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初高中数学衔接超好教材


初高中数学衔接教材
现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对 三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用 的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。 配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等 是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此 类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转 化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、 右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。 方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦 定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。
另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

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1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式



2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算
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1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义: 正数的绝对值是它的本身, 负数的绝对值是它的相反数, 零的绝对值仍是零. 即 ?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ? 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 例 1 解不等式: x ?1 ? x ? 3 >4. 解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ; ①若 x ? 1 ,不等式可变为 ?( x ?1) ? ( x ? 3) ? 4 , 即 ?2 x ? 4 >4,解得 x<0, 又 x<1, ∴x<0; ②若 1 ? x ? 2 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 即 1>4, ∴不存在满足条件的 x; ③若 x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 即 2 x ? 4 >4, 解得 x>4. 又 x≥3,\点 B 之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|. 所以,不等式 ? 由|AB|=2,可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧. x<0,或 x>4.
练 习 1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 2.选择题: 下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) . (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b





1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 2 2 2 (2)完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2 3 (1)立方和公式 (a ? b) (a ? ab ? 2 b) ? 3 a? ; b 2 2 3 3 (2)立方差公式 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a? ; b
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2 2 2 (a ? b ? c ) ? a ?b ?2 c 2 ? ( a b? b c ?; )a c 3 3 2 2 3 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ; b 3 3 2 2 3 (5)两数差立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? .b 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .

(3)三数和平方公式 (4)两数和立方公式

2 2 2 解法一:原式= ( x 2 ? 1) ? ?( x ? 1) ? x ? ?

= ( x2 ?1)( x4 ? x2 ? 1) = x 6 ? 1. 解法二:原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1) = ( x3 ? 1)( x3 ? 1) = x 6 ? 1. 例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c2 的值. 解: a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 .
练 习 1.填空:

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1) (3) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 2.选择题:
2 2 2 2

) ;

); ).
( (D) )

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值
(1)若 x ?
2

1 2 m 16


(A)总是正数 (C)可以是零

( (B)总是负数 (D)可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式
一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为 无理式. 例如 3a ? a2 ? b ? 2b , a 2 ? b2 等是无理式,而 2 x 2 ? 理式. 1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理 化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数 3 a 与 a , 3? 6 与 3? 6, 2 3 ?3 2 与2 3 ?3 2, 式互为有理化因式, 例如 2 与 2 , 等等. 一 般地, a x 与 x , a x ? b y 与 a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理 化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式
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2 x ? 1 , x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有 2

a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行 运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2.二次根式 a2 的意义
a2 ? a ? ?
?a, a ? 0, ?? a, a ? 0.

例1

将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a 2b (a ? 0) ; (3) 4 x 6 y ( x ? 0) .

解: (1) 12b ? 2 3b ; (2) a 2b ? a b ? a b (a ? 0) ; (3) 4 x 6 y ? 2 x3 例2
y ? ?2 x3 y ( x ? 0) .

计算: 3 ? (3 ? 3) .

解法一:

3? ( 3 ?

3= )

3

3? 3 3 ? (3 ? 3) = (3 ? 3)(3 ? 3)


3 3( 3 ? 1) 1 = 3 ?1
= = =

3 3 ?3 9?3 3( 3 ? 1) = 6 3 ?1 = . 2 3 解法二: 3? ( 3 ? 3= ) 3? 3 例 3 试比较下列各组数的大小:

3 ?1 ( 3 ? 1)( 3 ? 1)
3 ?1 . 2

(1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; 解: (1)∵ 12 ? 11 ?

(2)

2 和 2 2- 6 . 6?4

12 ? 11 ( 12 ? 11)( 12 ? 11) 1 , ? ? 1 12 ? 11 12 ? 11 1 1? 1 10 ? ( 1 ?1 10 )( ? 11 10 ) ? 1 1? 1 0 1 ?1 1 , 10

1 1?

10 ?

又 12 ? 11 ? 11 ? 10 , ∴ 12 ? 11 < 11 ? 10 .

2 2- 6 (2 2- 6)(2 2 + 6) 2 ? ? , 1 2 2+ 6 2 2+ 6 又 4>2 2, ∴ 6+4> 6+2 2, 2 ∴ < 2 2- 6 . 6?4 例 4 化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 .
(2)∵ 2 2- 6 ?
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解: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 = ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2) = ?( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ? ? ? 2004 = 1 ? ( 3 ? 2) = 3? 2. 例 5 化简: (1) 9 ? 4 5 ; (2) x 2 ?
2004

? ( 3 ? 2)

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

解: (1)原式 ? 5 ? 4 5 ? 4
? ( 5) 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 22

? (2 ? 5) 2

? 2? 5 ? 5 ?2.

1 1 (2)原式= ( x ? )2 ? x ? , x x ∵ 0 ? x ? 1, 1 ∴ ?1? x , x 1 所以,原式= ? x . x

例 6 解:

3? 3? 3? ∵x? y ? 3?
已知 x ?

