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高等数学习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步


习题 10-1
1. 指出下列方程的阶数: (1) x 4 y ′′′ ? y ′′ + 2x y 6 = 0 . (3)
dρ + ρ = cos 2 θ . dθ
2 (2) L d Q + R d Q + Q = 0 . dt c dt 2

(4) ( y ? x y )d x + 2x 2d y = 0 .

解:(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解: y = Cx 2 . (1) x y ′ = 2 y , (2) (x +1)d y = y 2d x , y = x +1 . (3) y ′′ + 2y ′ + y = 0 , y = x e?x . 2 (4) d s = ?0.4 , s = ?0.2t 2 + c1t + c2 . dt 2 解:(1)是,代入即可. (2)是,代入即可; (3)是,因为 y ′ = e ? x ? xe ? x , y ′′ = ?2e ? x + xe ? x ,满足 y ′′ + 2y ′ + y = 0 ;
2 s (4)是,代入, ds = ?0.4t + C1 , d 2 = ?0.4 ,显然满足. dt dt

3. 验证:函数 x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程 d 2x + k 2x = 0 dt 2 的通解. 解: x′(t ) = ?C1k sin kt + C2 k cos kt , x′′(t ) = ?C1k 2 coskt ? C2 k 2 sinkt , 满足 d x + k 2x = 0 ,所以 dt 2 是解,又因为含有两个任意常数 C1 , C2 ,且方程是二阶的,故是通解. 4. 已知函数 x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程 d x + k 2x = 0 的通解,求满足初始条件 dt 2 x| t=0 =2, x′| t=0 =0 的特解. 解 : 上 题 可 知 是 微 分 方 程 通 解 , 且 x′(t ) = ?C1k sin kt + C2 k cos kt , 代 入 初 值 条 件 x |t = 0 = 2, x′ |t = 0 = 0 ,得 C1 = 2, C2 = 0 ,所以特解为 x = 2coskt (k ≠ 0).
2 2

习题 10-2
1. 求下列微分方程的通解: (1) ( y + 1) y′ + x 3 = 0 ;
2

(2) y ′ = 2

x+ y


2

(3) sin x cos ydy = sin y cos xdx ; (4) dx + xydy = y dx + ydy ; (5) y 2 + x 2 (7)

dy dy = xy ; dx dx

(6)

dy x ? y ; = dx x + y
1 tan 2 ( x + 2 y ) . 2

dy y2 ; = dx xy + x 2

(8) y ′ =

解:(1)这是可分离变量方程,分离变量得

( y + 1)
两端分别积分:

2

dy = ? x3dx

-1-

1 1 3 ( y + 1) = ? x 4 +C, 3 4
这就是方程通解 . (2)这是可分离变量方程,分离变量得

2 ? y dy =2 x dx
两端分别积分:

?2 ? y = 2 x +ln2 ? C1 , 即 2 x +2 ? y ? C = 0( C = ln 2 ? C1 )
这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程,分离变量得

cos y cos x dy = dx sin y sin x
两端分别积分:

? ln sin y = ? ln sin x ? ln C , 即 sin y = Ce sin x
这就是方程通解 . (4)这是可分离变量方程,分离变量得

y 1 dy = dx y ?1 x ?1
2

两端分别积分:

1 1 ln( y 2 ? 1 ) = ln( x ? 1 )+ ln C , 即 y 2 = C( x ? 1 )2 +1 2 2
这就是方程通解 . (5)这是齐次方程,令 u =

dy du y ,则 = u + , 代入原方程并整理 x dx dx u ?1 du = dx u

两端分别积分:

u ? ln u = x + C 即
这就是方程通解 . (6)这是齐次方程,化简得

y y ? ln = x + C x x

y dy x = dx 1 + y x 1?
令u =

u +1 1 1 du = dx ,两端分别积分: ? ln 1 ? 2u ? u 2 = x + C 2 1 ? 2u ? u 2 2 2 2y y 即 ln 1 ? ? + x+C = 0 x x2
这就是方程通解 . (7)这是齐次方程,化简得

dy du y ,则 = u + , 代入原方程并整理 x dx dx

-2-

? y? ? dy ? x ? =? dx 1 + y x
令u =

2

u +1 du = ?dx ,两端分别积分: u + ln u = ? x + C u y y 即 + ln + x?C = 0 x x
这就是方程通解 . (8)这是特殊方程,用换元法,令 u = x + 2 y , 则

dy du y ,则 = u + , 代入原方程并整理 x dx dx

dy 1 ? du ? = ? ? 1? , 代入原方程并整理 dx 2 ? dx ?

1 1 cos 2 udu = dx ,两端分别积分: u + sin 2u = x + C 2 4 即 4 y ? 2 x + sin(2 x + 4 y ) ? 4C = 0
这就是方程通解 . 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1) y′ = y 3 sin x , (2) y ′ =

y (0) = 1 ;

x ( y 2 + 1) , y (0) = 0 ; ( x 2 + 1) 2 dy y y π (3) = + tan , y (1) = ; dx x x 6 dx dy (4) 2 , y (0) = 1 . = 2 2 x ? xy + y 2 y ? xy
解 (1)分离变量:

1 dy = sin xdx . y3
两端分别积分:

∫y
解得:

1
3

dy = ∫ sin xdx .

1 = ? cos x + C . 2 y2 1 将 y (0) = 1 代入通解中,求得 C = .故所求特解为 2 1 = 2 cos x ? 1 . y2 ?
(2)分离变量:

1 x dy = 2 dx . y +1 ( x + 1) 2
2

两端分别积分:

-3-

1 1 arctan y = ? ? 2 dx + C . 2 ( x + 1) 1 将 y (0) = 0 代入通解中,求得 C = .故所求特解为 2 1 1 1 arctan y = ? ? 2 dx + . 2 ( x + 1) 2 dy du y (3) 这是齐次方程,令 u = , 则 = u + , 代入原方程并整理 x dx dx 1 du = dx. tan u
两边积分得

ln sin u = x + ln C , 即 sin u = Cex .
变量回代得所求通解

sin

y = Ce x . x

1 ?π 由 y (1) = 代入通解,得 C = e 6 ,故所求初值问题的解为 6 2 y 1 ?π x sin = e 6 e . x 2
3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分,且通过点(1,2),求该曲线方 程. 解:设曲线方程为: y = f ( x)

π

2y ? 0 y = ? ,且 y (1) = 2 , 0 ? 2x x 解分离变量方程得: xy = C ,由 y (1) = 2 得 C = 2 ,
由题意可得方程: y ′ = 故所求曲线为: xy = 2 . 4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如,警方破案时,法医要根据尸体 当时的温度推断这个人的死亡时间,就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为 100℃,将其放置在空气温度为 20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间 t 的变化规律. 解 设物体的温度 T 与时间 t 的函数关系为 T = T (t ), 建立该问题的数学模型:
? dT ? = ? k (T ? 20) ? dt ? T |t = 0 = 100 ?
(1) ( 2)
dT = ?kdt ; T ? 20

其中 k (k > 0) 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得
1

两边积分 即

∫ T ? 20dT = ∫ ? kdt, 得 ln | T ? 20 |= ?kt + C (其中 C 为任意常数),
1 1

T ? 20 = ±e ? kt + C1 = ±e C1 e ? kt = Ce ? kt (其中 C = ±e C1 ).

