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高考第一轮教案(等差数列专题复习)


专题 4
★★★高考在考什么

等差数列与等比数列

【考题回放】 1.设数列{an}的首项 a1=-7,且满足 an+1=an+2(n∈N),则 a1+a2+?? +a17= 153 . S3 1 S6 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =( A ) S6 3 S12 3 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 10 3 8 9 3.已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1

?b1 ? 5 ,a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ),则数列 {cn } 的前 10 项和等于( C )
4.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列, 则 Sn 等于( C ) (A) 2 ? 2 (B) 3n (C) 2 n (D) 3 ? 1 5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无 穷等比数列,下列{an}的四组量中:①S1 与 S2; ②a2 与 S3; ③a1 与 an; ④q 与 an. 其中一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④ 组. (写出所有符合要求的组号)
n
n ?1

(A)55

(B)70

(C)85

(D)100

?1 a (n为偶数) ? 1 1 ?2 n * 6. 设数列{an}的首项 a1 ? a ? , 且 an ?1 ? ? , 记 bn ? a2 n ?1 ? , n ? N . 4 4 ?a ? 1 (n为奇数) n ? ? 4
(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)(理)求 lim(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ) .
n ??

【专家解答】 1 1 1 1 1 (I)a2=a1+ = a+ ,a3= a2 = a+ ; 4 4 2 2 8 1 1 3 1 1 3 (II)∵ a4 = a3+ = a+ , ∴ a5= a4= a+ , 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1=a1- =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ), 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想:{bn}是公比为 的等比数列.证明如下: 2 1 1 1 1 1 1 因为 bn+1=a2n+1- = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*) 4 2 4 2 4 2

所以{bn}是首项为 a-

1 4

, 公比为

1 2

的等比数列·

(III)(理) lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? lim
n ?? n ??

b1 (1 ?

1 ) 2n ? b1 ? 2(a ? 1 ) . 1 1 4 1? 1? 2 2

★★★高考要考什么
【考点透视】 本专题主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前 n 项和及其性质,数列的极 限、无穷等比数列的各项和. 【热点透析】 高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查 a1、d (q)、

n、an、Sn 间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与
函数、方程与不等式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思 维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论.

★★★突破重难点
【范例 1】已知等差数列前三项为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,Sk = 2550. (Ⅰ) 求 a 及 k 的值; (Ⅱ) 求 lim (
n??

1 1 1 ). ? ?? S1 S 2 Sn

解析(Ⅰ)设该等差数列为{an},则 a1 = a,a2 = 4,a3 = 3a,Sk = 2550. 由已知得 a+3a = 2× 4, 解得 a1 = a = 2,公差 d = a2-a1= 2. 由 S k ? k ? a1 ?

k ?k ? 1? k ?k ? 1? ?d 得 k ?2? ? 2 ? 2550 ,解得 k = 50. 2 2

∴ a = 2,k = 50.

(Ⅱ)由 S n ? n ? a1 ?

n?n ? 1? ? d 得 Sn= n (n+1), 2 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? S1 S 2 S n 1? 2 2 ? 3 n?n ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) ? 1? , 1 2 2 3 n n?1 n?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ) ? lim(1 ? ) ?1. ∴ lim( ? n?? S n ? ? S S n ? 1 1 2 n
【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法. 【文】 设S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,已知

