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2012年


2012 年 高考数学 《圆锥曲线与方程》 经典教案之椭圆
【典型例题】 [例 1](1)到两定点(2,1)(-2,-2)的距离之和为定值 5 的点的轨迹是 , ? A.?椭圆 B.双曲线 ?C.直线 ?D.线段 (2)椭圆 ( )

x2 y2 ? ? 1 的离心率是( 9 16 4 3 A. B. 5 5

) C.

>
7 4

D.

7 3

(3)已知椭圆的焦点为 F1(-1,0)和 F2 (1,0) 是椭圆上的一点,且 F1 F2 是 PF1 与 ,P

PF2 的等差中项,则该椭圆的方程为( )
A.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 16 9 16 12 4 3 3 4
x2 y2 ? ? 1 的准线方程是 3 7


(4)椭圆

(5) 设椭圆

x2 y2 5 ?1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , A 分别是它的左焦点和右顶点, F、 2 2 a b


B 是它的短轴的一个端点,则∠ABF 等于 [例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 离心率为

2 ,准线方程为 x ? ?8 ; 2

(2) 长轴与短轴之和为20,焦距为 4 5

x y [例 3] 已知 F1、F2 分别为椭圆 + =1 的左、右焦点,椭圆内一点 M 的坐标为(2, 100 64 -6) 为椭圆上的一个动点,试分别求: ,P 5 (1)|PM|+ |PF2|的最小值; 3 (2)|PM|+|PF2|的取值范围.

2

2

1

[例 4] 已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过椭 → → 圆中心 O,且AC ?BC =0,|BC|=2|AC|. (1)求椭圆方程; → → (2)如果椭圆上两点 P、 使 ? PCQ 的平分线垂直 AO, Q, 是否总存在实数 ? , PQ =λAB ? 使 请给出说明.

【课内练习】 1.如果方程 x 2 ? my2 ? 2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 m 的取值范围是( ) A. (0,+ ? ) B. (0,2) C. (1,+ ? ) D. (0,1) 2.若椭圆

x2 y2 ? ? 1 过点(-2, 3 ) ,则其焦距为?( ) 16 b 2
B.2 3 C. 4 3 D. 4 5

A.2 5 3.设 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点,椭圆上至少有 21 个点 P1,P2,P3,?,P21,使得数 11 15 列{PiF}(i=1,2,?,21)成公差为 d 的等差数列,则 d 的一个可取值是 ( ) 1 1 1 1 A. B.- C. D.- 2 3 4 5
2 ? x2 y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的左准线上,过点 P 且方向为 a ? (2, 5) 的光线 ? 2 a b

1) 4.点 P(?3, 在椭圆

经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )

1 1 3 2 B. C. D. 2 3 3 2 5.一个中心在原点的椭圆,其一条准线的方程是 x=4,对应的焦点 F(2,0) ,则椭圆的方 程是 .
A.

4 x2 ? y 2 ? 1 左焦点 F1 的弦,且|AF2|+|BF2|=4,其中 F2 为椭圆的右焦 9 点,则弦 AB 的长是 .
6.已知 AB 是过椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 .
7.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等分,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分 25 16 于 P1,P2,?,P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,求|PF1|+|PF2|+?+|PF7|的值.
8.把椭圆

2

9.在直角坐标平面内,已知两点 A(-3,0)及 B(3,0) ,动点 P 到点 A 的距离为 8,线段 BP 的垂直平分线交 AP 于点 Q. (1)求点 Q 的轨迹 T 的方程; (2)若过点 B 且方向向量为(-1, 3 )的直线 l,与(1)中的轨迹 T 相交于 M、N 两点, 试求△AMN 的面积.

1 10.已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). 2 (1)求椭圆的方程; (2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若 MQ ? 2 QF ,求直 线 l 的斜率.

椭圆习题 A组
1.椭圆 x ? my ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( )
2 2

A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

x2 2 2.设 F1、F2 为椭圆 +y =1 的两焦点,P 在椭圆上,当△F1PF2 面积为 1 时, PF ? PF2 的 1 4
值为 A.0 B.1 C.2 + D. ( )

1 2

3.已知椭圆

x2
9

y2 5 = 1 与直线 y=- x 的一个交点 P 在 x 轴上的射影恰好是这个椭圆 m2 6
) C.± 5 D.±5

的左焦点 F1,则 m 的值为( A. 5

B. - 5

4.已知椭圆中心在原点,一个焦点是 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭 圆的标准方程是 .
3

5.椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 且满足 a ? 3b ,若离心率为 e ,则 e 2 ? 2 的最小值为 2 e a b



6.设 F1、F2 为椭圆

x2 y 2 + =1 的两个焦点,P 在椭圆上,已知 P,F1,F2 是一个直角三角形 9 4

的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求

| PF1 | 的值. | PF2 |

7.以定点 A(2,8)和动点 B 为焦点的椭圆经过点 P(-4,0) Q(2,0). 、 (1)求动点 B 的轨迹方程; (2)是否存在实数 k,使直线 y=kx+2 与上述 B 点轨迹的交点C,D恰好关于直线 l:y=2x 对称?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由.

