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高三复习数列求和2


高三一轮复习课:

数列求和专题
(第二课时)
教师:孙加萍 单位:郑州九中

[备考方向要明了]
考什么 怎么考 1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差 或等比数列的数列求和问题,如2012新 等差、等比 课标全国T12,福建T11等. 数列的前n 项和公式及 2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项

求和方法. 相消法或分组求和法等求数列的前n项和, 如2012年浙江T19,山东T20等.









1 公 式 法 2 分组求和法 3 4 5 裂 项 相 消 法 错 位 相 减 法 倒序相加法

}

第一课时

6

奇偶并项求和法

}

第二课时

学习目标: 1.能说出错位相减法、倒序相加法、 奇偶并项求和法分别对应的求数列前n 项和的题型特点; 2.会灵活运用错位相减法、倒序相加 法、奇偶并项求和求数列前n项和.

题型一:错位相减法 例1.求和Sn =1+2x+3x2+ …… +nxn-1 (x≠0,1) 解:∵ S =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1
n

∴xSn =

x + 2x2 + ……+ (n-1)xn-1+nxn

∴ 两式相减,得: (1-x) Sn =1+x+x2+ …… + xn-1 - nxn 1-xn - nxn = 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 ∴ Sn= (1-x)2

归纳总结:错位相减法适用范围
1. 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数 列的前n项和即可用此法来求. 2.在应用错位相减法求和时,若等比数列的公 比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况 求解

1 3 5 2n ? 1 变式1:求和:Sn ? ? ? ? ...... ? n 2 4 8 2
答案:

Sn =3-

2n+3 n 2

求和Sn= 1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n
1 1 1 1 1 解:设Sn =1? ? 3 ? ? 5 ? ? ...... ? ? 2n ? 3? ? n ?1 ? ? 2n ? 1? ? n 2 4 8 2 2

1 Sn = 2

1 1 1 1 1? ? 3 ? ? ...... ? ? 2n ? 3? ? n ? ? 2n ? 1? ? n ?1 4 8 2 2

1 1 1 1 1 1 相减得, Sn =1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 8 ? ?? ? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ?1 2 1 1 1 1 ? Sn =1 ? 2 ? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? n ?1 ? ? 2n ? 1? ? n 2 4 2 2

1 ? 2n ? 1 ?1 1 =1 ? 2 ? ? ? ? ?? ? n?1 ? ? n 2 ? 2 ?2 4 1? 1 ? ?1 ? n?1 ? 2n ? 1 2n ? 3 2? 2 ? =1 ? 2 ? ? n =3 ? n 1 2 2 1? 2

题型二:倒序相加法
倒序相加法在教材中是推导等差数列前n 项和的方法
? 1 ? ? 2 ? 4x 例 2.设 f(x)= x ,若 S=f ?2 013? +f ?2 013? +…+ 4 +2 ? ? ? ? ?2 f?2 ?

012? ?,则 S=________. 013?

? 1 ? ? 2 ? 4x 例 2.设 f(x)= x ,若 S=f ?2 013? +f ?2 013? +…+ 4 +2 ? ? ? ?

012? ?,则 S=________. 013? 41-x 4x 2 解析:∵f(x)= x ,∴f(1-x)= 1-x = x, 4 +2 4 +2 2+4
4x 2 ∴f(x)+f(1-x)= x + =1. 4 +2 2+4x
? S=f?2 ? ?2 012? 1 ? ? 2 ? ?+f? ?+…+f? ?,① 013? ?2 013? ?2 013?

?2 f?2 ?

?2 S=f?2 ?

? 1 ? 012? ?2 011? ? ? ? ? ? 013?+f?2 013?+…+f?2 013?,②

①+②得
? ? 2S=?f?2 ? ?

1 ? ?2 012?? ? ? 2 ? ?2 011?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 013?+f?2 013??+?f?2 013?+f?2 013?? 012? ? 1 ?? ? ? ?? 013?+f?2 013??=2 012,

? ?2 +…+?f?2 ? ?

2 012 ∴S= 2 =1 006.

答案:1 006

1 变式2:设f ? x ? ? x ,求 2 ? 2 f ? ?5? ? f ? ?4? ? ? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? ? ? f ? 5? ? f ? 6 ?的值。

归纳总结:倒序相加法适用范围
如果一个数列{ a n }的前n项中首末两端等“距 离”的两项的和相等或等于同一个常数,那 么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法, 如等差数列的前n项和即是用此法推导的.

题型三:并项求和法
例3:分别求下列数列的前2n项和 s2 n

(1)an ? (?1) ? (2n ? 1)
n

(1)s2n ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (4n ? 3) ? (4n ? 1) ? (?1 ? 3) ? ( ?5 ? 7)+ ? ?[ ?(4 n ? 3) ?(4 n ?1)]
? 2 ? 2 ??? 2 ? 2n

(2)an ? (?1) ? n
n

2

(2)s2n ? (?12 ? 22 ) ? (?32 ? 42 ) ? ? ? [?(2n ? 1)2 ? (2n)2 ]

? 3 ? 7 ? ? ? (4n ? 1)

?

n (3? 4 n ?1) 2

? 2n ? n
2

归纳总结:并项求和法适用题型 一个数列的前n项和,可两两结合求解, 则称之为并项求和.形如 a n=(-1)nf(n)类 型,可采用两项合并求解.

本课小结: 数列求和的一般步骤:

? 等差、等比数列直接应用求和公式求和。 ? 非等差、等比的数列,通过通项化归的思 想设法转化为等差、等比数列,常用方法 有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、 并项求和法。 ? 不能转化为等差、等比的数列,往往通过 裂项相消法求和。

作业:
(Ⅱ)求数列

1.数列 ?an ? 的前n项和为

an?1 ? 2Sn (n ?N* ) Sn , a1 ? 1 ,

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项;

?nan? 的前n项和 Tn



{ 2.设 an } 是公比大于1的等比数列,Sn 为数列 {an } 的前 ,
3a 已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 2,a3 ? 4 构成等差数列.
(1)求数列{an }的通项公式.

n 项和。

,? (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, ,
求数列 {bn }的前n项和

Tn

3 .求和Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? ? ? ?1?

n ?1

?n


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