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南京师大附中2014届高考模拟数学答案


南京师大附中 2014 届高三模拟考试 数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错

误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1}; π 7.[- ,0]; 6 12. (0, 2.2; 9 8. ; 4 3.77; 9.4; 4.5; 9 5. ; 10 6.必要不充分; 11.24;

1 10.(0, )∪(5,+∞); 20 1 14. . 5

6- 2 ) ; 2

13.-7<a≤0 或 a=2;

二、解答题: 15.解析:(1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C ,由正弦定理 得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C , 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A = 3sin(A+C) . 因为 B=π-A-C,所以 sinB=sin(A+C), 所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B∈(0,π),所以 sinB≠0, 所以 cos A ?
3 ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 2 6

………………2 分 ………………4 分

………………7 分 ………………8 分

(2)由(1)知 A ? B ? 设 AC ? x ,则 MC ?

π 2? ,所以 AC ? BC , C ? . 3 6

1 x ,又 AM ? 7. 2

在△ AMC 中,由余弦定理 得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 ,

x x 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2

解得 x=2.

………………12 分

高三数学答案 第 1 页 共 8 页

故 S?ABC ?

1 2 2? x sin ? 3. 2 3

………………14 分 …………………2 分

16.解析: (1)因为 PA⊥ 平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥ CD, 又∠ ACD=90° ,则 CD ? AC ,而 PA∩AC=A, 所以 CD⊥ 平面 PAC,因为 CD?平面 ACD, 所以,平面 PAC⊥ 平面 PCD. (2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM,则 EM∥ PA. 因为 EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, 所以 EM∥ 平面 PAB. 在 Rt△ ACD 中,AM=CM,所以∠ CAD=∠ ACM, 又∠ BAC=∠ CAD,所以∠ BAC=∠ ACM, 则 MC∥ AB. 因为 MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, 所以 MC∥ 平面 PAB.
B C A P E

………………4 分 ………………7 分

………………9 分

M

D

………………12 分 而 EM∩MC=M,所以平面 EMC∥ 平面 PAB. 由于 EC ? 平面 EMC,从而 EC∥ 平面 PAB. 证法二:延长 DC,AB 交于点 N,连 PN. 因为∠ NAC=∠ DAC,AC⊥ CD, 所以 C 为 ND 的中点. 而 E 为 PD 中点,所以 EC∥ PN. 因为 EC ? 平面 PAB,PN 所以 EC∥ 平面 PAB.
A B C P E

………………14 分

D

? 平面 PAB,
N

………………14 分

17.解析:正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大. 设正三棱锥侧面的高为 h0,高为 h . 3 3 由题意得: x+h0=10,解得 h0=10- x. 6 6

D'

D C

O A B

D''

高三数学答案 第 2 页 共 8 页

………………2 分 则 h= x2 h02- = 12 = (10- 3 2 x2 x) - 6 12 ………………5 分

10 3 100- x ,x∈(0,10 3) . 3 10 3 100- x 3

1 1 3 所以,正三棱锥体积 V= Sh= × x2× 3 3 4 = 3x2 12

10 3 100- x. 3

………………8 分

x4 10 3 100x4 10x5 设 y=V2= (100- x)= - , 48 3 48 48 3 求导得 y′= 100x3 50x4 - ,令 y′=0,得 x=8 3, 12 48 3 ………………10 分

当 x∈(0,8 3)时,y′>0,y 随着 x 的增加而增大, 当 x∈(8 3,10 3)时,y′<0,y 随着 x 的增加而减小, 所以,当 x=8 3 cm 时,y 取得极大值也是最大值. 此时 y=15360,所以 Vmax=32 15 cm3. 答:当底面边长为 8 3cm 时,正三棱锥的最大体积为 32 15cm3. 18.解析: (1)由题设可知 a=2. 因为 e= 3 c 3 ,即 = ,所以 c= 3. 2 a 2 ………………2 分 ………………14 分 ………………1 分 ………………12 分

