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高考第一轮教案(等差数列专题复习)


专题 4
★★★高考在考什么

等差数列与等比数列

【考题回放】 1.设数列{an}的首项 a1=-7,且满足 an+1=an+2(n∈N),则 a1+a2+?? +a17= 153 . S3 1 S6 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =( A ) S6 3 S12 3 1 1 1 (A) (B)

(C) (D) 10 3 8 9 3.已知数列 { a n } 、 {b n } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a 1 、 b1 ,且 a 1
? b1 ? 5 ,a 1 , b1 ? N . c n ? a bn ( n ? N ) 则数列 { c n } 的前 10 项和等于( 设 ,
*
*

C )

(A)55 则 S n 等于( C )

(B)70

(C)85

(D)100

4.在等比数列 ? a n ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ? a n ? 1? 也是等比数列, (A) 2 ? 2 (B) 3n (C) 2n (D) 3 ? 1 5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无 穷等比数列,下列{an}的四组量中:①S1 与 S2; ②a2 与 S3; ③a1 与 an; ④q 与 an. 其中一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④ 组. (写出所有符合要求的组号)
n
n ?1

1 6. 设数列{an}的首项 a 1 ? a ? , a n ?1 且 4

?1 ? 2 a n ( n为 偶 数 ) 1 ? * , b n ? a 2 n ?1 ? , n ? N . 记 ?? 4 1 ? a ? ( n为 奇 数 ) ? n 4 ?

(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)(理)求 lim ( b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ) .
n? ?

【专家解答】 (I)a2=a1+
1 4
1 4

= a+

1 4
1 2

,a3= a+
3 8

1 2

a2 =

1 2

a+

1 8


1 2

(II)∵ a4 = a3+ 所以 b1=a1-
1 4

=


1 4

∴ a5= =
1 2

a4=
1 4

1 4

a+

3 16


1 4

=a-

1 4
1 2

, b2=a3-

(a-

), b3=a5-

=

1 4

(a-

1 4

),

猜想:{bn}是公比为

的等比数列.证明如下:
1 4

因为 bn+1=a2n+1-

=

1 2

a2n-

1 4

=

1 2

(a2n-1-

1 4

)=

1 2

bn, (n∈N*)

所以{bn}是首项为 a-

1 4

, 公比为

1 2

的等比数列·
1 2 1 2
n

(III)(理) lim ( b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? lim
n? ?

b1 (1 ? 1?

) ?

b1 1? 1 2

n? ?

? 2( a ?

1 4

).

★★★高考要考什么
【考点透视】 本专题主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前 n 项和及其性质,数列的极 限、无穷等比数列的各项和. 【热点透析】 高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查 a 1、 d ( q )、
n、 a n、 S n 间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与

函数、方程与不等式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思 维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论.

★★★突破重难点
【范例 1】已知等差数列前三项为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,Sk = 2550. 1 1 1 ? ?? (Ⅰ) 求 a 及 k 的值; (Ⅱ) 求 lim ( ). n? ? S1 S 2 Sn 解析(Ⅰ)设该等差数列为{an},则 a1 = a,a2 = 4,a3 = 3a,Sk = 2550. 由已知得 a+3a = 2× 4, 解得 a1 = a = 2,公差 d = a2-a1= 2. k ? k ? 1? k ? k ? 1? ?d 得 k ?2 ? ? 2 ? 2550 ,解得 k = 50. 由 S k ? k ? a1 ? 2 2 ∴ a = 2,k = 50. n ? n ? 1? ? d 得 Sn= n (n+1), (Ⅱ)由 S n ? n ? a 1 ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ∴ S1 S 2 Sn 1? 2 2 ? 3 n ? n ? 1?
1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1? , 1 2 2 3 n n?1 n?1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ) ? lim (1 ? ) ?1. ∴ lim ( n? ? S n? ? S2 Sn n ?1 1

【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法. 【文】 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,已知 S 3 与
3 1 3 S 3与 1 4 S 4 的等差中项为 1,求数列 ?a n ? 的通项. 1 1 4 S 4 的等比中项为 1 5 S5 ,

1 1 ?1 2 ? 3 S3 ? 4 S4 ? ( 5 S5 ) ? 解析 由已知得 ? , 1 1 ? S ? S ?2 ?3 3 4 4 ?

