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抛物线中焦点弦的有关问题


抛物线中焦点弦的有关问题
------新疆实验中学强少华 一直以来, 焦点弦都是 《圆锥曲线》 中的重要知识点, 也是高考中的热点问题, 针对 “抛 物线的几何性质”这节课,笔者认为,教师在讲完之后,可适当延伸一些有关“焦点弦”的 问题: 知识点 1: AB 是过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的弦。 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? , 若 设
2

则(1) x 1 x 2 ?

p

2

4

; (2) y 1 y 2 ? ? p

2

证明:如图, (1)若 AB 的斜率不存在时, 依题意 x 1 ? x 2 ?
p 2 , ? x1 x 2 ?

A
y

p

2

x

o
B

F

4
? ?

若 AB 的斜率存在时,设为 k , 则 AB : y ? k ? x ?

p? 2 ? ,与 y ? 2 px 联立,得 2 ?
2

p? ? k ?x? ? 2 ? ?
2

2

? 2 px ? k x
2

2

? k

?

2

? 2 px ?

?
.

k p 4

2

? 0

? x1 x 2 ?

p

2

.

4

综上: x 1 x 2 ?
2 2

p 4

2

(2)接上,? x 1 ?

y1

2p

, x2 ?

y2

2p

,? y 1 y 2 ? p ? y 1 y 2 ? ? p ,
4 2

2

2

但 y 1 y 2 ? 0 ,? y 1 y 2 ? ? p

2

(2)另证:设 AB : x ? my ?
y
2

p 2

与 y ? 2 px 联立,得
2
2

? 2 pmy ? p

2

? 0 ,? y 1 y 2 ? ? p
2

知识点 2: AB 是过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的弦。 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? , 若 设 则(1) AB ? x 1 ? x 2 ? p ; (2)设直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 AB ? 证明: (1)由抛物线的定义知
AF ? x 1 ? p 2 , BF ? x 2 ? p 2
A

2p sin
2

?



,

y

? AB ? AF ? BF ? x 1 ? x 2 ? p

o
B

F

1

(2)若 ? ? 90 , 则 x 1 ? x 2 ?
0

p 2

, 由(1)知 AB ? 2 p ?

2p sin
2

?

若 ? ? 90 , 设 AB : y ? k ? x ?
0

? ?

p? 2 ? , 与 y ? 2 px 联立,得 2 ?

p? ? k ?x? ? 2 ? ?
2

2

? 2 px ? k x
2

2

? k

?

2

? 2 px ?

?

k p 4

2

2

? 0

? x1 ? x 2 ?

p k

?

2 2

? 2

?

k

, ? AB ? x 1 ? x 2 ? p ?

2p k k

?

2 2

?1

?

,而 k ? tan ? ,

? AB ?

2 p 1 ? tan tan
2

?

2

?

?

?

?

2p sin
2

?

知识点 3:若 AB 是过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的弦,则以 AB 为直径的圆与
2

抛物线的准线相切。 证明:过点 A 、 B 分别向抛物线的准线引垂线,垂足分别为
A1、 B 1 , 过 AB 中点 M 向准线引垂线,垂足为 N ,

y

A

设以 AB 为直径的圆的半径为 r ,
? 2 r ? AB ? AF ? BF ? AA 1 ? BB 1 ? 2 MN ? MN ? r.

o
B

F

? 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点 4:若 AB 是过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的弦。过点 A 、 B 分别向抛物
2

y

线的准线引垂线,垂足分别为 A1、 B 1 , 则 ? A1 FB 1 ? 90 。
0

A

证明略
o
B

F

知识点 5:若 AB 是过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的弦,抛物线的准线与 x 轴相
2

交于点 K ,则 ? AKF ? ? BKF . 证明:过点 A 、 B 分别作准线的垂线,垂足分别为 A1、 B 1 .
? AA 1 // KF // BB 1
K

y

A

o

F
B

?

A1 K B1 K

?

AF FB

而 AF ? A 1 A , BF ? B 1 B

2

?

A1 K B1 K

?

A1 A B1 B

?

A1 K A1 A

?

B1 K B1 B

,而 ? AA 1 K ? ? BB 1 K ? 90

0

? ? AA 1 K ∽ ? BB 1 K

? ? A1 KA ? ? B 1 KB

? ? AKF ? ? BKF

知识点 6:若 AB 是过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的弦, o 为抛物线的顶点,连
2

接 AO 并延长交该抛物线的准线于点 C , 则 BC // OF . 证明:设 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? ,则
AB : y ? ? p y1 p ? ? x ,? C ? ? ,? ? 2 x1 2 x1 ? ? ? y1
y1 p 2 x1 ? ? y1 p 2? y1
2

y

A

o
C
2

F
B

? yC ? ?

? ?

p

y1

2p
p ?
2 2

由知识点 1 知 y 1 y 2 ? ? p

2

? yC ? ?

p

? y2

? BC // OF

y2

逆定理:若 AB 是过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的弦,过点 B 作 BC // OF 交抛
2

物线准线于点 C , 则 A 、 C 、 O 三点共线。 证明略
2 知识点 7: AB 是过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 的弦, AF ? m , BF ? n , 则 若 设

y

1 m

?

1 n

?

2 p

A

.

证法一: (1)若 AB ? x 轴,则 AB 为通径,而 AB ? 2 p ,
1 m 1 n 2 p

o
B

F

?m ? n ? p

?

