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广东省韶关市2016届高三1月调研测试数学理试题


韶关市 2016 届高三调研测试数学(理科)试题
一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. (1) 若复数 z 满足 (1 ? i) z ? i ,则复数 z 模为( )

A.

1 2

B.

2 2
)



C. 2

D. 2

(2) cos2 165? ? sin 2 15? ? ( A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 3

(3)已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 2 x ? 0 ; q : " x ? 1" 是 " x ? 2" 的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( A. p ? q ) C.
?

B. ? p ? ? q

p?q

D. p ? ? q

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? n ? 9) 的( (4) 曲线 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
A.焦距相等 B. 离心率相等 C.焦点相同 D.顶点相同



(5)如图,圆柱内有一个直三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内, 且底面是正三角形.如果三棱柱的体积为 12 3 ,圆柱的底面直径与 母线长相等,则圆柱的侧面积为( A. 12? B. 14? ) C. 16? D. 18? 开始 S=0 i=1 C. 0.954 D. 0.977 i=i+2

(6)已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1,1) ,若 P(? ? 3) ? 0.977 , 则 P(?1 ? ? ? 3) ? ( A. 0.683 )

B. 0.853

(7)如图给出的是计算 1 ? 其中判断框内应填入的是( A. i ? 2012 B. i ? 2014 C. i ? 2016 D. i ? 2018

1 1 1 ? ?L L ? 的值的程序框图, 3 5 2015


S ?S?

1 i

是 否 输出 S

结束

1

(8) 某校开设 10 门课程供学生选修, 其中 A、B、C 三门由于上课时间相同, 至多选一门, 学校规定:每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是( A. 70 B. 98 C. 108 D. 120 )

(9) 在△ABC 中, ∠C=90° , 且 BC=3, 点 M 满足 BM ? 2MA , 则C MC ?B

uuu r

uuu r

u u u ru u r

等于(

)

A.2

B.3

C.4

D.6

(10)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ?? ? ? ? 0) 的最小正周期是 ? ,将函数 f ( x ) 图 象向左平移

? 个单位长度后所得的函数图象过点 P(0,1) , 则函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( 3 ? ? ? ? A.在区间 [ ? , ] 上单调递减 B.在区间 [ ? , ] 上单调递增 6 3 6 3 ? ? ? ? C.在区间 [ ? , ] 上单调递减 D.在区间 [ ? , ] 上单调递增 3 6 3 6




(11)某几何体的三视图如图所示,正视图为直角三角形,侧视图为 等边三角形,俯视图为等腰直角三角形,则其外接球的表面积为( A. 5? B.

20 ? 3

C. 8?

D.

28 ? 3

(12)已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足:函数 y ? f ( x ? 1) 的 图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? (??,0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 ( f ' ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数)成立, 若 a ? (sin ) f (sin ) , b ? (ln2) f (ln2) , c ? 2 f (log 1
2

1 2

1 2

1 ) ,则 4

a, b, c 的大小关系是(
A.

) B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. a ? c ? b

a?b?c

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) .
' (13)已知函数 f ( x) 的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线方程是 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 , f ( x) 是函数

f ( x) 的导函数,则 f (1) ? f '(1) ?
2

.
?

(14)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,倾斜角等于 45 的直线过 F 交该抛物线于 A, B 两点, 则 | AB | =______.

? x ? 1, ? ( 15 ) 实数 x, y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值 ? x ? y ? 0, ?
为 .
2

(16) ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 2BC ,则. ?ABC 面积的最大值为 三.解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)

.

设 n ? N ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn?1 ? Sn ? an ? 2 , a1 , a2 , a5 成等比数列.
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足

bn ? ( 2)1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

(18) (本小题满分 12 分)某厂生产一种零件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 8 为优质品,小于 8 大于等于 4 为正品,小于 4 为次品.现随机抽取这种零件 100 件进行检 测,检测结果统计如下: 测 试 指标 零 件 数

[0, 2)

[2, 4)

[4, 6)

[6,8)

[8,10]

2

8

32

38

20

若以上述测试中各组的频率作为相应的概率. (Ⅰ)试估计这种零件的平均质量指标; (Ⅱ) 生产一件零件, 若是优质品可盈利 40 元, 若是正品盈利 20 元, 若是次品则亏损 20 元;若从大量的零件中随机抽取 2 件,其利润之和记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及 数学期望.

