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第2篇第3讲函数的奇偶性.ppt


一、判断函数的单调性(1)定义作差法(2)图象
法 (3)导数法(4)复合函数法。解题应考虑

回顾

函数是什么函数,是初等函数或可由初等函数变
换而来的函数,应先考虑图象法或是导数法;若

此函数是复合函数应考虑复合函数法。
二、重要数学思维 ( 1)分类讨论(2)分离参数 (3)换元法

(4)分段函数法
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第3讲 函数的奇偶性与周期性
【2014年高考会这样考】 1.函数的奇偶性,一般和含参的函数相结合,涉及函数的 奇偶性的判断,函数图象的对称性,以及与单调性、周期 性结合的综合运用,常以选择题或填空题出现. 2.函数的单调性、奇偶性与极值、导数、不等式相结合在 解答题中综合考查.

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考点梳理

1.奇函数、偶函数
(1)定义:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数.

(2)性质
奇函数图象的特征:关于 原点 对称. 偶函数图象的特征:关于 y轴 对称.
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2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数

T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,
那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周 期. (2) 最 小 正 周 期 : 如 果 在 周 期 函 数 f(x) 的 所 有 周 期 中 存在一个最小的正数 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的

最小正周期.

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【助学· 微博】 一条规律 若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(x)=0. 两个结论 (1)若 f(x+a)=-f(x),则 2a(a≠0)是函数 f(x)的一个周期. 1 (2)若 f(x+a)= ,则 2a(a≠0)是函数 f(x)的一个周期. f?x?

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考点自测 1.(2012· 陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( A.y=x+1 1 C.y=x B.y=-x3 D.y=x|x| ).

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解析 选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项B是
奇函数,不是增函数;选项C是反比例函数,为奇函数,不 是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数,符合题 意. 答案 D

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2.(2013·皖南八校联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且

为奇函数,则f(1)的值
A.恒为正数 C.恒为0 解析 由题意知f(1)>f(0)=0. 答案 A B.恒为负数 D.可正可负

(

).

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3.(2012·广州调研)函数f(x)=x3 +sin x+1(x∈R),若f(a)=

2,则f(-a)的值为
A.3 C.-1 解析 B.0 D.-2

(

).

∵f(a)=a3+sin a+1=2,∴a3+sin a=1,f(-a)=

(-a)3+sin(-a)+1=-(a3+sin a)+1=-1+1=0,选B.

答案 B

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4.已知f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2 ,则f(x)=

________.
解析 当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=x2. 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2. ?x2,x>0, ? 当 x=0 时,f(x)=0.故 f(x)=?0,x=0, ?-x2,x<0. ?

?x2,x>0 ? 答案 ?0,x=0 ?-x2,x<0 ?
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5.(2013·临沂质检)已知函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+4)

= f(x) , 且 x∈(0,2) 时 , f(x) = 2 013x2 , 则 f(2 013) =
________. 解析 由f(x+4)=f(x)知函数f(x)的最小正周期为4,则f(2

013)=f(4×503+1)=f(1)=2 013. 答案 2 013

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考向一 判断函数的奇偶性
【例 1】?判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-2x; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; 1+x (3)f(x)=(x-1)- . 1-x [审题视点] 先确定函数的定义域,再由奇偶函数的定义
判断.

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解 (1)f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3 -2x)=-f(x),故 f(x)为奇函数.
?x2-1≥0, ? (2)由? ?1-x2≥0 ?

得 x=± 1.

∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

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?1+x ? ≥0, 1-x (3)由? ?1-x≠0 ?

得-1≤x<1.

∵f(x)的定义域[-1,1)不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

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判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分 条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的; (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.

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考向二 函数奇偶性的应用
?x+1??x+a? 【例 2】?(1)设函数 f(x)= 为奇函数,则 a= x ________. (2)(2013· 南通调研)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇 函数和偶函数,且
?1? f(x)-g(x)=?2?x,则 ? ?

f(1),g(0),g(-1)

之间的大小关系是________.

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[审题视点] (1)利用定义法或特殊值法均可; (2)采用变量替换的方法,结合函数的奇偶性求f(x),g(x).

