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江苏省启东中学高一数学教案 第二章 第4课时 不等式的解法.doc


不 等 式 的 解 法
一、含有绝对值的不等式 1、a|的意义是什么?
?a ? 2、在数量上,我们规定 | a |? ?0 ?? a ? a?0 a?0 a?0

在几何上 ,我们规定|a|表示数 a 在数轴上相应点与原点的距离; 3、一般地:对于 a>0,|x|<a ? -a<x<a, |x|>a ? x>a 或 x<-a 提问: 对于 ax ? b ? c 或 ax ? b ? c (c>0)这类不等式怎么解呢?只要将 ax+b 看作 x 就可以求解了
例 1.解不等式 (1) 2 x ? 3 ? 5 (2) 1 ? 3x ? 4 ? 6

(3) 2x ? 5 ? x ? 3

(4)|x+1|-|x-1|>1

二、一元二次不等式

对于求一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)和 ax2+bx+c<0(a>0)的解集的问题, 我们可以考虑相应的二次函数或一元二次方程的根。 一元二次不等式的解法是借助初中学过的一元二次函数的图象讨论它的解集, 二次 项系数是正数的二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式的主要结论与三者之间 的密切联系如下: 判别式 ??0 ??0 ??0 △=b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
一 元 二 次 不 等 式 的 解集

x?

? b ? b 2 ? 4ac 2a

x1 ? x 2 ?

?b 2a

没有实数根

ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)

{x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

{x|x≠x1}
?

R
?

1. 如果 a<0,可以先用不等式基本性质,在不等式两边同乘以-1,将二次项系数 改为“+”号;
例 2 、解下列不等式: ( 1 )-3x2+4x+4>0

(2)

1 2 x ? 2 x ? 4 ≥0. 4

(3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)

( 4 )1+x-x3-x4<0

( 5 )X2-3

X

-15≥0

例 3、解不等式 2 x ? ax ? 2 ? 0
2

例 4、若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解为 ? ? x ? ? (? ? 0) ,求解不等式 cx ? bx ? a ? 0
2 2

例 5、 a ? R为何值时, 不等式 (a 2 ? 4) x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 的解集是空集?

例 6 已知满足关于 x 的不等式 p[ x 2 ? ( p 2 ? p ? 2) x ? p 3 ? 2 p 2 ] ? 0 的 x 的最大值为 3,求 p 的值

三、分式不等式的常见解法:

p ( x) p ( x) ? 0 (或 ? 0 )等价于 q( x) q( x)
p(x)q(x)>0(或 p(x)q(x)<0) ;

p( x) p( x) ≥0(或 ≤0)等价于 q( x) q( x)

? p( x)q( x) ? 0, ? p ( x ) q ( x ) ? 0, (或 ? ) ? ?q ( x ) ? 0 ?q( x) ? 0.
例 7 求不等式解集:

1 >1 x

例 8 解不等式

3x 2 ? 14x ? 14 ≥1. x 2 ? 6x ? 8

四、练习: 1.下列不等式的解集是 R 的为( C A. x2+2x+1>0 B. )

x2 ? 0
1 1 ?3? x x


?1? C. ? ? ? 1 ? 0 ?2?

x

D.

2.不等式 ( x ? 1) x ? 2 ≥0 的解集是( C A. {x|x>1} C. {x|x≥1 或 x= -2}

B. {x|x≥1} D. {x|x≥-2 且 x≠1} )

3.不等式 x2-2mx-15m2<0, (m<0)的解是(B A. –3m<x<5m C. –3m<x<5m 或 5m<x<-3m 4.与不等式

B. 5m<x<-3m D. x<-3m 或 x>5m

x?3 ≥0 的解集相同的不等式是(B ) 2? x x?3 A. (x-3)(2-x)≥0 B. ≤0 x?2 2? x C. ≥0 D. (x-3)(2-x)>0 x?3


5.不等式 2<|2x+3|≤4 的解集是(C A. {x | ?

7 5 1 1 ? x ? ? ,或 ? ? x ≤ } 2 2 2 2 7 5 1 1 B. {x | ? ? x ? ? ,或 ? ? x ? } 2 2 2 2 7 5 1 1 C. {x | ? ≤ x ? ? ,或 ? ? x ≤ } 2 2 2 2

7 5 1 1 ≤ x ≤ ? ,且 ? ? x ≤ } 2 2 2 2 2x ? 1 ? 1 的解集是__________ . 6.不等式 x?3
D. { x | ? 7.不等式 x(x-1)(x2+1)(x+3)(x-4)>0 的解集是__________ . 8.若二次函数 f(x)=ax2+bx 有 f(x1)=f(x2)(x1≠x2) ,则 f(x1+x2)=_______ . 9.不等式|x-4|+|x-3|<a 在 R 上的解集为空集,求实数 a 的取值范围. 10.设关于 x 的不等式 x ?

( a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ≤ 和 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2 ? (3a ? 1) ≤0 2 2

(a∈R)的解集依次为 A、B,求使 A ? B 的实数 a 的取值范围.


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