(19) (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 是矩形, AB ? 1, AD ? 2 , E 是 AD 的
中点, BE 与 AC 交于点 F , GF ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证: AF ? 面 BEG ; (Ⅱ)若 AF ? FG , 求直线 EG 与平面 ABG 所成角的正弦值.
B F D G

C

A

E

( 20 ) (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 它的一个焦点为 a 2 b2

F1 (?1,0) ,且经过点 M (?1,

2 3 ) 3
3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知圆 的方程是 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 ,过圆 上任一点 P 作 椭圆 C 的两条切线 l1 与 l2 ,求证 l1 ? l2 .

(21) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x , h( x) ? a x (a ? R) . (Ⅰ)函数 f ( x) 与 h( x) 的图象无公共点,试求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使得对任意的 x ? ( , ??) ,都有函数 y ? f ( x ) ?

1 2

m 的图象在 x

ex g ( x) ? 的图象的下方?若存在,请求出最大整数 m 的值;若不存在,请说理由. x
(参考数据: ln 2 ? 0.6931 ,, ln 3 ? 1.0986 , e ? 1.6487, 3 e ? 1.3956 ).

(22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AF 是圆 E 切线, F 是切点, 割线 ABC 与圆 E 交于 B 、 C , BM 是圆
A

E 的直径, EF 交 AC 于 D , AB ?
(Ⅰ)求线段 AF 的长; (Ⅱ)求证: AD ? 3ED .

1 AC , ?EBC ? 300 , MC ? 2 . 3
E

B

D

F

M C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线 C1 : ?

? x ? 4 ? cos t , ? x ? 6cos ? , ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? ?3 ? sin t , ? y ? 2sin ? ,

(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? ? 到直线 C3 : ? cos? ? 3? sin ? ? 8 ? 2 3

? ,Q 为 C2 上的动点,求线段 PQ 的中点 M 2

距离的最小值.

4

2016 届高三调研测试数学(理科)试题
参考解答和评分标准
说明: 1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正 确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:BCDAC CCBBB DA (1) 【解析】 由已知 z ?
2 ?

i (1 ? i) ?1+i 1 1 2 ,选 B. ? ? ? i, 所以 z ? (1 ? i)(i ? 1) ?2 2 2 2
2 ?

2 ? 2 ? ? (2) 【解析】 cos 165 ? sin 15 ? cos 15 ? sin 15 ? cos30 ?

3 选C 2

(3) 【解析】 命题 p 为真,命题 q 为假,故选 D

x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 , 由 (4) 【解析】由 10 ? m 6 ? m x2 y2 ? ? 1(5 ? n ? 9) 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A. 5?n 9?n
(5) 【解析】 设圆柱的底面半径为 R ,则三棱柱的底面边长为

3R , 由

3 ( 3R) 2 ? 2 R ? 12 3 4

得 R ? 2 , S圆柱侧 ? 2?R ? 2R ? 16? . 故选 C

(6) 【解析】因为已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1,1) ,所以正态曲线关于直线 x ? 1 对 称,又 P(? ? 3) ? 0.977 ,所以 P(? ? 3) ? 1 ? 0.977 ? 0.023 , P(?1 ? ? ? 3) 所以 ? 1 ? P(? ? ?1) ? P(? ? 3) ? 1 ? 2P(? ? 3) ? 1 ? 0.046 ? 0.954 ,故选 C (7) 【解析】考查算法的基本思想及程序框图。选 C (8) 【解析】解析:本题考查排列组合的应用.共可分为两类:选 A、B、C 中的一门,其
3 1 2 它 7 科中选两门, 有 C3 ? 35 ; C7 ? 63 ; 不选 A、B、C 中的一门,其它 7 科中选三门,有 C7

所以共有 98 种,故选 B (9) 【解析】 因为 BM ? 2 MA , AC ? BC ? 0

???? ?

????

??? ? ??? ?

5

???? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 1 ??? ? ???? ??? ? 1 ???? ??? ? ???? ?2 1 ??? CM ? CB ? CB ? (MA ? AC ) ? CB ? ( BA ? AC ) ? CB ? ( ( AC ? CB ) ? AC ) ? BC ? 3 , 3 3 3
选B 另解 1:如图建立坐标系,由已知可得,B(3, 0) ,设 A(0, y ) ,由 BM ? 2 MA 得,M (1, 所以, CB ? (3,0) , CM ? (1,

? ? ? ? ?