从而 T = 20 + Ce ? kt , 再将条件(2)代入,得 C = 100 ? 20 = 80, 于是,所求规律为 T = 20 + 80e ? kt .

习题 10-3
-4-

1. 求下列微分方程的通解: (1) y ′ + y sin x = ecos x ; (2) 2y ′ ? y = ex ; (3) x y ′ = (x ? 1) y + e2x ; (4) y 2d x + (x ? 2x y ? y 2 )d y = 0 ; 3(x ? 1) y (5) (x ? e y ) y ′ = 1 ; (6) y ′ = + 2(x ? 1) 2y 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程,其中 P( x) = sin x, Q ( x ) = ecos x . 首先求出 ∫ Pdx = ∫ sinxdx = ? cos x (积分后,不再加任意常数), 然后用公式(10-6)可得所求通解为 ? P dx ? P dx Pdx y = Ce ∫ + e ∫ Qe∫ dx



= Ce

cos x

+ xe

cos x



(2) 这是一阶线性非齐次方程,其中 P( x) = ? 1 , Q( x) = 1 e x . 2 2 ? x (积分后,不再加任意常数), 首先求出 ∫ Pdx = 2 然后用公式(10-6)可得所求通解为 ? P dx ? P dx Pdx y = Ce ∫ + e ∫ Qe∫ dx



= Ce +

x 2

x . 4

(3) 这是一阶线性非齐次方程,其中 P ( x ) = 1 ? 1, Q ( x) = 1 e 2 x . x x

首先求出 ∫ Pdx = ln x ? x (积分后,不再加任意常数), 然后用公式(10-6)可得所求通解为 ? P dx ? P dx Pdx y = Ce ∫ + e ∫ Qe∫ dx



=C?

e e + . x x

x

2x

(4)将 x 看作 y 的函数,即对 x = x ( y ) 进行求解,可将原方程化为未知函数为 x = x ( y ) 的

线性方程
1? 2y dx + x ? 2 =1, dy y 1? 2y Q( y ) = 1 . y2 首先求出 ∫ Pdy = ? 1 ? 2 ln y ,然后代入通解公式,可得所求通解为 y

于是, P( y ) =

x = ey

1 + 2ln y

? 1 ? 2ln y ? ? y dy + C ? ? ∫1 ? e ? ? 1 1 1 ? ? ? = y 2 e y ? ∫ 12 ? e y dy + C ? = Cy 2 e y + y 2 . ? y ?

(5)将 x 看作 y 的函数,即对 x = x ( y ) 进行求解,可将原方程化为未知函数为 x = x ( y ) 的

线性方程
dx ? x = ?e ? y , dy

于是, P( y ) = ?1 Q ( y ) = ? e ? y .

-5-

首先求出 ∫ Pdy = ? y ,然后代入通解公式,可得所求通解为
x = e y ? ∫ e ? y ? e ? y dy + C

(

)

=

1 ?y e + Ce y . 2

(6)令 u =

dy du y , 则 = u + ( x ? 1) , 代入原方程并整理 x ?1 dx dx 2u dx du = . 2 3?u x ?1

两边积分得

ln(u 2 ? 3) = ? ln x + ln C ,
变量回代得所求通解

y2 C ?3= . 2 ( x ? 1) x
2. 求解下列初值问题: (1) ( y ? 2x y )d x + x 2d y = 0 , y x =1 = e ; (2) x y ′ + y = sin x , y (π ) = 1 ; (3) y ′ =
y , y (2) = 1 ; x ? y2 (4) y ′ ? y = x y 5 , y (0) = 1 .



(1)这是一个齐次线性方程,整理得
?

dy (1 ? 2 x) + ?y =0, dx x2

其通解为 y = Ce 故所求特解为



(1? 2 x ) x2

dx

=Cx2 e x ,将初始条件 y x =1 = e 代入上式,可得 C = 1 ,

1

1

y =x 2 e x .

(2) 这是一阶线性非齐次方程,其中 P ( x ) = 1 , Q ( x ) = 1 sin x . x x 首先求出 ∫ Pdx = ln x (积分后,不再加任意常数), 然后用公式(10-6)可得所求通解为 ? P dx ? P dx Pdx y = Ce ∫ + e ∫ Qe∫ dx



= C ? cos x x
将初始条件 y (π ) = 1 代入上式,可得 C = π ? 1 ,故所求特解为 π ? 1 ? cos x . y= x (3)将 x 看作 y 的函数,即对 x = x ( y ) 进行求解,可将原方程化为未知函数为 x = x ( y ) 的 线性方程
dx 1 ? x = ?y , dy y

于是, P ( y ) = ? 1 Q( y ) = ? y . y 首先求出 ∫ Pdy = ? ln y ,然后代入通解公式,可得所求通解为
-6-

? 1 ? x = y ? ∫ ? (? y )dy + C ? ? y ? 2 = Cy ? y . 将初始条件 y (2) = 1 代入上式,可得 C = 3 ,故所求特解为

x = 3y ? y2 .
(4) 这是伯努利方程,以 y 5 除方程的两端,得
dy d( y ?4 ) ? y ?4 = x, 即 ? 1 ? y ?4 = x, dx 4 dx dz + 4 z = ?4 x. 令 z = y ?4 , 则上述方程变为 dx 1 解此线性微分方程(过程略),可得 z = ? x + + Ce?4 x , 4 1 4 ?4 x 4 得所求通解为 y = z = (? x + + Ce ) ,将初始条件 y (0) = 1 代入上式,可得 C = 3 ,故 4 4 所求特解为 1 3 y = z 4 = (? x + + e?4 x )4 . 4 4 3. 通过适当变换求下列微分方程的通解: dy 4 dy (1) ? y =x2 y . ? 1 = 1 ; (2) dx x dx x ? y dy du 解 (1)令 y ? x = u 则 = + 1, 原方程化为 dx dx du 1 =? . dx u 分离变量,得 ud u = ? d x , 两端积分得 u2 = ?x + C 2 以 y ? x = u 代入上式,得通解 y ?5 ( y ? x) 2 = ?x + C 2 . (2)这是伯努利方程,其中 n =
1