?x+1??x+a? 解析 (1)法一 ∵f(x)= 为奇函数, x ∴f(-x)=-f(x), ?-x+1??-x+a? ?x+1??x+a? 即 =- , x -x ?x-1??x-a? ?x+1??x+a? 亦即- =- ,∴a=-1. x x

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?x+1??x+a? 法二 ∵f(x)= 为奇函数, x ∴f(1)+f(-1)=0, ?1+1??1+a? ?-1+1??-1+a? 即 + =0,∴a=-1. 1 -1 ?1? (2)在 f(x)-g(x)=?2?x 中,令 x=-x,得 f(-x)-g(-x)=2x, ? ? 由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解 - - 2 x-2x 2 x+2x 3 得 f(x)= 2 ,g(x)=- 2 ,于是 f(1)=-4,g(0)=- 5 1,g(-1)=-4,故 f(1)>g(0)>g(-1).

答案 (1)-1 (2)f(1)>g(0)>g(-1)
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(1)已知函数的奇偶性,求函数值:将待求值利 用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇 偶性求解析式:将待求区间上的自变量,转化到已知区间

上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方
程(组),从而得到f(x)的解析式.(3)已知函数的奇偶性,求函 数解析式中参数的值:常常利用待定系数法:利用f(x)±f(- x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的 值或方程求解.

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【训练2】 (2012·武汉模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数.当

x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=
A.-3 C.1 解析 B.-1 D.3

(

).

因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=20 +

2×0+b=0,解得b=-1.所以当x≥0时,f(x)=2x +2x-

1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.
答案 A

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考向三 函数的奇偶性与周期性
【例3】?设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒 有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;

(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).
[审题视点] (1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)是周期 函数; (2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[-2,0]上的解析式, 进而求f(x)在[2,4]上的解析式;

(3)由周期性求和.
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(1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.
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函数的周期性反映函数在整个定义域上的规律 变化.考查时,常与函数的奇偶性相结合,将未知区间上的

问题转化为已知区间的问题.

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【训练3】 (2013·淄博模拟)已知函数f(x)对于x≥0,都有f(x+

2)=f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则f(2 012)+
f(2 013)的值为________. 解析 依题意知函数f(x)的最小正周期为2, 则f(2 012)=f(2×1 006)=f(0)=0, f (2 013)=f(2×1 006+1)=f(1)=1.

故f(2 012)+f(2 013)=1.
答案 1

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热点突破3——函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题

【命题研究】 通过对近三年高考试题的分析可以看出,考查
函数的性质往往不是单纯考查一个性质,而是综合考查, 所以需要对函数的各个性质非常熟悉,并能结合函数图象 的特点,对各个性质进行综合运用.常考题型有选择题、 填空题,题目为中档难度.

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【真题探究 1】? (2012· 天津)下列函数中,既是偶函数,又 在区间(1,2)内是增函数的为 A.y=cos 2x,x∈R ex-e x C.y= ,x∈R 2


(

).

B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 D.y=x3+1,x∈R

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[教你审题] 先确定偶函数,再结合在区间(1,2)内是增函数.

[判断] A,B 中的函数均是偶函数;C 中的函数是奇函数;D 中的函数是非奇非偶函数.对于 y=cos 2x
?π ? ? ,2?上递增,不满足题意;对于 ?2 ? ? π? 在?1,2?上递减, ? ?

y=log2|x|,当 x∈(1,2)时,

y=log2|x|是增函数.

[结论] 选B.
[备考] 通过题目的反复练习,熟练掌握函数奇偶性的判断方 法及函数单调性的判断方法.
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【试一试 1】 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单 调递增的是 A.y=x3 1 C.y= 2 x B.y=ln |x| D.y=cos x
3

(

).

解析

1 y=x 不是偶函数;y= 2在(0,+∞)上单调递减;y x

=cos x 在(0,+∞)上有增有减.只有 y=ln |x|满足条件.
答案 B

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【试一试2】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0
时,f(x)=2x-3,则f(-2)=________. 解析 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)=-f(2). 又当x=2时,f(2)=22-3=1,∴f(-2)=-1. 答案 -1

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解题的重要提示:
1、判断函数的奇偶性之前先看或求函数的定义 域是否关于原点中心对称 2、奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0.此隐含条 件在解奇函数中非常重要。 3、如果知道函数的奇偶性需求参数,则可以用 特殊值代入,如f(0)=0, f(1)±f(-1)=0.这 可以给解题带来简便。 4、注意函数奇偶性的等量代换形成两个方程组 f(±x)±g(±x)=C求f(x)或g (x)。 5、根据函数奇偶性或周期性求函数解析式 (包括分段函数)
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