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直线与圆、圆与圆的位置关系教案


个性化教案

直线与圆、圆与圆的位置关系
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 通用

适用年级

高中三年级

课时时长 (分钟) 60

直线与圆的位置关系及其判定方法 弦长与切线问题 直线与圆的方程的应用 圆与圆的位置关系及其判定方法

教学目标

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决问题. 4.了解用代数方法处理几何问题的思想.

教学重点 教学难点

直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法;用直线和圆的方程解决问题 用直线和圆的方程解决问题

教学过程
一、复习预习
1.初中直线与圆的位置关系和等价条件. 2.初中直线与圆的位置关系和等价条件. 2.两点间的距离和点到直线的距离公式.

二、知识讲解
考点 1 直线与圆的位置关系 位置关系有三种:相交、相切、相离. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法:

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?? 0 ? 相交 ? (1)代数法: ?????? ? ? ? 0 ? 相切 . ?? 0 ? 相离 ?

? ?b ? 4ac
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(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系: d<r? 相交,d=r? 相切,d>r? 相离. 考点 2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB= 1+k2|xA-xB|= (1+k2)[(xA+xB)2-4xAxB].

说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 要点诠释:如何求弦长? 提 示 : (1) 代 数 法 : 弦 长 公 式 AB = Δ 1+k2· . |a| (2)几何法:设弦心距为 d,圆半径为 r,则弦长 l=2 r2-d2. 1+k2 |x1 - x2| = 1+k2 · (x1+x2)2-4x1x2 =

其中,弦长公式对直线与椭圆、双曲 线、抛物线的相交弦也适用.代数法是直线与圆 锥曲线相交求弦长的通法;几何法是充分利用了圆的几何性质,计算量小,简洁明了,但仅 对圆的弦长适用. 考点 3 求过点 P (x0,y0)的圆 x2+y2=r2 的切线方程 (1)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,则以 P 为切点的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2. (2)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 外,则过 P 的切线方程可设为 y-y0=k(x-x0),利用待定 系数法求解. 说明:k 为切线斜率,同时应考虑斜率不存在的情况. 要点诠释:过圆外一点 P(x0,y0)如何求圆的切线方程?
[来源:Zxxk.Com]

提示:求过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 外一点 P(m,n)的圆的切线 l 的方程时,首先当斜率 存在时设切线斜率为 k,写出点斜式方程 y-n=k(x-m),一种方法是利用圆心到直线的距
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离等于半径,列出关于斜率 k 的方程,求得 k 即求得了切线方程;另一种方法联立

?y-n=k(x-m), ? 消元后利用 Δ=0 求出 k 的值. ? 2 2 2 ? ?(x-a) +(y-b) =r ,
以上两种方法,要注意讨论斜率 k 存在和不存在两种情形. 考点 4 圆与圆的位置关系 (1 )圆与圆的位置关系可分为五种:相离、外切、相交、内切、内含. (2)判断圆与圆的位置关系常用方法: ①几何法:设两圆圆心分别为 O1、O2,半径为 r1、r2(r1≠r2),则 O1O2>r1+r2? 相离; O1O2=r1+r2? 外切;|r1-r2|<O1O2<r1+r2? 相交;O1O2=|r1-r2|? 内切;O1O2<|r1-r2|? 内 含.
2 2 ? ?x +y +D1x+E1y+F1=0, ②代数法:方程组? ?x2+y2+D2x+E2y+F2=0, ?

有两组不同的实数解? 两圆相交; 有两组相同的实数解? 两圆外切或内切; 无实数解? 两圆相离或内含.

三、例题精析
【例题 1】 已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m ? R). (1)求证:不论 m 为何值,直线 l 恒过定点; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (3)求直线 l 被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程. 【答案】(1)直线方程可化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0, 由方程组?
[来源:学,科,网]

? ?x+y-4=0, ?2x+y-7=0, ?

可得?

? ?x=3, ?y=1, ?

所以不论 m 取何值,直线 l 恒过定点(3,1).