2 3? 2 ,求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 . ,y? 2 3? 2 2 3? 2 ? ? ( 3 ? 2)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 10 , 2 3? 2

3? 2 3? 2 ? ?1, 3? 2 3? 2 ∴ 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 ? 3( x ? y)2 ?11xy ? 3?102 ?11 ? 289 . xy ?
练 习

1.填空: (1)

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _

(3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ? 2.选择题:

___; __.

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1

x ? x?2 (A) x ? 2
等式 3.若 b ?
2

x 成立的条件是 x?2 (B) x ? 0
2

( (C) x ? 2 (D) 0 ? x ? 2



a ?1 ? 1 ? a ,求 a ? b 的值. a ?1
5- 4(填“>”,或“<”) .

4.比较大小:2- 3

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1.1.4.分式
1.分式的意义 形如

A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下列性质: B B B

A A? M ? ; B B?M

A A?M ? . B B?M
上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式 a m?n? p 像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p 5x ? 4 A B ? ? 例1 若 ,求常数 A, B 的值. x( x ? 2) x x ? 2 A B A( x ? 2) ? Bx ( A ? B) x ? 2 A 5 x ? 4 解: ∵ ? , ? ? ? x x?2 x( x ? 2) x( x ? 2) x( x ? 2) ? A ? B ? 5, ∴? ?2 A ? 4, 解得 A ? 2 ,B ? 3 . 1 1 1 ? ? 例 2 (1)试证: (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ?? ? (2)计算: ; 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 ? ?? ? ? . (3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 1 1 (n ? 1) ? n 1 ? ? (1)证明:∵ ? , n n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 1 ? ? ∴ (其中 n 是正整数)成立. n(n ? 1) n n ? 1 (2)解:由(1)可知 1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2? 3 9 ? 10 1 1 1 1 1 ? ( 1? ) ? ( ? ) ? ? ?( ? ) 2 2 3 9 10 1 9 ? 1? = . 1 0 10 1 1 1 ? ?? ? (3)证明:∵ 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ) = ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? 2 3 3 4 n n ?1
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1 1 = ? , 2 n ?1 又 n≥2,且 n 是正整数, 1 ∴ 一定为正数, n+1 1 1 1 1 ? ?? ? ∴ <2 . 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) c 例 3 设 e ? ,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值. a 2 解:在 2c -5ac+2a2=0 两边同除以 a2,得 2e2-5e+2=0, ∴(2e-1)(e-2)=0, 1 ∴e= <1,舍去;或 e=2. 2 ∴e=2.
练 习 1.填空题: 对任意的正整数 n, 2.选择题: 若

1 ? n(n ? 2)

(

1 1 ? ); n n?2
( )

2x ? y 2 x ? ,则 = x? y 3 y
(B)
2 2

(A)1

x? y 的值. x? y 1 1 1 1 ? ? ? ... ? 4.计算 . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100
3.正数 x , y 满足 x ? y ? 2 xy ,求

5 4

(C)

4 5

(D)

6 5

习题 1.1 A 组 1.解不等式: (1) x ? 1 ? 3 ; (3) x ?1 ? x ?1 ? 6 . 2.已知 x ? y ? 1 ,求 x3 ? y3 ? 3xy 的值. 3.填空: (1) (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =________;
2 2 (2)若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ,则 a 的取值范围是________;

(2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ;

(3)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________. 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6

B
1.填空: (1) a ?



1 1 3a 2 ? ab ? ____ , b ? ,则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2

____;

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x 2 ? 3xy ? y 2 (2)若 x ? xy ? 2 y ? 0 ,则 ? __ x2 ? y 2
2 2

__;

2.已知: x ?

y y 1 1 , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y C


( (D) b ? a ? 0 ( ) )

1.选择题: (1)若 ? a ? b ? 2 ab ? (A) a ? b (2)计算 a ? (A) ?a 2.解方程 2( x ?
2

?b ? ? a ,则 (B) a ? b (C) a ? b ? 0

1 等于 a
(B) a (C) ? ?a

(D) ? a

1 1 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 . 2 x x 1 1 1 1 ? ? ?? ? 3.计算: . 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 9 ?11 1 1 1 1 4.试证:对任意的正整数 n,有 < . ? ??? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n( n ?1)( n ? 2) 4

1. (1) ?5 ; ?4

(2) ?4 ; ?1 或 3

1.1.1.绝对值 2.D 3.3x-18 1.1.2.乘法公式 (3) 4ab ? 2ac ? 4bc 1.1.3.二次根式 (3) ?8 6 (4) 5 .

