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3.1.1椭圆及其标准方程(二)第二课时


第二课时 3.1.1 椭圆及其标准方程(二) 一、教学目标:熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点:两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习: 1、椭圆定义: 平面内与两个定点 F1 , F 2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫作椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2、椭圆的标准方程 (二) 、引入新课 例 1、已知 B、C 是两个定点,∣BC∣=6,且△ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程. 分析:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系,而选择坐标 系的原则,通常欲使得到的曲线方程形式简单. 在右图中,由△ABC 的周长等于 16,∣BC∣=6 可知,点 A 到 B、C 两点的距离之和是常数,即 ∣AB∣+∣AC∣=16-6=10,因此,点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点 的椭圆,据此可建立坐标系并画出草图(如图) 解:如右图,建立坐标系,使 x 轴经过点 B、C,原点 O 与 BC 的中 点重合. 由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16,∣BC∣=6,有∣AB∣+∣AC∣=10,即点 A 的轨迹是 椭圆,且 2c=6, 2a=16-6=10 ∴c=3, a=5, b =5 -3 =16 但当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A、B、C 三点不能构成三角形,所以点 A 的轨迹方 程是
x
2
2 2 2
王新敞
奎屯 新疆

25

?

y

2

16

? 1( y ? 0 )

说明:①求出曲线后,要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题 意的点,应在所得方程后注明限制条件;②例 1 要求学生对椭圆的定义比较熟悉,这样可以 在求曲线轨迹方程时,简化求解步骤,快速准确得到所求的轨迹方程,并且在课堂练习中对

这点予以强调. 例 2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0). (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26. 解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

∵ 2a ?

( 5 ? 3) ? 0 ?
2

( 5 ? 3) ? 0 ? 10 ,2c=6.
2

∴ a ? 5, c ? 3 ∴ b ? a ? c ? 5 ? 3 ? 16
2 2 2 2 2

∴所求椭圆的方程为:

x

2

25

?

y

2

16

?1.

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为
y a
2 2

2 2

?

x b
2

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) .

∴ b ? a ? c ? 144 . ∴所求椭圆方程为:
y
2

169

?

x

2

144

?1

例 3、 已知椭圆经过两点( ?
x
2

3 5 , )与 ( 3 , 5 ) ,求椭圆的标准方程 2 2
2

王新敞
奎屯

新疆

解:设椭圆的标准方程

m

?

y

n

? 1( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )

则有

3 2 5 2 ? (? ) ( ) ? 2 ? 2 ?1 ? ,解得 m ? 6 , n ? 10 n ? m ?( 3)2 ( 5)2 ? ?1 ? n ? m
x
2

王新敞
奎屯

新疆

所以,所求椭圆的标准方程为

6

?

y

2

10

?1

王新敞
奎屯

新疆

例 4、已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且 ? ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方 程
王新敞
奎屯 新疆

解:以 BC 所在直线为 x 轴,BC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设顶点 A ( x , y ) ,根据已知 条件得|AB|+|AC|=10
王新敞
奎屯 新疆

再根据椭圆定义得 a ? 5, c ? 3, b ? 4
x
2

王新敞
奎屯

新疆

所以顶点 A 的轨迹方程为

25

?

y

2

16

? 1 ( y ≠0) (特别强调检验)

(三) 、课堂练习:课本 P65 页 1、2、3 补充题:写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) (1)a=4,b=3,焦点在x轴;(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.(答案:
x
2

16

?

y

2

9
王新敞
奎屯 新疆

? 1;

y

2

25

?

x

2

21

? 1)

(2) 已知三角形Δ ABC的一边?长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程

解:以BC边为x轴,BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆,其方程 为:
x
2

?

y

2

?1

25

16

若以BC边为y轴,BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆, 其方程为:
x
2

16

?

y

2

25

?1

王新敞
奎屯

新疆

(四) 、小结:本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用;①求出曲线后,要注意检查 一下方程的曲线上的点是否都符合题意, 如果有不符合题意的点, 应在所得方程后注明限制 条件;②例 1 要求学生对椭圆的定义比较熟悉,这样可以在求曲线轨迹方程时,简化求解步 骤,快速准确得到所求的轨迹方程,并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的 运用。 (1)椭圆的定义及其标准方程; (2)标准方程中 a , b , c 的关系; (3)焦点所在的轴与 标准方程形式之间的关系. (五) 、课后作业:习题 3-1 四、教学反思: A 组中 2、3、4、5


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