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高中数学课件:第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示


2.3.4
课前预习·巧设计

读教材·填要点 小问题·大思维

第 二 章 平 面 向 量

2.3 平面 向量 的基 本定 理及 坐标 表示

平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示

考点一
名师课堂·一点通

考点二 考点三 解题

高手
NO.1课堂强化

创新演练·大冲关

NO.2课下检测

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[读教材·填要点] 两个向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0. 则a∥b?a=λb? x1y2-x2y1=0.

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[小问题·大思维]
x1 y1 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 a∥b,是否有 = 成立? x2 y2 x1 y1 提示:不一定.由于 = 的意义与 x1y2-x2y1=0 的意义不同, x2 y2
前者不允许 x2 和 y2 为零,而后者允许,当 x1=x2=0,或 y1= x1 y1 y2=0 或 x2=y2=0 时,a∥b 但 = 不成立. x2 y2

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[研一题] [例 1] 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b
与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向?
[自主解答] 由已知,得 ka+b=(k-3,2k+2),

a-3b=(10,-4), ∵ka+b 与 a-3b 平行, ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0, 1 解得 k=- . 3

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此时

? 1 ? 2 10 4 ?- -3,- +2?=(- , ) ka+b= 3 3 3 3 ? ?

1 =- (a-3b), 3 1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3

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保持例题条件不变,是否存在实数k,使a+kb与3a-b平行? 解:∵a=(1,2),b=(-3,2),
∴a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k). 3a-b=(3,6)-(-3,2)=(6,4), 假设存在实数 k 使(a+kb)∥(3a-b), 则(1-3k)×4-(2+2k)×6=0. 1 解得 k=- . 3 1 即存在实数 k=- ,使 a+kb 与 3a-b 平行. 3
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[悟一法]

对于根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两
种处理思路,一是利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求

解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解.

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[通一类]

1.已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断 AB 与 CD 是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反? ??? ? 解: AB =(0,4)-(2,1)=(-2,3),
CD =(5,-3)-(1,3)=(4,-6).

??? ?

??? ?

??? ?

∵(-2)×(-6)-3×4=0, ∴ AB 与 CD 共线且方向相反.

??? ?

??? ?

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[例 2]

(1)已知 OA=(3,4), OB =(7,12), OC =(9,16),

? ???[研一题]??? ??? ?

??? ?

(1)求证:A,B,C 三点共线;

(2)设向量 OA=(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),当 k 为何 值时,A,B,C 三点共线?

???

??? ?

[自主解答]

(1)证明:∵ AB = OB - OA=(4,8),

??? ?

??? ?

???

??? ?

AC = OC - OA=(6,12),

??? ?

???

又∵4×12-8×6=0,∴ AB 与 AC 共线. 又∵直线 AB 与直线 AC 有公共点 A,∴A,B,C 三点共线.

??? ?

??? ?

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(2)法一:若 A,B,C 三点共线,则 AB , AC 共线, 则存在实数 λ,使得 AB =λ AC . ∵ AB = OB - OA=(4-k,-7),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???

??? ?

AC = OC - OA=(10-k,k-12),

??? ?

???

∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),
?4-k=λ?10-k?, ? ∴? ?-7=λ?k-12?, ?

解得 k=-2,或 k=11.

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法二:若 A,B,C 三点共线,则 AB , AC 共线. ∵ AB = OB - OA=(4-k,-7),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???

??? ?

AC = OC - OA=(10-k,k-12),

??? ?

???

∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0, ∴k2-9k-22=0,解得 k=-2,或 k=11.

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[悟一法]

要判断 A,B,C 三点是否共线,一般是看 AB 与 BC ,或 AB 与

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

AC ,或 AC 与 BC 是否共线.若共线,因为每组向量都有公共点,

??? ?

??? ?

则 A,B,C 三点共线.

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[通一类]

2.设 A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当 x 为何值时, AB 与 CD 共线且方向相同,此时,A,B,C,D 能否在同一 条直线上? ??? ? 解: AB =(2x,2)-(x,1)=(x,1), ??? ? BC =(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2), ??? ? CD =(5,3x)-(1,2x)=(4,x). ??? ??? ? ? 由 AB 与 CD →共线,得 x2=1×4,∴x=± 2.

??? ?

??? ?

