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2001年IMO中国国家集训队选拔考试


2001 年 IMO 中国国家集训队选拔考试
一、平面上给定凸四边形 ABCD 及其内点 E 和 F,适合 AE=BE,CE=DE,∠ AEB=∠CED,AF=DF,BF=CF,∠AFD=∠BFC. 求证:∠AFD+∠AEB=?. 二、对给定的正整数 a,b,b>a>1,a 不能整除 b 及给定的正整数数列 ?bn ?n?1 ,
?

满足对所有正整数 n,有 bn ?1 ≥ 2bn ,是否总存在正整数数列 ?an ?n?1 使得对所
?

有正整数 n,有 an?1 ? an ? ?a, b? ,且对所有正整数 m,l(可以相同) ,有

am ? al ? ?bn ?n?1 .
?

三、给定大于 1 的整数 k, 记 R 为全体实数组成的集合. 求所有的函数 f: R→R, 使得对 R 中的一切 x 和 y,都有
k f x k ? f ? y ? ? y ? ? f ?x?? .

?

?

四、给定大于 3 的整数 n,设实数 x1 , x2 ,?, xn , xn?1 , xn?2 满足条件

0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? xn?1 ? xn?2 .
试求下列的最小值:

? n xi ?1 ?? n x j ? 2 ? ? ? ? ?? x ? ?? ? x ? ? i ?1 i ?? j ?1 j ?1 ? n ? x k ?1 x k ? 2 ?? n xl2?1 ? xl xl ? 2 ? ?? x2 ? x x ? ?? ?? x x k ? 1 l l ?1 k ?1 k k ? 2 ?? l ?1 ?

? ? ? ?

并求使该式达到最小值的所有满足条件的实数组 x1 , x2 ,?, xn , xn?1 , xn?2 . 五、给定正△ABC,D 为 BC 边上的任意一点,△ABD 的外心、内心分别为 O1、 I1,△ABC 的外心、内心分别为 O2、I2,直线 O1I1 与 O2I2 相交于 P. 试求:当点 D 在 BC 边上运动时,点 P 的轨迹. 六、记 F ? max x 3 ? ax2 ? bx ? c .当 a,b,c 取遍所有的实数时,求 F 的最小值.
1? x ?3

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