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2010年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)


2010 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后 的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 化简三角有理式 A. 1 B.
cos sin
6 4

x ? sin
6

4

x ? sin x ? 2 sin

2 2

x cos x cos

2 2

x x

x ? cos

的值为(

A



sin x ? co s x

C. sin x co s x

D. 1+ sin x co s x

解答为 A。
分 母 = ( sin x ? co s x )(sin x ? co s x ? sin x co s x ) ? 2 sin x co s x
2 2 4 4 2 2 2 2

?sinx ? cos ? x
4 4

s ix n

2

c 。s x o
2

2.

若 p : ( x ? x ? 1) x ? 3 ? 0 , q : x ? ? 2 ,则 p 是 q 的(
2

B



A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

解答为 B。p 成立 ? x ? ? 3 ,所以 p 成立,推不出 q 一定成立。 3. 集合 P={ x x ? R , x ? 3 ? x ? 6 ? 3 },则集合 C R P 为( A. { x x ? 6, 或 x ? 3} C. { x x ? ? 6, 或 x ? 3} B. { x x ? 6, 或 x ? ? 3} D. { x x ? ? 6, 或 x ? ? 3} D )

解答:D。 画数轴,由绝对值的几何意义可得 ? 6 ? x ? ? 3 ,
P ?

?x

? 6 ? x ? ? 3 ? , C R P ? { x x ? ? 6 , 或 x ? ? 3} 。

4.

设 a , b 为两个相互垂直的单位向量。已知 O P = a ,O Q = b ,O R =r a +k b .若△PQR 为等边三角形,则 k,r 的取值为( C A. k ? r ?
?1 ? 2 1? 2 3 ?1 ? 2 3

? ?

??? ?

?

????

?

??? ?

?

?


1? 2 3 3 ,r ? 1? 2 ?1 ? 2 3 3

B. k ?

C. k ? r ? 解答.C.

D. k ?

,r ?

PQ ? QR ? PR ,
1? 2

即 r ? ( k ? 1) ?
2 2

( r ? 1) ? k
2

2

?

2, 解 得 r = k =

3



5. (

在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是 C A.60° ) B.75° C.90° D.105°

解答: 建立空间直角坐标系, A1 B 1 所在的直线为 x 轴, C。 以 在平面 A1 B1C 1 上垂直于 A1 B 1 的
2 2 6 2 2 2 6 2

直线为 y 轴, B B 1 所在的直线为 z 轴。则 A1 ( 2 , 0 , 0 ), C 1 (

,

, 0 ), C (

,

,1),

B (0, 0,1) , C A1 ? (

2 2

,?

6 2

, ? 1), C 1 B ? ( ?

2 2

,?

6 2

,1), C A1 ? C 1 B ? 0 。

6.

设 ? a n ? ,? b n ? 分别为等差数列与等比数列,且 a 1 ? b1 ? 4, a 4 ? b 4 ? 1 ,则以下结论 正确的是( A. a 2 ? b 2 A ) C. a 5 ? b 5 D. a 6 ? b 6

B. a 3 ? b3

解答:A。
3

设 等 差 数 列 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 公 比 为 q , 由 a 1 ? b1 ? 4 , a 4 ? b 4 ? 1, 得 d = - 1 , q =

2 2

3

得 a 2 ? 3, b 2 ? 2

3

2 ; a 3 ? 2 , b3 ?

3

4 ; a 5 ? 0 , b5 ?

2 2

3

; a 6 ? ? 1, b 6 ?

4 4



7.

若 x ? R , 则 (1 ? 2 x ) 的二项式展开式中系数最大的项为(
15

?

D



A.第 8 项
r

B. 第 9 项
r

C. 第 8 项和第 9 项
29 3
1 e

D. 第 11 项
? r ? 32 3
), c ? f (lo g 1
e

解答:D. T r ? 1 ? C 1 5 2 ,由 T r ? T r ? 1, T r ? 2 ? T r ? 1 ? 8. 设 f ( x ) ? cos 确的是( D A. a ? b ? c
x 5

,r=10,第 11 项最大。
1 ), 则下述关系式正

,a ? f (lo g e

1

?