1 1 1 1 1. (1) a ? b (2) , 3 2 2 4 2. (1)D (2)A

1. (1) 3 ? 2 (2) 3 ? x ? 5 2.C 3.1 4.> 1 1.2

1.1.4.分式 99 2.B 3. 2 ? 1 4. 100 习题 1.1 A组 1. (1) x ? ?2 或 x ? 4 (2)-4<x<3 (3)x<-3,或 x>3 2.1 3. (1) 2 ? 3 (2) ?1 ? a ? 1 (3) 6 ? 1 B组 1 3 5 1. (1) (2) ,或-5 2.4. 7 2 C组
1 36 , x2 ? 2 3. 55 2 1 1 1 1 ? [ ? ] 4.提示: n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

1. (1)C

(2)C

2. x1 ?

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1.2
1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

分解因式

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法 及待定系数法.

(2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.2-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成-1 与-2 的 乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).
x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.2-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.2-1

图 1.2-2

图 1.2-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.2-1 中的两个 x 用 1 来表示(如 图 1.2-2 所示) . (2)由图 1.2-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.2-4,得

x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by)
(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.2-5 所示) . 2.提取公因式法与分组分解法 例2 解: 分解因式: (1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x ;

x y

-1 1

图 1.2-5

(2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 .

(1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ) ? (3x ? 9) = x2 ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x2 ? 3) . 或 x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1)3 ? 8 = ( x ? 1)3 ? 23 = [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] = ( x ? 3)( x2 ? 3) . (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 或 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) .
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3.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可 分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x 2 ? 2 x ? 1; (2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

解: (1)令 x 2 ? 2 x ? 1 =0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1? 2 ,
?? ? ∴ x 2 ? 2 x ? 1= ? ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ?

= ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) . (2)令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y , x1 ? (?2 ? 2 2) y , ∴ x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] .
练 习 1.选择题: 多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 (A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8; (3)x2-2x-1; (B) x ? 3 y (C) x ? 3 y ( (D) x ? 5 y )

(2)8a3-b3; (4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) . 习题 1.2

1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

(4) 3x ? 5xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 .
2 2

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3x ? 4 xy ? y ;
2 2
2 2 2

(4) ( x ? 2x) ? 7( x ? 2x) ? 12 .
2 2 2

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状. 4.分解因式:x2+x-(a2-a).

1.2 分解因式 1. B 2. (1)(x+2)(x+4) (3) ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2) (2) (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) (4) (2 ? y)(2 x ? y ? 2) .
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1. (1) ? a ? 1? ? a ? a ? 1?
2

习题 1.2 (2) ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1? (4) ?3 y ? y ? 4?? x ? 2 y ? 1?

(3) ?b ? c ??b ? c ? 2a ?

? 5 ? 13 ? ? 5 ? 13 ? x ? x ? 2. (1) ? ? ? ? ? ?? ? ; (2) x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ; 2 2 ? ?? ? ? 2 ? 7 ?? 2? 7 ? x ? y x ? y? (3) 3 ? ? ? ? ?? ? ; (4) ? x ? 3? ( x ? 1)( x ? 1 ? 5)( x ? 1 ? 5) . 3 3 ? ?? ? 3.等边三角形 4. ( x ? a ? 1)( x ? a)

?

??

?

2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

(x ?

因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2=

b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2



(2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=-

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ?

b 2 ) 一定大于或等于零,因此,原方程 2a

没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我们把 b2-4ac 叫做一元二次 方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-

(3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的实数根. 2 2 (1)x -3x+3=0; (2)x -ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 2 解: (1)∵Δ=3 -4× 1× 3=-3<0,∴方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式 Δ=a2-4× 1× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根

x1 ?

a ? a2 ? 4 , 2

x2 ?

a ? a2 ? 4 . 2
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(3)由于该方程的根的判别式为

Δ=a2-4× 1× (a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以, ①当 a=2 时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4× 1× a=4-4a=4(1-a), 所以 ①当 Δ>0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根

x1 ? 1 ? 1 ? a ,

x2 ? 1 ? 1 ? a ;

②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的 解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 . 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 所以, 方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)程 x2+px+q=0 的两根, 出 k 的值, 再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方 程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5× 22+k× 2-6=0, ∴k=-7. 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=-

b c ,x1· x2= .这一关系也被称为韦达定理. a a

3 . 5

所以,方程的另的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的 是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1· x2=m2+4. ∵x12+x22-x1· x2=21, ∴(x1+x2)2-3 x1· x2=21, 2 即 [-2(m-2)] -3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0, 解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4× 1× 293<0,不合题意,舍去. 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围,然后再由“两个实数根
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的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大于零.因为,韦 达定理成立的前提是一元大方向个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二 次方程来求解. 解法一:设这两个数分别是 x,y, 则 x+y=4, ① xy=-12. ② 由①,得 y=4-x, 代入②,得 x(4-x)=-12, 即 x2-4x-12=0, ∴x1=-2,x2=6. ∴?

? x1 ? ?2, ? y1 ? 6,

或?

? x2 ? 6, ? y2 ? ?2.

