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人大附中高三尖子生训练解三角形(人教版)


北京市人大附中高三数学尖子生专题训练:解三角形 I 卷 一、选择题 1. 若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 【答案】B 2. 在一幢 10 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60 ,塔基的俯角为 45 ,那么这座塔吊的高是(
0 0

? 5 :11:13 ,则 ?ABC 是 (





A. 10(1 ? 【答案】B

3 ) 3

B. 10(1 ?

3)

C. 5(

6 ? 2)

D. 2(

6 ? 2)

3.若满足条件 C =60°,AB = 3,BC =a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( A.(1, 2 ) C.( 3 ,2) 【答案】C 4. 在 ?ABC 中, A.正三角形 【答案】B 5. 在 ?ABC 中,若 cos A cos B ? sin
2

)

B.( 2 , 3 ) D.(1,2)

cos 2

A b?c ? ,则 ?ABC 的形状是 2 2c
B.直角三角形 D.等腰直角三角形

(



C.等腰三角形或直角三角形

C ,则 ?ABC 是 ( 2



A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 【答案】D 6. 一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分钟后到达 B 处.在 C 处有 一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、 C 两点间的距离是( A. 10 2 海里 【答案】A 7. 在 △ ABC 中, 已知 a A 【答案】B 8.如图 6-1,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB =AD, 2 AB = 3 BD ,BC =2BD ,则 sin C 的值为( ) 2 ) B. 10 3 海里 C. 20 3 .海里 D. 20 2 海里

? 3, b ? 4, c ? 2, 则 c ? cos B ? b ? cos C ? (
B 3 C 4

) D 5

图 6-1 A. 3 3 B. 3 6

6 3 【答案】D C.

D.

6 6

9. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a ,b,c,若 a ? A.

2 ,b=2,sinB+cosB= 2 ,则角 A 的大小为(
D.



? 2

B.

? 3

C.

? 4

? 6


【答案】D 10. 在 ?ABC 中,已知 A 【答案】C 11. 在△ABC 中 tan

B ? 600 且 b ? 3 ,则 ?ABC 外接圆的面积是(

? 2

B

3? 4

C

?

D

2?
1 为第三项,9 为第六项 3

A 是以 ? 4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以
) B.钝角三角形
[来 源:学§科 §网Z § § § X X K]

的等比数列的公比,则这个三角形是( A.锐角三角形 【答案】A 12. 已知 ?ABC 中, A. 【答案】B 13. 若△

C.等腰直角三角形 D.非等腰直角三角形。

AB ? 4, AC ? 3, ?BAC ? 60? ,则 BC ?
B.

( C. 5

) D. 10

13

13

ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC

(



A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 【答案】C 14.在△ABC 中,已知角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,且 a =3,c =8,B =60°,则 sin A 的值是( 3 3 A. B. 16 14 3 3 16 【答案】D C. 3 3 D. 14 )

II 卷 二、填空题 15.在△ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c .若 a cos A =b sin B ,则 sin Acos A +cos B =______. 【答案】1 16.在△ABC 中,A =60°,b =1,其面积为 3,则 【答案】 2 39 3
2

a + b +c =________. sin A +sin B +sin C

17.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 为 【答案】

A, B, C 的对边,且

cos B b ,则角 B 的大小 ?? cos C 2a ? c

2? 3
2 2 2

18.在△ABC 中,角 A ,B ,C 的 对边分别为 a ,b ,c ,若( a +c -b )tan B = 3 ac ,则角 B 的值为________. π 2π 【答案】 或 3 3 19. 在△ABC中,若

a ? 9, b ? 10, c ? 15, 则△ABC的形状是_________

【答案】 钝角三角形 20. 2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式.如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列座位所在直线

AB 与旗杆所在直线 MN 共面, 在该列 的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测 得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和
30°,且座位 A 、B 的距离为 10 6 米,则旗杆的高度为 ________米.

【答案】30

三、解答题 21.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? (Ⅰ)求函数 (Ⅱ) ? 角 C。 【答案】 (Ⅰ)∵ f ? x ? ? cos ? 2 x ? ?

2? ) ? cos 2 x ( x ? R ). 3

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;
B 2 3 2

ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c , f ( ) ? ? , b1? 若 ,

c ? 3, 且 a ? b, 试求角 B 和

?

2π ? 3 3 π? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin ? 2 x ? ? , ? ? cos 2 x ? 3 ? 2 2 3? ?
? ?

∴ 故函数 .

f ? x ? 的最小正周期为 π ;递增区间为 ? k? ?

?
12

, k? ?

5? ? ( Z ) 12 ? k ? ?

B π 3 π 1 (Ⅱ) f ? ? ? 3 sin ? B ? ? ? ? ,∴ sin ? B ? ? ? ? . ? ? ? ? ? ? ?2? ? 3? 2

?

3?

2

∵0?

B ? π ,∴ ?

π π 2π π π π ? B? ? ,∴ B ? ? ? ,即 B ? . 3 3 3 3 6 6

由正弦定理得:

π 2π a 1 3 3 ,∴ sin C ? ,∵ 0 ? C ? π ,∴ C ? 或 . ? ? 3 3 sin A sin π sin C 2 6
所以 B

当C

?

π π 2π π 时, A ? ;当 C ? 时, A ? . (不合题意,舍) 3 3 2 6

?

π . 6

C?