1 4 , P( x) = ? , Q( x) = x 2 ,则有公式得通解 2 x

? (1? n ) P ( x )dx ? ∫ (1? n ) P ( x )dx dx + C ? y1? n = y 2 = e ∫ ? ∫ Q ( x)(1 ? n)e ? ? ? 1 = e2ln x ( ∫ x2 ? ? e?2ln x dx + C ) 2 1 2 = ( x + C)x . 2 4. 求过原点的曲线,使其每一点的切线斜率等于横坐标的 2 倍与纵坐标之和. 解:由题意可得方程 dy = 2x + y , dx 这是一阶非齐次线性方程,其中 P( x) = ?1, Q( x) = 2 x ,然后用公式(10-6)可得所求通解


? P dx ? P dx Pdx y = Ce ∫ + e ∫ ∫ Qe∫ dx

-7-

= ?2 x ? 2 + Ce ? x .

习题 10-4
1. 求下列微分方程的通解: (1) y ′′ = sin x ? 2x ; (3) x y ′′-2y ′ = 0 ; (5) y ′′=2(y ′)2 ; 解:(1) y ′ = ? cos x ? x 2 + C1 , (2) y ′′′ = e2x ? cos x ; (4) x y ′′ + y ′ = 4x ; (6) y 3 y ′′ = 1

1 y = ? sin x ? x3 + C1 x + C2 , 3 1 1 2x (2) y ′′ = e ? sin x + C1 , y ′ = e2 x + cos x + C1 x + C2 , 2 4 1 2x 1 y = e + sin x + C1 x 2 + C2 x + C3 . 8 2 (3) 该方程是不显含 y 的方程,令 y ′ = p ,则 y ′′ = p ′ .原方程化为一阶方程 xp′ ? 2 p = 0 .
分离变量,得
1 2 dp = dx . p x

两边积分得: p = C1 x 2 再积分一次即得原方程的通解为 y = 1 C1 x3 + C2 . 3 (4) 该方程是不显含 y 的方程,令 y ′ = p ,则 y ′′ = p ′ .原方程化为一阶方程
xp′ + p = 4 x .

整理,得
p′ + p = 4, x

这是一阶非齐次线性方程,解得 p =

C1 + 2 x 再积分一次即得原方程的通解为 x y = C1 ln x + x 2 + C2 .
dp ,原方程化为 dy

(5)该方程是不显含 x 的方程,令 y ′ = p ,则 y ′′ = p
p dp = 2 p2 . dy

分离变量得

dp = 2dy .两边积分得: p
p = C11e 2 y .

再由

dy = C11e2 y ,解得 e?2 y = C1 x + C2 . dx
dp ,原方程化为 dy

(6)该方程是不显含 x 的方程,令 y ′ = p ,则 y ′′ = p
pdp = dy . y3

C1 y 2 ? 1 C y2 ? 1 dy 得 p 2 = ? 12 + C1 = 1 2 .解得: = dx y y y

可解得通解为: C1 y 2 ? 1 = (C1 x + C2 )2 .

-8-

2. 求解下列初值问题: (1) y ′′′ = 12x + cos x , y (0) = ?1, y ′(0) = y ′′(0) = 1 ;
(2) x 2 y ′′ + x y ′ = 1, y
x =1

= 0, y ′

x =1

= 1;

(3) y y ′′ = ( y ′)2 , y (0) = y ′(0) = 1 .



(1)相继积分三次得出:
y ′′ = 6 x 2 + sin x + C1 , y ′ = 2 x 3 ? cos x + C1 x + C2 , y =

1 4 1 x ? sin x + C1 x 2 + C2 x + C3 , 2 2 以 y (0) = ?1, y ′(0) = y ′′(0) = 1 代入后可得出 C1 = 1, C2 = 2, C3 = ?1 ,于是所求特解为

1 4 1 x ? sin x + x2 + 2 x ? 1 . 2 2 (2)令 y ′ = p , 代入方程并整理,有 p′ + 1 p = 12 . x x 这是一阶线性非齐次方程,代入公式,得 p = y ′ = 1 (C1 + ln x) x 1 (1 + ln x ) 由条件? y ′ x =1 = 1 得 C1 = 1, 所以 y ′ = x 两端再积分,得 y = ln x + 1 (ln x )2 + C2 . 2 又由条件? y x =1 = 0, ?得 C2 = 0, y=y=
于是所求初值问题的解为 1 y = ln x + (ln x )2 . 2 dp (3)令 y ′ = p , 由 y ′′ = p 代入方程并化简得 dy dp y = p. dy 上式为可分离变量的一阶微分方程,解得 p = y ′ = Cy 再分离变量,得
dy = dx, Cy

由初始条件 y (0) = y ′(0) = 1 得出 C = 1, 从而得
dy = dx, y

再两边积分,得 y = C1e x , y (0) = 1 ,得 C1 = 1, 从而所求特解为 y = e x . y ′′ 3. 已知平面曲线 y = f (x ) 的曲率为 ,求具有常曲率 K ( K > 0) 的曲线方程. (1 + y ′)3 2 y ′′ 解:由题意得方程 = K ( K > 0) ,令 y ′ = p ( x), 代入方程,有 p ′ = K (1 + p )3 2 (1 + y ′)3 2 dp 1 即 = Kx + C1 = Kdx. 解之,得 ? 3 2 1+ p (1 + p ) 2
dp (1 + p )
3 2

= Kdx.

习题 10-5

-9-

1.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的? 2 2 (1) ex , x ex ; (2) eax , ebx (a ≠ b) ;
(3) 1 + cos 2x , sin x ; (4) cos x, sin x .
2

解:(1)无关;(2)无关;(3)无关;(4)无关. 2. 验证 y1 = x 与 y2 = e x 是方程 ( x ? 1) y′′ ? xy′ + y = 0 的线性无关解,并写出其通解.

′ ′′ ′ ′′ 解:当 y1 = x , y1 = 1 , y1 = 0 ,代入满足方程;当 y2 = e x , y2 = e x , y2 = e x ,代
入也满足方程;另外, y1 = x , y2 = e x 是线性无关的(由定义可知),方程的通解为:

y = C1 y1 + C2 y2 = C1 x + C2 e x .
3. 求下列微分方程的通解: (1) y ′′ ? 2 y ′ ? 3 y = 0 ; (3) y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0 ; (5) y ′′ + 2y ′ + 5 y = 0 ; (7) y ′′ + y = x + ex ;
2

(2) (4) (6) (8)

y ′′ ? 2 y ′ ? 8 y = 0 ; y ′′ ? 6y ′ + 9 y = 0 ; y ′′ + 16 y = 0 ; y ′′ + y = 4sin x .