又因为 b2=a2-c2=4-3=1,所以 b=1. x2 (2)由题设可知,椭圆的方程为 +y2=1,直线 MN 的方程为 y=x-1. 4

? ?x +y2=1 设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组? 4 ,消去 y 可得 5x2-8x=0, ? y=x-1 ?
8 解得 x1=0,x2= . 5 8 3 将 x1=0,x2= ,代入直线 MN 的方程,解得 y1=-1,y2= . 5 5 8 所以 MN= ( x1-x2)2+(y1-y2)2= 2. 5 设与直线 MN 平行的直线 m 方程为 y=x+λ. ………………4 分

2

? ?x +y2=1 联立方程组? 4 ,消去 y 可得 5x2+8λx+4λ2-4=0, ? y=x+λ ?
若直线 m 与椭圆只有一个交点,则满足△=64λ2-20(4λ2-4)=0,解得 λ=± 5. ……………6 分 当直线 m 为 y=x- 5时,直线 l 与 m 之间的距离为 d1= |-1-(- 5)| 5-1 = ; 2 2

2

高三数学答案 第 3 页 共 8 页

当直线 m 为 y=x+ 5时,直线 l 与 m 之间的距离为 d2=

|-1- 5| 5+1 = ; 2 2

………………8 分

设点 C 到 MN 的距离为 d,要使△CMN 的面积为 S 的点 C 恰有两个, 则需满足 d1<d<d2,即 5-1 5+1 <d< . 2 2 ………………10 分

4 5-4 4 5+4 1 4 因为 S= d·MN= 2d,所以 <S< . 2 5 5 5 (3)方法一 设直线 A1M 的方程为 y=k1(x+2),直线 A2N 的方程为 y=k2(x-2).

? ?x +y2=1 联立方程组? 4 ,消去 y 得(1+4k12)x2+16k12x+16k12-4=0, ?y=k1(x+2) ?
2-8k12 4k1 解得点 M 的坐标为( , ). 1+4k12 1+4k12 8k22-2 -4k2 同理,可解得点 N 的坐标为( , ). 1+4k22 1+4k22 ………………12 分

2

-4k2 4k1 2 1+4k1 1+4k22 由 M,D,N 三点共线,有 = 2 ,化简得(k2-3k1)(4k1k2+1)=0. 2 2-8k1 8k2 -2 - 1 - 1 1+4k12 1+4k22 由题设可知 k1 与 k2 同号,所以 k2=3k1.
?y=k1(x+2) 2(k1+k2) 4k1k2 联立方程组? ,解得交点 G 的坐标为( , ). k2-k1 k2-k1 ?y=k1(x-2)

………………14 分

2(k1+k2) 2(k1+3k1) 将 k2=3k1 代入点 G 的横坐标,得 xG= = =4. k2-k1 3k1-k1 所以,点 G 恒在定直线 x=4 上. 方法二 显然,直线 MN 的斜率为 0 时不合题意. 设直线 MN 的方程为 x=my+1. 令 m=0,解得 M(1, 当 M(1, 3 3 3 3 ),N(1,- )或 M(1,- ),N(1, ). 2 2 2 2 ………………16 分

3 3 3 3 3 ),N(1,- )时,直线 A1M 的方程为 y= x+ ,直线 A2N 的方程为 y= x- 3. 2 2 6 3 2

?y= 63x+ 33 联立方程组? ,解得交点 G 的坐标为(4, 3 ?y= 2 x- 3
当 M(1,- 若点 G 恒在一条定直线上,则此定直线必为 x=4.

3);

3 3 ),N(1, )时,由对称性可知交点 G 的坐标为(4,- 3). 2 2 ………………12 分

下面证明对于任意的实数 m,直线 A1M 与直线 A2N 的交点 G 均在直线 x=4 上. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),G(4,y0).