? 3 a1d ? 5 d 2 ? 0 ? 即? , 5 ? 2 a1 ? d ? 2 ? 2
32 5 12 5

12 ? ?d ? 0 ?d ? ? 解得 ? 或? 5 ? a1 ? 1 ? a ? 4 ? 1

? an ? 1 或 an ?
32 5 12 5

?

n

经验证 a n ? 1 或 a n ?

?

n 均满足题意,即为所求.

【点睛】若 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,则数列 {

Sn n

} 也是等差数列.本题是以

此背景设计此题. 【范例 2】已知正项数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1, a3, a15 成等 比数列,求数列{an}的通项 an . 解析 ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 2 又 10Sn-1=an-1 +5an-1+6(n≥2), ② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题,一般有三种类型:(1)已知数列 是等差或等比数列,求通项,破解方法:公式法或待定系数法;(2)已知 Sn,求通项, 破解方法:利用 Sn-Sn-1= an,但要注意分类讨论,本例的求解中检验必不可少,值得重 视;(3)已知数列的递推公式,求通项,破解方法:猜想证明法或构造法。 【文】已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ? a ? 2 ? b ,且 a 1 ? 3 .
n

(1)求 a 、 b 的值及数列 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ?
n an

,求数列 {b n } 的前 n 项和 T n .
n ?1

解析 (1)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 而 { a n } 为等比数列,得 a 1 ? 2
n an n 3?2
n ?1
1? 1

?a .
n ?1

? a ? a= 3 ,即 a ? 3 ,从而 a n ? 3 ? 2
1 3 2 2 3 2
2



又? a1 ? 2 a ? b ? 3,? b ? ? 3 . (2) b n ?
1 Tn ?

?

, Tn ?

(1 ?

?

?? ? 2

n
n ?1

)

1 1 2 3 n ?1 n ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 两式相减得 T n ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ) , 2 3 2 2 2 2 4 1 n 因此, Tn ? (1 ? n ? n ? 1 ) . 3 2 2

【范例 3】下表给出一个“三角形数阵”: 1
4 1 2 3 1 4 3

, ,



3

4 8 16 ? ? ? ? 已知每一列的数成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比 都相等.记第 i 行第 j 列的数为 aij ( i≥j, i, j∈N*). (1) 求 a83; (2) 试写出 a ij 关于 i, j 的表达式; (3) 记第 n 行的和为 An,求 A n ? a n1 ? a n 2 ? ? ? ? a nn .

解析 (1) 由题知 a n 1 成等差数列, a 11 ? 且 又 a 3 n 成等比数列,且 a 31 ? ∴ a 83 ? 2 ? ( ) 2 ?
2 1 1 2

? ?

1 4

, a 21 ?

1 2

, 所以公差 d ?

1 4

, a 81 ? 2 。
1 2

? ?

3 4

, a 32 ?

3 8

.又公比都相等,∴每行的公比是 q ?




1 ? ( i ? 1) ? 1 ? i

1 j ?1 1 ?( ) ? i( ) 4 4 4 2 4 2 2 1 1 2 1 n ?1 n 1 n ?1 n 1 n ?1 (3) A n ? a n1 [1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? [ 2 ? ( ) ] ? ? n ( ) . 2 2 2 4 2 2 2

(2)由(1)知,a i1 ?

,∴ a ij ? a i1 ? ( ) j ?1 ?