? ? ? ?

??? ? ???? ? 2 y ) , CB ? CM ? 3 ,选 B 3 ???? ????? ? ??? ? ???? ? 另解 2 设 ?MCN ? ? , CB ?CM ? CB ? CM cos ? 过 M 作 MN ? BC 交 BC 于 N ,
则 CM cos ? ? CN ,由 BC ? 3 , BM ? 2MA , 得 CN ? 1 , CB ? CM ? 3
y A M x C B
C N B A

??? ?

???? ?

2 y) 3

???? ?

???? ?

????

??? ? ???? ?

M

( O)

( 10 ) 【解析】依题意, ??2 ,

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 平 移 后 得 到 的 函 数 是

y ? sin(2 x ? ? ?
以, ? ? ?

?
6

2? 2? ) ,其图象过(0,1) )=1 ,因为 ?? ? ? ? 0 ,所 ,所以, sin(? ? 3 3

, f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

) ,故选 B

(11) 【解析】设外接球的球心 O ,E , M 分别是 ?BCD, ?ACD 的外心,OE ? 平面 BCD , A

OM ? 平面 ACD ,则 R 2 ? ( 2 ) 2 ? (
解得 R ?
2

3 2 ) , 3
D O B E M F C
z

28? 7 ,故 S 球表 ? 选 D. 3 3

另解:设 F 是 BC 的中点,如图建立坐标系。则 B(2, ?1, 0)

C (0,1, 0) , D(0, ?1, 0) , A(0,0, 3)
设 O ( ( x, y, z ) 是球心,球的半径为 r ,由 OA ? OB ? OC ? OD ? R 得

A

?( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? z 2 ? x 2 ? ( y ? 1)2 ? z 2 ? 2 2 2 2 2 2 ?( x ? 2) ? ( y ? 1) ? z ? x ? ( y ? 1) ? z ? 2 2 2 2 2 2 ?( x ? 2) ? ( y ? 1) ? z ? x ? y ? ( z ? 3)
1 解得 x ? 1, y ? 0, z ? 3
7 所以, r ? x ? y ? ( z ? 3) ? 3
2 2 2 2

D O B x F C y

6

S 球表 ?

28? 3

(12) 【解析】 :因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,所以 y ? f ( x) 关于 y 轴 对称,所以函数 y ? xf ( x) 为奇函数.因为 [ xf ( x)]' ? f ( x) ? xf '( x) ,所以当 x ? (??, 0) 时,

[ xf ( x)]' ? f ( x) ? xf '( x) ? 0 , 函数 y ? xf ( x) 单调递减, 当 x ? (0, ??) 时, 函数 y ? xf ( x)
单调递减.? 0 ? sin

1 1 1 1 1 1 ? , 1 ? ln 2 ? ln e ? ,log 1 ? 2 , 0 ? sin ? ln 2 ? log 1 , 2 2 2 2 2 4 2 4

? 所以 a ? b ? c ,选 A.
二、填空题: 题号 答案 13 14 15 16

5 3
'

8

2

3

(13) 【解析】因为 f (1) ? 1 , f (1) ?

2 5 ,所以 f(1)+f′(1)= . 3 3

(14) 【解析】 由题可知焦点 F (1, 0) , 直线 AB 的方程 y ? x ? 1 ,设点 A( x1 , y2 ) ,B( x2 , y2 ) 联 立 方 程 组

? y2 ? 4x ? ? y ? x ?1





x2 ? 6 x ? ? 1

0,

x1 ? x2 ? 6 , AB ? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8 .
(15) 【解析】做出可行域,由题意可知可行域为 ?ABC 内部, y ? ? x ? z ,则 z 的几何意义为直线在 y 轴上的纵截距,将目标函数平移可知当直线经过点 A 时,目标 函数取得最大值 4,此时 A 点坐标为 ( a, a ) ,代入得 4 ? a ? a ? 2a ,所以 a ? 2 .

(16) 解法一:设 BC ? x, AC ? 2 x ,则 cos B ? 即 S ?ABC ?

