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南陵中学高二下学期第一次月考数学(理)


南陵中学 2013-2014 学年高二下学期三月份月考试题

数学(理科)
命题人: 审题人: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.下列有关命题的说法正确的是
2 2 2

(

)

A.命题“若

x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” . B. “ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件是“ x ? ?1 ” . C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” .
2 2

D.命题“若 sin x ? sin y ,则 x ? y ”的否命题为真命题. 2.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m ‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n )

3.“直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 0 互相垂直”是“ m ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ”的( ) 2

4.三棱椎 A—BCD 的三视图为如图所示的三个直角三角形,则三棱锥 A—BCD 的表面积为( A.2+2 5 B.4+4 5 ) C.

4?4 5 D.2+2 3 3

5.若点 P 是以 A ? 10 ,0 、 B 10 ,0 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线 与圆 x +y =10 的一个交点,则|PA|+ |PB|的值为 A. 2 2 B. 4 2 C. 4 3
2 2

?

? ?

?



) D. 6 2

6.如图, A1B1C1—ABC 是直三棱柱, ∠BCA=90°, 点 D 1、 F1分别是 A1B1、 A1C1的中点, 若 BC=CA=CC1, 则 BD1与 AF1所成角的余弦值是 ( )

A.

B.

C.

D.

7.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点,它们到直线 x ? ?2 的距离 之和等于 5,则这样的直线 A.不存在 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.有且仅有一条 )

8.设圆 O 1 和圆 O2 是两个定圆, 动圆 P 与这两个定圆都相切, 则圆 P 的圆心轨迹不可能是 (

A

B

C

D

2 2 2, 3?? 在其右支上 ,且 9. 双曲线 x ? y ? 8 的左右焦点分别是 F1,F2 , 点 Pn ? xn,yn ?? n ? 1,

满足 | Pn ?1 F2 |?| Pn F1 | , P 1 F2 ? F 1 F2 ,则 A. 8036 2 B. 8036

x2014 的值是(
C. 8056 2

) D. 8056

10.我们把焦点相同, 且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”. 已知 F1 、F2 是一对相关曲线的焦点, P 是它们在第一象限的交点,当 ?F1 PF2 ? 60 时,这一对相关曲
?

线中双曲线的离心率是( A. 3 B. 2

) C.

2 3 3

D. 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分. k 11.命题“? k ∈ R , 函 数 y ? 在 (0 , + ∞ ) 上单调递增”的否定是 x



.

12.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积
0 为 3 , AB ? 2 , AC ? 1 , ?BAC ? 60 ,则此球的表面积等于
2



.

13.已知 P1、P2、?、P2014 是抛物线 y =4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1、x2、?、x2014,F 是 抛物线的焦点,若 x1+x2+?+x2014=10,则|P1F|+|P2F|+?|P2014F|= ▲ . 14.双曲线
x2 y2 的两个焦点为 F1 、F2 , 若 P 为其上一点, 且|PF1 |=2|PF2 |, ? ? 1(a>0,b>0) a2 b2 则双曲线离心率的取值范围为:A. (1,3) ;B. (1,3];C. (3,+∞) ;D.[3,+∞)”其 正确选项是 B.若将其中的条件“|PF1 |=2|PF2 |”更换为“|PF1 |=k|PF2 |,k>0 且 k≠1”,

试经过推理,得出双曲线离心率的取值范围是



. (用 k 表示)

15.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点 A 在平面 ? 内, 其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是: ▲

. (写出所有

D1 正确结论的编号 ) .. (1) 2; (2) 3; (3) 4; (4) 5; (5) 6; (6) 7; D C

C1 A1 B1

?
A1

B A

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.(本题满分 12 分)已知命题 p : 实数 m 满足方程

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 ) 表示双曲线; m ? 3a m ? 4a

命题 q :实数 m 满足方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且 q 是 p 的必要不 m ?1 2 ? m

充分条件,求实数 a 的取值范围。 17.(本题满分 12 分)如图,四棱锥 形,侧棱 (1)若 是 底面 ,且 , 平面 的底面是边长为 1 的正方 是侧棱 ; ?证明你的 上的动点

的中点,求证 在侧棱

(2)是否不论点

的任何位置,都有

结论 (3)在(1)的条件下求四面体 D-BEC 的体积。 18.(本题满分 12 分) 已知椭圆 E 经过点 A(2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上, 离心率 e ?

1 . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请 找出;若不存在,说明理由. 19.(本题满分 13 分)如图,正方形 所在平面互相垂直,△ 所在平面与平面四边形 是等腰直角三角形,

(1)求证:



(2)设线段 得 理由;

的中点为

,在直线

上是否存在一点

,使

?若存在,请指出点

的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明

(3)求二面角 F ? BD ? A 的正切值。

20.(本题满分 13 分)平面内与两定点 A1 (?a, 0) 、 A2 (a, 0) (a ? 0) 连线的斜率之积等于非 零常数 m 的点的轨迹,加上 A1 、 A2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (Ⅱ) 当 m ? ?1 时, 对应的曲线为 C1 ; 对给定的 m ? (?1, 0) ? (0, ? ?) , 对应的曲线为 C2 . 设
F1 、F2 是 C2 的两个焦点. 试问: 在 C1 上, 是否存在点 N , 使得△ F1 NF2 的面积 S ?| m | a 2 . 若

存在,求 tan F1 NF2 的值;若不存在,请说明理由. 21.(本题满分 13 分)某同学用《几何画板》研究抛物线的性质:打开《几何画板》软件, 绘制某抛物线 , 在抛物线上任意画一个点 , 度量点 的坐标 , 如图.

(Ⅰ)拖动点

,发现当

时,

,试求抛物线

的方程;

(Ⅱ)设抛物线 构造直线 物线 、

的顶点为

,焦点为 、

,构造直线

交抛物线 、

于不同两点





分别交准线于 ,恒有

两点,构造直线 .请你证明这

.经观察得:沿着抛

,无论怎样拖动点

一结论.

(Ⅲ)为进一步研究该抛物线 的尝试: 在 (Ⅱ) 中, 把 “焦点

的性质,某同学进行了下面 ” 改变为其它 “定点 与 不再平行” .是 ”

” ,其余条件不变,发现“

否可以适当更改 (Ⅱ) 中的其它条件, 使得仍有 “

成立?如果可以, 请写出相应的正确命题; 否则, 说明理由.


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