AM , BC ? PM . ……………3 分

? BC ? 平面APM, 从而BC ? PA .
同理 DC ? PA . 故 PA ? 平面ABCD .………………………6 分 (或用同一法可证) (Ⅱ)取 AB 的中点 H ,过 H 作 HN ? AC 于点 N ,连结 EN . P E A N D C H B

? EH ? 平面ABCD , ? ?ENH 是二面角 E ? AC ? B 的平面角,………9 分
2 3 可求得 ?ENH ? arctan . 3
故二面角 E ? AC ? B 的大小为 arctan 20. (本题 12 分)

2 3 .………………………12 分 3

(Ⅰ) f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,令 f '( x) ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 ……………2 分 当 x >3或x ? ?1时, f '( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1),(3, ??) …………………………4 分 (Ⅱ)(ⅰ)当 a ? 3 时, [a,3a] ? [3, ??) ,

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? f ( x) 在 [a,3a] 上递增,
要满足条件,只需 f (a) ? 0 ,解得 a ? 3 .……………………6 分 (ⅱ)当 1 ? a ? 3 时, 3 ?[a,3a] ,

? f ( x) 在 (?1,3) 上是递减函数,在 (3, ??) 上是递增函数。

f ( x)min ? f (3) ? 3a ? 9 ? 0 ,
a ? 3 与已知 1 ? a ? 3 矛盾, 无解.…………………8 分
(ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, [a,3a] ? (?1,3)

? f ( x) 在 (?1,3) 上是减函数,? f ( x) 在 [a,3a] 上是减函数.
3 2 要使 f ( x) ? 0 恒成立,只需 f (3a) ? 0 ,即 9a ? 9a ? 9a ? 3a ? 0

3a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,得 a ?

3 ? 33 3 ? 33 或a ? . 6 6

与 0 ? a ? 1 矛盾,无解.…………………………10 分 综上所述,满足条件的 a 取值范围是 [3, ??) .……………………12 分 (另解:由题意可得 f (a) ? 0, 得 a ? 3 ,故只有上述第一种情况符合条件.) 21.(本题 12 分) (Ⅰ)由等式 an?2 ? 4an?1 ? 4an , 变形得 an?2 ? 2an?1 ? ( 2 an?1 ? 2an ) ,……………………3 分

? a2 ? 2a1 ? 4 ? 0 ,从而 an?1 ? 2an ? 0 .
∴数列{an+1-2an}是以 2 为公比,以 4 为首项的等比数列. …………………6 分
n?1 n?1 (Ⅱ) an?1 ? 2an ? 4 ? 2 ? 2 .



an ?1 an a ? n ?1 , 且 1 ?1 n ?1 2 2 2 .

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∴数列{ ∴

an }是首项为 1,公差为 1 的等差数列. …………………9 分 2n

an =1+(n-1)×1=n, 2n
…………………………12 分

n ∴ a n ? n ? 2 (n ? N * ) .

22.(本题 12 分) (I)由 2OP ? OM ? ON ,得 P 是 MN 的中点. …………………2 分 设 P( x, y), M ( x1 , mx 1 ), N ( x 2 ,?mx 2 ) 依题意得:

??? ?

???? ? ????

? x1 ? x2 ? 2 x, ? ?mx1 ? mx2 ? 2 y, ? 2 2 2 ?( x1 ? x2 ) ? (mx1 ? mx2 ) ? 2 .
消去 x1 , x 2 ,整理得

x2 y2 ? 2 ? 1 .…………………4 分 1 m 2 m

当 m ? 1 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆; 当 0 ? m ? 1 时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m ? 1 时,方程表示圆. …………………5 分

(II)由 m ? 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆,直线 l 与曲线 C 恒有两交点, 因为直线斜率不存在时不符合题意, 可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? y ? kx ? 1; ? ? x2 4 2 2 2 y2 ? ? 2 ? 1 ? (m ? k ) x ? 2kx ? 1 ? m ? 0. …………………7 分 ? 1 m ? ? m2
x1 ? x2 ? ? 2k 1 ? m2 , x x ? . 1 2 m4 ? k 2 m4 ? k 2

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k 2 (1 ? m2 ) ?2k 2 ? ? 1. m4 ? k 2 m4 ? k 2 ??? ? ??? ? 要使 ?AOB 为锐角,则有 OA ? OB ? 0. …………………9 分 y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? m4 ? (k 2 ? 1)m2 ? 1 ? 0, m4 ? k 2

即 m4 ? (k 2 ? 1)m2 ? 1 ? 0 ,
2 可得 m ?

1 ? k 2 ? 1 ,对于任意 m ? 1 恒成立. 2 m

2 而m ?

1 ? 2 ,?k 2 ? 1 ? 2 , ?1 ? k ? 1. m2

所以满足条件的 k 的取值范围是 [?1,1] .…………………12 分


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