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第六章 不等式6.3


1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一 侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标 系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线 画成实线. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所 得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0 +C 的符号即可判断 Ax+By+C>0 表示的直线是 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的一次不等式 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值的函数 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【知识拓展】 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域: (1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线; (2)特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或

(1,0)来验证. 2.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域: 对于 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0,则有 (1)当 B(Ax+By+C)>0 时,区域为直线 Ax+By+C=0 的上方; (2)当 B(Ax+By+C)<0 时,区域为直线 Ax+By+C=0 的下方. 3.最优解和可行解的关系: 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多 个. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上方.( × (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( √ ) )

(3)目标函数 z=ax+by(b≠0)中, z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距. ( × ) (4)不等式 x2-y2<0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的 含有 y 轴的两块区域.( √ )

1.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的是( A.(0,0) C.(-1,3) 答案 C 解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选 C.
?x-3y+6<0, ? 2.(教材改编)不等式组? 表示的平面区域是( ?x-y+2≥0 ?

)

B.(-1,1) D.(2,-3)

)

答案 C 解析 用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为 C.

x-y≥-1, ? ? 3. 若实数 x, y 满足不等式组?x+y≥1, ? ?3x-y≤3, A.3 B. 答案 C 5 2 C.2 D.2 2

则该约束条件所围成的平面区域的面积是(

)

解析 因为直线 x-y=-1 与 x+y=1 互相垂直, 所以如图所示的可行域为直角三角形,

易得 A(0,1),B(1,0),C(2,3),故|AB|= 2,|AC|=2 2, 1 其面积为 ×|AB|×|AC|=2. 2 x-y≤0, ? ? 4.(2015· 北京)若 x,y 满足?x+y≤1, ? ?x≥0, 3 A.0 B.1 C. D.2 2 答案 D 1 1 解析 可行域如图所示.目标函数化为 y=- x+ z, 2 2

则 z=x+2y 的最大值为(

)

1 1 当直线 y=- x+ z 过点 A(0,1)时,z 取得最大值 2. 2 2 5.(教材改编)投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200 平方米;投 资生产 B 产品时,每生产 100 吨需要资金 300 万元,需场地 100 平方米.现某单位可使用资 金 1 400 万元,场地 900 平方米,则上述要求可用不等式组表示为__________________(用 x, y 分别表示生产 A,B 产品的吨数,x 和 y 的单位是百吨). 200x+300y≤1 400, ? ?200x+100y≤900, ?x≥0, ? ?y≥0

答案

解析 用表格列出各数据 A 产品吨数 资金 场地 x 200x 200x B y 300y 100y 1 400 900 总数

所以不难看出,x≥0,y≥0,200x+300y≤1 400,200x+100y≤900.

题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点 1 不含参数的平面区域问题 例 1 (1)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下 列图形中的( )

x≥0, ? ? (2)不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 3 2 4 3 A. B. C. D. 2 3 3 4 答案 (1)C (2)C

所表示的平面区域的面积等于(

)

?x-2y+1≥0, ? 解析 (1)(x-2y+1)(x+y-3)≤0?? ?x+y-3≤0, ? ? ?x-2y+1≤0, 或? 画出平面区域后,只有 C 符合题意. ? ?x+y-3≥0.

4 (2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分,A(0, ),B(1,1),C(0,4),则△ABC 的 3 1 8 4 面积为 ×1× = .故选 C. 2 3 3 命题点 2 含参数的平面区域问题 x≥0, ? ? 例 2 若不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3

则 k 的值是_________________________________________________________________. 答案 7 3

解析 不等式组表示的平面区域如图所示.

4? 4 4 由于直线 y=kx+ 过定点? 直线 y=kx+ 能平分平面区域. ?0,3?.因此只有直线过 AB 中点时, 3 3 1 5? 因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中点 D? ?2,2?. 1 5? 4 5 k 4 当 y=kx+ 过点? ?2,2?时,2=2+3, 3 7 所以 k= . 3 思维升华 (1)求平面区域的面积: ①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等 式组问题,从而再作出平面区域; ②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯 形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即 可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.

x≥0, ? ? (1)不等式组?x+y≤3, 表示的平面区域为 Ω,直线 y=kx-1 与区域 Ω 有公 ? ?y≥x+1 共点,则实数 k 的取值范围为( A.(0,3] C.(-∞,3] x≥1, ? ? (2)已知约束条件?x+y-4≤0, ? ?kx-y≤0 A.1 B.-1 C.0 D.-2 答案 (1)D (2)A 解析 (1)直线 y=kx-1 过定点 M(0,-1),由图可知,当直线 y=kx-1 经过直线 y=x+1 2-?-1? 与直线 x+y=3 的交点 C(1,2)时,k 最小,此时 kCM= =3,因此 k≥3,即 k∈[3,+ 1-0 ∞).故选 D. ) B.[-1,1] D.[3,+∞)

