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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修四课时作业:1.3.2(一)]


1. 3. 2

余弦函数、正切函数的图象与性质(一)

课时目标 1.会用“五点法”作余弦函数的图象.2.理解余弦函数的性质,会求余弦 函数的周期、单调区间及最值.

正弦函数、余弦函数的性质对比: 函数 y=sin x 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 最值

y=cos x

最小正周期:______ 在____________ __上单调递增; 在______________________上单调递减 在__________________时,ymax=1; 在__________________时,ymin=-1

最小正周期:______ 在_____________________上单调递增; 在_____________________上单调递减 在________________时,ymax=1; 在________________时,ymin=-1

一、选择题 1.若 y=sin x 是减函数,y=cos x 是增函数,那么角 x 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 - 2.函数 y=2 cos x 的单调递增区间是( ) A.[2kπ+π,2kπ+2π] (k∈Z) B.[kπ+π,kπ+2π] (k∈Z) π? C.? ?2kπ,2kπ+2? (k∈Z) D.[2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 3.函数 y=cos(sin x)的最小正周期是( ) π A. B.π C.2π D.4π 2 π 2x- ?的图象,只要将 y=sin 2x 的图象( 4.要得到 y=cos? ) 4? ? π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 8 8 π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 4 π π? 5.下列函数中,周期为 π,且在? ) ?4,2?上为减函数的是( π π A.y=sin(2x+ ) B.y=cos(2x+ ) 4 2 π π C.y=sin(x+ ) D.y=cos(x+ ) 2 2 6.在(0,2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是( ) π 3π? π π? ?5π 3π? A.? B.? ?4 , 4 ? ?4,2?∪? 4 , 2 ?

π π? C.? ?4,2?

5π 7π? D.? ?4,4?

二、填空题 7.函数 y= 2cos x+1的定义域是________________. 8.方程 x2=cos x 的实数解有________个. 9.为得到函数 y=cos x 的图象,可以把 y=sin x 的图象向右平移 φ 个单位得到,那么 φ 的最小正值是________. π 2π? 10.函数 y=3cos2x-4cos x+1,x∈? ?3, 3 ?的值域为________. 三、解答题 3 1 11.若函数 y=a-bcos x(b>0)的最大值为 ,最小值为- ,求函数 y=-4acos bx 的最值 2 2 和最小正周期.

π x? 1 - 的单调递增区间. 12.求函数 y=log cos? 2 ?3 2?

能力提升 π 13. 已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同. 若 6 π x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是________. 2 2 ? 14.已知函数 y=2cos? ?2x+3π?. (1)在该函数的对称轴中,求离 y 轴距离最近的那条对称轴的方程; (2)把该函数的图象向右平移 φ 个单位后,图象关于原点对称,求 φ 的最小正值.

1.余弦函数 y=cos x(x∈R)是偶函数, 而且是周期函数,最小正周期为 2π. 与 y=Asin(ωx 2π +φ)一样,函数 y=Acos(ωx+φ)(ω≠0)的周期也是 . |ω| 2.与正弦曲线类似,函数 y=Acos(ωx+φ)(ω>0,φ>0) 的图象也可由 y=cos x 的图象通过变换得到,变换规律相同. 3.在研究 y=Acos(ωx+φ)的性质时,注意采用整体代换的思想.如,它在 ωx+φ=2kπ(k ∈Z)时取得最大值,在 ωx+φ=2kπ+π(k∈Z)时取得最小值.

1. 3. 2
知识梳理 R R [-1,1]

余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
[-1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π