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(2)由

(3-1)2+(1-2)2= 5<5,

故点(3,1)在圆内,即不论 m 取何值,直线 l 总与圆 C 相交. (3)由平面几何知识可知,当直线与过点 M(3,1)的直径垂直时,弦 AB 最短. AB=2 r2-CM2=2 1 25-[(3-1)2+(1-2)2]=4 5,

此时 k=-

2m+1 1 ,即- =- =2, kCM 1 m+1 - 2

3 解得 m=- ,代入原直线方程,得 l 的方程为 2x-y-5=0. 4 【解析】1.利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系,也可利用直线的方程与圆 的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系; 2.勾股定理是解决有关弦长问题的常用方法. 【例题 2】 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x-y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6. (1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 相切于第一象限,且与坐标轴交于点 D,E,当 DE 长最小时,求直 线 l 的方程. 【答案】(1)因为点 O 到直线 x-y+1=0 的距离为 所以圆 O 的半径为 1 , 2
[来源:学科网 ZXXK]

? 1 ?2+? 6?2 = 2, ? 2? ? 2 ?

故圆 O 的方程为 x2+y2=2. x y ⑵设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0),即 bx+ay-ab=0, a b 由直线 l 与圆 O 相切,得 |ab| a +b
2

2

1 1 1 = 2,即 2+ 2= , a b 2

1 1? DE2=a2+b2=2(a2+b2)? ?a2+b2?≥8, 当且仅当 a=b=2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 【解析】 在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用, 如在直线与圆相交

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的有关线段长度计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在 一起综合考虑,不要单纯依靠代数计算,这样既简单又不容易出错. 【例题 3】 已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m 为何 值时,(1)圆 C1 与圆 C2 外切;(2)圆 C1 与圆 C2 内含? 【答案】对于圆 C1 与圆 C2 的方程,经配方后 C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果 C1 与 C2 外切,则有 (m+1)2+(m+2)2=3+2,

(m+1)2+(m+2)2=25,m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2. (2)如果 C1 与 C2 内含,则有 (m+1)2+(m+2)2<3-2,

(m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0,解得-2<m<-1, ∴当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 外切; 当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 【解析】判断两圆的位置关系时,通常采用几何法,从 圆心距 d 与两圆半径和、差的关系 入手. 如果用代数法, 从交点个数也就是方程组解的个数来判断, 但有时不能得到准确结论. 【例题 4】 (2012 江苏泰州中学高三摸底考试)在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f(x)=x2+2x +b(b<1)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1)求圆 C 的方程; (2)设定点 A 是圆 C 经过的某定点(其坐标与 b 无关),问是否存在常数 k,使直线 y=kx +k 与圆 C 交于点 M,N,且 AM=AN?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令 y=0 得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b. 令 x=0 得 y2+Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=-b-1. 所以圆 C 的方程为 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

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(2)由于圆 C 经过定点 A, 所以关于 b 的方程(1-y)b+x +y +2x-y=0 有无穷解, 所以
2 2

?1-y=0, ?x=0, ?x=-2, ? ? ? 所以? 或? ?2 2 ? ? ? ?x +y +2x-y=0, ?y=1 ?y=1.
所以圆 C 经过定点 A(0,1)或 A(-2,1). 由于直线 y=kx+k 恒过定点(-1,0)在圆内, 所以直线与圆 C 有两个交点 M,N. 因为 AM=AN,所以点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,即 AC 与直线 y=kx+k 垂直. b+1 1- 2 2 ①若 A(0,1),由 k· kAC=-1,得 k· =-1,k= . 0-?-1? b- 1 b+1 1- 2 2 ②若 A(-2,1),由 k· kAC=-1,得 k· =-1,k= . -2-?-1? 1-b 2 2 综上,k= 或 k= . b-1 1-b 【解析】因为 AM=AN,所以点 A 在线段 MN 的垂直平分线上.

四、课堂运用
【基础】 1 . (2012 山东高考卷改编 ) 圆 (x + 2)2 + y2 = 4 与圆 (x - 2)2 + (y - 1)2 = 9 的位置关系为 __________. 【答案】相交 【解析】∵两圆的圆心距为 (2+2)2+(1-0)2= 17,又∵3-2< 17<3+2,∴两圆相交.

2.直线 3x+y-2 3=0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为__________. π 【答案】 3
2 2 ? ?x +y =4, 【解析】如图所示,由? 消 y,得 x2-3x+2=0,所 3 x + y - 2 3 = 0 , ? ?