解:(1) 特征方程 r ? 2r ? 3 = 0 的根为: r1 = ?1,r2 =3 ,通解为 y = C1e ? x + C2 e3 x ;
(2) 特征方程 r 2 ? 2r ? 8 = 0 的根为: r1 = ?2,r2 = 4 ,通解为 y = C1e ?2 x + C2 e 4 x ; (3) 特征方程 r 2 + 4r + 4 = 0 的根为: r1 = r2 = ?2 ,通解为 y = C1e?2 x + C2 xe ?2 x ; (4) 特征方程 r 2 ? 6r + 9 = 0 的根为: r1 = r2 = 3 ,通解为 y = C1e3 x + C2 xe3 x ; (5) 特征方程 r 2 + 2r + 5 = 0 的根为: r1,2 = ?1 ± 2i ,通解为 y = e ? x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x ) ; (6) 特征方程 r 2 + 16 = 0 的根为: r1,2 = ±4i ,通解为 y = C1 cos 4 x + C2 sin 4 x ; (7) 特征方程 r 2 + 1 = 0 的根为: r1 = r2 = ±i ,齐次通解为 y = C1 cos x + C2 sin x ;
f ( x) = x + e x 可以看成是 f1 ( x ) = x 与 f 2 ( x ) = e x 之和.

所以分别求方程 y ′′ + y = x 与方程 y ′′ + y = e x 的特解. 容易求得方程 y ′′ + y = x 的一个特解为: y1 = x . 按例 9 的方法可求得方程 y ′′ + y = e x 的一个特解为: y2 = 1 e x . 2 1 x .故原方程的通解为 于是原方程的一个特解为 y = y 1 + y 2 = x + e 2 1 x y = y + Y = x + e +C1 cos x + C2 sin x . 2 αx (8) f ( x) = 4sin x 为 e ( A cos ωx + B sin ωx ) 型的函数,且 α = 0 , ω = 1 , α + ωi = i 是特 征方程 r 2 + 1 = 0 的根,所以取 k = 1 .设特解为 y = x ( C cos x + D sin x ) .

y ′ = C cos x + D sin x + x ( D cos x ? C sin x ) .

y ′′ = 2D cos x ? 2C sin x ? x (C cos x + D sin x ) .

代入原方程,得 2 D cos x ? 2C sin x = 4sin x . 比较两端 sin x 与 cos x 的系数,得 C = ?2, D = 0 ,故原方程的特解为 y = ?2 x cos x . 而对应齐次方程 y ′′ + y = 0 的通解为 Y = C1 cos x + C2 sin x . 于是原方程的通解为 y = y + Y = ?2 x cos x + C1 cos x + C2 sin x .
4. 求解下列初值问题: (1) y ′′ + 2 y ′ + y = 0, y|x=0=4、y′| x=0=?2; (2) y ′′ ? 2y ′ + y = 0 , y (0) = y ′(0) = 1

解:(1) 特征方程 r 2 + 2r + 1 = 0 的根为: r1 = r2 = ?1 ,通解为 y = C1e ? x + C2 xe ? x ;代入初 值条件 y |x = 0 = 4、y ′ |x = 0 = ?2 ,得 C1 = 4, C2 = 2 ,方程特解为 y = 4e ? x + 2 xe ? x .
- 10 -

(2) 特征方程 r 2 ? 2r + 1 = 0 的根为: r1 = r2 = 1 ,通解为 y = C1e x + C2 xe x ;代入初值条件 y (0) = y ′(0) = 1 ,得 C1 = 1, C2 = 0 ,方程特解为 y = e x .
5. 求下列微分方程的一个特解: (2) y ′′ + 9y ′ = x ? 4 ; (1) y ′′ ? 2y ′ ? 3 y = 3x + 1 ; ′′ ? 2y ′ + y = ex ; (3) y (4) y ′′ + 9y = cos x + 2x + 1 . 解:(1) 因为 f ( x) = 3x + 1 ,且 y 的系数 q = ?3 ≠ 0 ,设特解为 y? = Ax + B .

则? ( y ? )′ = A , ( y ? )′′ = 0 ,代入原方程,得 ?2 A ? 3( Ax + B) = 3x + 1 , 使两端 x 同次幂的系数相等: A = ?1, B = 1 ,所求的特解为 y? = ? x + 1 . 2 2 (2) 因为 f ( x) = x ? 4 ,且 y 的系数 q = 0 ,设特解为 y? = x( Ax + B) . 则? ( y ?)′ = 2 Ax + B , ( y ?)′′ = 2 A ,代入原方程,使两端 x 同次幂的系数相等 得, A = 1 , B = ?37 ,所求的特解为 y? = 1 x 2 ? 37 x . 18 81 18 81 2 (3) α = 1 是 特 征 方 程 r ? 2r + 1 = 0 的 重 根 , 取 k = 2 , 所 以 可 设 原 方 程 的 特 解 为 y = Bx 2 e x ,则 ? y ′ = 2Bxe x + Bx 2 e x,y ′′ = 2Be x + 4 Bxe x + Bx 2 e x ,代入原方程得解得 B = 1 , 2 故方程有一特解为 y = 1 Bx 2 e x . 2 (4) f ( x) = cos x + 2x + 1 可以看成是 f1 ( x ) = 2 x + 1 与 f 2 ( x ) = cos x 之和. 所以分别求方程 y ′′ + 9y = 2x + 1 与方程 y ′′ + 9y = cos x 的特解. 容易求得方程 y ′′ + 9y = 2x + 1 的一个特解为: y1 = 2 x + 1 . 9 9 1 cos x . 另求得方程 y ′′ + 9y = cos x 的一个特解为: y2 = 8 2 x + 1 + 1 cos x . 于是原方程的一个特解为 y = y 1 + y 2 = 9 9 8

习题 10-6
1. 求下列函数的一阶与二阶差分: (1) yt=3t2-t3; (2) yt=e2t; (3) yt=lnt; (4) yt=t2·3t. 2 3 解:(1) ?yt = 3 ( t + 1) ? ( t + 1) ] ( 3t 2 ? t 3 ) = ?3t 2 +3t + 2 , [ ?
? 2 yt = ? ( ?yt ) = ? ( ?3t 2 +3t + 2 ) = ?6t ;