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y1-0 y0 6y1 由点 A1,M,G 三点共线,有 = ,即 y0= . x1+2 4+2 x1+2 y2-0 y0 2y2 再由点 A2,N,G 三点共线,有 = ,即 y0= . x2-2 4-2 x2-2 6y1 2y2 所以, = .① x1+2 x2-2 将 x1=my1+1,x2=my2+1 代入①式,化简得 2my1y2-3(y1+y2)=0. ② ………………14 分

? ?x +y2=1 联立方程组? 4 ,消去 x 得(m2+4)y2+2my-3=0, ?x=my+1 ?
-2m -3 从而有 y1+y2= 2 ,y y = . m +4 1 2 m2+4 将其代入②式,有 2m· -3 -2m -3· 2 =0 成立. 2 m +4 m +4 ………………16 分

2

所以,当 m 为任意实数时,直线 A1M 与直线 A2N 的交点 G 均在直线 x=4 上.

19.解析: (1)①由数列{an}是等差数列及 a1+a2+a3=9,得 a2=3, 由数列{bn}是等比数列及 b1b2b3=27,得 b2=3. 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q, 若 m=18,
?3+2d=3q, ? 则有? 2 ?3q -3q=18. ? ?d=3, ? 解得? ?q=3; ?

………………2 分



9 ? ?d=-2, ? ? ?q=-2. 9 ? ?an=-2n+12, 或? ?bn=3(-2) n-2. ? ………………4 分

?an=3n-3, ? 所以,{an}和{bn}的通项公式为? n-1 ?bn=3 ; ?

② 由题设 b4-b3=m,得 3q2-3q=m,即 3q2-3q-m=0(*) . 因为数列{bn}是唯一的,所以 若 q=0,则 m=0,检验知,当 m=0 时,q=1 或 0(舍去) ,满足题意; 3 1 若 q≠0,则(-3)2+12 m=0,解得 m=- ,代入(*)式,解得 q= , 4 2 又 b2=3,所以{bn}是唯一的等比数列,符合题意. 3 所以,m=0 或- . 4 (2)依题意,36=(a1+b1) (a3+b3), 3 设{bn}公比为 q,则有 36=(3-d+ )(3+d+3q), (**) q 3 记 m=3-d+ ,n=3+d+3q,则 mn=36. q
高三数学答案 第 5 页 共 8 页

………………8 分

将(**)中的 q 消去,整理得: d2+(m-n)d+3(m+n)-36=0 n-m+ (m-n)2-12(m+n)+144 n-m+ (m+n-6)2-36 d 的大根为 = 2 2 而 m,n∈N*,所以 (m,n)的可能取值为:

………………10 分

(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1) . 35+5 37 所以,当 m=1,n=36 时,d 的最大值为 . 2 20.解析: (1)当 a=1 时,f ′(x)= 2(x2+x-1) (x>0), x ………………16 分 ………………1 分 ………………2

-1+ 5 -1+ 5 由 f ′(x)>0 得:x> ;由 f ′(x)<0 得:0<x< . 2 2 分 -1+ 5 -1+ 5 所以,f(x)的单调增区间为( ,+∞),单调减区间为(0, ) . 2 2 (2)当 a=2 时,设切点为 M (m,n) . 2 f ′(x)=4x+3- ( x>0), x 2 所以,切线的斜率 k=4m+3- . m 2m2+3m-2lnm 又直线 OM 的斜率为 , m
2 2 2m +3m-2lnm 所以,4m+3- = ,即 m2+lnm-1=0, m m

………………3 分

………………5 分

又函数 y=m2+lnm-1 在(0,+∞)上递增,且 m=1 是一根,所以是唯一根, 所以,切点横坐标为 1. 1 (3)a=- 时,由函数 y=f(x)在其图象上一点 P(x0,y0)处的切线方程为: 4 1 3 2 1 3 y=(- x0+ - )(x-x0)- x02+ x0-2ln x0. 2 4 x0 4 4 1 3 2 1 3 令 h(x)=(- x0+ - )(x-x0)- x02+ x0-2ln x0, 2 4 x0 4 4 设 F(x)=f(x)-h(x),则 F(x0)=0. 1 3 2 1 3 2 且 F ′(x)=f ′(x)-h ′(x)=- x+ - -(- x0+ - ) 2 4 x 2 4 x0 1 2 2 1 4 =- (x-x0)-( - )=- (x-x0) (x- ) 2 x x0 2x x0 ………………10 分 ………………8 分 ………………7 分

