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概率统计期末综合练习一(答案)


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概率统计 期末综合练习一(参考答案)
一、 单项选择题: 1、设 A , B 为两个事件,则 A ? B 等于
( A) A ? B (B)

A ? B

? ( A)?1 ?

2 3

X1 ?

1 3

X

2

? (B )? 2 ?

1 2

X1 ?

1 2

? X 2 (C ) ? 3 ?

3 5

X1 ?

2 5

X2

? (D )? 4 ?

1 4

X1 ?

3 4

X

2

姓名:____________________学号:____________________

二、填空题
1、设事件 A , B 仅发生一个的概率为 0.3 ,且 P ( A ) ? P ( B ) ? 0.5 ,则 A , B 至少有一个不发生的概率为 ( A ) _____0.9_____。
(C ) A? B
(D ) A? B

2、设随机变量 X 在区间[ 2 , 5 ] 上服从均匀分布,则 E ( X ) ? ____13_____ 。
2

2 2、设 X ~ N ( 3, 2 ) , 则 当 P { X ? c } ? P { X ? c ) 时 c ?

( B )
(D ) 0

3、设随机变量 X 服从参数?

? 0 .5 的指数分布,则 P { X ? 0 .5} ?

e

?1


1 10

( A) 4

(B) 3

(C ) 2

3、设随机变量 X 与Y 相互独立,其概率分布分别为
X P 0 0 .4 1 0 .6 Y P 0 0 .4 1 0 .6

4、设 X 服从参数为? ? 10 的指数分布,Y ~ N ( 3 , 2 ) ,且 X 与 Y 相互独立, Z ?
2

X ? Y ,则

D ( Z ) ? __5_。

则有
( A) P ( X ? Y ) ? 0 ( C ) P ( X ? Y ) ? 0 .5 2 ( B ) P ( X ? Y ) ? 0.5 (D ) P( X ? Y ) ? 1
? a F1 ( x ) ? b F 2 ( x )

( C )

5、设?? 是? 的一个估计量,若 E (?? ) ? ? ,则称?? 是? 的无偏估计量。

三、计算题
1、(10 分)有四位同学报考硕士研究生,他们被录取的概率分别为 0.2、0.3、0.45、0.6, 也是某一随机变 ( C ) 试求至少有一位同学被录取的概率. 解: 设Ai
? { 第 i 个同学被录取 } ( i ? 1, 2 , 3 , 4 , )

4、设 X 1 , X 2 是随机变量,其分布函数分别为 F1 ( x ) , F 2 ( x ) ,已知 F ( x ) 量的分布函数,则下列给定的各组数值中可以取
( A) a ? 3 5 (C ) a ? ? 1 2 ,b ? ,b ? ? 2 5 3 2 (D ) a ? (B) a ? 2 3 1 2 ,b ? ,b ? 2 3 3 2

; B ? {至少有一位同学被录取
4

}

则有 B ? A 1 ? A 2 ? A 3 ? A 4 ; P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?
? 1 ? 0 . 8 ? 0 . 7 ? 0 . 55 ? 0 . 4 ? 0 . 8768

?
i ?1

P ( Ai )

5、对正态总体的数学期望 ? 进行假设检验,如果在显著水平 0 .0 5 下接受 H 0 : ? ? ? 0 ,那么在显著水平
0 . 01 下,下列结论中正确的是

( A )
0

2、 分)设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种零件,产量依次占全厂的 45% ,35% ,20% 。如果各 (10 车间的次品率依次为 4% ,2% ,5% ,现在从将出厂产品中任意抽取一个检查。 (1)求抽到的是正品的概率; (2)若抽到的是次品,求这个产品是乙车间生产的概率。 解:设 A1 ? {甲车间生产的零件} A 2 ? {乙车间生产的零件} A 3 ? {丙车间生产的零件} , .
B ? {抽到正品}

班级:

(A)必接受 H (C)必拒绝 H

0

(B)可能接受,也可能拒绝 H (D)不接受,也不拒绝 H

0

0

6、设总体 X 服从正态分布 N ( ? ,1 ) ,其中 ? 为未知参数, X 1 , X 2 为样本,下面 四个关于 ? 的无偏估计 量中最有效的一个是 ( B )

(1)所求概率 P ( B ) ? P ( A1 ) P ( B | A1 ) ? P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) ? P ( A 3 ) P ( B | A 3 )

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? 0 .4 5 ? 0 .9 6 ? 0 .3 5 ? 0 .9 8 ? 0 .2 ? 0 .9 5 ? 0 .9 6 5

(3) E ( X ) ?

?

?? ??

xf ( x ) dx ?

?

??

2 xe
0

?2x

dx ?

1 2

;
y

姓名:____________________学号:____________________

(2)所求概率 P ( A 2 | B ) ?

P ( A2 ) P ( B | A2 ) P (B )

?

0 .3 5 ? 0 .0 2 0 .0 3 5

? 0 .2

(4) F Y ( y ) ? P {Y ? y } ? P { 2 X ? y } ? P ( X ?
?e ?0
? y

y 2

) ?

?

2 0

2e

?2x

dx

3、 分)设离散型随机变量 X 的分布律为 (10 (1) 求常数 k; (2) 求分布函数 F ( x ) ; (3) 求 E ( X ), D ( X ) 。
x ? 0 ? 0, ? ? 0 .3, 0 ? x ? 1 (2) F ( x ) ? ? ? 0 .5 , 1 ? x ? 2 ? 1, x ? 2 ?

故 f Y ( y ) ? F Y? ( y ) ? ? X P 0 0.3 1 0.2 2 k 求: (1)关于 X 、 Y 的边缘分布;

y ? 0 y ? 0

5、 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为: (12 X 0 1

Y 0
0 .1

1
0 .4

(2)问 X 、 Y 是否相互独立,并说明理由; (3) E ( X )、 E ( Y )、 D ( X )、 D ( Y ) ; (4) cov( X , Y ) 和 解: (1) X P 0 0.5 1 0.5
?