8.过椭圆 C:

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 引圆 O: x 2 ? y 2 ? b 2 的两条切线 PA、PB, 2 a b

切点为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 M、N 两点 (1)设 P( x0 , y0 ) ,且 x0 y 0 ? 0 ,求直线 AB 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 8,且

a2 b2 25 ,求此椭圆的方程; ? ? 2 2 16 | OM | | ON |

→ → (3)试问椭圆 C 上是否存在满足PA ?PB =0 的点 P,说明理由.

B组
1.椭圆

x2 y2 ? =1的焦点F1和F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1的中点在 y 轴上,那 12 3

么|PF1|∶|PF2|的值为( ) A.7∶1
2

B.5∶1
2 2

C.9∶2

D.8∶3

2.方程 y=ax +b 与 y =ax -b 表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是( )

4

3.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应的准线的距离为 1,则该 椭圆的离心率是 ( ) 1 2 2 C. D. 2 2 4 4.已知椭圆的长轴的长是短轴的长的5倍,且经过点(10,-5)则椭圆的标准方程 为 . A. 2 B. 5.F1 , F2 分别是椭圆 的值为

???? ???? x2 ? y 2 ? 1的左右焦点, 为其过点 F2 且斜率为 1 的弦, F1 A ? F1B AB 则 4


x2 y 2 ? =1(a>b>0),设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,A, a 2 b2 B 的中点为 M,证明当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上.
6.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? =1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2, a 2 b2 4 14 |PF1|= ,|PF2|= . 3 3
7.椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)若直线 l 过圆 x +y +4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

8.椭圆 E 中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率 e ?

2 ,过点 C(-1,0)的直线 l 与 3

椭圆 E 相交于 A、B 两点,且 C 分有向线段 AB 的比为 2.? (1)用直线 l 的斜率 k(k≠0)表示△OAB 的面积;? (2)当△OAB 的面积最大时,求椭圆 E 的方程.

椭圆答案
5

【典型例题】 [例 1] (1)D.提示:距离之和恰好等于两定点间的距离。 (2)C.提示:运用离心率的计算公式。 (3)C.提示:用椭圆定义. 7 (4)y=± .提示:椭圆的焦点在 y 轴上。 2 (5)90°.提示:数形结合,用勾股逆定理. 例 2、 (1)由准线方程为 x ? ?8 ,可知椭圆的焦点在 x 轴上

x2 y2 设所求椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
由题意,得

e?

c 2 ? a 2
解得 a ? 4 2

a2 ?8 c
所以 b ? a ? c ? 32 ? 16 ? 16
2 2 2

c?4

x2 y2 ? ?1 因此,所求椭圆的方程为 32 16
(2)当焦点在 x 轴上时,设所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

2a ? 2b ? 20
由题意,得 解得 a ? 6

a ? b ? 10


2c ? 4 5
b?4

a 2 ? b 2 ? 20

所以焦点在 x 轴上的椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 32 16 x2 y2 ? ?1 16 36

同理可求当焦点在 y 轴上椭圆的方程为

因此,所求的椭圆的方程为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ?1 32 16 16 36
50 ,过点 P 作 PN⊥l 于点 N,如图所示则由椭圆的第二 3

例 3、 (1)椭圆右准线 l:x= 定义知 |PF2| 3 = e = ,于是, |PN| 5

6

5 |PN| = |PF2| 3 5 所以,|PM| + |PF2| = |PM| + |PN|≥d(M,l), 3 其中 d(M,l)表示点 M 到准线 l 的距离 易求得 d(M,l)= 44 3

5 44 所以,|PM| + |PF2|的最小值为 (此时点 P 为过点 M 且垂直于 l 的线段与椭圆的交 3 3 点) (2)由椭圆的定义知 |PF2|+|PF1|=2a=20, 故 1? 故 2? 故 |PM|+|PF2| = |PM|-|PF1|+20 |PM|-|PF1|≤|MF1| =10, |PM|+|PF2|≤30(当且仅当 P 为有向线段 MF1 的延长线与椭圆的交点时取“=”) ; |PF1|-|PM|≤|MF1| =10, |PM|+|PF2|=20-(|PF1|-|PM|)≥10(当且仅当 P 为有向线段 MF1 的反向延长线与