9 ? 3x 2 9 x 4 ? 54 x 2 ? 81 , ,sin B ? 1 ? 6x 36 x 2

1 1 1 AB BC sin B ? ?9 x 4 ? 90 x 2 ? 81 ? ?9( x 2 ? 5) 2 ? 144 2 4 4

当 1 ? x ? 5 ? 3 时,三角形 ABC 的面积的最大值为 3 . 解法二、 设 A(?1,0) , B(2,0) , C ( x, y) , 则点 C 的轨迹方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 , 当底边 AB 上的高为半径 2 ,三角形 ABC 的面积的最大值为 3 . (17)解: (Ⅰ)由 Sn?1 ? Sn ? an ? 2 得: an?1 ? an ? 2 (n ? N )
*

…………………1 分
7

所以数列 ?an ? 是以 a1 为首项, 2 为公差的等差数列 ……………………………………3 分 由 a1 , a2 , a5 成等比数列.即 (a1 ? 2)2 ? a1 (a1 ? 8) 解得 a1 ? 1 …………………… ……4 分 所以, an ? 2n ? 1

(n ? N * )

………………………………………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? (2n ? 1) ? ( 2)2n ? (2n ? 1)2n ,……………………………… ……6 分 所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn?1 ? bn ,即

Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ?? ? (2n ? 1) ? 2n ①. …………………………………………8 分

2Tn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ?? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ②. ……………………………10 分
①—②可得

?Tn ? 2 ? 2(22 ? 23 ? ?? ? 2n ) ? (2n ? 1)2n?1 ,

所以 Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6 . ………………………………………………………… ……12 分 (18) 解: (1)平均质量指标为 分 (2)由表可得任取一件零件为优质品的概率为

2 ?1 ? 8 ? 3 ? 32 ? 5 ? 38 ? 7 ? 20 ? 9 ? 6.32 ……………3 100

20 1 ? ,任取一件零件为正品的概率为 100 5 32 ? 38 7 10 1 ? ,任取一件零件为次品的概率为 ? ,……………………………6 分 100 10 100 10

从大量的零件中随机抽取 2 件,其利润之和记为 X ,则 X 的可能取值为

?40, 0, 20, 40, 60,80 .
1 1 7 7 2 1 2 1 P( X ? ?40) ? C2 ( ) ? ? , P( X ? 0) ? C2 ? ? , 10 100 10 10 50 1 1 1 7 2 49 1 2 P( X ? 20) ? C2 ? ? ? , P ( X ? 40) ? C2 ? ( ) ? , 10 5 25 10 100 7 1 7 1 1 1 1 2 P( X ? 60) ? C2 ? ? ? , P ( X ? 80) ? C2 ? ? ? . 10 5 25 5 5 25
…………………………………………………………………………………………………10 分 故 X 的分布列为

X P

?40

0

20

40

60

80

1 100

7 50

1 25

49 100

7 25

1 25

……………………………………………………………………………………………11 分

X 的数学期望值为 EX ? ?40 ?
? 40

1 7 1 49 7 1 ? 0 ? ? 20 ? ? 40 ? ? 60 ? ? 80 ? 100 50 25 100 25 25

…………………………………………………………………………………………………12 分 (19)证法 1:
8

∵四边形 ABCD 为矩形,∴ ?AEF ∽ ?CBF , ∴

AF EF AE 1 ? ? ? CF BF BC 2

……………1 分

又∵矩形 ABCD 中, AB ? 1, AD ?

2 ,∴ AE ?
6 2

2 , AC ? 3 2
2 6 1 3 , BD ? BE ? AC ? 3 3 3 3

在 Rt ?BEA 中, BE ?

AB 2 ? AE 2 ?

∴ AF ?

在 ?ABF 中, AF ? BF ? (
2 2

3 2 6 ) ? ( ) 2 ? 1 ? AB 2 3 3
……………3 分 ∴ AC ? GF ∴ AF ? 平面 BEG ……………4 分 ……………5 分

? ∴ ?AFB ? 90 ,即 AC ? BE

∵ GF ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD 又∵ BE ? GF ? F , BE, GF ? 平面 BCE

证法 2: (坐标法)证明 K AC ? K BE ? ?1,得 AC ? BE ,往下同证法 1. 证法 3: (向量法)以 AD, AB 为基底,

1 AD ? AB , AD ? AB ? 0 2 2 2 1 1 1 ∴ AC ? BE ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AB ? ? 2 ? 1 ? 0 2 2 2
∵ AC ? AD ? AB , BE ? ∴ AC ? BE ,往下同证法 1. (2)在 Rt ?AGF 中, AG ?