因此,这两个数是-2 和 6. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根. 解这个方程,得 x1=-2,x2=6. 所以,这两个数是-2 和 6. 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷. 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; (2)求

1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2

(3)x13+x23. 解:∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根,

5 3 x 2 ? x 2 ( x ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 ∴ x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ) 2 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 ? 2 2 x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 )2
(3)x13+x23=(x1+x2)( x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[ ( x1+x2) 2-3x1x2] =(-

5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 37 2 2 ? 4 . ? 3 2 9 9 (? ) 2 4

5 5 3 215 )× [(- )2-3× ( ? )]=- . 2 2 2 8

说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简 便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则 , x2 ?

?b ? b2 ? 4ac , 2a
?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? ? 2a 2a 2a

∴| x1-x2|=

?

b2 ? 4ac ? . ? |a| |a|
? (其中 Δ=b2-4ac) . |a|

于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=

今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
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例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围. 解:设 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=a-4<0, ① 且 Δ=(-1)2-4(a-4)>0. ② 由①得 a<4, 17 由②得 a< . 4 ∴a 的取值范围是 a<4.

练 习 1.选择题: (1)方程 x2 ? 2 3kx ? 3k 2 ? 0 的 习题 2.1 A 组 1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ? )

7 ; 3

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . 2 2 2 (2)方程 2x -x-4=0 的两根为 α,β,则 α +β = . (3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个相等的实数 根?没有实数根? 4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数. B 组 1.选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 + (k2 - 1) x + k + 1 = 0 的 两 根 互 为 相 反 数 , 则 ( ) (D)0 . . k 的 值 为

(A)1,或-1 (B)1 (C)-1 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于 (2)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值是 3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. 4.-1 提示:(x1-3)( x2-3)=x1 x2-3(x1+x2)+9

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习题 2.1 2. (1)2006 提示:∵m+n=-2005,mn=-1,∴m2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=-1×(-2005-1)=2006. (2)-3 提示;∵a+b=-1,ab=-1,∴a3+a2b+ab2+b3=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)( a2+b2) =(a+b)[( a+b) 2-2ab]=(-1)× [(-1)2-2× (-1)]=-3. 2 2 3. (1)∵Δ=(-k) -4× 1× (-2)=k +8>0,∴方程一定有两个不相等的实数根. (2)∵x1+x2=k,x1x2=-2,∴2k>-2,即 k>-1.
4. (1)| x1-x2|=

b 3abc ? b3 b 2 ? 4ac x1 ? x2 , =? ; (2)x13+x23= . 2 2a a3 |a|

5.∵| x1-x2|= 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ,∴m=3.把 m=3 代入方程,Δ>0,满足题意,∴m=3.

C组
1. (1)B (2)A (3)C 提整数的实数 k 的整数值为-2,-3 和-5. 1 (3)当 k=-2 时,x1+x2=1,① x1x2= , ② 8 1 x x 2 ①2÷ ②,得 1 ? 2 +2=8,即 ? ? ? 6 ,∴ ? ? 6? ? 1 ? 0 , ? x2 x1
∴? ? 3? 2 2 . 4. (1)Δ= 2(m ? 1)2 ? 2 ? 0 ; (2)∵x1x2=-

m2 ≤0,∴x1≤0,x2≥0,或 x1≥0,x2≤0. 4

①若 x1≤0, x2≥0, 则 x2=-x1+2, ∴x1+x2=2, ∴m-2=2, ∴m=4. 此时, 方程为 x2-2x-4=0, ∴ x1 ? 1 ? 5 ,

x2 ? 1 ? 5 .
②若 x1≥0,x2≤0,则-x2=x1+2,∴x1+x2=-2,∴m-2=-2, ∴m=0.此时,方程为 x2+2=0,∴x1=0,x2=-2. 5.设方程的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-1,x1x2=a, 由一根大于 1、另一根小于 1,得 (x1-1)( x2-1)

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
问题 1 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关? 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x2,y=

之间的关系,推导出函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x2,y=2x2 的图象. 先列表: x x
2 2

1 2 x ,y=-2x2 的图象,通过这些函数图象与函数 y=x2 的图象 2

… … …

-3 9 18

-2 4 8
2

-1 1 2

0 0 0
2

1 1 2

2 4 8

3 9 18

… …

2x

从表中不难看出,要得到 2x 的值,只要把相应的 x 的值扩大两倍就可以了.