1 1 1 S 3与 S 4 的等比中项为 S 5 , 3 4 5

1 1 S 3与 S 4 的等差中项为 1,求数列 ?a n ? 的通项. 3 4

1 1 ?1 S 3 ? S4 ? ( S5 )2 ? 3 4 5 解析 由已知得 ? , ? 1 1 ? S ? S ?2 3 ? 4 4 ?3

? 3a1d ? 5d 2 ? 0 ? 即? , 5 ? 2a1 ? d ? 2 ? 2

12 ? ?d ? 0 ?d ? ? 32 12 ? n 解得 ? 或? 5 ? an ? 1 或 an ? 5 5 ? a1 ? 1 ? a ? 4 ? 1 32 12 ? n 均满足题意,即为所求. 经验证 an ? 1 或 a n ? 5 5 S 【点睛】若 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,则数列 { n } 也是等差数列.本题是以 n
此背景设计此题. 【范例 2】已知正项数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1, a3, a15 成等 比数列,求数列{an}的通项 an . 解析 ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 2 又 10Sn-1=an-1 +5an-1+6(n≥2), ② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题,一般有三种类型:(1)已知数列 是等差或等比数列,求通项,破解方法:公式法或待定系数法;(2)已知 Sn,求通项, 破解方法:利用 Sn-Sn-1= an,但要注意分类讨论,本例的求解中检验必不可少,值得重 视;(3)已知数列的递推公式,求通项,破解方法:猜想证明法或构造法。 【文】已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? a ? 2 n ? b ,且 a1 ? 3 . (1)求 a 、 b 的值及数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an
1?1

解析 (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n?1 ? a . 而 {an } 为等比数列,得 a1 ? 2 (2) bn ?

? a ? a=3 ,即 a ? 3 ,从而 an ? 3 ? 2 n?1 .

又? a1 ? 2a ? b ? 3,? b ? ?3 .

1 2 3 n n n , Tn ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? n ?1 3 2 2 2 an 3 ? 2 1 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 两式相减得 Tn ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ) , 2 3 2 2 2 2 4 1 n 因此, Tn ? (1 ? n ? n?1 ) . 3 2 2

【范例 3】下表给出一个“三角形数阵”:

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16
? ? ? ? 已知每一列的数成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比 都相等.记第 i 行第 j 列的数为 aij ( i≥j, i, j∈N*). (1) 求 a83; (2) 试写出 a ij 关于 i, j 的表达式; (3) 记第 n 行的和为 An,求 An ? an1 ? an 2 ? ?? ? ann .

1 1 1 所以公差 d ? , a81 ? 2 。 , a21 ? , 4 4 2 3 3 1 又 a3 n 成等比数列,且 a31 ? , a32 ? .又公比都相等,∴每行的公比是 q ? . 4 8 2 1 2 1 ∴ a83 ? 2 ? ( ) ? . 2 2 1 1 i 1 i 1 1 (2)由(1)知,ai1 ? ? (i ? 1) ? ? ,∴ aij ? ai1 ? ( ) j ?1 ? ? ( ) j ?1 ? i( ) j ?1 . 4 4 4 2 4 2 2 1 1 2 1 n?1 n 1 n?1 n 1 n?1 (3) An ? an1[1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? [2 ? ( ) ] ? ? n( ) . 2 2 2 4 2 2 2
解析 (1) 由题知 an 1 成等差数列, 且 a11 ?

? ?

? ?

【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识. 【文】在等比数列{a n}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,则 am, am+2, am+1 成等差数列 (1)写出这个命题的逆命题;(2)判断逆命题是否为真,并给出证明 解析(1)逆命题:在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am, am+2, am+1 成等 差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 (2)设{an}的首项为 a1,公比为 q. 由已知得 2am+2= am + am+1
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∴2a1qm+1=a1 q m?1 +a1qm

∵a1≠0 q≠0 ,∴2q2-q-1=0 , ∴q=1 或 q=-

1 2

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当 q=1 时,∵Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1, ∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2, ∴Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列

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1 当 q=- 时, 2Sm ? 2 ? 2

1 m? 2 2a1[1 ? (? )m? 2 ] 4 ? ? 1? ? 2 ? a1 ?1 ? ? ? ? ? , 1 3 ? ? ? 2? ? ? 1? 2 1 1 m? 2 a1[1 ? (? ) m ] a1[1 ? (? ) m?1 ] 4 ? ? 1? ? 2 2 Sm ? Sm?1 ? ? ? a1 ?1 ? ? ? ? ? 1 1 3 ? ? ? 2? ? ? 1? 1? 2 2

∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列 综上得:当公比 q=1 时,逆命题为假;当公比 q≠1 时,逆命题为真 【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处. 【范例 4】已知数列 {an } 中,a1 ? 1, 且点P(an , an?1 )(n ? N ) 在直线 x-y+1=0 上.
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(1) 求数列{an}的通项公式; (2)若函数 f (n) ? 求函数 f (n)的最小值;

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N , 且n ? 2), n ? a 1 n ? a 2 n ? a3 n ? an