AF 2 ? GF 2 ? (

3 2 3 6 ) ? ( )2 ? 3 3 3

在 Rt ?BGF 中,BG ?

BF 2 ? GF 2 ? (

6 2 3 ) ? ( ) 2 ? 1 ………… ……………7 分 3 3

在 ?ABG 中, AG ?

6 , BG ? AB ? 1 3

∴ S ?ABG ?

1 6 30 5 1 6 6 ? ? ………………………………9 分 ? ? 1 ? ( )2 ? ? 2 3 6 6 2 3 6

设点 E 到平面 ABG 的距离为 d ,则

9

1 2 3 ? ? 1? S ABF ? GF 2 2 1 1 3 ? 30 S ?ABG ? d ? S ?ABF ? GF ,∴ d ? ? 3 3 10 S ?ABG 5 6

EG ? GF 2 ? EF 2 ? (

3 2 6 2 ) ? ( )2 ? 3 6 2

…………………… ……………11 分

设直线 EG 与平面 ABG 所成角的大小为 ? ,则

30 15 d sin ? ? ? 10 ? . EG 5 2 2

……………………………………………… ……………12 分

另法:由(1)得 AD, BE, FG 两两垂直,以点 F 为原点, FA, FE, FG 所在直线分别为 x 轴,

y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,………………………………………………6 分
则 A?

? ? 3 ? ? ? ? 3? 6 ? ? , E ? 0, 6 ,0 ? , ? , B? 0,? ? , G ? 0,0, , 0 , 0 , 0 ? ? 3 ? ? ? 6 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
G

z

? ? 3 6 ? 3 3? ? ? ? AB ? ? ? ? 3 ,? 3 ,0 ? , AG ? ? ? 3 ,0, 3 ? , ? ? ? ? ? 6 3? ?, EG ? ? 0 , ? , ? ? 6 3 ? ?
B

C F D

…………8 分
A

设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABG 的法向量,则 x

E

y

? ? ? ? ? ? AB ? n ? 0 ,即 ? ? ? ?? ? AG ? n ? 0 ? ?
取x?

3 6 x? y?0 3 3 , 3 3 x? z?0 3 3

2 ,得 n ? ( 2,?1, 2 ) ……………………………………………………………10 分

设直线 EG 与平面 ABG 所成角的大小为 ? ,则

sin ? ?

EG ? n EG n

0? 2 ? ? 0?

6 3 ? (?1) ? ? 2 6 3 1 1 ? ? 2 ?1? 2 6 3

?

15 5

10

∴直线 EG 与平面 ABG 所成角的正弦值为

15 . ………………………………………12 分 5

(20) (Ⅰ)一个焦点为 F2 (1,0) ,则

2a ? MF1 ? MF2 2 3 ? ? 3 ?2 3? ? ?1 ? 1? ? ? ? 3 ? ? ?2 3?2 ? ?
2 2

? a ? 3 …………………………………………………………………………………2 分 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 1 ? 2 . x2 y 2 ? 1. ………………………………………………………4 分 ? 椭圆的标准方程是 ? 3 2
(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,若过点 的切线斜率都存在,设其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x 0 ) , 由?

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

得, (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k( y0 ? kx0 ) x ? 3(kx0 ? y 0) 2 ? 6 ? 0 ,……6 分

直线与椭圆相切,?? ? 0 ,……………………………………………………………7 分

[6k ( y0 ? kx0 )]2 ? 4(2 ? 3k 2 )[3(kx0 ? y0 )2 ? 6] ? 0 ,
2 2 整理得 (3 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0k ? 2 ? y0 ? 0 ,……………………………………………… 8 分

椭圆 的两条切线的斜率分别为 k1 , k2 ,
2 2 ? y0 ,……………………………………………………………………… 9 分 ? k1 ? k2 ? 2 3 ? x0

2 2 2 2 点 在圆 上,? x0 , ? y0 ? 5 ,即 y0 ? 5 ? x0
2 2 2 2 ? y0 2 ? (5 ? x0 ) ?3 ? x0 ) ? ? ? ?1 2 2 2 3 ? x0 3 ? x0 3 ? x0

? k1 ? k2 ?

? l1
分.