), b ? f (lo g ?

?

2

) 。 B. b ? c ? a
x 5

C.

c ? a ?b

D. b ? a ? c

解答: D。函数 f ( x ) ? c o s
1 ? ? lo g e ? , lo g ? 1 e ? ?

为偶函数,在(0,
1

?
2

)上, f ( x ) ? co s x 为减函数,而

lo g e

1 lo g e ? 2 lo g e ? 5

?

, lo g 1
e

?

2

? 2 lo g e ? ,

0?

1 5 lo g e ?

?

lo g e ? 5

?

?

?
4

,所以 b ? a ? c 。

9.

下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为( C )

正视图: 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形
3? 2 2? 3

侧视图: 半径为 1 的 以及高为 1 的矩形
4? 3 3? 4

1 4



俯视图: 半径为 1 的圆

A.

B.

C.

D.

解答:C. 根据题意,该立体图为圆柱和一个 1/4 的球的组合体。 10. 设有算法如下:

如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是( A. 144 B. 3 C. 0 D. 12

B



解答 B (1)A=144,B=39,C=27: (2)A=39,B=27,C=12: (3)A=27,B=12,C=3: (4) A=12,B=3,C=0。所以 A=3。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 满 足 方 程
x ? 2009 ? 2 x ? 2010 ? x ? 2009 ? 2 x ? 2010 ? 2 所 有 实 数 解 为

2010 ? x ? 2011 。

解答 变形得 ( x ? 2 0 1 0 ? 1) ?
2

(

x ? 2 0 1 0 ? 1)

2

? 2? 0?

x ? 2 0 1 0 ? 1 ,解得

2010 ? x ? 2011 。

12. x ? R , 函数 f ( x ) ? 2 sin 解答

x 2

? 3 co s

x 3

的最小正周期为 1 2 ? .
? 。1 2

x x 2 s i n 的 周 期 为 ?4 , 3 c o s周 期 为 6 ? , 所 以 函 数 f x 的 周 期 为 的 ( ) 2 3

13. 设 P 是圆 x ? y ? 3 6 上一动点,A 点坐标为 ? 2 0 , 0 ? 。当 P 在圆上运动时,线段 PA 的
2 2

中点 M 的轨迹方程为 ( x ? 1 0 ) ? y ? 9 .
2 2

解答 设 M 的坐标为 ( x , y ), 设 P 点 坐 标 为 ( x 0 , y 0 ), 则 有
2

x ?

x0 ? 2 0 2
2

,y ?

y0 2

? x 0 ? 2 x ? 2 0, y 0 ? 2 y ,因为 P 点在圆上,所以 ( 2 x ? 2 0 ) ? ( 2 y ) ? 3 6 所以 P 点轨迹

为 ( x ? 10) ? y ? 9 。
2 2

14. 设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D, 使得 AD 把△ABC 分成两个等腰三角形, 试求△ ABC 的最小内角的取值范围为 30°<x< 45°或 22.5°<x< 30°. 解答 如图, (1)AD=AC=BD; (2)DC=AC,AD=BD。 A

B

D (1)

C

A

C B D (2) 在(1)中,设最小的角为 x,则 2x<90,得 x<45,又 x+180-4x<90,得 x>30,所以 30<x<45; 在(2)中,设最小的角为 x,则 3x<90,得 x<30,又 180-4x<90,得 x>22.5,所以 22.5<x<30. 15. 设 z 是虚数, w ? z ?
1 z

,且 ? 1 ? w ? 2 ,则 z 的实部取值范围为 ?
a ? bi a ?b
2 2

1 2

? a ?1.

解答 设 z ? a ? b i ? ? 1 ? a ? b i ?