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再描点、连线,就分别得到了函数 y=x2,y=2x2 的图象(如图 2-1 所示) ,从图 2-1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数 y=2x2 的图象可以由函数 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到. 同学们也可以象之间的关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得 到.在二次函数 y=ax2(a≠0)中,二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标 系中的开口的大小. 问题 2 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之间存在怎样的关系? 同样地, 我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系. 同 学们可以作出函数 y=2(x+1)2+1 与 y=2x2 的图象(如图 2-2 所示) ,从函数的同学 我们不难发现,只要把函数 y=2x2 的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单 位,就可以得到函数 y=2(x+1)2+1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同, 位置不同”的特点. 类似地,还可以通过画函数 y=-3x2,y=-3(x-1)2+1 的图象,研究它们图 象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向; h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函 数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论, 我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法: 由于 y=ax2+bx+c=a(x2+

y=2x2

y

y=x2

O 图 2.2-1 y

x

y=2(x+1)2+1 y=2(x+1)2 y=2x2

b b b2 b2 x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- a a 4a 4a

所以, y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、 上下平移得到的,于是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: (1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 ( ?

b b2 ? 4ac ? a( x ? ) 2 ? , 2a 4a

-1

O 图 2.2-2

x

b b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴为直线 x=- ; 2a 2a 4a b b b 当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= 2a 2a 2a 4ac ? b 2 . 4a b b 4ac ? b 2 2 , ) ,对称轴为直线 x=- (2)当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 ( ? ; 2a 2a 4a b b b 当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= 2a 2a 2a 4ac ? b 2 . 4a
上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时, 可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何 值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象. 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, ∴ 函 数 图 象 的 开 口 向

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例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间关系如下表 所示: 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此 时每天的销售利润是多少? 分析:由于每天的利润=日销售量 y× (销售价 x-120),日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数,所以,欲求每天所 获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天 利润的最大值. 解:由于 设每天的利润为 z(元) ,则 z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000 =-(x-160)2+1600, ∴当 x=160 时,z 取最大值 1600. 答:当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元. 例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的图像,求 b,c 的值. 解法一: y = x2 + bx + c = (x+

b 2 b2 ) ?c ? ,把它的图像向上平 移 2 个单位,再向左平 移 4 个单位,得 到 2 4

b b2 ? 4) 2 ? c ? ? 2 的图像,也就是函数 y=x2 的图像,所以, 2 4 ? b ? ?4 ?0 , ? ? 2 解得 b=-8,c=14. ? 2 ?c ? b ?2 ?0 , ? 4 ? 解法二:把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的图像,等价 于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=x2+bx+c 的图像. 由于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=(x-4)2+2 的图像,即为 y =x2-8x+14 的图像,∴函数 y=x2-8x+14 与函数 y=x2+bx+c 表示同一个函数,∴b=-8,c=14. 说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图像的 变换规律. 这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大; 而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算量小的优点.今后,我们在 解题时,可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题. 例 4 已知函数 y=x2,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对 应的自变量 x 的值. y ? (x ?
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分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论. 解: (1)当 a=-2 时,函数 y=x2 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值都是 4,此时 x=-2; (2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6①可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=a 时,函数取最小值 y=a2; (3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6②可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函数取最小值 y=0; (4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③可知,当 x=a 时,函数取最大值 y=a2;当 x=0 时,函数取最小值 y=0. y
4 4 y y
2

a

a
-2 a

2

a2
x -2 O ② a 2 x -2

4

O ①

O ③

a x

图 2.2-6 说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研究的二次函数的自 变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要借助于函数图象来直观地解 决问题. 练 习 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= ,n= . 2 (2)已知二次函数 y=x +(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数图象 的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. ( 3 )函数 y =- 3(x +2)2 + 5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ;当 x = 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2. 2 4.已知函数 y=-x -2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最 大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数 y
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=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0. ①

并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标(纵坐标为零) ,于是,不难发现,抛物线 y =ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关, 而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ=b2-4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ=b2-4ac 存在下列关系: (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有 两个交点,则 Δ>0 也成立. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物线 y=ax2+bx +c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有 交点,则 Δ<0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根, 所以

= a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形 式中的某一形式来解题. 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求二次函数的 解析式. 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式, 再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上, 所以,2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2)2 ? 1(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) , 2 ∴ ?1 ? a(3 ? 2) ? 1 ,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2)2 ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,
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b c ,x1x2= , a a b c 即 =-(x1+x2), =x1x2. a a b c 2 所以,y=ax2+bx+c=a( x ? x ? ) a a
x1+x2= ?

最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题. 例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达式. 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,于 是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0), 展开,得 y=ax2+2ax-3a, 顶点的纵坐标为

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a , 4a
1 . 2

由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2, ∴|-4a|=2,即 a= ?