4 4 F(x) 当 0<x0<2 时, >x0,F(x)在(x0, )上单调递增,从而有 F(x)>F(x0)=0,所以, >0; x0 x0 x-x0 4 4 F(x) 当 x0>2 时, <x0,F(x)在( ,x0)上单调递增,从而有 F(x)<F(x0)=0,所以, >0. x0 x0 x-x0 因此,y=f(x)在(0,2)和(2,+∞)上不存在“巧点”.
高三数学答案 第 6 页 共 8 页

………………13 分

(x-2)2 当 x0=2 时, F ′(x)=- ≤0,所以函数 F(x)在(0,+∞)上单调递减. 2x F(x) F(x) 所以,x>2 时,F(x)<F(2)=0, <0;0<x<2 时,F(x)>F(2)=0, <0. x-2 x-2 因此,点(2,f(2))为“巧点”,其横坐标为 2. ………………16 分

南京师大附中 2014 届高三模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准
2014.05
....... 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷纸指定区域 . 内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 解析:连接 BC, AB , CD 相交于点 E . 因为 AB 是线段 CD 的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ACB=90° .
A E D C B

………………2 分 设 AE ? x ,则 EB ? 6 ? x ,由射影定理得 CE2=AE·EB,又 CE ? 5 , 即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 所以,AC2=AE·AB=5×6=30, AC ? 30 . B.选修 4—2:矩阵与变换 解析:由特征值、特征向量定义可知,A ? 1 ? ?1 ? 1 ,
?a b ? ? 1? ? 1? ?a ? b ? ?1, ? ?1 ? ? ? ,得 ? 即? ? ? ? ?c d ? ? ?1? ? ?1? ?c ? d ? 1. ?3a ? 2b ? 12, 同理可得 ? 解得 a ? 2,b ? 3,c ? 2,d ? 1 . ?3c ? 2d ? 8,

………………8 分 ………………10 分

………………5 分

因此 ad-bc=2-6=-4. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解析:将曲线 C1 的参数 θ 消去可得(x-3)2+(y-4)2=1. 将曲线 C2 化为直角坐标方程为 x2+y2=1.
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………………10 分

………………5 分

曲线 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2 是以(0,0)为圆心,1 为半径的圆, 可求得两圆圆心距为 32+42=5, 所以,AB 的最小值为 5-1-1=3. D.选修 4—5:不等式选讲 1 1 2 1 1 2 1 1 2 证明:由 a,b,c 为正数,根据平均值不等式,得 + ≥ , + ≥ , + ≥ . a b b c c a ab bc ca 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 将此三式相加,得 2( + + )≥ + + ,即 + + ≥ + + . a b c a b c ab bc ca ab bc ca ………………5 分 由 abc=1,则有 abc=1. 1 1 1 abc abc abc 所以, + + ≥ + + = a+ b+ c. a b c ab bc ca 22.解析: (1) P (? ? 1) ? ………………10 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………10 分

6 3 ? ; 16 8

(2)? 的所有取值为 0, 1,2,3.

? P(? ? 0) ?

4 1 6 3 4 1 2 1 ? , P (? ? 1) ? ? , P (? ? 2) ? ? , P (? ? 3) ? ? . 16 4 16 8 16 4 16 8

则随机变量 ? 的分布列为

?
P

0
1 4

1

2

3

3 1 8 4 1 3 1 1 5 ? 的数学期望 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 8 4 8 4
23.解析: (1)m=100,共有选法种数为 12.

1 8
………………10 分 ………………3 分

(2)若至少选一张写有 100 的卡片时,则除去 1 张写有 100 的卡片,其余数字之和为 100(n-1), 有 an-1 种选法; 若不选含有 100 的卡片,则有 10n+1 种选法. 所以, an=10n+1+an-1


………………8 分

从而,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+···+(a2 -a1)+a1 =10n+1+10(n-1)+1+···+10×2+1+a1 (n+2)(n-1) =10 +n-1+a1 2 =5n2+6n+1 所以,{an}的通项公式是 an=5n2+6n+1. ………………10 分

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