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【成才之路】2015-2016高中数学人教A版必修5习题:2.4 第2课时《等比数列》


第二章

2.4

第 2 课时

一、选择题 1.在等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=9,那么 a4+a5=( A.27 C.81 [答案] B a3+a4 [解析] ∵q2= =9,∴q=± 3, a2+a1 因此 a4+a5=(a3+a4)q=27 或-27.故选 B. 2.如果数列{an}是等比数列

,那么(
2 A.数列{an }是等比数列

)

B.27 或-27 D.81 或-81

) B.数列{2an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列

C.数列{lgan}是等比数列 [答案] A

bn+1 a2 an+1 2 2 n+1 [解析] 设 bn=a2 ,则 = 2 =( ) =q , n bn an an 2an+1 ∴{bn}成等比数列; =2an+1-an≠常数; 2an 当 an<0 时 lgan 无意义;设 cn=nan, 则 cn+1 ?n+1?an+1 ?n+1?q = = ≠常数. cn nan n

3.(2015· 全国Ⅱ理,4)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7= ( ) A.21 C.63 [答案] B [解析] 设等比数列公比为 q,则 a1+a1q2+a1q4=21,又因为 a1=3,所以 q4+q2-6 =0,解得 q2=2,所以 a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42,故选 B. 4.(2015· 东北三省四市联考)等比数列{an}中,a4=2,a7=5,则数列{lgan}的前 10 项和 等于( A.2 C.10 [答案] D [解析] 由等比数列性质知 a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=10, 故 lga1+lga2+…+lga10 ) B.lg50 D.5 B.42 D.84

=lg(a1a2…a10)=lg105=5,故选 D. 5 . 设 {an} 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , 公 比 q = 2 , 且 a1· a2· a3· …· a30 = 230 , 那 么 a3· a6· a9· …· a30 等于( A.210 C.216 [答案] B [解析] 设 A=a1a4a7…a28,B=a2a5a8…a29, C=a3a6a9…a30,则 A、B、C 成等比数列, 公比为 q10=210,由条件得 A· B· C=230,∴B=210, ∴C=B· 210=220. 6.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列 有( ) A.13 项 C.11 项 [答案] B [解析] 设前三项分别为 a1,a1q,a1q2,后三项分别为 a1qn 3,a1qn 2,a1qn 1.
- - -

) B.220 D.215

B.12 项 D.10 项

3 3 3n 6 所以前三项之积 a3 =4. 1q =2,后三项之积 a1q


3(n 两式相乘得,a6 1q

-1)

n 1 =8,即 a2 =2. 1q


又 a1· a1q· a1q2· …· a1qn 1=an 1q
- -

n?n-1? =64, 2

2 n 1 n 即(a1 q ) =642,即 2n=642.所以 n=12.

二、填空题 7.设{an}为等比数列,an>0,q=2,a1· a2· a3· …· a30=230,则 a3a6a9· …· a30=________. [答案] 220 [解析] 由等比数列的性质知 a1a2· …· a30=(a2· a5· …· a28)3 a3· a6· a9· …· a30 3 =( ) =230. 210 故 a3a6a9· …· a30=220. 8.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a2 7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b6b8=________. [答案] 16
2 [解析] ∵2a3-a2 7+2a11=2(a3+a11)-a7 2 =4a7-a7 =0,

∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4. ∴b6b8=b2 7=16.

三、解答题 9. 有四个实数, 前三个数依次成等比数列, 它们的积是-8, 后三个数依次成等差数列, 它们的积为-80,求出这四个数. b [解析] 由题意设此四个数为 ,b,bq,a, q b =-8 ? ? 则有?2bq=a+b ? ?ab2q=-80
3

a=10 ? ? ,解得?b=-2 ? ?q=-2

a=-8 ? ?b=-2 或? 5 ? ?q=2

.