表示面积为 1 的直角三角形区域,则实数 k 的值为(

)

(2)由于 x=1 与 x+y-4=0 不可能垂直,所以只有可能 x+y-4=0 与 kx-y=0 垂直或 x=1 与 kx-y=0 垂直. ①当 x+y-4=0 与 kx-y=0 垂直时,k=1,检验知三角形区域面积为 1,即符合要求. ②当 x=1 与 kx-y=0 垂直时,k=0,检验不符合要求. 题型二 求目标函数的最值问题 命题点 1 求线性目标函数的最值 y≤x, ? ? 例 3 (2014· 广东)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, 别为 m 和 n,则 m-n 等于( A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B 解析 画出可行域,如图阴影部分所示. )

且 z=2x+y 的最大值和最小值分

由 z=2x+y,得 y=-2x+z.
?y=x, ?x=-1, ? ? 由? 得? ? ? ?y=-1, ?y=-1,

∴A(-1,-1).
? ? ?x+y=1, ?x=2, 由? 得? ?y=-1, ?y=-1, ? ?

∴B(2,-1). 当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,zmin=2×(-1)-1=-3=n.当直线 y=-2x+z 经过点 B 时, zmax=2×2-1=3=m,故 m-n=6. 命题点 2 求非线性目标函数的最值 x-y+1≤0, ? ? 例 4 实数 x,y 满足?x>0, ? ?y≤2. y (1)若 z= ,求 z 的最大值和最小值,并求 z 的取值范围; x (2)若 z=x2+y2,求 z 的最大值与最小值,并求 z 的取值范围. x-y+1≤0, ? ? 解 由?x>0, ? ?y≤2, 如图中阴影部分所示.

作出可行域,

y (1)z= 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率, x y 因此 的范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率(直线 OA 的斜率不存在,即 zmax 不存在). x
?x-y+1=0, ? 由? 得 B(1,2), ?y=2, ?

2 ∴kOB= =2,即 zmin=2, 1 ∴z 的取值范围是[2,+∞). (2)z=x2+y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此 x2+y2 的值最小为|OA|2(取不到),最大值为|OB|2.
?x-y+1=0, ? 由? 得 A(0,1), ?x=0, ?

∴|OA|2=( 02+12)2=1,|OB|2=( 12+22)2=5, ∴z 的取值范围是(1,5]. 引申探究 y-1 1.若 z= ,求 z 的取值范围. x-1 y-1 解 z= 可以看作过点 P(1,1)及(x,y)两点的直线的斜率. x-1 ∴z 的取值范围是(-∞,0).

2.若 z=x2+y2-2x-2y+3.求 z 的最大值、最小值. 解 z=x2+y2-2x-2y+3 =(x-1)2+(y-1)2+1,
2 2 而(x-1)2+(y-1)2 表示点 P(1,1)与 Q(x,y)的距离的平方|PQ|2,|PQ|2 max=(0-1) +(2-1) =2,

|PQ|2 min=(

|1-1+1|
2

1 +?-1?

1 2 2) =2,

1 3 ∴zmax=2+1=3,zmin= +1= . 2 2 命题点 3 求线性规划的参数 x≥1, ? ? 例 5 已知 a>0, x, y 满足约束条件?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?, 答案 1 2

若 z=2x+y 的最小值为 1, 则 a=________.

解析 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).

易知直线 z=2x+y 过交点 A 时,z 取最小值,
? ? ?x=1, ?x=1, 由? 得? ?y=a?x-3?, ?y=-2a, ? ?

1 ∴zmin=2-2a=1,解得 a= . 2 思维升华 (1)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. (2)当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题,常见代数式的几何意 义有: ① x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离, ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与点(a,b)的距离; y-b y ② 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率, 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x x-a (3)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足条件. x-y≥0, ? ? (1)(2015· 山东)已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2, ? ?y≥0, 则 a 等于( )

若 z=ax+y 的最大值为 4,

A.3 B.2 C.-2 D.-3 x+y-2≤0, ? ? (2)(2014· 安徽)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0. 则实数 a 的值为( 1 A. 或-1 2 C.2 或 1 答案 (1)B (2)D 解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示. ) 1 B.2 或 2 D.2 或-1

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,

易知 A(2,0),
? ?x-y=0, 由? 得 B(1,1). ?x+y=2, ?