1 , S n 表示数列{bn}的前 n 项和. 试问:是否存在关于 n 的整式 g(n), an 使得 S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? (S n ? 1) ? g (n) 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若
(3)设 bn ? 存在,写出 g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 解析 (1)? P(an , an?1 )(n ? N ) 在直线 x-y+1=0 上 ? an ? an?1 ? 1 ? 0

? a1 ? a2 ? 1 ? 0, a2 ? a3 ? 1 ? 0,??, an?1 ? an ? 1 ? 0, 以上各式相加, 得a1 ? an ? n ? 1 ? 0, an ? a1 ? n ? 1 ? n. 1 1 1 ? ??? (2) ? f (n) ? , n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? ? ??? ? ? , n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ? 0. 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 故 f (n) 的最小值是 f (2) ? . ? f (n)是单调递增的 , 12 1 1 1 (3)? bn ? ? s n ? 1 ? ? ? ? , n 2 n 1 ? s n ? s n ?1 ? (n ? 2), 即ns n ? (n ? 1) s n ?1 ? s n ?1 ? 1, n ? (n ? 1)sn?1 ? (n ? 2)sn?2 ? sn?2 ? 1.
????????? ?????

2s2 ? s1 ? s1 ? 1, ? nsn ? s1 ? s1 ? s2 ? ? ? sn?1 ? n ? 1, ? s1 ? s2 ? ? ? sn?1 ? nsn ? n ? (sn ? 1) ? n(n ? 2), ? g (n) ? n . 故存在关于 n 的整式 g (n) ? n, 使等式对于一切不小 2 的自然数 n 恒成立.
【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程,即得递推式.第(3) 小题的探索性设问也是本题的升华. 【变式】设数列 {an } 是等差数列, a5 ? 6 . (Ⅰ)当 a3 ? 3 时,请在数列 {an } 中找一项 a m ,使得 a3 , a5 , am 成等比数列; (Ⅱ)当 a3 ? 2 时,若 k1 , k 2 ,?, k n (n ? N * ) 满足 5 ? k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ? , 使得 a3 , a5 , ak1 , ak2 ,?, akn ,?是等比数列,求数列 {k n } 的通项公式.

解析(Ⅰ)设 {an } 公差为 d ,则由 a5 ? a3 ? 2d ,得 d ?
2 ∵ a3 , a5 , am 成等比数列,∴ am a3 ? a5

3 2 解得 m ? 9 .故 a3 , a5 , a9 成等比数列.

(Ⅱ)? a3 ? 2, a5 ? 6 ,∴ d ? 2 ,故 an ? a3 ? (n ? 3)d ? 2n ? 4 . 又 a3 , a5 , ak1 , ak2 ,?, akn ,?是等比数列, 则q ?

a5 6 n?1 ? 2 ? 3n?1 , n ? 1, 2, 3, ? ? ? 3 ,∴ akn ? a3 q a3 2

又 akn ? 2k n ? 4 ,∴ 2k n ? 4 ? 2 ? 3n?1 ,∴ k n ? 3n?1 ? 2 【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容.

★★★自我提升
1.在等差数列 {an } 中, a6 ? a3 ? a8 ,则 S 9 ? ( A ) (A) 0 (B) 1 (C) ? 1 (D)-1 或 1 2. (理) 已知数列 {a n }满足 S n ? (A)

1 ( C ) a n ? 1, 那么 lim(a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ) 的值为 n ?? 3
(C)1
2

1 2

(B)

2 3

(D)-2

(文)直角三角形三边成等比数列,公比为 q ,则 q 的值为( D ) (A) 2 (B)

5 ?1 2

(C)

5 ?1 2

(D)