1

i

j ?1



【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识. 【文】在等比数列{a n}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,则 am, am+2, am+1 成等差数列 (1)写出这个命题的逆命题;(2)判断逆命题是否为真,并给出证明 解析(1)逆命题:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am, am+2, am+1 成等 差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 (2)设{an}的首项为 a1,公比为 q. 由已知得 2am+2= am + am+1 1 ∴2a1qm+1=a1 q m ?1 +a1qm ∵a1≠0 q≠0 ,∴2q2-q-1=0 , ∴q=1 或 q=- 2 当 q=1 时,∵Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1, ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2, ∴Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列 1 m?2 m?2 2 a1 [1 ? ( ? ) ] ? 4 ? ? 1? 1 2 ? a1 ?1 ? ? ? ? 当 q=- 时, 2 S m ? 2 ? ?, 1 3 ? ? 2? 2 ? ? ? 1? 2 1 m 1 m ?1 m?2 a1 [1 ? ( ? ) ] a1 [1 ? ( ? ) ] ? 4 ? ? 1? 2 2 S m ? S m ?1 ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? 2? ? ? ? 1? 1? 2 2
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∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 综上得:当公比 q=1 时,逆命题为假;当公比 q≠1 时,逆命题为真 【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处. 【范例 4】已知数列 {a n }中,a 1 ? 1, 且点 P ( a n , a n ?1 )( n ? N ) 在直线 x-y+1=0 上.
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(1) 求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 ? ? ??? ( n ? N , 且 n ? 2 ), (2)若函数 f ( n ) ? n ? a1 n ? a2 n ? a3 n ? an 求函数 f (n)的最小值; 1 , S n 表示数列{bn}的前 n 项和. 试问:是否存在关于 n 的整式 g(n), (3)设 b n ? an 使得 S 1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ( S n ? 1) ? g ( n ) 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若 存在,写出 g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. ? an ? an?1 ? 1 ? 0 解析 (1)? P ( a n , a n ? 1 )( n ? N ) 在直线 x-y+1=0 上
? a1 ? a 2 ? 1 ? 0, a 2 ? a 3 ? 1 ? 0, ? ? , a n ?1 ? a n ? 1 ? 0, 以 上 各 式 相 加 , 得 a1 ? a n ? n ? 1 ? 0, a n ? a1 ? n ? 1 ? n .
1 1 1

(2) ? f ( n ) ?

, n?2 2n 1 1 1 1 f ( n ? 1) ? ? ??? ? ? , n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? f ( n ? 1) ? f ( n ) ? ? ? ? ? ? ? 0. 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 故 f ( n ) 的最小值是 f ( 2 ) ? . ? f ( n )是单调递增的 , 12 1 1 1 (3)? b n ? ? s n ? 1 ? ? ? ? , n 2 n 1 ? s n ? s n ?1 ? ( n ? 2 ), 即 ns n ? ( n ? 1) s n ?1 ? s n ?1 ? 1, n ? ( n ? 1) s n ?1 ? ( n ? 2 ) s n ? 2 ? s n ? 2 ? 1 .
n ?1 1

?

?? ?

????????? ????? 2 s 2 ? s1 ? s1 ? 1, ? ns n ? s1 ? s1 ? s 2 ? ? ? s n ?1 ? n ? 1,
? s1 ? s 2 ? ? ? s n ?1 ? ns n ? n ? ( s n ? 1) ? n ( n ? 2 ), ? g (n) ? n .

故存在关于 n 的整式 g ( n ) ? n , 使等式对于一切不小 2 的自然数 n 恒成立. 【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程,即得递推式.第(3) 小题的探索性设问也是本题的升华. 【变式】设数列 { a n } 是等差数列, a 5 ? 6 . (Ⅰ)当 a 3 ? 3 时,请在数列 { a n } 中找一项 a m ,使得 a 3 , a 5 , a m 成等比数列;
* (Ⅱ)当 a 3 ? 2 时,若 k 1 , k 2 , ? , k n ( n ? N ) 满足 5 ? k 1 ? k 2 ? ? ? k n ? ? ,

使得 a 3 , a 5 , a k1 , a k 2 , ? , a k n , ? 是等比数列,求数列 { k n } 的通项公式.