椭圆的交点时取“=”) 综上可知,|PM|+|PF2|的取值范围为[10,30]

例 4、(1)以 O 为原点,直线 OA 为 x 轴建立直角坐标系,则 A(2,0),由已知设椭圆方程
x2 y2 ? 2 ?1 4 b

∵ AC ? BC ? 0 ,∴AC ? BC,又|BC|=2|AC| 又 BC 过椭圆中心 O,∴C(1,1) 将 C(1,1)代入椭圆方程得 b 2 ? ,即椭圆方程为 (2)依题意可设 PC:y=k(x-1)+1,QC:y=-k(x-1)+1 ∵C(1,1)在椭圆上,x=1 是方程(1+3k )x -6k(k-1)x+2k -6k-1=0 的一个根 ∴ x p ?1 ? ∴ k PQ ?
3k 2 ? 6k ? 1 1 ? 3k 2
?
2 2 2

4 3

x2 3 2 ? y ?1 4 4

,用-k 代换 x p 中的 k 得 xQ ?
x p ? xQ ? 1 3

3k 2 ? 6k ? 1 1 ? 3k 2

y p ? yQ x p ? xQ

k ( x p ? x Q ) ? 2k

又∵B(-1,-1), ∴ k AB ?

1 3

→ → → → ∴PQ ∥AB ,因此总存在实数 ? ,使PQ =λAB .
7

【课内练习】 1.D.提示:将方程化成标准形式. 2.C.提示:将点的坐标代入,求 b. 3.D.提示:考虑特殊情况. 4.A.提示:求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程.

x2 y2 ? ? 1 .提示:直接用公式. 16 4 6.2.提示:数形结合用定义.
5. 7.4 3 .提示:用椭圆定义. 8.35.提示:用焦半径公式:|PFi|= a+exi. 9. (1)由于 QB=QP,故 AQ+BQ=AP>AB,Q 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆. 2 2 2 2 2 其中 2a=8,a=4,a =16, c=3,c =9, b =a -c =7

x2 y2 ? ?1 椭圆方程为 16 7
(2)∵l 过点 B 且方向向量为(-1, 3 ) l 的方程为 y=- 3 (x-3) ,∴ 将直线方程代入椭圆方程化简得:55x -288x+320=0
2

x1+x2=

288 320 ,x1x2= 55 55

112 55 224 2 |MN|= 1 ? (? 3 ) |x1-x2|= 55
2 |x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 =

A 到 MN 的距离 d ?

6 3 1? 3

?3 3

S△AMN=

1 336 3 d MN ? 2 55
x2 y2 ? 2 ?1 4m2 3m

10. (1)

(2) k ? ?2 6 或 0 提示: (1)直接求出 a、b,用 m 表示; (2)F 是 MQ 的中点.

椭圆
8

A组
1.A.提示:直接化成标准方程. → → 2.A.提示:可以求出PF1 与PF2 . 5 3.C.提示: (c,- c)在椭圆上,且 c 可以用 m 表示. 6

x2 y2 ? ? 1 .提示:注意利用 a、b、c 之间的关系. 16 4 13 2 1 2 2 5. .提示:e ∈[ ,1) ,而 f(x)=x+ 在[ ,1)上是减函数. 6 3 x 3
4. 7 6. ,或 2.注意分两种情况讨论,在两种情况下,都可以用勾股定理和椭圆定义求解. 2 7.⑴设 B(x,y),依题设及椭圆定义有: |PA|+|PB|=|QA|+|QB| ∴|QB| - |PB|=|PA| - |QA| =

(2 ? 4) 2 ? 8 2 ? 8 ? 2
∴B 的轨迹是以 P,Q 为焦点的双曲线的左支 由 2a=2,2c=6,得 b =c -a =3 -1 =8 故所求的轨迹方程为(x+1) -
2 2 2

2

2

2

y2 =1(x≤-2) 8

⑵若存在,设交点为 C(x1,y1),D(x2,y2)∵C、D 关于 l:y=2x 对称,∴CD 中点在 l 上,y1+y2=2(x1+x2)?①.又 C、D 在直线 y=kx+2 上,∴y1+y2=k(x1+x2)+4?②,由①、②得