以 x1=2,x2=1.故 A(2,0),B(1, 3),故 AB=
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(2-1)2+(0- 3)2=

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π 2.又 OB=OA=2,所以△AOB 是等边三角形,∠AOB= . 3 3.(2012 福建高考卷)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度 等于__________. 【答案】2 3 【解析】根据圆的方程知,圆的圆心坐标为(0,0),半径 R=2,弦心距 d= |-2| =1,所 3+1

以弦长 AB=2

22-1=2 3.

4.(2012 江苏南京一中月考)已知圆的半径为 10,圆心在直线 y=2x 上,圆被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2,则圆的标准方程为__________. 【答案】(x-2)2+(y-4)2=10 或(x+2)2+(y+4)2=10 【解析】圆心在直线 y=2x 上,设圆心坐标为 (x ,2x) ,圆心到直线 y=x 的距离由 d= l ?2 r2-? ?2? ,得 d= |a-2a| |a| 4 2?2 ( 10)2-? = 2, 2= = ?a=± 2. 2 2 ? 2 ? 2 1 +1

圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=10 或(x+2)2+(y+4)2=10. 【巩固】 1 ? 2 2 1.过点 P? ?2,1?的直线 l 与圆 C:(x-1) +y =4 交于 A,B 两点,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为____________. 【答案】2x-4y+3=0 1 【解析】要使∠ACB 最小即弦 AB 最短,当 AB⊥PC 时,kPC = =-2, 1 - 2 1 1 1 x- ?,即 2x-4y+3=0. ∴kAB= .∴l 的方程为 y-1= ? 2 2? 2? 2.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是__________. 【答案】相交 【解析】圆 x2+y2=2 的圆心坐标为(0,0),半径为 2,因为圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的 |0· k+0· (-1)+1| 距离 d= = k2+(-1)2 1 k2+1 ,又因为 0<
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1 k2+1

≤1< 2,所以直线与圆相交.

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3.与直线 x+y-2=0 和圆 x +y -12x-12y+70=0 都相切的半径最小的圆的标准方程为
2 2

__________. 【答案】(x-3)2+(y-3)2=8 【解析】如图所示,易得所求的圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=8. 4.(2012 江苏无锡月考)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴,y 轴上的截距相等,求此切线方程; (2)若圆 Q 与圆 C 关于直线 x-y-3=0 对称,求圆 Q 的方程; (3)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为 M,O 为原点,且有 PM=PO,求使 PM 最小的点 P 的坐标. 【答案】(1)∵切线在 x 轴,y 轴上的截距相等,∴第一种情况:切线的斜率是± 1. 分别依据斜率设出切线的斜率,用点到直线的距离公式,或差别式法,解得切线的方程 为 x+y-3=0,x+y+1=0. 第二种情况:切线经过原点(0,0). 设此时切线斜率为 k,直线为 kx-y=0,用点到直线的距离公式可求得 k=2± 6,解得 切线方程(2± 6)x-y=0. 综上,此圆截距相等的切线方程为 x+y-3=0,x+y+1=0,(2± 6)x-y=0. (2)将圆的方程化成标准式(x+1)2+(y-2)2=2,圆心 C(-1,2),半径 r= 2, 圆心 C(-1,2)关于直线 x-y-3=0 的对称点 Q(5,-4),圆 Q 半径 r= 2,∴圆 Q 的 方程为(x-5)2+(y+4)2=2. (3)∵切线 PM 与 CM 垂直,∴PM2=PC2-CM2. 又∵PM=PO,坐标代入化简得 2x1-4y1+3=0. 3 5 PM 最小时即 PO 最小,而 PO 最小,即 O 点到直线 2x1-4y1+3=0 的距离,即 . 10 9 2 2 ? ?x1+y1=20, 3 3? 从而解方程组? 得满足条件的点 P 坐标为? ?-10,5?. ? ?2x1-4y1+3=0, 【拔高】
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1.在平 面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2
2 2

=4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直 线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直 的直线 l1 和 l2, 它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 【答案】(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被圆 C1 截 得的弦长为 2 3,所以 d= 22-( 3)2=1.

|1-k(-3-4)| 由点到直线的距离公式,得 d= , 1+k2 7 从而 k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=- , 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0. (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则直线 l2 的方 1 程为 y-b=- (x-a). k 因为圆 C1 和 C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长 相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即

? 1 ? |1-k(-3-a)-b| ?5+k (4-a)-b? = , 1 1+k2 1+ 2 k
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, 因为 k 的取值有无穷多个,

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?a=2, ? ? ?a+b-2=0, ?a-b+8=0, 所以? 或? 解得? 1 ?b-a+3=0 ? ? ?a+b-5=0, ?b=-2
5 1? ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ?2,-2?或点 P2?-2, 2 ?. 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.