(2) ?yt = e 2(t +1) ? e 2t = e 2t (e 2 ? 1) , (3) ?yt = ln(t + 1) ? ln t ,
2

? 2 yt = ? ( ?yt ) = ? ( e 2t (e 2 ? 1) ) = (e 2 ? 1) ? ? (e2t ) = e 2t (e 2 ? 1) 2 ,

(4) ?yt = ( t + 1) 3t +1 ? t 2 3t = 3t ( 2t 2 + 6t + 3) ,
= 3 ( 4t + 24t + 30 )
t 2

? 2 yt = ?(?yt ) = ? ( ln(t + 1) ? ln t ) = ln(t + 2) ? 2ln(t + 1) + ln t
? 2 yt = ? ( ?yt ) = ? 3t ( 2t 2 + 6t + 3) = 3t +1 ( 2(t + 1) 2 + 6t + 9 ) ? 3t ( 2t 2 + 6t + 3 )

(

)

2. 将差分方程 ?2yt+2?yt=0 表示成不含差分的形式. 解:因为 ?yt = yt +1 ? yt , ?2 y t = ? ( ? y t ) = ? y t +1 ? ? y t = yt + 2 ? 2 yt +1 + yt ,

故 ? 2 yt + 2?yt = 0 可化为 yt + 2 ? 2 yt +1 + yt + 2( yt +1 ? yt ) = yt + 2 ? yt = 0
3. 指出下列等式哪一个是差分方程,若是,确定差分方程的阶:
- 11 -

(1) yt+5-yt+2+yt-1=0; (2) ?2yt-2yt=t; (3) ?3yt+yt=1; (4) 2?yt=3t-2yt; (5) ?2yt=yt+2-2yt+1+yt. 解:(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为 6,因此方程的阶为 7; (2) 是差分方程.由于 ? 2 yt = yt + 2 ? 2 yt +1 + yt ,方程变为 yt + 2 ? 2 yt +1 ? yt = t ,方程中未知函 数下标的最大差为 2,因此方程的阶为 2; 方程变为 yt + 3 ? 3 yt + 2 + 3 yt +1 = 1 , 未知函 (3)是差分方程.由于 ?3yt = yt + 3 ? 3 yt + 2 + 3 yt +1 ? yt , 数下标的最大差为 2,因此方程的阶为 2; (4) 将原方程变形为 2(yt+1-yt)= 3t-2yt,即 2yt+1=3t,不符合定义 3′,因此,该等式不是差 分方程. (5) 不是差分方程.由于 ? 2 yt = yt + 2 ? 2 yt +1 + yt ,方程变为 0 = 0 ,所以不是差分方程. 4. 验证 yt=C(-2)t 是差分方程 yt+1+2yt=0 的通解. 解: yt +1 + 2yt = C (?2)t +1 + 2C (?2)t = 0 ,所以是解,又方程的阶数是 1,所以是通解.

习题 10-7
1. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解: (2) yt+1+3yt=0; (1) yt+1-2yt=0; (3) 3yt+1-2yt=0. 解:(1)特征方程为:λ-2=0,特征根为 λ=2,于是原方程的通解为 yt=C2t. (2)特征方程为:λ+3=0,特征根为 λ=-3,于是原方程的通解为 yt=C(-3)t.

(2)特征方程为:3λ-2=0,特征根为 λ = ? 2 ,于是原方程的通解为 yt = C ? 2 . 3 3
2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解: (1) yt+1-3yt=0,且 y0=3; (2) yt+1+yt=0,且 y0=-2. 解 (1)特征方程为 λ ? 3 = 0 ,特征根为 λ = 3 ,于是原方程的通解为 yt = C 3t .

( )

t

将初始条件 y0=3 代入,得出 C=3,故所求解为 yt = 3t +1.
(2)特征方程为 λ + 1 = 0 ,特征根为 λ = ?1 ,于是原方程的通解为 yt = C ( ?1)t .

将初始条件 y0=-2 代入,得出 C=-2,故所求解为 yt = ?2( ?1)t .
3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解: (2) yt+1-yt=-3; (1) yt+1+2yt=3; 2 (3) yt+1-2yt=3t ; (4) yt+1-yt=t+1; (5) y t +1 ? 1 y t = ? 5 ? ; ? ? 2 ? 2?
t

(6) yt+1+2yt=t2+4t.

解 (1) 由于 a=-2,k=3,令 y*t=A(待定系数),代入方程得 A+2A=3,从而 A=1,即 y*t=1, 故原方程的通解为 yt=C(-2)t+1. (2) 由于 a=1,k=-3,令 y*t=At(待定系数),代入方程得 A=-3,即 y*t=-3t,故原方程的 通解为 yt=-3t+C. * * (3) 设 y t=A0+A1t+A2t2 为原方程的解,将 y t 代入原方程并整理,比较同次幂系数, 可得 A0=-9,A1=-6,A2=-3. 从而 y *t = ?9 + ?6t ? 3t 2 ,故原方程的通解为
yt = ?9 + ?6t ? 3t 2 + C 2t .
- 12 -

(4) 由于 a=1,设 y t=(A0+A1t)t 为原方程的解, y t 代入原方程并整理, 将 比较同次幂系数, 1 ,从而 * 1 可得 A0 = A1 = y t = t (t + 1) ,故原方程的通解为 2 2 1 yt = t (t + 1) + C. 2 1 5 ,令原方程有一个特解为 * 5 (5) 由 a = ,k = 1,b = y t = A·( )t ,解得 A = 3 . 2 2 2 5
* *

