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3.2.2空间向量与垂直关系


第二课时 空间向量与垂直关系

直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置. 因此, 可用向量方法解决 线面垂直关系的判断及证明. 问题 1:直线的方向向量与一平面的法向量平行,则该直线与平面有什么关系? 提示:垂直. 问题 2:若两平面的法向量垂直,则两平面垂直吗? 提示:垂直.

证明垂直关系的向量方法 线线垂直 证明两直线的

方向向量垂直 线面垂直 证明直线的方向向量与平面 的法向量是平行向量 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直

用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系,主要是找出直线的方向向量、平面的 法向量之间的关系,因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键.

证明线线垂直 [例 1] 在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E,F 分别是 AB,BC 上的动点,且 AE=BF,求证:A1F⊥C1E. [思路点拨] 分析题意 → 建立空间直角坐标系 → 表示出A1,F,C1,E的坐标 →

表示出向量 A C1E =0 → A1F⊥C1E 1F 与 C1E → A 1F · [精解详析] 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1(a,0,a),C1(0,a, a). 设 AE=BF=x, 则 E(a,x,0),F(a-x,a,0). ∴A 1F =(-x,a,-a),

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C1E =(a,x-a,-a).
∵A · =(-x,a,-a)· (a,x-a,-a) 1F C1E =-ax+ax-a2+a2=0, ∴A ⊥ C1E ,即 A1F⊥C1E. 1F [一点通] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直,即证明它们 的方向向量的数量积为 0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系, 正确地表示出点的坐标 进而求直线的方向向量.

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1.设直线 l1 的方向向量为 a=(2,1,-2),直线 l2 的方向向量为 b=(2,2,m),若 l1⊥l2, 则 m=( A.1 C.-3 解析:l1⊥l2?a⊥b, ∴2×2+1×2+(-2)×m=0,∴m=3. 答案:D 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AC 的中点. ) B.-2 D.3

证明:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1. 证明:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴, z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体的棱长为 1 ,则 B(1,1,0) , 1 1 D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E( , ,0),B1(1,1,1). 2 2 (1) BD1 =(-1,-1,1),

????

??? ?

AC =(-1,1,0),

AC =(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0, ∴ BD1 ·
∴ BD1 ⊥ AC ,∴BD1⊥AC.

? ???? ???

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???? ???? 1 1 (2) BD1 =(-1,-1,1), EB1 =( , ,1), 2 2

???? ???? 1 1 ∴ BD1 · EB1 =(-1)×2+(-1)×2+1×1=0,
∴ BD1 ⊥ EB1 ,∴BD1⊥EB1. 证明线面垂直 [例 2] 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,D1B1 的中点. 求证:EF⊥平面 B1AC. [思路点拨] 思路一: EF⊥AB1 → EF⊥B1C → EF⊥平面B1AC 思路二: 求平面B1AC的法向量n → 证明 EF ∥n → EF⊥平面B1AC [精解详析] 法一:设 AB =a, AD =c, AA =b, 1

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??? ? ???? ???? 1 ???? ????? 则 EF = EB1 + B1F = ( BB1 + B1D1 ) 2 ? 1 ???? ??? ? ??? ? 1 ???? ??? BD AD AB = ( AA + ) = ( + - ) AA 1 1 2 2
1 = (-a+b+c). 2 ∵ AB1 = AB + AA =a+b, 1

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????

??? ? ???? 1 ∴ EF · (a+b) AB1 =2(-a+b+c)·
1 = (b2-a2+c· a+c· b) 2 1 = (|b|2-|a|2+0+0)=0. 2 ∴ EF ⊥ AB1 ,即 EF⊥AB1.同理,EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面 B1AC. 法二:设正方体的棱长为 2,以 D 为原点,以 DA,DC,DD1 所 在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(2,0,0),C(0,2,0), B1(2,2,2),E(2,2,1), F(1,1,2). ∴ EF =(1,1,2)-(2,2,1) =(-1,-1,1),

??? ?

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??? ?

????

AB1 =(2,2,2)-(2,0,0)

=(0,2,2),

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AC =(0,2,0)-(2,0,0)

=(-2,2,0). ∴ EF · (0,2,2) AB1 =(-1,-1,1)· =(-1)×0+(-1)×2+1×2=0,

??? ? ????

? ??? ? ??? (-2,2,0)=2-2+0=0, EF · AC =(-1,-1,1)· ? ??? ? ???? ??? ? ??? ∴ EF ⊥ AB1 , EF ⊥ AC ,
∴EF⊥AB1,EF⊥AC. 又 AB1∩AC=A, ∴EF⊥平面 B1AC.