?

?

.

(2)若 AB 与 x 轴不垂直,设 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? , AB 的斜率为 k ,则 l : y ? k ? x ?
?
2

?

p? ? 2 ?

2 与 y ? 2 px 联立,得 k ? x ?
2

? ?

p? ? 2 ?

? 2 px ? k x
2

2

? k

?

2

? 2 px ?

?

k p 4

2

2

? 0

3

? x1 ? x 2 ?

p k

?

2 2

? 2

?

k

, x1 x 2 ?

p 4

2

.
p 2 p 2

由抛物线的定义知 m ? AF ? x 1 ?
?
1 m ? 1 n ? m ? n mn ? x1 x 2 ?

, n ? BF ? x 2 ?

x1 ? x 2 ? p p 2

? x1

? x2 ? ?

p

2

?

2 p

4
p 1 ? cos ?
p 1 ? cos ?? ? ?

方法二:利用极坐标系下抛物线的方程 ? ? 设 ? AFx ? ? , 则 m ? ? 1 ?
1 ? cos ? p p 1 ? cos ?

,n ? ?2 ?

?

?

1 m

?

1 n

?

?

1 ? cos ? p

?

2 p

2 知识点 8: 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 中,AB 为其过焦点 F 的弦, AF ? m , BF ? n , 则

S ? AOB ?

p

? ? 4 ? ?
2

n m

?

m ? ? n ? ?

y

A

证明:设 ? AFx ? ? , 则
o
S ? AOB ? S ? AOF ? S ? BOF
B

F

? ?

1 2 p 4

?

p 2

? m s i n?? ? ? ? ? ? n ? s i n?

1 2

?

p 2

? s i n?

?m
p

而m ?

1 ? cos ?
p 4

,n ?

p 1 ? cos ?
p
2

,? mn ?

p sin

2 2

?

,? sin ? ?

p

2

mn

? S ? AOB ?

?m

? n?

?

p

mn
2

? ? 4 ? ?
2

n m

?

m ? ?. n ? ?

逆 定 理 : 已 知 抛 物 线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 中 , AB 为 其 弦 且 与 x 轴 相 交 于 点 M , 若
? m , BM ? n , 且 S ? AOB ?
p ? ? 4 ? ?
2

AM

n m

?

m ? ? , 则弦 AB 过焦点。 n ? ?

证明:设 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? , ? AMx ? ? , M ?t , 0 ? ,则

4

S ? AOB ? S ? AOM ? S ? BOM =
y1 m y2 n

1 2

tm sin ?? ? ? ? ?

1 2

tn sin ? ?

1 2

?m

? n ?t sin ?

而 sin ? ?

, sin ? ?

, ? sin

2

? ?

? y1 y 2 mn

? sin ? ?

? y1 y 2 mn
1 2
p ? ? 4 ? ?
2

? S ? AOB ?

?m

? n ?t

? y1 y 2 mn

?

1 ?m ? n ? 2 mn

t

? y1 y 2

而 S ? AOB ?

n m

?

2 m ? 1 ?m ? n ? p ? ? n ? 2 2 mn ?

?t

? y1 y 2 ?

p

2



2

又可设

l : x ? ay ? t ? 2 ? ? y ? 2 pay ? 2 pt ? 0 2 y ? 2 px ?
p 2

? y 1 y 2 ? ? 2 pt ②

由①②得 t ?

? p ? ? AB 恒过焦点 ? , 0 ? ? 2 ?

可配套练习:
2 1.过抛物线 y ? ax ? a ? 0 ? 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P 、 Q 两点,若 PF 与 FQ 的长

度分别为 p 、 q , 则 A. 2 a B.

1 m 1

?

1 n

?(

) D.
4 a

C. 4 a
2

2a

2. 直线 l 经过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F , 且与抛物线交于 P 、 Q 两点, P 、 Q 分 由 别向其准线引垂线 PR 、 QS , 垂足分别为 R 、 S , 如果 PF ? a , QF ? b ,M 为 RS 的中点, 则 MF ? ( A. a ? b ) B.
1 2

?a
2

? b?

C. ab

D. ab

3.直线 l 经过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F ,且与抛物线交于 A 、 B 两点,与其准线 相交于点 C , 若 BC ? 2 BF , AF ? 3 , 则此抛物线方程可能为( A. y
2



?

3x 2
2

B. y ? 9 x
2

C. y

2

?

9x 2

D. y ? 3 x
2

4.经过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点 F 作一直线与抛物线交于 A 、 B 两点, M 为其准
5

线上任意一点,记 ? AMF ? ? , ? BMF ? ? , ? MFO ? ? . 若 AM ? BM , 则 ? ? ? 与 ? 的 大小关系为( A. ? ? ? ? ? ) B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D.不确定

2 5. O 为抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的顶点,PQ 为其过焦点 F 的弦, OF ? a , PQ ? b , 设 若

求 S ? OPQ

.

6.以抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的一条焦点弦 AB 为直径的圆与准线相切于点 ? ? 2 , ? 3 ? ,求
2

此抛物线和圆的方程。 当然,在高考中,直线与抛物线的位置关系不仅仅考查焦点弦问题,有关抛物线的切线 形成的几何问题最近几年也一直是高考的热点, 在学习导数之后, 教师不妨再和学生一起来 集中归纳总结,仅供读者参考。

6


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