? 2? b?

b a ?b
2 2

? 0 ? b ? 0或 a ? b ? 1
2 2

当 b ? 0 ,无解;当 a ? b ? 1 ? ?
2 2

1 2

? a ? 1。
4

16. 设 f ( x ) ? k ( x ? x ? 1) ? x (1 ? x ) 。如果对任何 x ? [ 0 ,1] ,都有 f ( x ) ? 0 ,则 k 的最
2 4

小值为

1 192

.

解答 k ?

x (1 ? x )
4

2

x

2

? x ?1

因 为 x ? x ? 1 ? (x ?
2

1 2

) ?
2

3 4

?

3 4

,x ?

1 2

时 x ? x ? 1最 小 值 为
2

3 4

分子 x (1 ? x ) ?

1 2

,x ?

1 2

时 , x (1 ? x ) 取 最 大 值 (
4 4

1 2

) ,所以 k 的最小值为

8

1 192



17. 设 p , q ? R , f ( x ) ? x ? p | x | ? q 。当函数 f ( x ) 的零点多于 1 个时, f ( x ) 在以其最
2

小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0 或 q . 解答 因为函数 f ( x ) ? x ? p | x | ? q 为偶函数,由对称性以及图像知道, f ( x ) 在以其最
2

小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值 0 或 q。 三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18. 设数列 ,
1 1 2 1 2 3 1 2 k , , , , ,? , , ,? , ,? , 1 2 1 3 2 1 k k ?1 1

问: (1)这个数列第 2010 项的值是多少; (2)在这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是多少. 解(1)将数列分组: ( ), ( , ), ( ,
1 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 k , ), ? , ( , , ? , ), ? 3 2 1 k k ?1 1

因为 1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2016, 所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数,即为
57 7



--------- 10 分

(2)由以上分组可以知道,每个奇数组中出现一个 1,所以第 2010 个 1 出现在第 4019 组, 而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位, 所以第 2010 个值为 1 的项的序号为 (1+2+3+…+4018) +2010=8076181。 ------------ 17 分 19. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每 个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 解:设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 x , y , z ,则有 1 ? x , y , z ? 9 ,且
xyz ? (1 0 ? x )(1 0 ? y )(1 0 ? z )

(*1) ----------------- 5 分

即有
xyz ? 5 0 0 ? 5 0 ( x ? y ? z ) ? 5( xy ? yz ? zx ) 。

(*2)

于是有 5 x y z 。因此 x , y , z 中必有一个取 5。不妨设 x ? 5 ,代入(*1)式,得到

y ? z ? 10 。

----------------10 分

此时,y 可取 1,2,…,8,9(相应地 z 取 9,8,…,2,1) ,共 9 种放法。同理可得 y=5 或者 z=5 时,也各有 9 种放法,但有 x ? y ? z 时二种放法重复。因此可得共有 9×3-2 = 25 种放法。 ---------------------17 分

20. 已知椭圆

x a

2 2

? y

2

? 1 ( a ? 1 ) , R t ? A B C 以 A (0,1)为直角顶点,边 AB、BC 与椭圆

交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为

27 8

,求 a 的值。
1 k x ? 1。

解: 不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1? k ? 0 ? ,则 AC 的方程为 y ? ?
? y ? kx ? 1 2 ?2a k ? 2 2 2 2 , 由? x2 得: (1 ? a k ) x ? 2 a kx ? 0 ? x B ? 2 2 2 1? a k ? 2 ? y ?1 ?a

1 ? y ? ? x ?1 2 ? 2a k ? k 2 2 2 2 , 由? 2 得: ( a ? k ) x ? 2 a kx ? 0 ? x C ? 2 2 a ?k x 2 ? ? y ?1 ? a2 ?

从而有
AB ? 1? k
2

2a k 1? a k
2 2

2

, AC ?

1?

1 k
2

2a k a ?k
2 2

2

,
1 k

--------5 分

于是 S

?ABC

?

