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2014年河南省开封高考押题卷理科数学


开封高中 2014 届高考理科数学押题卷
命题人:张文伟 审题人: ( ) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分) (1)集合 A ? { y ? R | y ? 2 x } , B ? {?1, 0,1} ,则下列结论正确的是 A. A ? B ? {0,1} B. A ? B ? (0, ??) C. (CR A) ? B ? (??, 0) D.

(CR A) ? B ? {?1, 0}

(9) 在区间 [0,1] 上随机取一个数 x ,则事件“ cos A.

?x
2

?

1 ”发生的概率为( 2



1 6

B.

1 2

C.
2

1 3

D.

2 3

(10) 设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0),若关于 x 的不等式 f(x-1)≥0 的解集为[0,1],则 关于 x 的不等式 f(x+1)≤0 的解集为( A.[2,3] ) C.[-2,-1] D.(-∞,-2]∪[-1,+∞)

?4 x ? y ? 9 ? 0, ? ?x ? y ? 1 ? 0 (2)已知实数 x、y 满足 ? ,则 x-3y 的最大值是 ( ?y ? 3
A.-1 B.0 C.1
2

B.(-∞,2]∪[3,+∞)



(11)给出命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l , m 是不同的直线, ? 是一个平面,若 l ? ? , l ∥ m ,则 m ? ? ; ) (3)已知 ? , ? 表示两个不同平面, m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的 充要条件; (4) a, b 是两条异面直线, P 为空间一点, 过 P 总可以作一个平面与 a, b 之一垂直,与另一个 平行。其中正确命题个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12、f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,对 x∈R 恒 成立,若 x1,x2,x3∈R,且 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则 f(x1) g (x1)+f(x2) g (x2)+ x
开 始

D.2

(3)若复数 z 满足|z| +2|z|-15=0,则 z 在复平面内对应点的轨迹图形的面积等于( A.9π B.3π C.25π D.5π

(4)已知 a , b 为非零向量,“函数 f ( x) ? (ax ? b) 为偶函数”是“ a ? b ”的 y (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 1 ? (5)已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ) 且此函数
2

? ?

?

?

?

?

的图象如图所示,则点 P(? , ? ) 的坐标是 A. (2,

2

f(x3) g (x3)的值 (
A.一定大于零

) B.一定小于零 C.等于零 D.不能确定

O 3π

?
2

)

B. (2,

?
4

)

C. (4,

?
2

)

D. (4,

?
4

-1

8

7π 8

)

t ?1
始 k ?1

(6)如果执行右面的程序框图,那么输出的 t ? ( A.96 B.120 C.144 D.300



二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)某工厂经过技术改造后,生产某种产品的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤) 有如 下几组样本数据: x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 根据相关性检验,这种样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率 为 0.7,那么这组样本数据的回归直线方程是________________.

1 1 1 1 (7) 已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- + - +?+ = 2 3 4 n-1 2( 1 1 1 + +?+ )时,若已假设 n=k(k≥2 为偶数)时命题为真,则 n+2 n+4 2n )

t=1

t ? 90 ?




还需要用归纳假设再证(

t ? t ?t ?k
k ? k ?1

输出

t

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , e为 a 2 b2 双曲线的离心率,P 是双曲线右支上的点, ?PF1 F2 的内切圆的圆心为
(14) 已知双曲线

A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 1 1 1 (8)设 x,y,z∈(0,+∞),a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c

结束 第 6 题图

I,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B,则 OB=

.

第 15 题

y

z

x

(15)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为_______. (16) f ( x) ? sin(? x ? ) cos(? x ? ) ,则

三数(

) B.都小于 2 D.都大于 2

2 3

2 3

?

2014

0

f ( x)dx ? _______

A.至少有一个不小于 2 C.至少有一个不大于 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)已知 ?a n ?是等差数列, ?bn ? 是等比数列, S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,
1

a1 ? b1 ? 1 ,且 b3 s3 ? 36 , b2 s 2 ? 8 ?n ? N ? ? .
(1)求 a n 和 bn ; (2)若 a n ? a n ?1 ,求数列 {

(1)如果存在 x1,x2∈[0,2]使得 g(x1)-g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M;

1 } 的前 n 项和 Tn . a n ? a n ?1

?1 ? (2)如果对于任意的 s,t∈? ,2?,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围. ?2 ? 请考生 22、23、24 题中任选一题做答 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲:
如图,在 ?ABC 中, ?B ? 90 ,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 D ,过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E , AE 交⊙O 于点 F . (Ⅰ)证明: E 是 BC 的中点; (Ⅱ)证明: AD ? AC ? AE ? AF . (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
?

18)甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答

题, 答对则为本队得 1 分, 答错不答都得 0 分, 已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 , , 乙队每人答对的概率都是

3 2 1 , 4 3 2

2 . 设每人回答正确与否相互之间没有影响, 用 ? 表示甲队总得分. 3 (I)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E( ? ) ;

1 ? x? t ? 2 ? 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以直角坐标系 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 2 ? 的 点为极点, 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 xOy O Ox C 的极坐标
方程为 ? ? 2 cos(? ?