于是原方程的通解为 yt = 3·( 5 )t + C 1 . 5 2 2
(6)设 f1(t)= t2,f2(t)= 4t,则 f(t)=f1(t)+f2(t). * 对于 f1(t)= t2,因 a=-2≠1,可令特解 y t1= A0+A1t+A2t2; * 对于 f2(t)= 4t,因 a=-2≠4,可令 y t2=B4t * 故原方程的特解可设为 y t= A0+A1t+A2t2 +B4t,代入原方程,得 A0 = ? 1 ,A1 = ? 2 ,A2 = 1 , B = ? 1 , 27 9 3 4 1 + ? 2 t + 1 t 2 ? 4t ?1 ,故所求通解为 y = ? 1 + ? 2 t + 1 t 2 ? 4t ?1 + C (?2)t . ? 于是 yt = ? t 27 9 3 27 9 3 4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解: (1) yt+1-yt=3+2t,且 y0=5; (2) 2yt+1+yt=3+t,且 y0=1; (3) yt+1-yt=2t-1,且 y0=2. * * 解 (1) 由于 a=1,设 y t=(A0+A1t)t 为原方程的解,将 y t 代入原方程并整理,比较同次幂 系数, 可得 A0 = 2, A1 = 1 ,从而 y *t = t (t + 2) ,故原方程的通解为 yt = t (t + 2) + C . 又有初始条件 y0=5,可知 C = 5 ,故特解为 yt = t (t + 2) + 5. * * (2) 由于 a = ? 1 ,设 y t=A0+A1t 为原方程的解, y t 代入原方程并整理, 将 比较同次幂系数, 2 可得 A0 = 7 , A1 = 1 ,故原方程的通解为 yt = 1 t + 7 + C (? 1 )t . 又有初始条件 y0=1,可知 C = 2 , 9 3 3 9 2 9 故特解为 yt = 1 t + 7 + 2 ? (? 1 )t . 3 9 9 2 (3) 由 a=1 可知,对应的齐次方程的通解为 yt=C. 设 f1(t)=2t,f2(t)=-1,则 f(t)=f1(t)+f2(t). * * 对于 f1(t)=2t,因 a=1≠3,可令 y t1=A2t;对于 f2(t)=-1,因 a=1,可令 y t2=Bt.故原方程 * 的特解可设为 y t=A2t+Bt,代入原方程,得 A = 1,B = ?1 ,故所求通解为 yt = C + 2t ? t

()

t

又有初始条件 y0=2,可知 C = 1 ,故特解为 yt = 1 + 2t ? t .
5. 某人向银行申请 1 年期的贷款 25000 万元,约定月利率为 1%,计划用 12 个月采用 每月等额的方式还清债务, 试问此人每月需付还银行多少钱?若记 yt 为第 t 个月后还需偿还 的债务,a 为每月的还款额,写出 yt 所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式. 解 先对问题的进行分析, 第 1 个月后还需偿还的贷款为 y1= y0 (1+1%)-a; 第 2 个月后还需偿还的贷款为 y2=y1(1+1%)-a; …… 第 t+1 个月后还需偿还的贷款为 yt+1=yt (1+1%)-a , 即

- 13 -

yt+1-1.01yt=-a. 这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程,其对应的齐次方程的特征根为 λ=1.01≠1, 设差分方程有特解 y*t=A,代入得到 A = 100a ,于是有通解 yt = C (1.01)t + 100a . 代入初始条件 y0=25000,及 y12 = C (1.01)t + 100a = 0 得
?C + 100a = 25000 , ? 12 ?C (1.01) + 100a = 0

从上面的等式解得
1.0112 . a = 25000 ?12 100 ? 1.01 ? 100 6. 设某产品在时期 t 的价格、供给量与需求量分别为 Pt,St 与 Qt(t=0,1,2,…).并满

足关系:(1)St=2Pt+1,(2)Qt=-4Pt-1+5,(3) Qt=St. 求证:由(1)(2)(3)可推出差分方程 Pt+1+2Pt=2.若已知 P0,求上述差分方程的解. 解 由题意可得 2Pt+1=-4Pt-1+5,即 2Pt+1=-4Pt+4,得差分方程 Pt+1+2Pt=2, 容易求得方程的特解为: y * = 2 ,方程的通解为: y = 2 + C (?2)t , 当t = 0时, y = p0, 3 3 2 ,故所求差分方程的解为 y = 2 + ( p ? 2 )(?2)t . 所以C = p0 ? 0 3 3 3 7. 设 Ct 为 t 时期的消费,yt 为 t 时期的国民收入,I=1 为投资(各期相同),设有关系式 Ct=ayt-1+b,yt=Ct+1, 其中 a,b 为正常数,且 a<1,若基期(即初始时期)的国民收入 y0 为已知,试求 Ct,yt 表示为 t 的函数关系式. 解 由 Ct=ayt-1+b,yt=Ct+1,得 yt ? ayt-1 = b + 1 ,又因为 a<1,故可设特解为 y * = A ,代 入得 A = b + 1 ,所以方程的通解为 y = b + 1 + Ca t , 当t = 0时, y = y0, 所以C = y0 ? 1 + b ,故所 1? a 1? a 1? a 求差分方程的解为 yt = (y0 ?

1+ b t 1+ b 1+ b t a + b ,从而 Ct = (y0 ? . )a + )a + 1? a 1? a 1? a 1? a

复习题 10 (A) 1. 通解为 y=Ce-x+x 的微分方程是 解 方程是一阶的, y′ = ?Ce
x
2x

.

?x

+ 1 ,方程为 y′ = x ? y + 1 .

2. 通解为 y=C1e +C2e 的微分方程是 . 解 易见这是二阶常系数方程的解,特征根为 r1 = 1, r2 = 2 ,特征方程为 r 2 ? 3r + 2 = 0 所以微分方程为 y′′ ? 3 y′ + 2 y = 0 . 3. 微分方程 xdy-(x2e x+y)dx=0 的通解是


.

解 方程可化为 y′ ?

y = xe? x ,通解为 y = ? xe ? x + Cx . x
.

4. 微分方程 xy′+y=0 满足初始条件 y(1)=1 的特解是

dy dx 解 分离变量得 = ? ,通解为 xy = C ,初始条件 y(1)=1 特解为 xy = 1. y x
5. 设非齐次线性微分方程 y′+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)与 y2(x),C 是任意常数, 则该方程的通解是 . A C[y1(x)+y2(x)] B C[y1(x)-y2(x)]
- 14 -

所以选择 C. 为: y* = y1 ( x ) 或者 y* =y2 ( x ),

C y1(x)+C[y1(x)-y2(x)] D y1(x)+C[y1(x)+y2(x)] 解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解,齐次通解 Y = [y1 ( x ) ? y2 ( x ) ] ,非齐次特解 C .