法三:同法二得 AB1 =(0,2,2), AC =(-2,2,0),

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??? ?

??? ?

EF =(-1,-1,1).

设平面 B1AC 的法向量 n=(x,y,z), 则 AB1 · n=0, AC · n=0,
?2y+2z=0, ? 即? 取 x=1,则 y=1,z=-1, ?-2x+2y=0. ?

????

??? ?

∴n=(1,1,-1), ∴ EF =-n, ∴ EF ∥n, ∴EF⊥平面 B1AC. [一点通] 法一选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明.法 二、法三建立空间直角坐标系,利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算,以达到证 明的目的.

??? ?

??? ?

3.已知直线 l 与平面 α 垂直,直线的一个方向向量为 u=(1,3,z),向量 v=(3,-2,1) 与平面 α 平行,则 z=________. 解析:∵l⊥α,v∥α,∴u⊥v. ∴(1,3,z)· (3,-2,1)=0,即 3-6+z=0,z=3. 答案:3 4.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为 AC 与 BD 的

交点,G 为 CC1 的中点,求证:A1O⊥平面 GBD. 证明:法一:设 A1B1 =a, A1D1 =b, A =c, 1A 则 a· b=0,b· c=0,a· c=0.

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? ???? 1 ??? ???? ???? ??? ? ??? ? 而 AO =A + AO = A + ( AB + AD ) 1 1A 1A 2
1 =c+ (a+b), 2

??? ?

BD = AD - AB =b-a,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? OG = OC + OG =2( AB + AD )+2 CC1
1 1 = (a+b)- c, 2 2

???? ??? ? 1 1 BD =(c+2a+2b)· ∴ AO · (b-a) 1
1 =c· (b-a)+ (a+b)· (b-a) 2 1 =c· b-c· a+ (b2-a2) 2 1 = (|b|2-|a|2)=0. 2 ∴ AO ⊥ BD ,∴A1O⊥BD. 1 同理可证,A1O⊥OG. 又∵OG∩BD=O, ∴A1O⊥平面 GBD. 法二:如图,取 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为 2, 则 O(1,1,0),A1(2,0,2),G(0,2,1), B(2,2,0),D(0,0,0), ∴ OA =(1,-1,2), OB =(1,1,0), BG =(-2,0,1). 1

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OB =1-1+0=0, 而 OA 1 ·

? ???? ???

? ???? ??? BG =-2+0+2=0, OA1 · ? ???? ??? ? ???? ??? OB , OA1 ⊥ BG ,即 OA1⊥OB,OA1⊥BG. ∴ OA 1 ⊥
而 OB∩BG=B, ∴OA1⊥平面 GBD.

证明面面垂直 [例 3] 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右图所 示,截面为 A1B1C1,∠BAC=90° ,A1A⊥平面 ABC,A1A= 3,AB=AC =2A1C1=2,D 为 BC 的中点.证明:平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. [思路点拨] 思路一: 证明BC⊥AD → 证明BC⊥AA1 → BC⊥平面A1AD → 平面A1AD⊥平面BCC1B1 思路二: 求平面A1AD的法向量n1 → 求平面BCC1B1的法向量n2 → 证明n1· n2=0 → 平面A1AD⊥平面BCC1B1 [精解详析] 法一:如右图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0, 3),C1(0,1, 3). ∵D 为 BC 的中点, ∴D 点坐标为(1,1,0). ∴ AD =(1,1,0), AA =(0,0, 3), BC =(-2,2,0). 1 ∴ AD · BC =1×(-2)+1×2+0×0=0,

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? ??? ? ???

BC =0×(-2)+0×2+ 3×0=0. AA1 · ? ???? ??? ? ??? ? ??? ∴ AD ⊥ BC , AA ⊥ BC .∴BC⊥AD,BC⊥AA1. 1
又 A1A∩AD=A,∴BC⊥平面 A1AD. 又 BC?平面 BCC1B1,∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.

? ???? ???

法二:同证法一建系后,得 AA =(0,0, 3), AD =(1,1,0), BC =(-2,2,0), CC1 = 1 (0,-1, 3).设平面 A1AD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),平面 BCC1B1 的法向量为 n2=(x2, y2,z2).

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??? ?

??? ?

????

? AA1 =0, ?n1· ? 3z1=0, 由? ??? 得? ? ?x1+y1=0. ?n1· AD =0, ?
令 y1=-1,则 x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).