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?a=-2, 或? 13 ?b= 2 .

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课程小结
1.当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径,求切线长一 般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形;当与圆相交时,弦长的计算也要 用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形. 2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况. 3.两圆公共弦: (1)当两圆相交时,两圆方程相减,所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程,这一 结论的前提是两圆相交, 如果不确定两圆是否相交, 两圆方程相减得到的方程不一定是两圆 的公共弦所在的直线方程. (2)两圆公共弦的垂直平分线是两圆圆心的连线. (3)求公共弦长时,几何法比代数法简单易求.

课后作业
【基础】 1.直线 l:y=k(x-2)+2 与圆 C:x2+y2-2x-2y=0 相切,则直线 l 的一个方向向量等于 __________. 【答案】(1,-1) |-k+1| 【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2,圆心到直线 l 的距离 d= = 2, 1+k2 ∴k2-2k+1=2k2+2,即 k2+2k+1=0,∴k=-1. ∴直线 l 的一个方向向量为(1,-1).

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2.点 M(x0,y0)是圆 x +y =a (a>0)内不为圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a 与该圆的位置
2 2 2 2

关系是__________. 【答案】相离 【解析】由已知得
2 2 x2 0+y0<a ,且 2 x2 0+y0≠0,又∵圆心到直线的距离

d=

>a, 2 x0 +y2 0

a2

∴ 直线与圆相离. 3.(2012 江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的 夹角是 60° ,则点 P 的坐标是__________. 【答案】( 2, 2) 【解析】如图所示,过点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,连接 OA,OB,OP.由已知得,∠APO=30° ,所以 PO=2. 设点 P 的坐标为(x0,y0), 则?

? ?x0+y0-2 2=0,
2 ?x2 0+y0=4, ?

? ?x0= 2, 解得? 故所求坐标为( 2, 2). ?y0= 2, ?

4.(2012 江苏无锡高三期末)直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M,N 两点,若 MN≥2 3,则 k 的取值范围是__________. 3 - ,0? 【答案】? ? 4 ? |3k-2+3| |3k+1| 【解析】 圆心到直线 y=kx+3 的距离为 d,d= = , k2+1 k2+1 由于 MN=2 R2-d2=2 3 4-d2≥2 3,则 d2≤1,所以(3k+1)2≤k2+1,解得- ≤k ≤0. 4

5. (2012 江苏泰州高三期末)过点 C(3,4)且与 x 轴, y 轴都相切的两个不同圆的半径分别为 r1, r2,则 r1r2=__________. 【答案】25 【解析】不妨设两圆的圆心在射线 y=x(x>0)上,其坐标可记为(r,r), 从而由(r-3)2+(r-4)2=r2,得 r2-14r+25=0,于是 r1r2=25. 【巩固】
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1.(2012 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若直线 y
2 2

=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最 大值是__________. 4 【答案】 3 【解析】圆 C 的方程可化为(x-4)2+y2=1,直线 y=kx-2 是过定点(0,-2)的动 直线. 圆心 C 到直线 y=kx-2 的距离 d= |4k-2|
2

|4k-2| k2+1

,要使其满足已知条件,则需 d≤1+1,即

4 4 ≤1+1 ,解得 0≤k≤ ,故 k 的最大值为 . 3 3 k +1

2.若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ 的方程是__________. 【答案】x+2y-5=0 【解析】由圆的几何性质知 kPQ· kOM=-1, 1 ∵kOM=2,∴ kPQ=- . 2 1 故直线 PQ 的方程为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 3.直线 2ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角 三角形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为__________. 【答案】 2+1 【解析】 由已知条件可得圆心到直线的距离 d = b2 1- +(b-1)2= 2 b2 -2b+2= 2 1 2a2+b2 = 2 b2 × 1 ,即得 a2 + = 1 , 2 2