由 z=ax+y,得 y=-ax+z. ∴当 a=-2 或 a=-3 时, z=ax+y 在 O(0,0)处取得最大值, 最大值为 zmax=0, 不满足题意, 排除 C,D 选项;当 a=2 或 3 时,z=ax+y 在 A(2,0)处取得最大值, ∴2a=4,∴a=2,排除 A,故选 B. (2)如图,由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距,

故当 a>0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=2; 当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=-1. 题型三 线性规划的实际应用 例 6 某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返 一次.A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型 车 7 辆. 若每天运送人数不少于 900, 且使公司从甲地去乙地的营运成本最小, 那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆? 解 设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆,相应营运成本为 z 元,则 z=1 600x+2 400y.由题意, 得 x,y 满足约束条件 x+y≤21, ? ?y≤x+7, ?36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).

由图可知,当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1 600x+2 400y 在 y 轴 z 上的截距 最小,即 z 取得最小值. 2 400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆,可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小. 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答. (2015· 陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每 种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( 甲 A(吨) B(吨) 3 1 乙 2 2 ) 原料限额 12 8

A.12 万元 C.17 万元 答案 D

B.16 万元 D.18 万元

解析

3x+2y≤12, ? ?x+2y≤8, 设每天甲、乙的产量分别为 x 吨,y 吨,由已知可得? x≥0, ? ?y≥0,

目标函数 z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:

可得目标函数在点 A 处取到最大值.
? ?x+2y=8, 由? 得 A(2,3). ?3x+2y=12, ?

则 zmax=3×2+4×3=18(万元).

7.含参数的线性规划问题的易错点

y≥1, ? ? 典例 已知实数 x,y 满足?y≤2x-1, ? ?x+y≤m, ________.

如果目标函数 z=x-y 的最小值为-1,则实数 m=

易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”,可先画出已知边界表示的区域,分析动直线 的位置时容易出错, 没有抓住直线 x+y=m 和直线 y=-x 平行这个特点; 另外在寻找最优点 时也容易找错区域的顶点. 解析 显然,当 m<2 时,不等式组表示的平面区域是空集; 当 m=2 时,不等式组表示的平面区域只包含一个点 A(1,1).此时 zmin=1-1=0≠-1. 显然都不符合题意. y≥1, ? ? 故必有 m>2,此时不等式组?y≤2x-1, ? ?x+y≤m

所表示的平面区域如图所示,

平面区域为一个三角形区域, m+1 2m-1 其顶点为 A(1,1),B(m-1,1),C( , ). 3 3 由图可知,当直线 y=x-z 经过点 C 时,z 取得最小值, m+1 2m-1 2-m 最小值为 - = . 3 3 3 2-m 由题意,得 =-1,解得 m=5. 3 答案 5 温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时,要注意根据题目条件,画出符合条件的可行域.本题 因含有变化的参数,可能导致可行域画不出来. (2)应注意直线 y=x-z 经过的特殊点.

[方法与技巧] 1.平面区域的画法:线定界、点定域(注意实虚线). 2.求最值:求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截 a z z 式:y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值.最优解在顶点或边界取得. b b b 3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量, 列出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题. 4.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [失误与防范] 1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. z z 2. 在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时, 要注意: 当 b>0 时, 截距 取最大值时, b b z z z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值; b b z 截距 取最小值时,z 取最大值. b

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) x≥0, ? ?y≥0, 1.直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 答案 B 解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分).

表示的平面区域的公共点有(

)

4 直线 2x+y-10=0 恰过点 A(5,0),且其斜率 k=-2<kAB=- ,即直线 2x+y-10=0 与平面 3 区域仅有一个公共点 A(5,0).

x+y-3≤0, ? ? 2.若函数 y=log2x 的图象上存在点(x,y),满足约束条件?2x-y+2≥0, ? ?y≥m, 值为( )

则实数 m 的最大

1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 答案 B 解析 如图,作出不等式组表示的可行域,当函数 y=log2x 的图象过点(2,1)时,实数 m 有最 大值 1.

x+y-2≥0, ? ? 3.设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ? ?y≥1, A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B

则目标函数 z=x+2y 的最小值为(

)

解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).

1 1 1 1 1 由 z=x+2y,得 y=- x+ z, z 的几何意义是直线 y=- x+ z 在 y 轴上的截距,要使 z 最 2 2 2 2 2 1 1 1 小,需使 z 最小,易知当直线 y=- x+ z 过点 A(1,1)时,z 最小,最小值为 3,故选 B. 2 2 2 x-y≥0, ? ?2x+y≤2, 4.若不等式组? y≥0, ? ?x+y≤a 4 ? A.? ?3,+∞?