6. 微分方程 y″+4y=sin2x 的一个特解形式是

A Ccos2x+D(sin2x) B D (sin2x) C x[Ccos2x+ D (sin2x)] D x·D (sin2x) 解 因为 α = 0 , ω = 2 , α + ω i = 2i 是特征方程 r 2 + 4 = 0 的根,所以取 k = 1 .设特解为 y = x ( C cos 2 x + D sin 2 x ) .选择 C.
7. 解下列一阶微分方程: (1) (1+y2)dx=xy(x+1)dy; (2) x(y′+1)+sin(x+y)=0; y y (3) (x + y cos )dx = x cos d y ; (4) xy′+2y=sinx; x x (5) tanydx=(siny-x)dy; (6) (y-2xy2)dx=xdy. y 1 解 (1)分离变量 dy = dx ,积分得 1 ln(1 + y 2 ) + 1 ln C = ln( x ) , 2 2 x +1 x ( x + 1) 1 + y2

化简得 C (1 + y 2 ) = (
(2)令 u = x + y, 则

x 2 ) ; x +1
1 ? cos( x + y ) C = . x sin( x + y )

dy du = ? 1 ,原方程化为 x du + sin u = 0,即 du = ? dx ,积分得 dx dx x dx sin u

ln(csc u ? cot u ) = ? ln x + ln C ,化简并整理得通解: (1 +

y y cos ) dy x x = , 令u = y , 则 dy = x du + u ,原方程化为 cosudu = dx , (3) 原方程可化为 y dx x dx dx x cos x y 积分得 sin u = ln | x | +C , 方程通解为 sin = ln | x | +C. x (4)这是一阶线性非齐次方程, P( x) = 2 , Q ( x) = sin x ,所以方程通解为 x x
? Pd x Pdx 1 y = e ∫ ( ∫ Qe ∫ dx + C ) = 2 ( sin x ? x cos x + C ) x dx siny ? x (5) )设 x = x( y ) , 方程化为 这是一阶线性非齐次方程, = = ? x cot y + cos y , dy tany

P( y ) = cot y, Q( y ) = cos y ,所以方程通解为
? Pdy Pd y x = e ∫ ( ∫ Qe ∫ dy + C ) =

1 ?1 2 ? ? sin y + C ? sin y ? 2 ?

(6)方程可化

dy  ? xy 2 y y 这是伯努利方程, 其中 P ( x ) = ? 1 , Q ( x ) = ?2, n = 2 , = = ? 2 y2 , dx x x x
1? n ? (1? n ) P ( x )dx ? (1? n ) P ( x )dx x2 + C =e ∫ Q ( x )(1 ? n)e ∫ dx + C ? = ,即 ?∫ ? x ? ? x 2 y ? x = Cy .

所以方程通解为 y

8. 解下列二阶微分方程:

- 15 -

ln (1 + x ) 1 p ,所以 p ( x ) = (C1 + ( x + 1) ln( x + 1) ? x) = x +1 1+ x 1+ x C ?x = 1 + ln( x + 1) ,两边积分 y = ∫ p( x )dx =( x + C1 +2) ln(1 + x) ? 2 x + C2 . x +1 (2)这是二阶常系数非齐次方程,由 p =2 ≠ 0, 设特解为 y? = Ax 2 + Bx + C ,带入方程并 5 13 对比两端 x 的系数,得 A = 1, B = ? 5 , C = 13 ,故非齐次特解为 y* = x 2 ? x + ;齐次通 2 4 2 4 5 13 解为 y = C1e ? x + C2 e ?2 x ,从而方程通解为 y = C1e ? x + C2 e ?2 x + x 2 ? x + . 2 4
即 p′ + (3) 这是二阶常系数非齐次方程,因为 α = 1 是特征方程 r 2 + 2r ? 3 = 0 的单根,所以取 1 1 k = 1 .设特解为 y = B x ex ,代入原方程后,解得 B = ,故方程的一个特解为: y = xe x . 2 2 所求的通解为 1 y = C1e x + C2 e3 x + xe x . 2 (4) f ( x) = x + cosx 可 以 看 成 是 f1 ( x ) = x 与 f 2 ( x ) = cos x 之 和 . 所 以 分 别 考 察 方 程 y ′′ + y = x 与方程 y ′′ + y = cos x 的特解. 容易求得方程 y ′′ + y = x 的一个特解为: y1 = x . 容易求得方程 y ′′ + y = cos x 的一个特解为: y2 = 1 x sin x . 2 于是原方程的一个特解为 y = y 1 + y 2 = x +

(1) (1+x)y″+y′=ln(1+x); (2) y″+3y′+2y=2x2+x+1; (3) y″+2y′-3y=2ex; (4) y″+y=x+cosx. 解 (1)易见不显含 y,令 y ′ = p ( x ), 则y ′′=p′, 代入方程得 (1 + x ) p′ + p = ln (1 + x ) ,

1 x sin x . 2 1 x sin x . 2

又原方程所对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 的通解为 Y = C1 cos x + C2 sin x , 故原方程的通解为 y = C1 cos x + C2 sin x + x +
9. 解下列差分方程: (1) yt+1+4yt=2t2+t-1; 解 (1) 由 于 a=4 , 令

(2) yt+1-yt=t·2t+3. y t=A0+A1t+A2t2 ( 待 定 系 数 ) , 代 入 方 程 得
*

y *t = ?

36 1 2 36 1 2 + t + t 2 ,故原方程的通解为 yt = ? + t + t 2 + C ( ?4)t . 125 25 5 125 25 5

(2) 分别求 yt+1-yt=t·2t 和 yt+1-yt=3 的特解, * 对 yt+1-yt=t·2t,由 a=3,b=2,可设原方程有一特解为 y t=(A0+A1t)2t,代入原方程, * 可解得 y *t = (?2 + t )2t ;对 yt+1-yt=3,由 a=1,可设原方程有一特解为 y t=Bt,代入原方程,

可解得 y *t = 3t ; 故原方程的通解为 yt = C + ( ?2 + t )2t + 3t (B) 1. 设 曲 线 y=f(x) 过 点 (0 , -1) , 且 其 上 任 一 点 处 的 切 线 斜 率 为 2xln(1+x2) , 则
f(x)=

) 直接积分得 y = ∫ 2xln (1 + x )dx = ∫ ln (1 + x )d (1 + x ) , 利用分部积分法 y = (1 + x )ln (1 + x ) ? x + C ,过点(0,-1),代入可得 C = ?1 ,
解 易得微分方程 y ′ = 2xln 1 + x 2 ,
2 2 2 2 2 2

.

(

- 16 -

所以 f(x)= (1 + x 2 )ln 1 + x 2 ? x 2 ? 1. 2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加 10%的基础上再追加奖金 3 百万元.若以 yt 表 . 示第 t 年的工资总额(单位:百万元),则 yt 满足的差分方程是 解 易见 yt +1 = yt (1 + 0.01) + 3 ,所以差分方程为 yt ? 1.1yt ?1 = 3 . 3. 微分方程 解
dy y y3 . = ? 3 满足初始条件 y(1)=1 的特解是 d x x 2x y dy du 令 = u, 则y = xu, 所以 =u+x , 带 入 方 程 得 , x du = ? 1 u 3 , 求 解 得 dx dx dx 2 x
x? ? = ln x + C , 代入条件 y(1)=1,可得 C = 1 ,化简得 y = ± y?
2

(

)

u ?2 = ln x + C , 即 ? ? ?

x ln x + 1

.