?
4

(Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率.
(19)已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别 是线段 AB、BC 的中点. (1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的余弦值. (12 分)

)

(1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 | AB | . (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 若关于 x 的方程 x ? 4 x ? a ? a ? 3 =0 有实根
2

(1)求实数 a 的取值集合 A (2)若存在 a ? A ,使得不等式 t ? 2a t ? 12 ? 0 成立,求实数 t 的取值范围。
2

x2 y2 (20) (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,其中 a b 5 2 F2 也是抛物线 C 2 : y ? 4 x 的焦点, M 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |? . 3
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 C1 上,顶点 B、D 在直线 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上,求直线 AC 的方程。 a 3 2 (21) (本小题满分 12 分)设 f(x)= +xln x,g(x)=x -x -3. x
2

开封高中 2014 届高考理科数学押题卷答案
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 B 8 A 9 D 10 D 11 B 12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. y=0.7x+0.35 14.a 15.

19? 3

16.0

14 题解答在后面 三、解答题

2 ? ?d ? 2 ? d ? ? 或? 解得 ? 3 ?q ? 2 ? q ? 6 ? 2 5 n ?1 n ?1 所以, a n ? 2n ? 1 , b n ? 2 或 a n ? ? n ? , bn ? 6 3 3 (2)因为 a n ? a n ?1 ,所以 d ? 0 ,故 a n ? 2n ? 1
?q 2 ?3 ? 3d ? ? 36 17.解: (1)由题意, ? ?q ?2 ? d ? ? 8

19. 【答案】(1)∵PA⊥平面 ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2, 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0) 不妨令 P(0,0,t),则 PF =(1,1,-t), DF =(1,-1,0), ∴ PF · DF =1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,即 PF⊥FD. (2)设平面 PFD 的法向量为 n=(x,y,z),

???

??? ?

???

??? ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? a n a n ?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 1 1 1 1 ? n ? 故 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1
所以,

18. (1) ? 的可能取值为 0,1,2,3

1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ; P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; P(? ? 0) ? ? ? ? 4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 3 2 1 1 ; P(? ? 3) ? ? ? ? P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 4 3 2 4 ?? 的分布列 为 1 2 3 ? 0 P 1 1 11 1 24 4 24 4

??? ? t t t ?n?PF ? 0, ? x ? y ? tz ? 0, 由 ? ??? 得? 令 z=1,解得:x=y= .∴n=( , ,1). ? 2 2 2 ? ?n?DF ? 0, ? x ? y ? 0, ??? ? 1 1 设 G 点的坐标为(0,0,m),E( ,0,0),则 EG =( ? ,0,m), 2 2 ??? ? 1 t t t 要使 EG∥平面 PFD,只需 EG ·n=0,即 ( ? ) ? ? 0 ? ? m ?1 ? m ? ? 0 , 2 2 2 4 1 1 得 m= t,从而满足 AG= AP 的点 G 即为所求. 4 4? ??? ??? ? (3)∵AB⊥平面 PAD,∴ AB 是平面 PAD 的法向量,易得 AB =(1,0,0),
又∵PA⊥平面 ABCD, ∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,得∠PBA=45°,则 PA=1,

E (? ) ? 0 ?

1 1 11 1 23 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 4 24 4 12

1 1 , ,1), 2 2 1 ??? ? ??? ? AB? n 6 2 ? ∴ cos<AB, n > ? ??? , ? ? 6 | AB || n | 1 1 ? ?1 4 4
平面 PFD 的法向量为 n=(

6 . 6 5 5 2 20.解: (I)设 M ( x1 , y1 ),? F2 (1,0), | MF2 |? . 由抛物线定义, x1 ? 1 ? ,? x1 ? , 3 3 3
由题意知二面角 A-PD-F 为锐角.故所求二面角 A-PD-F 的余弦值为
3

? y12 ? 4 x1 ,? y1 ?

2 6 . ????3 分, 3

2 2 6 ?M( , ),? M 点 C1 上, 3 3

?1 ? (2)对于任意的 s,t∈? ,2?,都有 f(s)≥g(t)成立, ?2 ? ?1 ? 等价于在区间? ,2?上,函数 f(x)min≥g(x)max. ?2 ?