答案

π π π [- +2kπ, +2kπ](k∈ Z) [ + 2 2 2 3π π 2kπ, +2kπ] (k∈Z) [-π+2kπ,2kπ] (k∈Z) [2kπ,π+2kπ] (k∈Z) x= +2kπ (k∈Z) x 2 2 π =- +2kπ (k∈Z) x=2kπ (k∈Z) x=π+2kπ (k∈Z) 2 作业设计 1.C 2.D [令 u=-cos x,则 y=2u, ∵y=2u 在 u∈(-∞,+∞)上是增函数. - ∴y=2 cos x 的增区间,即 u=-cos x 的增区间, 即 u=cos x 的减区间[2kπ,2kπ+π] (k∈Z).] 3.B [cos[sin(x+π)]=cos(-sin x)=cos(sin x). ∴T=π.] π π? ? ? 4.A [y=sin 2x=cos? ?2-2x?=cos?2x-2? ? ? π? π? ? π?? =cos? ?2?x-4??=cos?2?x-8?-4? π π x- ? ? 若设 f(x)=sin 2x=cos ?2? ? ? 8?-4?, π π π x+ ?=cos?2x- ?,∴向左平移 个单位.] 则 f? 4? ? 8? ? 8 π π? π 5.A [因为函数周期为 π,所以排除 C、D.又因为 y=cos(2x+ )=-sin 2x 在? ?4,2?上 2 为增函数,故 B 不符合.故选 A.] 6.A [

∵sin x>|cos x|, ∴sin x>0,∴x∈(0,π),在同一坐标系中画出 y=sin x,x∈(0,π)与 y=|cos x|,x∈(0,π) 的图象,观察图象易得 π 3 ? x∈? ?4,4π?.] 2 2 ? 7.? ?2kπ-3π,2kπ+3π?,k∈Z

1 解析 2cos x+1≥0,cos x≥- , 2 2 2π? 结合图象知 x∈? ?2kπ-3π,2kπ+ 3 ?,k∈Z. 8.2 解析 作函数 y=cos x 与 y=x2 的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.

3 9. π 2 π ? π π -x =cos?x- ?,向右平移 φ 个单位后得 y=cos?x-φ- ?, 解析 y=sin x=cos? 2? ?2 ? ? 2? ? π π ∴φ+ =2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ- ,k∈Z. 2 2 3 ∴φ 的最小正值是 π. 2 1 15 ? 10.? ?-4, 4 ? 2?2 1 解析 (1)y=3cos2x-4cos x+1=3? ?cos x-3? -3. π 2π? ? 1 1? ∵x∈? ?3, 3 ?,∴cos x∈?-2,2?. 1 2π 15 从而当 cos x=- ,即 x= 时,ymax= ; 2 3 4 1 π 1 当 cos x= ,即 x= 时,ymin=- . 2 3 4 1 15 ? ∴函数值域为? ?-4, 4 ?. 11.解 ∵y=a-bcos x(b>0), 3 1 ∴ymax=a+b= ,ymin=a-b=- . 2 2 3 1 a+b= ? 2 ?a=2 由 ,解得? . 1 ? ?b=1 a-b=- 2

? ? ?

∴y=-4acos bx=-2cos x, ∴ymax=2,ymin=-2,T=2π. x π? 时 x 应使 cos? ?2-3?>0.

x π? 12.解 根据复合函数“同增异减”的规律,即求函数 y=cos? ?2-3?的单调递减区间,同 x π π ∴2kπ≤ - <2kπ+ (k∈Z). 2 3 2 2 5 整理得 4kπ+ π≤x<4kπ+ π(k∈Z). 3 3 2π 5π? 1 ?π x ? 所以函数 y=log cos?3-2?的单调递增区间是? ?4kπ+ 3 ,4kπ+ 3 ?(k∈Z). 2 3 13.[- ,3] 2

解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同, π ∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x- ). 6 π π π 5 由 x∈[0, ],得- ≤2x- ≤ π, 2 6 6 6 3 ∴- ≤f(x)≤3. 2 2 14.解 (1)令 2x+ π=kπ,k∈Z, 3 kπ π 解得:x= - ,k∈Z. 2 3 π π 令 k=0,x=- ;令 k=1,x= . 3 6 2π π ? ∴函数 y=2cos? ?2x+ 3 ?的对称轴中离 y 轴最近的一条对称轴的方程是 x=6. (2)设该函数向右平移 φ 个单位后解析式为 y=f(x), 2π? 则 f(x)=2cos? ?2?x-φ?+ 3 ? 2 ? =2cos? ?2x+3π-2φ?. ∵y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称, 2π ? ∴f(0)=2cos? ? 3 -2φ?=0. 2π π ∴ -2φ=kπ+ ,k∈Z. 3 2 π kπ 解得:φ= - . 12 2 π 令 k=0,得:φ= . 12 π ∴φ 的最小正值是 . 12


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