????

? BC =0, ?n2· ?-2x2+2y2=0, 由? ???? 得? ?-y2+ 3z2=0. CC1 =0, ?n2· ?
令 y2=1,则 x2=1,z2= 3 3 ,∴n2=(1,1, ). 3 3

??? ?

∵n1· n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2. ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1.

[一点通] 证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂 直、线线垂直去证明;二是证明两个平面的法向量互相垂直.

5.在正棱锥 P-ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,G 是△PAB 的重心,E,F 分别为 BC,PB 上的点,且 BE∶EC=PF∶FB=1∶2. 求证:平面 GEF⊥平面 PBC. 证明:法一:如图,以三棱锥的顶点 P 为原点,以 PA,PB,PC 所在直线分别作为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 令 PA=PB=PC=3, 则 A(3,0,0),B(0,3,0), C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0), G(1,1,0),P(0,0,0), 于是 PA =(3,0,0),

???

FG =(1,0,0), ??? ? ??? 故 PA =3 FG ,∴PA∥FG.
而 PA⊥平面 PBC,∴FG⊥平面 PBC. 又 FG?平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PBC. 法二:同证法一,建立空间直角坐标系,则 E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0). ∴ EF =(0,-1,-1), EG =(1,-1,-1). 设平面 EFG 的法向量是 n=(x,y,z), 则有 n⊥ EF ,n⊥ EG .
? ?y+z=0, ∴? 令 y=1,得 z=-1,x=0, ?x-y-z=0. ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

即 n=(0,1,-1). 显然 PA =(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量.

???

PA =0,∴n⊥ PA ,即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直,∴平 又 n·
面 EFG⊥平面 PBC. 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点,求证:平面 AED⊥平 面 A1FD1. 证明:如图,建立空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体棱长为 1,

???

???

1 1 则 E(1,1, ),D1(0,0,1),F(0, ,0),A(1,0,0). 2 2

????? ??? ??? ? ? 1 ∴ DA =(1,0,0)= D1 A1 , DE =(1,1, ), 2

???? ?

D1F =(0,2,-1).

1

设 m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别是平面 AED 和 A1FD1 的一个法向量.

??? ? x =0, ? ?m· DA =0, ?1 由? ??? ?? ? 1 DE =0 ? ?m· ?x1+y1+2z1=0.
令 y1=1,得 m=(0,1,-2). x =0, ? ? D1 A1 =0, ?n· ?2 又由? ???? ??1 ? ? D1F =0 ? ?2y2-z2=0. ?n· 令 z2=1,得 n=(0,2,1). ∵m· n=(0,1,-2)· (0,2,1)=0, ∴m⊥n,故平面 AED⊥平面 A1FD1.

?????

1.用向量法证明线面垂直的方法与步骤 ①设出基向量,用基向量表示直线的方向向量 ? ? (1)基向量法?②找出平面内两条不共线向量并分别用基向量表示 ? ?③分别证明直线的方向向量与平面内两不共线向量垂直 ①建立空间直角坐标系 ? ? ? ?方法一?②将直线的方向向量用坐标表示 ③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示 ? ? ?④分别证明直线的方向向量与平面内两向量垂直 (2)坐标法? ①建立空间坐标系 ? ? ? 方法二?②将直线的方向向量、平面的法向量分别用坐标表示 ? ?④证明平面的法向量与直线的方向向量平行 ? ? 2.利用空间向量证明面面垂直,通常可以有两个途径,一是利用两个平面垂直的判定 定理将面面垂直问题转化为线面垂直, 进而转化为线线垂直; 二是直接求解两个平面的法向 量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.

1.若两个不同平面 α,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(2,3,8),则( A.α∥β C.α,β 相交但不垂直 B.α⊥β D.以上均不正确

)

解析:u· v=(1,2,-1)· (2,3,8)=1×2+2×3-1×8=0,∴u⊥v.∴α⊥β. 答案:B 1 2. 若直线 l∥α, 且 l 的方向向量为(2, m,1), 平面 α 的法向量为(1, , 2), 则 m 为( 2 A.-4 C.-8 B.-6 D.8 )

1 解析:∵l∥α,平面 α 的法向量为(1, ,2), 2 1 ∴(2,m,1)· (1, ,2)=0. 2 1 ∴2+ m+2=0.∴m=-8. 2 答案:C 3.已知 AB =(1,5,-2), BC =(3,1,z),若 AB ⊥ BC , BP =(x-1,y,-3),且 BP ⊥平面 ABC,则 BP 等于( 33 15 A.( ,- ,4) 7 7 40 15 C.( ,- ,4) 7 7

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??? ?