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是(

)

B.(0,1]

4? C.? ?1,3? 答案 D x-y≥0, ? ? 解析 不等式组?2x+y≤2, ? ?y≥0

4 ? D.(0,1]∪? ?3,+∞?

表示的平面区域如图(阴影部分),

2 2? 求 A,B 两点的坐标分别为? ?3,3?和(1,0),若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则 a 4 的取值范围是 0<a≤1 或 a≥ . 3 5. 某公司生产甲、 乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产 品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润 是( ) B.2 400 元 D.3 100 元

A.1 800 元 C.2 800 元 答案 C

解析 设每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶, x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N, 则根据题意得 x、y 的约束条件为? x+2y≤12, ? ?2x+y≤12. 设获利 z 元,则 z=300x+400y. 画出可行域如图.

画直线 l:300x+400y=0,即 3x+4y=0.

平移直线 l,从图中可知,当直线过点 M 时, 目标函数取得最大值.
?x+2y=12, ?x=4, ? ? 由? 解得? ?2x+y=12, ?y=4, ? ?

即 M 的坐标为(4,4), ∴zmax=300×4+400×4=2 800(元).故选 C. x+y-2≥0, ? ? 6.若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0 A.-2 1 C. 2 答案 B 解析 当 z=y-x 取得最小值-4 时,直线 y-x=-4 与 x 轴相交于点 C(4,0),所以直线 kx 1 -y+2=0 一定过点 C(4,0),所以 4k-0+2=0,即 k=- .经验证,符合题意. 2

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为(

)

1 B.- 2 D.2

x>0, ? ? 7.已知实数 x,y 满足约束条件?4x+3y≤4, ? ?y≥0, A.-2 B.2 C.-1 D.1 答案 D 解析 作出不等式组对应的平面区域如图,

y+1 则 ω= 的最小值是( x

)

y+1 ω= 的几何意义是区域内的点 P(x,y)与定点 A(0,-1)所在直线的斜率,由图象可知当 P x

y +1 -1-0 位于点 D(1,0)时,直线 AP 的斜率最小,此时 ω= 的最小值为 =1.故选 D. x 0-1 x-2y+1≥0, ? ? 8.已知实数 x,y 满足?x<2, ? ?x+y-1≥0, 5 A.[ ,5] 3 5 C.[ ,5) 3 答案 D 解析 画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,

则 z=2x-2y-1 的取值范围是(

)

B.[0,5] 5 D.[- ,5) 3

1 2 可知 2× -2× -1≤z<2×2-2×(-1)-1, 3 3 5 即 z 的取值范围是[- ,5). 3 9.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如表: a A B 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c(百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石的最 少费用为________(百万元). 答案 15 解析

设购买铁矿石 A、B 分别为 x 万吨,y 万吨,购买铁矿石的费用为 z(百万元),则 0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+0.5y≤2, ?x≥0, ? ?y≥0. 目标函数 z=3x+6y,
?0.5x+0.7y=1.9, ?x=1, ? ? 由? 得? 记 P(1,2), ?x+0.5y=2, ?y=2. ? ?

画出可行域可知,当目标函数 z=3x+6y 过点 P(1,2)时,z 取到最小值 15. 2x-y≤0, ? ? 10. 若点 P(x, y)满足线性约束条件?x-2y+2≥0, ? ?y≥0, 的取值范围是__________. 1? 答案 -2 ? ?-7,-3? 2x-y≤0, ? ? 解析 作出约束条件?x-2y+2≥0, 表示的可行域如下图阴影部分所示: ? ?y≥0 y+1 则 z=x-y 的最小值是________; u= x-1

平移直线 x-y=0,易知当目标直线 z=x-y 经过可行域内的点 M(-2,0)时,z=x-y 取得最 y+1 小值,且 zmin=-2;u= 表示可行域内的点(x,y)与点 P(1,-1)组成的直线的斜率,观 x-1 4 -?-1? 3 y+1 0-?-1? y+1 1 察图象可知,u= ∈[kPN,kPM],又 kPM= =- ,kPN= =-7,故 u= 3 2 x-1 -2-1 x-1 -1 3 1? 的取值范围是? ?-7,-3?. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟)

x≥0, ? ? 11.在平面直角坐标系中,点 P 是由不等式组?y≥0, ? ?x+y≥1

所确定的平面区域内的动点,Q 是

→ → 直线 2x+y=0 上任意一点,O 为坐标原点,则|OP+OQ|的最小值为( A. C. 5 5 2 2 B. 2 3

)