1 2

AB AC ? 2a

4

k (1 ? k )
2

k ?
2

(1 ? a k )( a ? k )
2 2 2

? 2a

4

a (k ?
2 2

1 k
2


4

)? a ?1

令t ? k ?

1 k

? 2 ,有
4 4 2 2

S

? ?ABC

2a t a t ? ( a ? 1)
2 2 2 2

? a t?
2

2a

( a ? 1) t

,

--------- 10 分

因为 a t ?
2

( a ? 1)
2

2

? 2 a ( a ? 1), t ?
2

a ?1
2

时等号成立。

t a ?1
2

a a
2 3

因此当 t =

a
a
2 3

, ( S ? A B C ) m ax ?

a ?1

,

------------- 14 分



a ?1

?

27 8

? ( a ? 3)(8 a ? 3 a ? 9 ) ? 0 ? a ? 3, a ?
2

3?

297 16

a ?1
2

? 2 ? a ? 1?

2 ,? a ?

3?

297 16

( 不 合 题 意 , 舍 去 ), a ? 3 . ?

--------- 17 分

a

四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点。记 ? ?
BD BC ,? ? CE CA ,? ? AF AB



证明: S ? DEF ? ??? S ? ABC 。 证明 由
S ?BFD S ?ABC
S ?DEC S ?ABC S ?DEF S ?ABC

?

B D ? B F s in B B C ? B A s in B
S ?AEF S ?ABC

? ? (1 ? ? ).

---------5 分

同理

? ? (1 ? ? ),

? ? (1 ? ? ) 。

---------- 10 分

所以,

?

S ?ABC ? S ?BFD ? S ?DEC ? S ?AEF S ?ABC

? 1 ? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? )

= (1 ? ? )(1 ? ? )(1 ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? , 等 号 成 立 ? ? ? 1或 ? ? 1或 ? ? 1 。 ----20 分 因此 S ? DEF ? ??? S ? ABC ,等号成立,当且仅当,D 与 C 重合,或 E 与 A 重合,或 F 与 B 重合。 ----- 25 分
3

22. (1)设 a ? 0 ,平面上的点如其坐标都是整数,则称之为格点。今有曲线 y ? a x 过格 点(n,m) ,记 1 ? x ? n 对应的曲线段上的格点数为 N。证明:
N ?

?
k ?1

n

?ak ? ? ? ?
3

?
k ?1

m

? k ? ?3 ? ? mn 。 a ? ?

(2) 进而设 a 是一个正整数,证明:

?
k ?1

an

3

? k ? a 2 ?3 ? ? n ? ( n ? 1) n (3 n ? 1) 。 a ? 4 ?

(注 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数) 证明 (1)考虑区域 0 ? x ? n , 0 ? y ? m , 且该区域上的格点为 nm 个。又该区域由区域 E:
y a

0 ? x ? n , 0 ? y ? a x , 以及区域 F: 0 ? y ? m , 0 ? x ?
3

3

组成。

在区域 E 上,直线段 x ? k ( k ? N ,1 ? k ? n ) 上的格点为 [ a k ] 个,
3

?

所以区域 E 上的 格点数为 ? [ a k ] 。
3 k ?1

n

----------------- 5 分

同理区域 F 上的格点数为 ? [ 3
k ?1
n m

m

k a

]。

----------------- 10 分

由容斥原理, N ?

?
k ?1

?ak ? ? ? ?
3

?
k ?1

? k ? ?3 ? ? mn 。 a ? ?
3
3

-------------------------15 分

(2)当 a 是一个正整数时,曲线 y ? a x 上的点( k , a k ) ( k ? N ,1 ? k ? n ) 都是格点, 所以(1)中的 N=n。同时, m ? a n 。将以上数据代入(1)得
3

?

?
k ?1

an

3

[3

k a

] ? an ? a ? k ? n ? n ?
4 3 k ?1

n

a 4

( n ? 1) n (3 n ? 1) 。
2

----------------- 25 分


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