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2014年高三数学二轮复习 极坐标及其参数方程


2014 年高三数学二轮复习 第 21 讲 坐标系与参数方程

1 . [2011· 新课标全国卷改编 ] 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ① ?x=2cos α, → =2OM → ,则 P 点轨 ? (α 为参数) ,M 是曲线 C1 上的动点,P 点满足OP ?y=2+2sin α 迹的参数方程是________. ? 直角坐标系中的伸缩变换 关键词:伸缩变换、坐标变换,如①. 2.[2012· 江西卷] 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,则 曲线C的极坐标方程② 为________. ? 直角坐标、极坐标互化 关键词:直角坐标、极坐标、互化公式,如②. 3.[2012· 上海卷] 如图 9-21-1 所示,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与 π 极轴的夹角 α= 6 , 若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式③ ,则 f(θ)=________.

图 9-21-1 ? 曲线的极坐标方程 关键词:极坐标系、直线的极坐标方程、曲线的极坐标方程,如③. ④ ?x=t, 4.[2013· 湖南卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:? (t 为参数) 过 ?y=t-a ?x=3cos φ , 椭圆 C:? (φ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. ?y=2sin φ ? 直线的参数方程 关键词:直线方程、参数,如④. 5.[2013· 陕西卷] 如图 9-21-2 所示,以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数,则 圆x2+y2-x=0的参数方程⑤ 为________. ? 曲线的参数方程 关键词:曲线、参数方程,如⑤. ?x=2+t, ?x=3cos α , 6. [2012· 北京卷] 直线? (t 为参数)与曲线? (α 为参数)的交点 ?y=-1-t ?y=3sin α


个数为________. ? 参数方程化为普通方程 关键词:参数方程、普通方程、相互转化,如⑥.
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? 考向一 极坐标系与简单曲线的极坐标方程 考向:求点的极坐标、曲线的极坐标方程,把直角坐标化为极坐标、极坐标化为 直角坐标. 考例:2011 年 T23、2012 年 T23、2013 年卷ⅠT23,近五年新课标全国卷共考查 了 3 次. ?x=cos φ , 例 1 已知圆 C1 的参数方程为? (φ 为参数),以坐标原点 O 为极点,x ?y=sin φ π? ? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=2cos?θ + ?. 3? ? (1)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)圆 C1,C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

小结:在解决以极坐标的形式给出的直线、曲线的综合问题时,把它们化为直角 坐标方程后使用直角坐标方法解决是一种重要解题思路. ? 考向二 简单曲线的参数方程 考向:求曲线的参数方程,化参数方程为普通方程,参数方程的应用. 考例:2009 年 T23、2010 年 T23、2013 年卷ⅡT23,近五年新课标全国卷共考查 了 3 次. ?x=1+tcos α , ?x=cos θ , ? ? 例 2 已知直线 C1: (t 为参数), 曲线 C2: (θ 为参数). ?y=tsin α ?y=sin θ π (1)当 α= 3 时,求直线 C1 与曲线 C2 的交点坐标; (2)过坐标原点 O 作直线 C1 的垂线,垂足为点 A,P 为 OA 中点,当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

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小结: 求以参数形式给出的两条曲线的交点坐标时, 一般把它们化为普通方程. 求 曲线的参数方程就是使用一个参数表达动点的坐标.注意运用三角函数的知识化曲线 参数方程为普通方程. ? 考向三 极坐标与参数方程的综合 考向:极坐标方程与参数方程交汇考查是坐标系与参数方程试题的基本考查方式. 考例:2011 年 T23、2012 年 T23、2013 年卷ⅠT23,近五年新课标全国卷共考查 了 3 次. 例 3 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 3cos θ -2sin θ ,点 A 的极坐 标为( 3,2π ),把极点作为平面直角坐标系的原点,极轴作为 x 轴的正半轴,并在两 种坐标系中取相同的长度单位. (1)求圆 C 在直角坐标系中的标准方程; (2)设 P 为圆 C 上任意一点,圆心 C 为线段 AB 的中点,求|PA|+|PB|的最大值. 小结:曲线的极坐标方程、参数方程在解决一些与距离有关的问题时显得非常的 方便.在求曲线上的点到点的距离、点到直线的距离的最值问题中使用参数方程更为 有效.

变式题 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(-1,0),其倾斜角为 α,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标 系.设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-6ρcos θ +5=0. (1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 α 的取值范围; (2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.

[变换与运算] 1.数学中绝大多数内容实质就是变换,把问题从一个方面变换为另一个方面,达 到便于解决问题的目的,这也是化归与转化思想的体现. 2.坐标之间的变换涉及的内容很广泛,其中直角坐标与极坐标互化、参数方程与 普通方程互化就是两个重要内容.在解决解析几何问题时,有时直角坐标方程显得方 便,有时极坐标方程、参数方程显得方便.在进行运算时能够根据不同的问题选用合 理的方程是运算能力的表现. 示例 设圆 C 的极坐标方程为ρ =2,以极点为直角坐标系的原点,极轴为 x 轴正 半轴,两坐标系长度单位一致,建立平面直角坐标系.过圆 C 上的一点 M(m,s)作垂 → =OM → +ON →. 直于 x 轴的直线 l:x=m,设 l 与 x 轴交于点 N,向量OQ (1)求动点 Q 的轨迹方程; → (2)设点 R(1,0),求|RQ|的最小值.

小结:本题(2)是求椭圆上的点到一个定点的距离的最值问题,使用普通方程的方 法也能解决,但使用椭圆的参数方程问题就归结为三角函数的最值问题,解决起来相 对方便. 踪练 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为
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?x= 3cos α , ? (α 为参数). ?y=sin α (1)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x π? ? 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4, ?,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2? ? (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

[备选理由] 下面两题均是参数方程与极坐标方程的综合,这是高考考查该考点的 主要形式,可在本讲结束时选用. ?x=-2-3t, 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 它与曲线 C: ?y=2-4t, (y-2)2-x2=1 交于 A,B 两点. (1)求|AB|的长; 3π ? ? (2)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 设点 P 的极坐标为?2 2, ?, 4 ? ? 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离.

例 2 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 3 ? ?x=-2+ 2 t, 线 C 的方程为 ρ=4cos θ,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 与曲 1 ? ?y=2t 线 C 的公共点为 T. (1)求点 T 的极坐标; (2)过点 T 作直线 l′,l′被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l′的极坐标方程.

例 3.(直线参数 t 的意义)直角坐标系中,直线 l 过点 P(2,1) ,倾斜角为 极点, x 正半轴为极轴建立坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ?
2

? ,以 O 为 4

12 (1) 4 sin ? ? 3 cos 2 ?

求直线的参数方程和曲线的普通方程; (2) 设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点, 求 PA ? PB 的值。

?x ? 2 ? t 探究:还有那些拓展?若直线方程为 ? 后,如何处理? ?y ? 1? t

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