5 ?1 2

3.设{a n}为等差数列,a 1>0 ,a 6+ a 7>0, a6 a 7<0,则使其前 n 项和 Sn>0 成立 的最大自然数 n 是( B ) (A)11 (B)12 (C)13 (D)14 4. 三个数 a, b, c 成等比数列, 且 a ? b ? c ? m(m ? 0) , 则 b 的取值范围是 ( D )

m m m m ] (B) [? m,? ] (C) (0, ) (D) [ ? m,0) ? (0, ] 3 3 3 3 n?1 ? n 5.令 a n 为 fn ( x) ? (1 ? x) (n ? N ) 的展开式中含 x 项的系数,则数列{a n}的前
(A) [0, n 项和为__________. 6.这是一个计算机程序的操作说明: (1)初始值为 x=1,y=1,z=0,n=0; (2)n=n+1(将当前 n+1 的值赋予新的 n) (3)x = x+2(将当前的 x=2 的值赋予新的 x) (4)y =2 y (将当前 2y 的值赋予新的 y) (5)z = z + x y(将当前 z+xy 的值赋予新的 z) (6)如果 z>7000,则执行语句(7),否则回语句(2)继续进行; (7)打印 n,z; (8)程序终止. 由语句(7)打印出的数值为 n=8,z=7682 .

7.已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; m 3 ? (Ⅱ) 设 bn ? ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和, 求使得 Tn ? 对所有 n ? N 20 a n a n ?1
都成立的最小正整数 m; 解析 (Ⅰ)设二次函数 f (x)=ax2+bx (a≠0),则 f ?( x ) =2ax+b,又 f ?( x ) =6x-2, 得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3× 12-2=6× 1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )

?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1 n 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 故 Tn= ? bi = ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ) . ? )? = (1- 2 ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 i ?1 1 1 m 1 m ? 因此, 要使 (1- ) < ( n? N ) 恒成立的 m, 必须且仅须满足 ≤ , 2 6n ? 1 20 2 20
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ? 即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 【文】设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn.. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式. 解析:(Ⅰ)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,故解得 d=-2,a1=20. 因此,{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3…

? S14 ? 77, ?2a1 ? 13d ? 11, ?2a1 ? 13d ? 11, ? ? ? (Ⅱ)由 ?a11 ? 0, 得 ?a1 ? 10d ? 0, 即 ?? 2a1 ? 20d ? 0, ?a ? 6 ?a ? 6 ?? 2a ? ?12 1 ? 1 ? 1 ?
由①+②得-7d<11。即 d>- 于是-

11 . 7

由①+③得 13d≤-1,即 d≤-

1 . 13

11 1 <d≤- , 又 d∈Z,故 d=-1,将④代入①②得 10<a1≤12. 7 13

又 a1∈Z, 故 a1=11 或 a1=12. 所以,所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,… 8.(理)数列{ an }的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2an ? 3n(n ? N ? ). (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)数列{ an }中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适 合条件的项;若不存在,请说明理由. 解析:(1)当 n ? N ? 时有: S n ? 2an ? 3n,? S n?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1),

两式相减得: an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3

? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)

? an?1 ? 2an ? 3 又a1 ? S1 ? 2a1 ? 3,? a1 ? 3, a1 ? 3 ? 6 ? 0

∴数列{ an ? 3 }是首项 6,公比为 2 的等比数列. 从而 an ? 3 ? 6 ? 2n?1 ,? an ? 3 ? 2n ? 3. (2)假设数列{ an }中存在三项 ar , as , at , (r ? s ? t ) ,它们可以构成等差数列,

? ar ? as ? at ,
r

因此只能是 ar ? at ? 2as ,

? (3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 2t ? 3) ? 2(3 ? 2 s ? 3) 即 2 r ? 2 t ? 2 s ?1 ?1 ? 2t ?r ? 2 s ?1?r .(*) ? r ? s ? t , r 、 s 、 t 均为正整数,
∴(*)式左边为奇数右边为偶数,不可能成立。 因此数列{ an }中不存在可以构成等差数列的三项。 【文】在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
a

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? , Sn n ?1

(Ⅱ)记 bn ? an p n ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

S2 n 4n ? 2 a1 ? a2 得 ? ? 3, a1 Sn n ?1 所以 a2 ? 2 ,即 d ? a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? n .
解析(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由
? (Ⅱ) 由 bn ? an p n , 得 bn ?n ( n? 1 ) pn1 ? npn , p n .故 Tn ? p ? 2 p2 ?3 p3 ? ?? a

n ?1 ; 2 当 p ? 1 时, pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,
当 p ? 1 时, Tn ?

(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ? ? ? p n?1 ? p n ? np n?1 ?
? n ?1 , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? . n p (1 ? p ) n ? 1 ? ? np , p ? 1 ? ? 1? p

p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p


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