? y ? kx ? 2 4 ? 2 2 x1+x2= ??③由 ? 得(8-k )x +4(2-k)x-4=0 y2 2 2?k ?1 ?( x ? 1) ? 8 ?
4(4 ? k) ? 4 4(4 ? k ) 8 ? ??④.由③、④得 解得 k= 2 2 2?k 3 8?k 8?k 8 16 但 kCD?k= ? 2 ? ≠-1,故直线 CD 与 l 垂直∴这样的实数 k 不存在 3 3
∴x1+x2=- 8. (1)直线 AB 的方程: x0 x ? y0 y ? b ( x0 y0 ? 0)
2

x2 y2 ? ? 1( xy ? 0) (2)椭圆 C 的方程: 16 25
→ → (3)假设存在点 P( x0 , y0 ) 满足PA ?PB =0,连结 OA、OB,由|PA|=|PB|,知四边形

9

PAOB 为正方形,

|OP|= 2 |OA| ②

2 2 ∴ x0 ? y0 ? 2b 2

①又 P 在椭圆上

2 2 ∴ a 2 x0 ? b 2 y0 ? a 2b 2

由①②得 x0 ?
2

b 2 (a 2 ? 2b 2 ) a 2b 2 2 , y0 ? 2 a2 ? b2 a ? b2
∴a ? b
2 2

∵a ? b ? 0
2 2

∴当 a ? 2b ? 0 即 a ? 当 a ? 2b 即 b ? a ?
2 2

2b 时,椭圆 C 上存在点 P 满足题设条件;

2b 时,椭圆 C 上不存在满足题设的点 P..

B组
1.A.提示:用椭圆定义. 2.D.提示:函数图象一个是椭圆,则 a<0,b<0,那么二次函数的图象必然是开口向下的 抛物线. 3.B.提示:设出标准方程,利用几何性质求出基本量.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ? 1 .提示:设标准方程,用待定系数法. 4. 725 29 101 2525
5.

46 .提示:可以考虑用坐标法求解. 5

6.设直线方程后与椭圆方程联列方程组,再用韦达定理得中点坐标为

a 2 km b2 m , 2 ) ,故 AB 中点 M 在过原点的直线 b2x+a2ky=0 上. b2 ? a 2 k 2 b ? a 2 k 2 x2 y2 ? ? 1; 7. (1)用椭圆定义及基本量法可以求得椭圆方程为 9 4 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),直线 l 过点 M(-2,1) ,设直线方程为 y=k(x+2)+1,代入椭 2 2 2 2 圆方程得(4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k-27=0,由已知得 A,B 关于 M(-2,1)对 称,故 8 x1 ? x2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2 ,解得 k= ,所求直线方程为 8x-9y+25=0,经检验所求直线方 2 9 2 4 ? 9k (?
程符合题意. 8. (1)设椭圆 E 的方程为 ∴a =3b
2 2

x2 y2 c 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),由 e= ? 2 a b a 3

故椭圆方程 x +3y =3b

2

2

2

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点 C(-1,0)分有向线段 AB 的比为 2.

10

? x1 ? 2 x2 ? ?1 ? 3 ? ∴? ? y1 ? 2 y 2 ? 0 ? 3 ?
即?

? x1 ? 1 ? ?2( x 2 ? 1) ? y1 ? ?2 y 2

① ②

由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 消去 y 整理并化简得 y ? k ( x ? 1) ?
2 2 2 2 2

(3k +1)x +6k x+3k -3b =0 由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)?两点?

? ? Δ ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 2b 2 ) ? 0 ? 6k 2 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? 3k ? 1 ? 2 ? 3k ? 3b 2 x1 x 2 ? ? 3k 2 ? 1 ?
而 S△OAB ?

③ ④ ⑤ ⑥

1 1 3 3 3 | y1 ? y 2 |? | ?2 y 2 ? y 2 |? | y 2 |? | k ( x2 ? 1) |? | k || x2 ? 1 | 2 2 2 2 2 2 3| k | (k ? 0) . 由①④得:x2+1=- 2 ,代入⑥得:S△OAB= 2 3k ? 1 3k ? 1
(2)因 S△OAB=

3| k | ? 3k 2 ? 1

3 3| k | ? 1 |k|

?

3 2 3

?

3 3 , S△OAB 取得最大 ,当且仅当 k ? ? 3 2

值. 此时 x1+x2=-1,又∵ ∴x1=1,x2=-2 将 x1,x2 及 k =
2 2

x1 ? 2 x 2 =-1 3

1 2 代入⑤得 3b =5 3
2

∴椭圆方程 x +3y =5.

11


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