D.1

答案 A → → 解析 在直线 2x+y=0 上取一点 Q′,使得Q′O=OQ, → → → → 则|OP+OQ|=|OP+Q′O| → → → =|Q′P|≥|P′P|≥|BA|, 其中 P′,B 分别为点 P,A 在直线 2x+y=0 上的投影,如图.

|0+1| 5 → 因为|AB|= 2 2= 5 , 1 +2 5 → → 因此|OP+OQ|min= ,故选 A. 5 1 12.设平面点集 A={(x,y)|(y-x)· (y- )≥0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所 x 表示的平面图形的面积为( 3π 3π 4π π A. B. C. D. 4 5 7 2 答案 D y-x≥0, y-x≤0, ? ? ? ? 解析 平面点集 A 表示的平面区域就是不等式组? 1 与? 1 表示的两块平 ?y-x≥0 ? ? ?y-x≤0 面区域, 而平面点集 B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心, 以 1 为半径的圆及圆的内部, 作出它们表示的平面区域如图所示, )

图中的阴影部分就是 A∩B 所表示的平面图形. 1 由于圆和曲线 y= 关于直线 y=x 对称, x 1 因此,阴影部分所表示的图形面积为圆面积的 , 2 π 即为 ,故选 D. 2 y≥-2x, ? ? 13.设实数 x,y 满足?y≥x, ? ?y+x≤4, A.[-8,-6] C.[-8,0] 答案 B 解析 满足不等式组的可行域如图所示,由题意可知 A(2,2),B(-4,8),O(0,0),由直线 x +y=4 与 y 轴交点坐标为(0,4),当 x≥0 时,z=y-4x,显然经过点(0,4)时 z 取最大值 4,经 过点 A 时 z 取最小值-6;当 x<0 时,z=y+4x,显然动直线经过点(0,4)时 z 取得最大值 4, 经过点 B 时 z 取得最小值-8,所以 z=y-4|x|的取值范围是[-8,4],故选 B.

则 z=y-4|x|的取值范围是(

)

B.[-8,4] D.[-6,0]

2x-y≥0, ? ? 14.如果实数 x,y 满足?x+y-4≥0, ? ?x≤3, ________. 1 ? 10 答案 ? ?3,2? 3

y y x 则 的取值范围是________,z= + 的最大值为 x x y

y y 解析 作出可行域(如图), 表示可行域内的点 P(x,y)与原点连线的斜率,令 t= ,即 y=tx, x x

y 1 由图可知,当直线 y=tx 经过点 A(3,1)时,t 最小,即 最小,且最小值为 ,当直线 y=tx 与 y x 3 1 ? y y ?1 ? =2x 重合时,t 最大,即 最大,故最大值为 2,所以 的取值范围是? ?3,2?;t∈?3,2?,易知 x x 1 1 ? 1 10 5 y x ,1 上递减,在[1,2]上递增.当 t= 时,z= ;当 t=2 时,z= .故 z= + 函数 z=t+ 在? t ?3 ? 3 3 2 x y 10 的最大值为 . 3

x+2y-3≤0, ? ? 15. 已知变量 x, y 满足约束条件?x+3y-3≥0, ? ?y-1≤0, 处取得最大值,则 a 的取值范围是__________. 1 ? 答案 ? ?2,+∞?

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)

解析 画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示,要使目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)处取 1 得最大值,则直线 y=-ax+z 的斜率应小于直线 x+2y-3=0 的斜率,即-a<- , 2

1 ∴a> . 2 16.(2015· 浙江)若实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是________. 答案 3 解析 满足 x2+y2≤1 的实数 x,y 表示的点(x,y)构成的区域是单位圆及其内部. f(x,y)=|2x+y-2|+|6-x-3y| =|2x+y-2|+6-x-3y

? ?4+x-2y,y≥-2x+2, =? ?8-3x-4y,y<-2x+2. ?

3 4? 直线 y=-2x+2 与圆 x2+y2=1 交于 A,B 两点,如图所示,易得 B? ?5,5?.

1 设 z1=4+x-2y,z2=8-3x-4y,分别作直线 y= x 2 3 4? 3 4? 3 和 y=- x 并平移, 则 z1=4+x-2y 在点 B? z2=8-3x-4y 在点 B? ?5,5?取得最小值为 3, ?5,5? 4 取得最小值为 3,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 3.


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