a2+(b-1)2=

1 2 (b-2)2= |b-2|,当 b=- 2时, 2 2

点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 2+1. 4. 两圆 x2+y2+2ax+a2-4=0 和 x2+y2-4by-1+4b2=0 恰有三条公切线, 若 a ? R, b ? R, 1 1 且 ab≠0,则 2+ 2的最小值为__________. a b 【答案】1 【解析】将圆的方程化为标准方程得(x+a)2+y2=4 和 x2+(y-2b)2=1, 两圆有三条公切线,
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1 1 1 1 即两圆相外切,所以圆心距等于半径之和,即 a2+4b2=9, (a2+4b2)=1,所以 2+ 2= (a2 9 a b 9 1 1 ? 1? 4b2 a2? 1 1 2 2 2 +4b2)? ?a2+b2?=9?5+ a2 +b2?≥1,当且仅当 a =2b ,即 a =3 时,取“=”,即a2+b2的最 小值为 1. 5.(2012 江苏盐城高三模拟)过圆 x2+y2=9 内一点 P(1,2)作两条相互垂直的弦 AC,BD,当 AC=BD 时,求四边形 ABCD 的面积. 【答案】取 AC,BD 的中点 E,F,并记 AC 与 BD 相交于点 P,则由条件可知四边形 OEPF 为正方形, 由 OP= 5, 得 OE=PF= 1 的面积为 ( 26)2=13. 2 6.(2012 江苏南京金陵中学预测)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴正 半轴分别相交 于 A,B 两点,△AOB 的内切圆为圆 M. 3 3 (1)如果圆 M 的半径为 1,l 与圆 M 切于点 C? ,1+ ?,求直线 l 的方程; 2? ?2 (2)如果圆 M 的半径为 1,证明:当△AOB 的面积、周长最小时,此时△AOB 为同一个三 角形. 【答案】(1)由题可得 kMC= 3,kl=- 3 3 .所以直线 l 的方程为 y=- x+ 3+1. 3 3 10 , 从而 AC=BD=2 2 5 9- = 26, 故四边形 ABCD 2

(2)设 A(a,0),B( 0,b)(a>2,b>2),则 l:bx+ay-ab=0.由题可得 M(1,1). |b+a-ab| 所以点 M 到直线 l 的距离 d= =1,整理得(a-2)(b-2)=2,即 ab-2(a+b) a2+b2 +2=0.于是 ab+2=2(a+b)≥4 ab, ab≥2+ 2,ab≥ 6+4.当且仅当 a=b=2+ 2时, 等号成立. 1 所以面积 S= ab≥3+2 2,此时△AOB 为直角边长为 2+ 2的等腰直角三角形. 2 周长 L=a+b+ a2+b2≥2 ab+ 2ab=(2+ 2)· ab≥(2+ 2)2=6+4 2,此时△AOB
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为直角边长为 2+ 2的等腰直角三角形. 所以此时的△AOB 为同一个三角形.

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【拔高】 1.(2012 江苏盐城高三摸底考试)已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r >0)关于直线 x+y+2=0 对称. → → (1)求圆 C 的方程; (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求PQ· MQ的最小值; (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互 补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由. 2 b-2 ?a- ? 2 + 2 +2=0, 【答案】(1)设圆心 C(a,b),则? b +2 =1, ? ?a+2

解得?

?a=0, ? ? ?b=0.

圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代入,得 r2=2,故圆 C 的方程为 x2+y2=2. → → (2)设 Q(x,y),则 x2+y2=2,且PQ· MQ=(x-1,y-1)· (x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4 → → =x+y-2,所以PQ· MQ的最小值为-4(可由线性规划或三角代换求得). (3)由题意知直线 PA 和直线 PB 的斜率存在, 且互为相反数, 故可设 PA: y-1=k(x-1), PB:y-1=-k(x-1). 由?

? ?y-1=k?x-1?, ? ?x +y =2,
2 2

得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.

k2-2k-1 k2+2k-1 因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解, 故可得 xA= , 同理 xB= . 1+k2 1+k2 yB-yA -k(xB-1)-k(xA-1) 2k-k(xB+xA) 所以 kAB= = = =1=kOP. xB-xA xB-xA xB-xA 所以直线 OP 和 AB 一定平行.

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个性化教案

课后评价(在各自的系统上进行布置,不在教学案中体现)
包含: 1.课后作业学生完成情况 2.本节课主要内容概括 3.本节课学生学习态度 4.学生知识掌握情况和存在的问题(通过课堂反馈题进行分析) 语言真诚、体现学生实际情况,并且语言风格以鼓励为主,语气温和,体现教师的专业 性与爱心。

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