0 .3

0 .2

解:(1)

k ? 0 .5

XY

。 Y P 0 0.4 1 0.6

(3) (4)

E ( X ) ? 0 ? 0 .3 ? 1 ? 0 .2 ? 2 ? 0 .5 ? 1 .2
E(X
2

) ? 0 ? 0 .3 ? 1 ? 0 .2 ? 4 ? 0 .5 ? 2 .2
2

D(X ) ? E(X

) ? [ E ( X )]

2

? 2 . 2 ? (1 . 2 )
?2 x

2

? 0 . 76

(2) P ( X ? 0 , Y ? 0 ) ? 0 . 1 ? P ( X ? 0 ) P ( Y ? 0 ) ? 0 . 2 ,故两者不相互独立。
2 2 (3) E ( X ) ? 0 . 5 , E ( X ) ? 0 . 5 , D ( X ) ? 0 . 25 ; E ( Y ) ? 0 . 6 , E ( Y ) ? 0 . 6 , D ( Y ) ? 6

? Ce 4、 分)设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ? ? (10 ?0

x ? 0 其它

, (4) cov( X , Y ) ? ? 0 . 1 , ?
XY

25

? ?

6 6



求: (1) 常数 C ;

(2) 概率 P { ? 1 ? X ? 1 / 2 } ;

(3) E ( X ) ;

(4)设Y ? 2 X ,则Y 的密度函数 f Y ( y ) 。 解: (1) 由 ?
?? ??

四、解答题:(本题共 26 分)
1、 分)某工厂生产的铜丝折断力 X (单位:斤)服从正态分布 N ( ? , ? ) 。某日随机抽取 9 根进行 (8
2

f ( x ) dx ? C

?

??

e
0

?2x

dx ?

C 2

? 1 , 得C ? 2

班级:

折断力测验, 测得平均折断力为 x =57.5 斤, 样本标准差为 s ? 8 . 3 斤。 据此, 求这种铜丝的平均折断
1 e

(2) P { ? 1 ? X ? 1 / 2 } ?

?

0 .5 ?1

f ( x ) dx ? 2 ?

0 .5

力 ? 的 95%的置信区间。 解:因为方差?
2

e
0

?2x

dx ? 1 ?

未知,所以 ? 的置信水平为1 ? ? ? 0 .9 5 的置信区间为

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( X ? t ? ( n ? 1)
2

S n

, X ? t ? ( n ? 1)
2

S n

? )

故? 的矩估计值为 ?? ? 再求极大似然估计值
n

x 1? x



姓名:____________________学号:____________________

由已知 n ? 9 , s ? 8 .3 , x ? 5 7 .5 , t ? ( n ? 1) ? t 0 .0 2 5 (8 ) ? 2 .3 0 6
2

所以 ? 的 95%的置信区间为
(5 7 .5 ? 2 .3 0 6 ? 8 .3 3 , 5 7 .5 ? 2 .3 0 6 ? 8 .3 3
2

L ( x1 , ? , x n ; ? ) ?

?
i ?1

? xi

? ?1

? ? ( x1 ? x n )
n

? ?1



n

) ? (5 1 .1 2 , 6 3 .8 8 )

ln L (? ) ? n ln ? ? (? ? 1) ? ln x i
i ?1

d ln L (? )


d?

?

n

n

?

?

?
i ?1

ln x i ? 0 ? ?? ? ?

n
n

?
i ?1

ln x i

2、 分)某糖厂用自动打包机装糖,已知每袋糖的重量(单位:千克)服从正分布 N ( ? , 2 . 5 ) .今随机 (8 地抽取 9 袋,并称出它们的重量 x 1 , x 2 , ? , x 9 ,由此算得 x ? 48 . 5 ,检验 H 平? ? 0 . 05 ) 解: 假设 H
0

所以? 的极大似然估计值为 ?? ? ?

n
n



0

: ? ? 50 。 (取显著性水

?
i ?1

ln x i

: ? ? 50

由n ? 9 ? ? 2 .5

取统计量 u ?

3 ( X ? 50 ) 2 .5

~ N ( 0 ,1 )

附:查表数据
u 0 . 005 ? 2 . 58 u 0 .0 2 5 ? 1 .9 6
2

对给定的显著水平? ? 0 . 05 得 u ? ? u 0 . 025 ? 1 . 96
2

? ( 2 . 08 ) ? 0 . 9812
2

t 0.025

?8? ?

2.306
2

t 0.025 ? 15 ? ? 2.1315

所以拒绝域为 所以接受 H

3 ( X ? 50 ) 2 .5

? 1 . 96 ,因为 x ? 48 . 5 得| u 0 | ?

3 ( 48 . 5 ? 50 ) 2 .5

? 1 . 8 ? 1 . 96

t 0 . 025 (16 ) ? 2 . 1199

? 0 . 975 ( 9 ) ? 2 . 7

? 0 . 975 (10 ) ? 3 . 247

? 0 . 025 ( 9 ) ? 19 . 023

0



? 0 . 025 (10 ) ? 20 . 483

2

3、 分)设总体 X 的概率密度为 (10
?? x f ( x,? ) ? ? ?0,
? ?1

,0 ? x ? 1 其他

(? ? 0 )

试用来自总体的样本 x 1 , x 2 , ? , x n ,求未知参数? 的矩估计值和极大似然估计值. 解:先求矩估计值
?1 ? E ( X ) ?

班级:

?

1 0

? x dx ?

?

? ? ?1

, A1 ? X

令 A1 ? ? 1 ? ?? ?

X 1? X


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