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江南十校期末大联考


江南十校 2015 届高三期末大联考 数学(理)
一、选择题
1.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ? i ( i 为虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数),则在复平面上复数

z 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.将甲、乙两名篮球运动员在 5 场篮球比赛中的得分制成

茎叶图如图所示,若 x甲、x乙 分别 表示甲、乙两名运动员 5 场比赛的平均得分,则下列结论正确的是 A. x甲 ? x乙 ,且甲队员比乙队员成绩稳定 B. x甲 ? x乙 ,且乙队员比甲队员成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ,且甲队员比乙队员成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ,且乙队员比甲队员成绩稳定 3. 如图,若输入 n 的值为 4,则输出 A 的值为 A. 3 B. ?2 C. ?

1 3

D.

1 2

4.设 {an } 是首项为 ?

1 ,公差为 d (d ? 0) 的等差数列, Sn 为其前 n 项 2

和,若 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 d ? A. ?1
0.1

B. ?

1 2

C.

1 8

D.

1 2

5. 已知 a ? 2 , b ? ln 0.1, c ? sin1, 则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. b ? a ? c

6.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? x ,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? [ x] ( [ x ] 表示 不超过 x 的最大整数),则 f (5.5) ? A. 8.5 B. 10.5 C. 12.5 D. 14.5 7.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取

? x ? 3t , ? 相同的长度单位 .已知直线 l 的参数方程时 ? 3 ( t 为参数),曲线 C 的极坐标方程时 ?y ? t ? ? 4

? sin 2 ? ? 3cos? ,则直线 l 被曲线 C 截得的弦长为

A.

30 3

B. 6

C. 12

D.

7 3

8.设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m, m ? ? B.若 l m, m ? ?

?, 则l ? ?

?, 则l ?

C.若 ? ? , l 与 ? 所成的角与 m 与 ? 所称的角相等,则 l m D.若 l m, ?

? , l ? ? ,则 m ? ?

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 44 ? ? B. 40 ? 4? C. 44 ? 4? D. 44 ? 2? 10. 已知点 A(1, ?1), B(4,0),C(2, 2), 平面区域 D 是由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC

(1 ? ? ? a,1 ? ? ? b) 的点 P( x, y) 组成的区域.若区域 D 的面积为 8,则 4a ? b 的最小值为
A. 5 二、填空题 11.椭圆 B. 4 2 C. 9 D.

5? 4 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点 P 到两焦点的距离之和为 6,且椭圆的离心率为 a 2 b2

1 ,则椭圆的方程为_________________________. 3

? x ? 0, ? 12.已知 m ? 0 ,实数 x, y 满足 ? y ? 0, 若 z ? x ? y 的最大值为 2,则实数 m ? _____. ? x ? y ? m, ?
13.设直线 (k ? 1) x ? (k ? 2) y ? 2 ? 0 与两坐标轴围成的三角形面积为 Sk ,则

S1 ? S2 ?

? S10 ? _______________.
5 2 3 4 5

14.已知二项展开式 (1 ? ax) ? 1 ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x , 集合 A ? {80, 40,32,10} ,若 ai ? A(i ? 1, 2,3, 4,5}, 则 a ? ____________. 15.已知函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | ? sin 2 x ? 1( x ? R) , 则下列命题正确的是____________ (写出所有正确命题的序号). ① f ( x ) 是周期函数;

② f ( x ) 的图象关于 x ?

?
2

对称;

③ f ( x ) 的最小值为 2 ? 2 ; ④ f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ?

?
4

, k? ?

3? ](k ? Z ) ; 4

⑤若 f ( x ) 在 (0, n? ) 内恰有 2015 个零点,则 n 的取值范围为 1007.5 ? n ? 1008 . 三、解答题 16.(本题 12 分) 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, 且 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C . (1)求角 A 的大小; (2)若 cos B 是方程 3x ? 10 x ? 3 ? 0 的一个跟,求 sin C 的值.
2

17.(本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax) ? e x ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R . (1)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (2)当 x ? [0, ??) 时,求 f ( x ) 取得最小值时 x 的值.

18.(本题 12 分) 全国高中数学联合竞赛于每年 10 月中旬的第一个星期日举行,竞赛分一试和加试,其中, 加试有 4 题.小明参加了今年的竞赛,他能够答对加试的第一、二、三、四题的概率分别为 0.5,0.5,0.2,0.2,且答对各题互不影响. (1)求小明在加试中至少答对 3 题的概率; (2)记 X 为小明在加试中答对的题的个数,求 X 的分布列和数学期望. 19.(本题 13 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD , 且 PB 与底面 ABCD 所成的角为 45°,E 为 PB 的中点,过 A,E,D 三点的平面记为 ? ,PC 与 ? 的交点为 Q. (1)试确定 Q 点的位置并证明; (2)求离棱锥 P-ABCD 被平面 ? 所分成上下两部分的体积之比; (3)若 PA=2,截面 AEQD 的面积为 3,求平面 ? 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值.

20.(本题 13 分) 已知正三角形 OEF 的三个顶点(O 为坐标原点)都在抛物线 x 2 ? y 上, 圆 D 为三角形 OEF 的 外接圆.圆 C 的方程外 ( x ? 5cos ? )2 ? ( y ? 5sin ? ? 2)2 ? 1(? ? R) ,过圆 C 上任意一点 M 作圆 D 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B,设 d ?| MA | . (1)求圆 D 的方程; (2)试用 d 表示 MA ? MB ,并求 MA ? MB 的最小值. 21.(本题 13 分) 设数列 {an } 各项均为正数,且满足 an?1 ? an ? an 2 . (1)求证:对一切 n ? 2 ,都有 an ?

1 ; n?2

(2)已知 {an } 前 n 项和为 Sn ,求证:对一切 n ? 2 ,都有 S2n ? Sn?1 ? ln 2.


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