4. 差分方程 2yt+1+10yt=5t 的通解是

.

解 由 a = ?5 ≠ 1 ,设特解为 y *t = Bt + A ,代入得 A = ?

5 5 , B = ,所以通解为 72 12

yt = C ( ?5)t ?

5 5 + t. 72 12

5. 设三个线性无关函数 y1,y2,y3 都是二阶线性非齐次微分方程 y″+Py′+Qy=f(x)的解, . C1,C2 是独立的任意常数,则该方程的通解是 A B C D 解 C1y1+C2y2+y3 C1y1+C2y2-(C1+C2)y3 C1y1+C2y2-(1-C1+C2)y3 C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 非 齐 次 通 解 = 齐 次 通 解 + 非 齐 次 特 解 , y1 ? y2,y1 ? y3 , y2 ? y3 是 齐 次 方 程

非齐次特解为: y* = y1 ( x ) 或y* =y2 ( x ) 或y* =y3 ( x ), 所以选择 D.

y″+Py′+Qy=0 的解,而且是线性无关的,所以齐次通解为: C1 y1 + C2 y2 + ( ?C1 ? C2 )y3 , 6. 设 f(x)=g1(x)·g2(x),其中 g1(x),g2(x)在(-∞,+∞)内满足条件 g1′(x)=g2(x), g1(x)=g2′(x), x 且 g1(0)=0,g1(x)+g2(x)=2e . (1) 求 f(x)所满足的一阶微分方程; (2) 求出 f(x)的表达式. 2 ′ ′ 解 (1) f ′( x ) = g1 ( x ) g 2 ( x ) + g1 ( x ) g 2 ( x ) = g 2 ( x ) + g12 ( x )

= [ g1 ( x) + g 2 ( x)]2 ? 2 g1 ( x) g 2 ( x) = (2e x ) 2 ? 2 f ( x ) 故 f(x)所满足的一阶微分方程为: f ′( x ) ? 2 f ( x ) = 4e 2x .
? 2dx 2dx (2) f ( x) = e ∫ ( ∫ 4e2 x e ∫ dx + C ) = e?2 x ( ∫ 4e4 x dx + C )

= e?2 x (e4 x + C ) = e2 x + Ce?2 x
由 g1(0)=0,则 f(0)=g1(0)·g2(0)=0,代入上式得: C = ?1 所以 f(x)的表达式为: f ( x) = e2 x ? e?2 x .
7. 设连续函数 f(x)满足 f (x ) = 2x ∫ f (tx )d t + ex (1 ? x ) ,且 f(0)=1,求 f(x).
2

1

0

解 设 y = F ( x) =
x 1



x

0

f (u )du , 显然 y′ = f ( x ) ,
1
1
2

又 令 u = xt , 当 u = 0时, t = 0; 当u = x时,t = 1; du = xdt , 且

则∫ f (u )du = ∫ f (tx) ? xdt = f ( x) = x ∫ f (tx)dt = y , 所 以 f (x ) = 2x ∫0 f (tx )d t + ex (1 ? x )
0 0 0

- 17 -

可化为微分方程 y ′ ? 2 y = e x (1 ? x ) ,这是一阶线性非齐次方程,解得 2 ? Pdx Pdx 1 2 y = e ∫ ( ∫ Qe ∫ dx + C ) = Ce2 x ? e x , y ′ = f ( x ) = 2Ce 2 x ? xe x , 又 因 为 f(0)=1, 可得 2
2

2C = 1 ,所以 f ( x) = e 2 x ? xe x .
2

8. 在 xOy 坐标平面中,连续曲线 L 过点 M(1,0),其上任意点 P(x,y)(x≠0)处的切线 斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a>0). (1) 求 L 的方程; (2) 当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 4 时,确定 a 的值. 解 (1) 由 题 意 可 得 方 程 y′ ?

y = ax , 这 是 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 , 其 中 x

? Pdx Pdx P( x ) = ? 1 , Q( x) = ax ,所以 y = e ∫ ( ∫ Qe∫ dx + C ) = Cx + ax 2 ,又曲线 L 过点 M(1,0),故 x

2 C = ?a ,所以曲线方程为 y= ax –ax.
2 4a (2)由定积分的知识可知,围成面积 S = ∫ ( ax ? ax 2 + ax ) dx = (ax 2 ? 1 ax3 ) = =4, 0 3 3 x=0 x=2

故a =3. 9. 验证函数
3 6 9 3n y = 1 + x + x + x + L + x + L (?∞ < x < +∞ ) 3! 6! 9! (3n )!

3n 满足微分方程 y″+y′+y=ex;利用所得结果求幂级数 ∑ x 的和函数. n =0 (3n )!





y′ =

x 2 x5 x8 x 3n ?1 + + +L+ + L (?∞ < x < +∞ ), 2! 5! 8! (3n ? 1)! x4 x7 x 3n ? 2 + +L+ + L ( ?∞ < x < +∞ ), 4! 7! (3n ? 2)!

y ′′ = x +

x 2 x3 xn + + L + + L = e x (?∞ < x < +∞), 2! 3! n! 所以是微分方程的解,下面我们来求微分方程 y″+y′+y=ex 的通解,这是常系数二阶 ?x 3 3 y″ + y′ + y = 0 的通解为: Y = e 2 (C1 cos x + C2 sin x) ,故 y″+y′+y=ex 通解为 2 2 ?x 3 3 1 y = Y + y = e 2 (C1 cos x + C2 sin x) + e x ,令 2 2 3 3 6 9 3n ?x x x x x 3 3 1 y =1+ + + +L+ + L = e 2 (C1 cos x + C2 sin x) + e x , 下面确定系 3! 6! 9! (3n)! 2 2 3 数,令 x = 0 ,得 1 = C1 + 1 ,即 C1 = 2 ,两边同时求导得 3 3 2 5 8 3 n ?1 x x x x y′ = + + +L+ +L 2! 5! 8! (3n ? 1)! y ″ + y′ + y = 1 + x +
?x 1 3 1 3 3 3 3 3 1 = e 2 (? C1 cos x ? C2 sin x? C sin x+ C cos x) + e x 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 再令 x = 0 ,得 ? 1 C1 + 3 C2 + 1 = 0 ,即 C2 = 0 ,所以 2 2 3 ∞ 3n 3 6 9 ?x x x3n ∑ (3n)! = 1 + x + x + x + L + (3n)! + L = 2 e 2 cos 23 x + 1 e x . 3! 6! 9! 3 3 n=0

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