??? ?

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??? ?

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) 33 15 B.( ,- ,-3) 7 7 40 15 D.( , ,-3) 7 7

BC =0 得 3+5-2z=0,∴z=4. 解析:由 AB ·
又 BP ⊥平面 ABC, 40 ??? ? ??? ? x= , ? ? BP · ? 7 AB =0, x - 1 + 5 y + 6 = 0 , ? ∴? ??? 即? 解得? ? ? ??? 15 ?3x-3+y-12=0, ? BC =0, ? BP · ?y=- 7 . 答案:B 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( A.AC C.A1D B.BD D.AA1 )

? ??? ? ???

??? ?

解析:建立如图所示的坐标系. 设正方体棱长为 1, 则 A(1,0,0),B(1,1,0), C(0,1,0),D(0,0,0),

1 1 A1(1,0,1),E( , ,1). 2 2 1 1 ∴CE― →=( , ,1)-(0,1,0) 2 2 1 1 =( ,- ,1), 2 2

??? ?

A1D =(-1,0,-1), A1 A =(0,0,-1). ??? ? ??? ? 1 1 ∵ CE · (-1,-1,0) BD =(2,-2,1)·
1 1 =- + +0=0, 2 2 ∴ CE ⊥ BD ,∴CE⊥BD. 答案:B 5.在直角坐标系 Oxyz 中,已知点 P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和点 Q(cos x,-1,3),其中 x∈[0,π].若直线 OP 与直线 OQ 垂直,则 x 的值为________. 解析:由题意得 OP ⊥ OQ . ∴cos x· (2cos x+1)-(2cos 2x+2)=0. 1 ∴2cos2x-cos x=0.∴cos x=0 或 cos x= . 2 π π 又 x∈[0,π],∴x= 或 x= . 2 3 π π 答案: 或 2 3 6.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,且有 AB =(2,-1,-4), AD =(4,2,0), AP =(-1,2,-1).给出结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③ AP 是平面 ABCD 的 法向量;④ AP ∥ BD .其中正确的是________.

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??? ? AC =(-1,1,0), BD =(-1,-1,0),

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AB =-2-2+4=0 知 AP⊥AB,故①正确; 解析:由 AP · AD =-4+4+0=0,知 AP⊥AD,故②正确; 由 AP ·
由①②知 AP 是平面 ABCD 的法向量,故③正确,④不正确. 答案:①②③ 7.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平 面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点. 求证:PC⊥平面 BEF. 解:如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

y,z 轴建立空间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=2 2, 四边形 ABCD 是矩形, ∴A,B,C,D,P 的坐标为 A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2 2,0), D(0,2 2,0),P(0,0,2). 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, ∴E(0, 2,0),F(1, 2,1). ∴ PC (2,2 2,-2), BF =(-1, 2,1),

??? ?

??? ?

??? ?

EF =(1,0,1),

BF =-2+4-2=0, PC · EF =2+0-2=0, ∴ PC ·
∴ PC ⊥ BF , PC ⊥ EF , ∴PC⊥BF,PC⊥EF.又 BF∩EF=F, ∴PC⊥平面 BEF. 8.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 CC1 上的动点. (1)求证:A1E⊥BD; (2)若平面 A1BD⊥平面 EBD,试确定 E 点的位置. 解:以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为 a,则 A(a,0,0),B(a,a,0), C(0,a,0),A1(a,0,a), C1(0,a,a). 设 E(0,a,e)(0≤e≤a). (1) A 1E =(-a,a,e-a),

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

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??? ?

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BD =a2-a2+(e-a)· 0=0, A1E · ???? ??? ? BD ,即 A1E⊥BD. ∴A 1E ⊥
(2)设平面 A1BD,平面 EBD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1), n2=(x2,y2,z2).

???? ??? ?

BD =(-a,-a,0),

DE =(0,a,e), ∵ DB =(a,a,0), DA 1 =(a,0,a),
? ?ax1+ay1=0, ∴? ?ax1+az1=0. ? ? ?ax2+ay2=0, ? ?ay2+ez2=0. ?

??? ?

????

??? ?

a 取 x1=x2=1,得 n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1, ). e 由平面 A1BD⊥平面 EBD 得 n1⊥n2. a a ∴2- =0,即 e= . e 2 ∴当 E 为 CC1 的中点时,平面 A1BD⊥平面 EBD.


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