解析(Ⅰ)设 { a n } 公差为 d ,则由 a 5 ? a 3 ? 2 d ,得 d ? ∵ a 3 , a 5 , a m 成等比数列,∴ a m a 3 ? a
2 5

3 2

解得 m ? 9 .故 a 3 , a 5 , a 9 成等比数列.

(Ⅱ)? a 3 ? 2 , a 5 ? 6 ,∴ d ? 2 ,故 a n ? a 3 ? ( n ? 3) d ? 2 n ? 4 . 又 a 3 , a 5 , a k1 , a k 2 , ? , a k n , ? 是等比数列, 则q ?
a5 a3 ? 6 2 ? 3 ,∴ a k n ? a 3 q
n ?1 n ?1

? 2?3

, n ? 1, 2 , 3, ?
n ?1

又 a k n ? 2 k n ? 4 ,∴ 2 k n ? 4 ? 2 ? 3

n ?1

,∴ k n ? 3

?2

【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容.

★★★自我提升
1.在等差数列 { a n } 中, a 6 ? a 3 ? a 8 ,则 S 9 ? ( A ) (A) 0 (B) 1
1 3

(C) ? 1
n? ?

(D)-1 或 1 )

2. (理) 已知数列 { a n }满足 S n ? (A)
1 2

( a n ? 1, 那么 lim ( a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ) 的值为 C (C)1
2

(B)

2 3

(D)-2

(文)直角三角形三边成等比数列,公比为 q ,则 q 的值为( D ) (A) 2 (B)
5 ?1

(C)

5 ?1

(D)

5 ?1

2 2 2 3.设{a n}为等差数列,a 1>0 ,a 6+ a 7>0, a6 a 7<0,则使其前 n 项和 Sn>0 成立 的最大自然数 n 是( B ) (A)11 (B)12 (C)13 (D)14 4. 三个数 a , b , c 成等比数列, a ? b ? c ? m ( m ? 0 ) , b 的取值范围是 D ) 且 则 (

(A) [ 0 ,

m 3

]

(B) [ ? m , ?
n ?1

m 3

]
?

(C) ( 0 ,

m 3

)

(D) [ ? m , 0 ) ? ( 0 ,

m 3

]

5.令 a n 为 f n ( x ) ? (1 ? x )

( n ? N ) 的展开式中含 xn 项的系数,则数列{a n}的前

n 项和为__________. 6.这是一个计算机程序的操作说明: (1)初始值为 x=1,y=1,z=0,n=0; (2)n=n+1(将当前 n+1 的值赋予新的 n) (3)x = x+2(将当前的 x=2 的值赋予新的 x) (4)y =2 y (将当前 2y 的值赋予新的 y) (5)z = z + x y(将当前 z+xy 的值赋予新的 z) (6)如果 z>7000,则执行语句(7),否则回语句(2)继续进行; (7)打印 n,z; (8)程序终止. 由语句(7)打印出的数值为 n=8,z=7682 .

7.已知二次函数 y ? f ( x ) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x ) ? 6 x ? 2 ,数列
'

{ a n } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n , S n )( n ? N ) 均在函数 y ? f ( x ) 的图像上.

?

(Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 设 b n ?
3 a n a n ?1

,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和, 求使得 Tn ?

m 20

对所有 n ? N

?

都成立的最小正整数 m; 解析 (Ⅰ)设二次函数 f (x)=ax2+bx (a≠0),则 f ? ( x ) =2ax+b,又 f ? ( x ) =6x-2, 得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 ( n , S n )( n ? N ) 均在函数 y ? f ( x ) 的图像上,所以 S n =3n2-2n.
3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( n ? 1) ? 2 ( n ? 1) =6n-5.
2
?