所以,二次函数的表达式为 y=

1 2 3 1 3 x ? x ? ,或 y=- x 2 ? x ? . 2 2 2 2

分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又由顶点到 x 轴的距离为 2, 可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0), 或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴对称轴为直线 x=-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2, ∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2, 由于函数图象过点(1,0), ∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2. ∴a=-

1 1 ,或 a= . 2 2 1 1 (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2

所以,所求的二次函数为 y=-

说明:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今 后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. 例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式. 解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0). 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得

??22 ? a ? b ? c, ? ??8 ? c, ?8 ? 4a ? 2b ? c, ?
解得 a=-2,b=12,c=-8. 所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8. 通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函 数的表达式? 练 习 1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 (2)函数 y=- (x+1)2+2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: ( 1 ) 已 知 二 次 函 数 的 图 象 经 过 与 x 轴 交 于 点 ( - 1 , 0) 和 (2 , 0) , 则 该 二 次 函 数 的 解 析 式 可 设 为 y = a
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(a≠0) . (2)二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11);



(3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状, 因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可. 例 1 求把二次函数 y=x2-4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位. 分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数) ,所以只改变二次函数图象的 顶点位置(即只改变一次项和常数项) ,所以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二 次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式. 解:二次函数 y=2x2-4x-3 的解析式可变为 y=2(x-1)2-1, 其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位后,其函数图象的顶点坐标是(3,-2), 所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y=2(x-3)2-2. (2)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位后, 其函数图象的顶点坐标是(-1, 2), 所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y=2(x+1)2+2. 2.对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时, 有什么特点?依据这一特点, 可以怎样来 研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数 图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶 点位置和开口方向来解决问题. 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所 y x=-1 得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1. 解: (1)如图 2.2-7,把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于 直线 x=-1 作对称变换后,只改变图象的顶点位置,不改变其形状. 由于 y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,可知,函数 y=2x2-4x+1 图 O x 象的顶点为 A(1,-1),所以,对称后所得到图象的顶点为 A1(-3,1), A(1,-1) A1(-3,-1) 所以,二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 x=-1 对称后所得到 y 2 2 B (1 ,3) 图象的函数解析式为 y=2(x+3) -1,即 y=2x +12x+17. (2)如图 2.2-8,把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 x 图 2.2-7 =-1 作对称变换后,只改变图象的顶点位置和开口方向,不改变其形 y=1 状. 由于 y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,可知,函数 y=2x2-4x+1 图象的顶点为 O x 第 21 页 共 22 页 A(1,-1) 图 2.2-8

A(1,-1),所以,对称后所得到图象的顶点为 B(1,3),且开口向下,所以,二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于直线 y =1 对称后所得到图象的函数解析式为 y=-2(x-1)2+3,即 y=-2x2+4x+1. 二、分段函数 一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 例 3 在国内投递外埠平信,每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分,超过 40g 不超 过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函数表达式,作出函数图 象. 分析:由于当自变量 x 在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给出其对应的 函数解析式.在解题时,需要注意的是,当 x 在各个小范围内(如 20<x≤40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并 不变化(都是 160 分) . 解:设每封信的邮资为 y(单位:分) ,则 y 是 x 的函数.这个函数的解析式为

?8 0 , x ? ?1 6 0 x ? ? ? y ? ?2 4 0 , x ? ?3 2 0 x ? ? ? ?4 0 0 , x ?

(0, 20] (20, 40] 940, 80] (60, 80] (80,100]

由上述的函数解析式,可以得到其图象如图 2.2-9 所示. 例 4 如图 9-2 所示, 在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P,从点 A 出发 沿折线 ABCD 移动一周后,回到 A 点.设点 A 移动的路程为 x,ΔPAC 的面积为 y. (1)求函数 y 的解析式; (2)画出函数 y 的图像; (3)求函数 y 的取值范围. D C

P

A 图 2.2-10 分析:要对点 P 所在的位置进行分类讨论. 解: (1)①当点 P 在线段 AB 上移动(如图 2.2-10①) ,即 0<x≤2 时, y=

B

1 AP ? BC =x; 2

②当点 P 在线段 BC 上移动(如图 2.2-10②) ,即 2<x<4 时, y=

1 1 PC ? AB = (4 ? x) ? 2 =4-x; 2 2

③当点 P 在线段 CD 上移动(如图 2.2-10③) ,即 4<x≤6 时, y= PC ? AD = ( x ? 4) ? 2 =x-4; ④当点 P 在线段 DA 上移动(如图 2.2-10④) ,即 6<x<8 时,

1 2

1 2

第 22 页 共 23 页

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程 x2 ? 2 xy ? y 2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数 , 并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程 , 这样的方程叫做二元二次方程.其中

x 2 , 2 xy , y 2 叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6 叫做常数项.
我们看下面的两个方程组:

? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ?2 x ? y ? 1 ? 0; 2 2 ? ? x ? y ? 20, ? 2 2 ? ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的, 像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例 1 解方程组

? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

① ②

分析:二元二次方程组对我们来 说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟悉的形式.注意 到方程②是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再代入到方程①,得到一个一元二次方程,从而 将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题. 解:由②,得 x=2y+2, ③ 把③代入①,整理,得 8y2+8y=0, 即 y(y+1)=0. 解得 y1=0,y2=-1. 把 y1=0 代入③, 得 x1=2; 把 y2=-1 代入③, 得 x2=0. 所以原方程组的解是

? x1 ? 2, ? ? y1 ? 0,
? x ? y ? 7, ? ? xy ? 12.
解法一:由①,得

? x2 ? 0, ? ? y2 ? ?1.