4 所以这四个数为 1,-2,4,10 或- ,-2,-5,-8. 5 10.等差数列{an}中,a4=10,且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列{an}前 20 项的和 S20. [解析] 设数列{an}的公差为 d,则 a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d, a10=a4+6d=10+6d. 由 a3,a6,a10 成等比数列得,a3a10=a2 6, 即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,整理得 10d2-10d=0, 解得 d=0,或 d=1. 当 d=0 时,S20=20a4=200; 当 d=1 时,a1=a4-3d=10-3×1=7, 20×19 因此,S20=20a1+ d=20×7+190=330. 2

一、选择题 3 6 11.设等比数列的前三项依次为 3, 3, 3,则它的第四项是( A.1 9 C. 3 [答案] A 1 1 3 ×3 6 3 a2 6 3 [解析] a4=a3q=a3· = 3× = =1. a1 1 3 3 2 3 12.已知 2a=3,2b=6,2c=12,则 a,b,c( A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列 ) 8 B. 3 D. 12 15 )

C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A [解析] 解法一:a=log23,b=log26=log2 3+1, c=log2 12=log2 3+2. ∴b-a=c-b. 解法二:∵2a· 2c=36=(2b)2,∴a+c=2b,∴选 A. 13.在数列{an}中,a1=2,当 n 为奇数时,an+1=an+2;当 n 为偶数时,an+1=2an-1, 则 a12 等于( A.32 C.66 [答案] C [解析] 依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11 构成以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 a11=a1×25=64,a12=a11+2=66.故选 C. 14.若方程 x2-5x+m=0 与 x2-10x+n=0 的四个根适当排列后,恰好组成一个首项 m 为 1 的等比数列,则 的值是( n A.4 1 C. 2 [答案] D [解析] 由题意可知 1 是方程之一根,若 1 是方程 x2-5x+m=0 的根则 m=4,另一根 为 4,设 x3,x4 是方程 x2-10x+n=0 的根,则 x3+x4=10,这四个数的排列顺序只能为 1、 m 1 x3、4、x4,公比为 2、x3=2、x4=8、n=16、 = ;若 1 是方程 x2-10x+n=0 的根,另一 n 4 根为 9,则 n=9,设 x2-5x+m=0 之两根为 x1、x2 则 x1+x2=5,无论什么顺序均不合题意. 二、填空题 15.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去 6 则成等比数 列,则此未知数是__________. [答案] 3 或 27
?2a=3+b ? [解析] 设此三数为 3、a、b,则? , 2 ? ??a-6? =3b ? ? ?a=3 ?a=15 解得? 或? . ?b=3 ? ? ?b=27

) B.34 D.64

) B .2 1 D. 4

∴这个未知数为 3 或 27.

16.(2015· 浙江文,10)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,若 a2,a3,a7 成等比数列, 且 2a1+a2=1,则 a1=________,d=________. [答案] 2 3 -1

[解析] 由题可得,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),故有 3a1+2d=0,又因为 2a1+a2=1, 2 即 3a1+d=1,所以 d=-1,a1= . 3 三、解答题 17.(2015· 郑州市质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求使(n-8)bn≥nk 对任意 n∈N*恒成立的实数 k 的取值范围. [解析] (1)由 Sn=2an-2 可得 a1=2,因为 Sn=2an-2, an 所以,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即: =2. an-1 数列{an}是以 a1=2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以,an=2n(n∈N*). (2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+3+…+n= n?n+1? . 2

?n-8??n+1? (n-8)bn≥nk 对任意 n∈N*恒成立,等价于 ≥k 对 n∈N*恒成立; 2 1 设 cn= (n-8)(n+1),则当 n=3 或 4 时,cn 取得最小值为-10,所以 k≤-10. 2 18.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中 k 是常数. (1)求 a1 及 an; (2)若对于任意的 m∈N*,am,a2m,a4m 成等比数列,求 k 的值. [解析] (1)由 Sn=kn2+n, 得 a1=S1=k+1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2kn-k+1. 经验证,n=1 时,上式也成立, ∴an=2kn-k+1. (2)∵am,a2m,a4m 成等比数列, ∴a2 a4m, 2m=am· 即(4mk-k+1)2 =(2km-k+1)(8km-k+1), 整理得 mk(k-1)=0. ∵对任意的 m∈N*成立,

∴k=0 或 k=1.


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