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又 AB 与 CD 方向相同,∴x=2. 此时, AB =(2,1), BC =(-3,2),而 2×2≠-3×1, ∴ AB 与 BC 不共线, ∴A,B,C 三点不在同一条直线上. ∴A,B,C,D 不在同一条直线上.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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[例3]

[研一题] 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),

C(2,6),求AC和OB交点P的坐标. ??? ? ??? ?
则 AP = OP - OA=(4t,4t)-(4,0) =(4t-4,4t),

[自主解答] 法一:设 OP =tOB =t(4,4)=(4t,4t),

??? ?

??? ?

???

??? ?

AC =(2,6)-(4,0)=(-2,6).

由 AP , AC 共线的条件知 3 (4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得 t= . 4 ∴ OP =(4t,4t)=(3,3),∴P 点坐标为(3,3).
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??? ?

??? ?

??? ?

法二:设 P(x,y),则 OP =(x,y), OB =(4,4). ∵ OP , OB 共线,∴4x-4y=0,即 x-y=0. 又 CP =(x-2,y-6), CA =(2,-6),且 CA ∥ CP , ∴-6(x-2)-2(y-6)=0,即 3x+y-12=0, 由①②得 x=3,y=3. ∴点 P 的坐标为(3,3). ②

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



???

???

???

???

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[悟一法] 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面: (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何 平行、共线知识,可以证明三点共线、直线平行等几何问 题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.

(2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,
求轨迹方程.要注意方程思想的应用,向量共线的条件、向 量相等的条件等都可作为列方程的依据.

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[通一类]
1 3.在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3), OC = 4

??? ?

? 1 ??? OA, OD =2 OB ,AD 与 BC 交于点 M,求点 M 的坐标. 解:∵点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),

???

??? ?

∴ OA=(0,5), OB =(4,3). 1 ??? ? 5? ∵ OC = OA=?0,4?, 4 ? ?

???

??? ?

??? ?

∴点 C

? 5? 的坐标为?0,4?. ? ?

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同理可得点 D

? 3? 的坐标为?2,2?. ? ?

设点 M 的坐标为(x,y), 则 AM =(x,y-5),
? 7? 而 AD =?2,-2?. ? ?

????
??? ?

∵A,M,D 三点共线,∴ AM 与 AD 共线. 7 ∴- x-2(y-5)=0, 2 即 7x+4y=20. ①

????

??? ?

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? 5? ??? ? 5? ? 7 ? 而 CM =?x,y-4?, CB =?4-0,3-4?=?4,4?. ? ? ? ? ? ?

????

∵C,M,B 三点共线,∴ CM 与 CB 共线.
? 5? 7 ∴ x-4?y-4?=0, 4 ? ?

????

???

即 7x-16y=-20. 12 由①②得 x= ,y=2. 7 ∴点 M
?12 ? 的坐标为? 7 ,2?. ? ?



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已知 P1(2,-1),P2(-1,3),P 在直线 P1P2 上,且| P1 P | 2 ??? = | PP 2 |.求 P 点的坐标. 3 [巧思] 因为 P 在直线 P1P2 上,所以 P1 P ∥ PP 2 .

????

????

???

???? 2 ??? 2 ??? 又因为| P1 P |= | PP 2 |,故 P1 P =± PP 2 .因此只要设出 P 点 3 3 ????
坐标,利用两向量相等的条件即可求解.

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(1)当 P1 P 与 PP 2 同向时, ???? 2 ??? 则有 P1 P = PP 2 ,设 P 点坐标为(x,y), 3 ???? ??? P1 P =(x-2,y+1), PP 2 =(-1-x,3-y). 2 ∴(x-2,y+1)= (-1-x,3-y), 3 [妙解]

????

???

? 2+2×?-1? ? ?x= 3 , 2 ? 1+ 3 ? ∴? ? -1+2×3 3 ?y= , 2 ? 1+ ? 3 ?

?4 3? P 点坐标为?5,5?. ? ?

?x=4, ? 5 即? ?y=3. ? 5

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(2)当 P1 P 与 PP 2 反向时, ???? 2 ??? 则有 P1 P =- PP 2 ,设 P 点坐标为(x,y), 3 2 ∴(x-2,y+1)=- (-1-x,3-y), 3

????

???

? 2-2×?-1? ? ?x= 3 , 2 ? 1- 3 ? ∴? ? -1-2×3 3 ?y= , 2 ? 1- ? 3 ?

?x=8, ? 即? ?y=-9. ?

故 P 点坐标为(8,-9). ?4 3? 综上可得 P 点坐标为?5,5?或(8,-9). ? ?
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