说明:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元法来求解. 例 2 解方程组 ① ② ③

x ? 7 ? y.
把③代入②,整理,得

? x1 ? 4, ? ? y1 ? 3,

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.

y 2 ? 7 y ? 12 ? 0
解这个方程,得

y1 ? 3, y2 ? 4 . 把 y1 ? 3 代入③,得 x1 ? 4 ; 把 y2 ? 4 代入③,得 x2 ? 3 .
所以原方程的解是

解法二:对这个方程组, 也可以根据一元二次方程的 根与系数的关系,把 x , y 看作一个一元二次方程的两个 根,通过解这个一元二次方程来求 x , y . 这个方程组的 x , y 是一元二次方程

z 2 ? 7 z ? 12 ? 0
的两个根,解这个方程,得 z ? 3 ,或 z ? 4 .
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所以原方程组的解是

? x1 ? 4, ? ? y1 ? 3;
一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是

? x2 ? 3, ? ? y2 ? 4.

练 习 1.下列各组中的值是不是方程组

? x 2 ? y 2 ? 13, ? ?x ? y ? 5
的解? (1) ?

? x ? 2, ? x ? 3, ? x ? 1, (2) ? (3) ? (4) ? y ? 3; ? y ? 2; ? y ? 4;

x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得 到 一元二次不等式 x2-x-6>0

? x ? ?2, ? ? y ? ?3;
2.解下列方程组: (1) ?

? y ? x ? 5, ? x ? y ? 625;
2 2

(2)

的解是 x<-2,或 x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是 -2<x<3. 上例表明: 由抛物线与 x 轴的交点可以确定对 应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式 的解集.
那么,怎样解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0) 呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函 数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式 ax2+ bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的 一 元二次 不等式 的 解. 3 4 我们知道, 对于一元 二次方程 ax2+bx+ c=0( 0 a>0),设△= 6 2 b - 4ac ,它的解的 情形按照△>0,△ =0,△<0 分别为下 列 三 种 情 况 —— 有 两 个不相 等的实 数 解、 有两个相等的实 数解和没有实数解, 相应地,抛物线 y= ax2+bx+c(a>0) 与 x 轴分别有两个公 共点、 一个公共点和 没有公共点(如图 2.3-2 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应

? x ? y ? 3, ? ? xy ? ?10;
? x2 y 2 ? 1, ? ? (3) ? 5 4 ? y ? x ? 3; ? 2 ? y ? 2x , ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 8.
(4)

2.3.2

一元二次不等式解法
2

二次函数 y=x -x-6 的对应值表与图象如 下:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0,即 x2-x=6= 0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0,即 x2-x-6> 0; 当-2<x<3 时,y<0,即 x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的 交点是(-2,0)与(3,0),那么

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的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c <0(a>0)的解.

(2) 如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) 与 x 轴没有公共点, 方程 ax2+bx+c=0 没有 实数了; (3) ?x2+bx+c<0 无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数 大于零,可以利用上面的结论直接求解;如果二次项系数 小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变 成二次项系数大于零的形式, 再利用上面的结论去解不等 式.

例3

解不等式:

由于上式对任意实数 x 都成立, ∴原不等式的解为一切实数.
(1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可 知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x<x1,或 x>x2; 不等式 ax2+bx+c<0 的解为 x1<x<x2. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2+bx+c=0 有两个相 b 等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知 2a 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 b x≠- ; 2a 不等式 ax2+bx+c<0 无解.

(4)整理,得 (x-3)2≤0. 由于当 x=3 时,(x-3)2=0 成立;而对任意 的实数 x,(x-3)2<0 都不成立, ∴原不等式的解为 x=3. (5)整理,得 x2-x+4>0. Δ<0,所以,原不等式的解为一切实数.

例 4 已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解.
2

解:由不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解为 x ? 2, 或 x ? 3 ,可知

a ? 0 ,且方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根分别为 2 和 3, b c ?6, ∴? ? 5, a a b c ? ?5 , ?6. 即 a a 2 由于 a ? 0 ,所以不等式 bx ? ax ? c ? 0 可变为 b 2 c x ?x? ?0 , a a 2 即 - 5x ? x ? 6 ? 0 ,
整理,得

5x2 ? x ? 6 ? 0 , 2 所以,不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解是
6 x<-1,或 x> . 5

说明:本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.
例 5 解关于 x 的一元二次不等式 x ? ax ? 1 ? 0(a 为实数). 分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二
2

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次不等式的解,要讨论根的判别式 ? 的符号,而这里的 ? 是关于未知系数的代数式, ? 的符号取决于未知系数的取值范 围,因此,再根据解题的需要,对 ? 的符号进行分类讨论. 解: ? ? a ? 4 , ①当 ? ? 0,即a ? ?2或a ? 2时, 方程x2 ? ax ? 1 ? 0 的解是
2

x1 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x2 ? . 2 2
?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ; , 或x? 2 2

所以,原不等式的解集为 x ?