1 4 8 ? 2 ? 1, 又b 2 ? a 2 ? 1 ? 9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0, ? a 2 ? 4或a 2 ? ? c 2 舍去. 2 9 9a 3b 2 2 x y ? a 2 ? 4, b 2 ? 3 ?椭圆 C1 的方程为 ? ? 1. ????4 分 4 3 (II)? 直线BD的方程7 x ? 7 y ? 1 ? 0, ABCD 为菱形,? AC ? BD ,设直线 AC 的方程为 ? y ? ?x ? m ? 2 y ? ?x ? m ? 7 x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 12 ? 0, ? A, C 在 椭 圆 C1 上 , ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4 ? ? ? 0,? m 2 ? 7,? ? 7 ? m ? 7 . 设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) , 8m 则 x1 ? x 2 ? ??8 分 . 7 8m 6m y1 ? y 2 ? (? x1 ? m) ? (? x2 ? m) ? ?( x1 ? x2 ) ? 2m ? ? ? 2m ? . ? AC 的 中 点 坐 标 为 7 7 4m 3m 4m 3m ( , ) , 由 ABCD 为 菱 形 可 知 , 点 ( , ) 在 直 线 BD : 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上 , 7 7 7 7 4m 3m ?7 ? ?7? ? 1 ? 0, m ? ?1, ? m ? ?1 ? (? 7 , 7 ), 7 7 ∴直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 1,即x ? y ? 1 ? 0. ????12 分
?
21.解:(1)存在 x1,x2∈[0,2]使得 g(x1)-g(x2)≥M 成立,等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M. 3 2 ∵g(x)=x -x -3,

?1 ? 由(1)可知,在区间? ,2?上,g(x)的最大值 g(2)=1. ?2 ?
a ?1 ? 在区间? ,2?上,f(x)= +xln x≥1 恒成立. x ?2 ? 等价于 a≥x-x ln x 恒成立, 记 h(x)=x-x ln x, 则 h′(x)=1-2xln x-x,h′(1)=0. 1 当 1<x<2 时,h′(x)<0;当 <x<1 时,h′(x)>0, 2
2 2

?1 ? 2 即函数 h(x)=x-x ln x 在区间? ,1?上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,所以 h(x)max=h(1) ?2 ?
=1,即实数 a 的取值范围是[1,+∞). 22. (Ⅰ)证明:连接 BD ,因为 AB 为⊙O 的直径,所以 BD ? AC ,又 ?B ? 90 ,所以 CB 切⊙O 于点 B ,且 ED 切于⊙O 于点 E ,因此 EB ? ED ,??2 分
?

? 2? 2 ∴g′(x)=3x -2x=3x?x- ?. ? 3?
g(x),g′(x)随 x 变化的情况如下表: x g′(x) g(x) 0 0 -3

?0,2? ? 3? ? ?
- ?

2 3 0 85 极小值- 27

?2,2? ?3 ? ? ?
+ ?

2

1

85 ?2? 由上表可知,g(x)min=g? ?=- ,g(x)max=g(2)=1. 27 ?3? 112 [g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min= ,所以满足条件的最大整数 M=4. 27

?EBD ? ?EDB , ?CDE ? ?EDB ? 90? ? ?EBD ? ?C ,所以 ?CDE ? ?C , 得 ED ? EC ,因此 EB ? EC ,即 E 是 BC 的中点 ??5 分 (Ⅱ)证明:连接 BF ,显然 BF 是 Rt ?ABE 斜边上的高,可得 ?ABE ∽ ?A AFB , AB AE 2 于是有 ,即 AB ? AE ? AF , ??8 分 ? AF AB 2 同理可得 AB ? AD ? AC ,所以 AD ? AC ? AE ? AF ??10 分 ? 23.解: (1) 60 2 (2) l 的直角坐标方程为 y ? 3 x ? , 2 2 2 2 2 ? ) ? (y ? ) ? 1, ? ? 2 cos(? ? ) 的直角坐标方程为 ( x ? 2 2 4 6 2 2 10 , ) 到直线 l 的距离 d ? 所以圆心 ( ,?| AB |? 4 2 2 2

4

24.解: (1) ? ? 16 ? 4( a ? a ? 3 ) ? 0 即 ? 所以 A ? ??

1 7 ?a? 2 2

? 1 7? , ? ---------5 分 ? 2 2? 2 (2)令 f (a ) ? ?2a t ? 1 ? t 即 f (a) min ? 0 即可 7 f ( ) ? t 2 ? 7 t ? 12 ? 0 ? 3 ? t ? 4 2 所以 ? 4 ? t ? ?3或3 ? t ? 4 ----10 分
14 题【解析】 试题分析:根据题意,利用切线长定理,再利用双曲线的定义,把 ,转化为

,从而求得点 H 的横坐标.再在三角形 PCF2 中,由题意得,它是一个等腰三角 形,从而在三角形 解:由题意知: 中,利用中位线定理得出 OB,从而解决问题. (-c,0)、 (c,0),内切圆与 x 轴的切点是点 A,作图



,及圆的切线长定理知, ,设内切圆的圆心横坐标为 x,

则|(x+c)-(x-c)|=2a,∴x=a,在三角形

中,由题意得,它是一个等腰三角形,PC=PF2,

∴在三角形 中,有:OB= = ( -PC)= ( )= ×2a=a.故选 A. 考点:双曲线的定义、切线长定理 点评:本题考查双曲线的定义、切线长定理.解答的关键是充分利用三角形内心的性质.属于基础题。

5


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