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3× 2-2=6× 1 1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N ) 1 1 1 3 3 ? ), (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 b n ? = = ( a n a n ?1 ( 6 n ? 5 ) ?6 ( n ? 1) ? 5 ? 2 6 n ? 5 6 n ? 1
1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? . ? (1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ? ... ? ( 6 n ? 5 ? 6 n ? 1 ) ? = 2(1- 6 n ? 1 ) 2 ? ? i ?1 1 1 m 1 m ? 因此, 要使 (1- ) < (n? N ) 恒成立的 m, 必须且仅须满足 ≤ , 2 6n ? 1 20 2 20 即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 【文】设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn.. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式. 解析:(Ⅰ)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,故解得 d=-2,a1=20. 因此,{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3…

?

故 Tn= ? b i =

n

? S 14 ? 77 , ? 2 a 1 ? 13 d ? 11 , ? 2 a 1 ? 13 d ? 11 , ? ? ? (Ⅱ)由 ? a 11 ? 0 , 得 ? a 1 ? 10 d ? 0 , 即 ? ? 2 a 1 ? 20 d ? 0 , ?a ? 6 ?a ? 6 ? ? 2 a ? ? 12 1 ? 1 ? 1 ? 11 1 由①+②得-7d<11。即 d>- . 由①+③得 13d≤-1,即 d≤- . 7 13 11 1 于是- <d≤- , 又 d∈Z,故 d=-1,将④代入①②得 10<a1≤12. 7 13 又 a1∈Z, 故 a1=11 或 a1=12. 所以,所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,…

8.(理)数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2 a n ? 3 n ( n ? N ? ). (1)求数列{ a n }的通项公式 a n ; (2)数列{ a n }中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适 合条件的项;若不存在,请说明理由. 解析:(1)当 n ? N ? 时有: S n ? 2 a n ? 3 n ,? S n ?1 ? 2 a n ?1 ? 3( n ? 1),

两式相减得: a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 2 a n ? 3
? a n ? 1 ? 3 ? 2( a n ? 3)

? a n ?1 ? 2 a n ? 3

又 a 1 ? S 1 ? 2 a 1 ? 3,? a 1 ? 3, a 1 ? 3 ? 6 ? 0

∴数列{ a n ? 3 }是首项 6,公比为 2 的等比数列. 从而 a n ? 3 ? 6 ? 2 n ? 1 ,? a n ? 3 ? 2 n ? 3. (2)假设数列{ a n }中存在三项 a r , a s , a t , ( r ? s ? t ) ,它们可以构成等差数列,
? ar ? as ? at ,
r

因此只能是 a r ? a t ? 2 a s ,
t s

? ( 3 ? 2 ? 3) ? ( 3 ? 2 ? 3) ? 2 ( 3 ? 2 ? 3) 即 2 ? 2 ? 2
r t

s ?1

?1 ? 2

t?r

?2

s ?1 ? r

.(*)

? r ? s ? t , r 、 s 、 t 均为正整数,

∴(*)式左边为奇数右边为偶数,不可能成立。 因此数列{ a n }中不存在可以构成等差数列的三项。 【文】在等差数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足 (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? a n p n ( p ? 0) ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 Tn .
a

S2n Sn

?

4n ? 2 n ?1

, n ? 1, 2, ? ,

解析(Ⅰ)设等差数列 ? a n ? 的公差为 d ,由

S2n Sn

?

4n ? 2 n ?1
3



a1 ? a 2 a1

?3,

所以 a 2 ? 2 ,即 d ? a 2 ? a1 ? 1 ,所以 a n ? n . (Ⅱ) bn ? a n p n , bn ? np 由 得
a n

1 ) . Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ?( n ? 故
2

p

n1 ?

? np ,
n

当 p ? 1 时, Tn ?

n ?1 2
2


3 4 n n ?1

当 p ? 1 时, pTn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? ( n ? 1) p ? np
(1 ? P )Tn ? p ? p ? p ? ? ? p
2 3 n ?1


p (1 ? p )
n

? p ? np
n

n ?1

?

1? p

? np

n ?1

n ?1 ? , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? . n p (1 ? p ) n ?1 ? ? np , p ? 1 ? 1? p ?


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