②当 Δ=0,即 a=± 2 时,原不等式的解为 a x≠- ; 2 ③当 ? ? 0,即? 2 ? a ? 2时, 原不等式的解 为一切实数 . 综上,当 a≤-2,或 a≥2 时,原不等式的解是

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ; , 或x? 2 2 当 ?2 ? a ? 2时, 原不等式的解 为一切实数. x?
例 6 已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来. 分析:由该函数的图象可知,该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关,于是需要对对称轴的位置进行分类 讨论. 解:∵y=(x-a)2+1-a2, ∴抛物线 y=x2-2ax+1 的对称轴方程是 x=a. (1)若-2≤a≤1,由图 2.3-3①可知,当 x=a 时,该函数取最小值 n=1-a2; (2)若 a<-2 时, 由图 2.3-3②可知, 当 x=-2 时,该函数取最小值 n=4a+5; (2)若 a>1 时, 由图 2.3-3③可知, 当 x=1 时,该函数取最小值 n=-2a+2. 综上,函数的最小值为

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法 练 习
1.(1) (2)是方程的组解; (3) (4)不是方程组的解. 2. (1) ?

? x1 ? 15, ? y1 ? 20,

? x2 ? ?20, ? ? y2 ? ?15;

(2) ?

? x1 ? 5, ? y1 ? ?2,

? x2 ? ?2, ? ? y2 ? 5;

5 ? x? , ? ? 3 (3) ? ?y ? ? 4. ? 3 ?

(4) ?

? x1 ? 2, ? y1 ? 2,

? x2 ? 2, ? ? y2 ? ?2.

2.3.2 一元二次不等式解法 练 习

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4 1. (1)x<-1,或 x> ; (2)-3≤x≤4; (3)x<-4,或 x>1; 3 (4)x=4. 2.不等式可以变为(x+1+a)( x+1-a)≤0, (1)当-1-a<-1+a,即 a>0 时,∴-1-a≤x≤-1+a; (2)当-1-a=-1+a,即 a=0 时,不等式即为(x+1)2≤0,∴x=-1; (3)当-1-a>-1+a,即 a<0 时,∴-1+a≤x≤-1-a. 综上,当 a>0 时,原不等式的解为-1-a≤x≤-1+a; 当 a=0 时,原不等式的解为 x=-1; 当 a<0 时,原不等式的解为-1+a≤x≤-1-a.

习题 2.3 A 组
10 ? x2 ? , ? ? x1 ? 2, ? x1 ? 0, ? 3 1. (1) ? (2) ? ? ? y1 ? 0, ? y1 ? 0, ?y ? 4. 2 ? 3 ? ? ? x1 ? 3 ? 2, ? ? x2 ? 3 ? 2, (3) ? ? ? ? y1 ? 3 ? 2, ? ? y2 ? 3 ? 2; ? x3 ? ? 3, ? ? ? x ? 3, ? ? x2 ? 3, ? ? x4 ? ? 3, (4) ? 1 ? ? ? ? y1 ? 1, ? ? y2 ? ?1, ? ? y4 ? ?1. ? y3 ? 1, ? ? 24 ? x2 ? , ? ? 5 ? ? y ? ? 12 . 2 ? 5 ?

2. (1)无解 (3)1- 2≤x≤1+ 2

2 3 2 3 ?x? 3 3 (4)x≤-2,或 x≥2

(2) ?

B 组
1.消去 y ,得 4 x ? 4(m ? 1) x ? m ? 0 .
2 2

1 时,方程有一个实数解. 2 1 ? 1 ?x ? , 将 m ? 代入原方程组,得方程组的解为 ? 4 2 ? ? y ? 1.
2 2 当 ? ? 16(m ? 1) ? 16m ? 0 ,即 m ?

2.不等式可变形为(x-1)(x-a)<0. ∴当 a>1 时,原不等式的解为 1<x<a; 当 a=1 时,原不等式的无实数解; 当 a<1 时,原不等式的解为 a<x<1.

C 组
1.由题意,得 -1 和 3 是方程 2x2+bx-c=0 的两根, b c ∴-1+3=- ,-1× 3=- , 即 b=-4,c=6. 2 2 ∴等式 bx2+cx+4≥0 就为-4 x2+6x+4≥0,即 2 x2-3x-2≤0, 1 ∴- ≤x≤2. 2 m m2 2.∵y=-x2+mx+2=-(x- )2+2+ , 2 4
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m m2 ∴当 0≤ ≤2,即 0≤m≤4 时,k=2+ ; 2 4 m 当 <0,即 m<0 时,k=离开就 2

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