π 3

22.在△ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且 C = (1)求 sin B 的值; (2)若 c -a =5- 10,求△ABC 的面积. 【答案】(1)因为 C = 3π 5 ,sin A = , 4 5

3π 5 ,sin A = . 4 5

2 5 π 2 所以 cos A = 1-sin A= ,由已知得 B = -A . 5 4 π π π 2 2 5 2 5 10 所以 sin B =sin? -A ? =sin cos A -cos sin A = × - × = . 4 4 2 5 2 5 10 ?4 ? 3π 2 10 (2)由(1)知 C = ,所以 sin C = 且 sin B = . 4 2 10 由正弦定理得 =

a sin A 10 = . c sin C 5

又因为 c -a =5- 10, 所以 c =5,a = 10. 1 1 10 5 所以 S △ABC = ac sin B = × 10×5× = . 2 2 10 2 23.在南沙某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60°的 C 处,12 时 20 分测得船在海岛北偏 西 60°的 B 处,12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5 km 的 E 港口,如果轮船始终匀速直线前进,

问船速为多少?

[ 来源: 学 科 网Z+ X+X +K] + +

【答案】由题意,得轮船从 C 到 B 用时 80 分 钟,从 B 到 E 用时 20 分钟. 又船始终匀速前进,所以 BC =4 EB . 设 EB =x ,则 BC =4 x . 由已知,得∠BAE =30°,∠EAC =150°. 在△AEC 中,由正弦定理,得 , sin∠EAC sin C AE ·sin∠EAC 5sin150° 1 所以 sin C = = = . EC 5x 2x 在△ABC 中,由正弦定理,得 = , sin120° sin C

EC



AE

BC

AB

[ 来源:学科 ZXX K] 网

∴AB =

BC ·sinC

3 2 在△ABE 中,由余弦定理,得 2 2 2 BE =AB +AE -2AB ·AE ·cos30°
[ 来源: 学 科 Z&X &X& K] & &网

= sin120°

1 4x· 2x



4 3 . 3

16 4 3 3 31 = +25-2× ×5× = , 3 3 2 3 故 BE = 31 . 3

所以船速 v =

BE = t 1
3

31 3

= 93(km/h).

所以该船的速度为 93 km/h. 24.在△ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为 a ,b ,c . π (1)若 sin( A + )=2cos A ,求 A 的值; 6 1 (2)若 cosA = ,b =3 c ,求 sin C 的值. 3 π π 【答案】(1)由题设知 sin A cos +cos Asin =2cosA .从而 sin A = 3cos A ,所以 cos A ≠0,tan A = 3 . 6 6 π 因为 0< A <π ,所以 A = . 3 1 2 2 2 (2)由 cosA = ,b =3 c 及 a =b +c -2 bc cos A ,得 3 2 2 2 a =b -c , π 故△ABC 是直角三角形,且 B = . 2 1 所以 sin C =cos A = . 3 25.在△ABC 中,角 A 、B 、C 的对边是 a 、b 、c ,已知 3 a cos A =c cos B +bcosC (1)求 cos A 的值;
[ 来源 Zxx k.C om] :

(2)若 a =1,cosB +cosC =

2 3 ,求边 c 的值. 3

【答案】(1)由余弦定理 b =a +c -2 ac cos B , 2 2 2 c =a +b -2ab cos C 有 c cos B +b cos C =a ,代入已知条件得 3 a cos A = a , 1 即 cos A = 3 1 2 2 (2)由 cosA = 得 sin A = 3 3 1 2 2 则 cos B =-cos(A +C )=- cosC + sinC , 3 3 2 3 代入 cos B +cos C = 得 cos C + 2 sinC = 3 ,从而得 3 sin(C +φ )=1,其中 sinφ = 则 C +φ = 3 6 ,cosφ = 3 3 π (0<φ < ) 2

2

2

2

π 6 ,于是 sin C = , 2 3

由正弦定理得 c =

a sinC 3 = . sin A 2

26.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C.

【答案】 (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 即a
2

2

? (2b ? c)b ? (2c ? b)c

? b 2 ? c 2 ? bc a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

由余弦定理得 故

1 cos A ? ? ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B ) ? 3 cos B ? 1 sin B 2 2 ? sin(60? ? B)
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1 ∠ABC 3 4 3 27.如图 6-4,在△ ABC 中,sin = ,AB =2,点 D 在线段 AC 上,且 AD =2 DC ,BD = . 2 3 3 (1)求 BC 的长; (2)求△DBC 的面积.

图 6-4 【答案】(1)因为 sin ∠ABC 3 = , 2 3

1 1 所以 cos∠ABC =1-2× = . 3 3 在△ABC 中,设 BC =a ,AC =3 b , 4 2 2 则由余弦定理可得 9 b =a +4- a , 3 在△ABC 和△DBC 中,由余弦定理可得 16 2 4 b + -4 3 cos∠ ADB = , 16 3 b 3 ①

b + -a
cos∠BDC = 8 3 b 3

2

16 3

2



因为 cos∠ADB =-cos∠BDC , 16 2 4 b + -4 3 16 3 b 3

b + -a
=- 8 3 b 3

2

所以有

16 3

2

,所以 3 b -a =-6.

2

2

由①②可得 a =3,b =1,即 BC =3. 1 2 2 (2)由(1)得△ABC 的面积为 ×2×3× =2 2 , 2 3 2 2 . 3 28.如图 6-3,港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距离检查站 31 海 里,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站,已知观测站与检查站距离 21 海里,问此时 轮船离港口 A 还有多远? 所以△DBC 的面积为

图 6-3 【答案】 在△BDC 中,由余弦定理知 cos∠CDB = 4 3 sin∠CDB = . 7 ∴sin∠ACD =sin?∠CDB -

BD +CD -BC 1 =- , 2 BD ·CD 7

2

2

2

?

π? π π 5 3 =sin∠CDBcos -cos∠CDB sin = , 3? 3 3 14

∴轮船距港口 A 还有 15 海里.


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