?

l2

…………………………………………………………………11

若过点 P 的切线有一条斜率不存在, 不妨设该直线为 l1 , 则 l1 的方程为 x ? ? 3 ,l2 的 方程为 y ? ? 2 ,所以 l1 ? l2 综上,对任意满足题设的点 P ,都有 l1 ? l2 ……………………………………12 分 (21) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 与 h( x) 无公共点,等价于方程 2分

ln x ? a 在 (0, ??) 无解.… x

11

ln x 1 ? ln x , 令 t '( x) ? 0, 得 x ? e ,则 t '( x) ? x x2 x e (0, e) (e, ??) + 0 - t '( x) 增 极大值 减 t ( x) 1 因为 x ? e 是唯一的极大值点,故 tmax ? t (e) ? ……………………………………4 分 e 1 ln x ? a 在 (0, ??) 无解,当且仅当 a ? 故要使方程 e x 1 故实数 a 的取值范围为 ( , ??) …………………………………………………………6 分 e 1 m ex (Ⅱ)假设存在实数 m 满足题意,则不等式 ln x ? ? 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x x 1 x 即 m ? e ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立.……………………………………………6 分 2 x 令 r ( x) ? e ? x ln x ,则 r '( x) ? e x ? ln x ?1 , 1 x 令 ? ( x) ? ex ? ln x ?1 ,则 ? '( x ) ? e ? ,………………………………………7 分 x 1 1 1 ( , ?? ) ? '( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , ? '(1) ? e ? 1 ? 0 , 因为 ? '( x ) 在 上单调递增, 且 ?(' )x 2 2 1 1 1 x 的图象在 ( ,1) 上连续,所以存在 x0 ? ( ,1) ,使得 ? '( x0 ) ? 0 ,即 e 0 ? ? 0 ,则 2 2 x0 x0 ? ? ln x0 ,…………………………………………………………………………9 分 1 所以当 x ? ( , x0 ) 时, ? ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, ? ( x) 单调递增, 2 1 1 x 则 ? ( x) 取到最小值 ? ( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ? ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 , x0 x0 1 所以 r '( x) ? 0 ,即 r ( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增.………………………………11 分 2 1 1 1 1 1 1 m ? r ( ) ? e 2 ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 2 所以存在实数 m 满足题意,且最大整数 m 的值为 1 . …… ………12 分
令 t ( x) ? (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)因为 BM 是圆 E 直径 所以, ?BCM ? 90 ,………………1 分
0

A

B

又 MC ? 2 , ?EBC ? 30 ,
0




M

E

D H

F

…………………… …………………………………2 BC ? 2 3 ,

C



12

1 AC , 3 1 可知 AB ? BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3 2
又 AB ? 根据切割线定理得:

…………………………………3 分

AF 2 ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,…………………………………………………4 分
即 AF ? 3 …… …………………………………… …………………………………5 分 (Ⅱ)过 E 作 EH ? BC 于 H ,……………………………………………………………6 分 则 ?EDH ~?ADF ,……………………………… …………………………………7 分

ED EH ? ,…………………………………………………………………8 分 AD AF 1 又由题意知 CH ? BC ? 3, EB ? 2 2
从而有 所以 EH ? 1 , 因此 …………………………………9 分 …………………………………10 分

ED 1 ? ,即 AD ? 3ED AD 3

(23) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1, ,…………………………………………………1 分

C2 :

x2 y 2 ? ?1 …………………………… ………………………………………2 分 36 4 ………………………………………3 分 C1 为圆心是 (4, ?3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 6 ,短半轴长是 2 的椭圆.
…………………………………………………………4 分

? 时, P(4, ?4) ,………………………………………………………5 分 2 设 Q(6cos ? , 2sin ? )
(Ⅱ)当 t ? 则 M (2 ? 3cos ? , ?2 ? sin ? ) , ………………………………………6 分

C3 为直线 x ? 3 y ? (8 ? 2 3) ? 0 ,……………………………………7 分

M
d?



C3







(2 ? 3cos ? ) ? 3(?2 ? sin ? ) ? (8 ? 2 3) 2
? 3cos ? ? 3 sin ? ? 6 2

……………………8 分

13

2 3 cos(? ? ) ? 6 6 ? 2
? 3 ? 3 cos(? ?
从而当 cos(? ?

?

?
6

)

………………………………………9 分 ………………………………10 分

?
6

) ? 1, 时, d 取得最小值 3 ? 3

14


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